代数式的值
一、主要内容：
1．代数式的值的概念：
一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。
注：
1）字母的取值不能使代数式本身失去意义，如分母不能为零；
2）不能使它所表示的实际问题失去意义，如求路程公式S＝vt中，v，t不能取负数。
2．求代数式的值的方法：
先代入后计算：
注：
1）代入时，只将相应的字母换成相应的数，其它符号不变。
2）代数式中原来省略的乘号代入数值以后一定要还原。
3）对于已知一个比较复杂的代数式的值，求另一个代数式的常用的方法有整体代入法，代换法。
4）根据代数式所表示的运算顺序，按有关运算法则，计算出结果。
二、主要数学思想：
代数式的值是由字母所取的值确定的，当代数式中的字母每取一个值时，代数式就表示一个确定的（数）值。因此，求代数式的值是由一般（式）到特殊（数）的问题，通过求代数式的值，可进一步理解代数式的意义和作用。
三、例题讲解： 例1 求下列代数式的值：
(1) a2-
(2) +2 其中 a=4, b=12, 其中 a=, b=
.
解：(1)当a=4, b=12时,
a2-+2=42-+2=16-3+2=15 时，
(2)当a=，b= ===。
点评：（1）求代数式的值的解题步骤是：
①指出代数式中的字母所取的值； ②抄写原代数式；
③把字母的值代入代数式中；
④按规定的运算顺序进行计算。
（2）代数式的值是由代数式里字母所取的数的大小来确定的，代数式里的字母可取不同的值，但这些值必须使代数式和它所表示的实际数量有意义。（1）题中的a不能取0，因为当a取0时，的分母为零，代数式无意义。
（2）题中a+b不能为0。
例
2当a＝－1， b＝2， c＝3时，求下列各代数式的值。
（1）
（2）(a2＋b2－c2)2
（3）
分析：求代数式在a＝－1，b＝2，c＝3时的值，就是把代数式中的字a、b、c，分别用－1，2，3代替，按原来的运算顺序进行运算即可。
解： （1）
（2）(a2＋b2－c2)2＝[(－1)2＋22－32]2＝[－4]2＝16
（3）
例3 已知a－＝2，求代数(a－
)2－
＋6＋a的值。
分析：本例中代数式(a－
)2－
＋6＋a是含字母a的代数式，若已给出a的值，用a的值代换代数式中的字母a，即可进行运算，但现在没给a的值，又无法求出a的值。只知：a－＝2，所以我们应把a－作为一个整体，把代数式(a－
)2－
＋6＋a进行变形，使代数式中的字母以a－的形成出现，再用2代替a－即可求值。
解：当a－＝2时
(a－)2－＋6＋a＝(a－
)2＋(a－
)＋6
＝22＋2＋6
＝12．
例4 当＝2时，求代数式的值。
分析：本例仿例3，把看一个整体，把所给代数式进行变形。
解：当＝2时
2
＝2×2＋3×＝5
例5 某车间第一个月产值为m万元，平均每月增产率为a%
要求： （1）用代数式表示出第二个月的产值。
（2）当m＝20 ，a＝5时第二月的产值。
分析：平均每月增产率为a%，即第二月的产值比第一个月的产值增加m×a%，所以第二月的产值为m＋m·a%.
解：
1）第二个月的产值为（m＋m·a%）万元；
2）当m＝20， a＝5时
m＋m·a%＝20＋20×5%＝21（万元）
小结：若每月的增产率不变，下一个月的产值就等于本月产值＋本月产值×增产率。请试着写出第三个月的产值，并计算当m＝20，a＝5时产值。
北 京 四 中
透视“代数式”
一、明确代数式的特征
代数式是一个非常重要的概念，它贯穿于初中代数的始终，关于什么是代数式，课本中用“像……是……”这种说法加以描述，通过对这个定义的理解，我们可以看出代数式的三个特征：
1．代数式是用运算符号把数和表示数的字母连结而成的。如：3a、a+b等。
2．单独一个数或一个字母也是代数式。如：
7、x等。
3．代数式中是不含等号的。运算律、公式，它们都是以等号形式出现的，应该说，这些等式的左、右两边，各是一个代数式。如：S=ab，它是用等号把代数式S与ab连结起来而成为公式，所以S=ab不是代数式，而是公式。
二、注意代数式书写格式
1．代数式中出现的乘号，通常简记作“·”或省略不写。数字和数字相乘，乘号不能省略；数字和字母相乘，可以省略乘号，但数字必须写在字母前面，如：a×2可记作2a，不能写成a2；字母和字母相乘时，除可省略乘号外，一般还要习惯按英文字母表示的自然顺序来书写，如：y×x×2，可简记为2xy。
2．带分数和字母相乘时，若要省略乘号，须把带分数化成假分数，如：x× 4，记作，不能写成4 x，另外，当一个因数是1时，通常省略不写，如1×a，不能写成1a，而应记作a。
3．代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如：s÷t应记作，ah÷2记作。
4．写代数式的答案时，若是乘、除关系的，单位名称直接写在式子的后面，如：正方形面积 3 是12a平方厘米，无需加括号；若是加减关系时，必须把式子用括号括起来，再写单位，如：三角形的周长是(a+b+c)米。
三、掌握列代数式的要点
列代数式就是把问题中与数量关系相关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来。
首先弄清问题中的数量关系，如：和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、增加到、减少到、增加了、减少了等，并把这些语言转化为运算。
其次是弄清问题中的运算顺序，特别是注意括号的运用。
最后要明确列代数式与小学的算术列式类似，所不同的是把数改为表示数的字母来列式。
例1 设甲数为x，用代数式表示乙数
(1)乙数比甲数的2倍小3；
(2)乙数比甲数大16％，
解：
(1)中的甲数转化为“x”，“小”转化为运算“－”，先表示甲数的2倍2x，再表示比2x小3的数是2x-3。
(2)中甲数的16％即为：16％·x，“大”转化为运算“+”，即“x+16％·x 或(1+16％)x。
例2 设甲数为x，乙数为y，用代数式表示
(1)甲乙两数的平方和(即平方的和)。
(2)甲乙两数的和与甲乙两数的差的积。
解：
(1)中就是：甲数的平方+乙数的平方，注意先平方后和，即x2+y2。
(2)中就是：(甲数+乙数)×(甲数-乙数)，注意先算和、差，再相乘，和、差要添括号，即(x+y)(x-y)。
四、准确求出代数式的值
一般地，把用数值代替代数式里的字母，按照代数式中指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值，在这个概念中，实际上也指出了求代数式值的方法，即一是代入、二是计算，当代数式中有多个字母时，代入值不要混淆，式中的同一个字母值应该是相同的，在进行运算时，既要分清运算的种类，又要注意运算顺序。
某些求代数式值的题目，没有直接给出代数式中相关字母的值，而是给出某种关系，这时要认真仔细观察题目特征，运用整体代换的方法来进行求值。
例3 若代数式2x+3y+7的值是8，那么4x+6y+10的值是多少?
解：本题没有给出x、y的值，而是已知2x+3y+7＝8，这时易知2x+3y＝1，然后再观察4x+6y+10这个代数式，其式中的4x+6y正好是2x+3y的2倍，即4x+6y＝2(2x+3y)，所以4x+6y＝2，此时4x+6y+10的值就是2+10＝12了。
五、会应用代数式解决实际问题
应用数学知识解决实际问题是学习数学的目的，灵活应用代数式，可以解决许多实际问题。
例4 用a米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地。现有两种设计方案：一种是围成正方形的场地；另一种是围成圆形的场地。试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大?并说明理由。
解：设S
1、S2分别表示围成的正方形场地和圆形场地的面积，则
，
∵π＜4,
∴ .
∴S2＞S1, 故应选用围成圆形场地的方案，它的面积较大。
例5 暑假里父亲、儿子、女儿准备外出旅行，咨询时了解到，甲旅行社规定：大人买一张全票，两个孩子的费用可按全票价的一半优惠；乙旅行社规定：三人旅行可按团体票计价，即按原价的60％收费。已知两个旅行社的原价相同，问选择哪个旅行社，能多省钱?
解：设两个旅行社的原票价为a(a>0)元，则甲旅行社的收费为a+2×0.5a＝2a(元)，乙旅行社的收费为
3×60％a=1.8a(元)。
因为2a>1.8a，所以选择乙旅行社能多省钱。
六、在列代数式中培养创新能力
“创新是一个民族的灵魂。”我们每个中学生都应具有创新意识，在数学学习中创新，就是要对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，会从数学的角度发现和提出问题，并加以探索和解决。
例6 给出下列算式：
32-12=8=8×1,
52-32=16=8×2
72-52=24=8×3, 92-72=32=8×4
观察上面一系列等式，你能发现什么规律?用代数式表述这个规律。
分析：观察可知左边是连续奇数的平方差(大数减小数)，右边是8的倍数，其规律可用代数式表述为
(2n+1)2-(2n-1)2=8n(n为自然数)。
例7 问题：你能很快算出19952 吗?
为了解决这个问题，我们考察个位数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可用代数式表示为10n+5，问题即求(10n+5)2 的值(n为自然数)，试分析n＝1，n＝2，n=3，…这些简单情况，从中探索其中的规律，并归纳、猜想出结论(在下面空格内填上你的探索结果)。 (1)通过计算，探索规律：
152=225, 可写成100×1×(1+1)+25,
252=625, 可写成100×2×(2+1)+25,
352=1225, 可写成100×3×(3+1)+25,
452=2025, 可写成100×4×(4+1)+25,
752=5625, 可写成_____________。
852=7225，可写成_____________。
……
(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得：
(10n+5)2＝_____________。
(3)根据上面的归纳、猜想，请算出：19952＝______
解：
(1)l00×7×(7+1)+25，100×8× (8+1)+25；
(2)100n(n+1)+25, n为自然数；
(3)100×199×(199+1)+25=3980025。
本例的实质是先用代数式表示出一般情况，再求特殊情况下代数式值的计算规律，归纳出一般性结论，再求这个一般性结论中代数式的值，体现了“特殊—— 一般 ——特殊”的思想方法，这正是用字母代数(从特殊到一般)后再求代数式值(从一般到特殊)这种思想方法的反复应用。
发现是创新的前提，以上两例要求同学们从具体、特殊的事例中探究其存在的规律，并把潜藏在现象中的本质挖掘出来，并用代数式加以表示。规律被找出，即是完成了一个创新过程。长期如此，你的创新意识会不断增强，创新能力将不断提高。
北 京 四 中
代数式的值 考点扫描:了解代数式的值的概念，会求代数式的值
名师精讲:
1．代数式的值的概念：用数值代替代数式里的字母,按照代数式指明的运算,计算出的结果,叫做代数式的值。
注意：
（1）字母的取值必须确保代数式有意义。
（2）字母的取值要保证它本身表示的数量有意义。
（3）字母的取值不同，代数式的值也不同。
2．求代数式的值的步骤是：
（1）用字母的取值代替字母，要注意省略的乘号要写出来；若字母的取值是分数，并且是字母的平方或立方形式的，要添加括号，把分数括起来。
（2）根据代数式所表示的运算顺序，按有关运算法则计算出结果。
中考典例:
1．（河南省）已知代数式3y2-2y+6的值为8，那么代数式
A、
1 B、
2 C、
3 D、4
考点：求代数式的值
评析：求代数式值的方法是：用字母的取值代替字母，根据代数式所表示的运算顺序按有关运算法则计算出结果。而该题给的不是字母的值，而是一个代数式3y2-2y+6的值，因此必须将另一个代数式转变成一个用3y2-2y+6表示的式子。通过观察，代数式(3y2-2y+6)-2的形式。然后将3y2-2y+6的值代入，即可得到其值为2。故应选B。
解题过程如下：
可变为
的值为（
）
=（3y2-2y+6）-2
将3y2-2y+6=8代入，原式=2。
说明：该题是考查整体代入求代数式的值，可拓展为求6y2-4y+5的值等。
北 京 四 中
代数式
1．选择题
(1)代数式2x-y2用语言叙述为(
)
(A)x的2倍与y的差的平方
(B)x与y的平方差的2倍
(C)x与y的差的2倍的平方
(D)x的2倍与y的平方的差
(2)电影院的座位一共有n行，每行的座位数比行数多10，则电影院共有座位(
)
(A)10n个
(B)(n-10)n个
(C)10(n-10)个
(D)[10n+
(3)若两数之积为24，其中一个数为M，则另一个数的2倍表示为(
)
]个
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)某个学校的学生共有a人，其中男生占53％，则代数式(a-53％a)表示的是(
)
(A)全体学生的人数
(B)全体女生的人数
(C)全体男生的人数
(D)全体学生的人数的—半
2．填空题
(1)n个队参加篮球比赛，每队有10人，参加比赛的队员共有___________人。
(2)当a=5，b=4时，代数式3a2-2b的值是___________。
(3)长方形的周长为46，它的长是x厘米，它的面积是_____________。
3．求代数式的值
(1) ，其中a=5，b=7；
(2)3x2-2xy+y2，其中x＝1，y=
；
(3)(3a-2b)2，其中a=
，b=；
(4)(a+b)2-(a-b)2，其中a＝
答案：
1.
(1)D
,b＝。
(2)D
行数
座位数
1
1+10
2
2+10
…
…
n
n+10
∴电影院共有座位：1+10+2+10+…+n+10=1+2+…+n+10+10+…+10=个
(3)D
(4)B
提示：53%a表示全体男生人数，学生总数－全体男生人数＝全体女生人数
2.
(1)10n
(2) 67
(3) x(23-x)平方厘米
提示：长方形的宽为厘米
3.
(1)
(2)
(3)1
(4)
注意：代入数值后，要注意运算顺序。
