佛山科学技术学院
上 机 报 告
课程名称
数学建模
上机项目 产销平衡
专业班级
姓 名 学 号
一、问题提出
问题
一、
某厂根据产品成本和销售情况,在产销平衡条件下(产品的产量等于市场的销售量),如何确定商品的最优价格,使获得利润最大。根据PPT课件中的假设条件等说明,请同学们建立模型并求解。
问题
二、
某公司生产一种产品有甲、乙两个品牌,试讨论产销平衡下,如何确定各自的产量,从而获得最大利润。
利润既取决于销量和单件价格,也依赖于产量和单件成本。按照市场规律,甲种品牌的价格p1固然会随其销量x1的增长而降低;同时乙品牌销量x2的增长也会使甲的价格有稍微下降,根据该厂的实际情况进行大量调查,价格与销量呈现线性关系,即
p1=300-2.35x1-0.09x2 乙的价格p2遵循同样的规律,有
p2=480-0.14x1-2.98x2
甲品牌的成本会随着其产量的增长而降低,按该厂的实际情况进行大量调查,呈现为负指数关系,即有
q1=38e
q2=94e0.023x1+116 +145 乙品牌的成本q2遵循同样的规律,有
0.018x2试确定甲、乙两种品牌的产量,使公司获得的总利润最大。
问题一:
模型假设:
1)产量等于销量(产销平衡),记作 x; 2)收入与销量 x 成正比,系数 p 即价格; 3)支出与产量 x 成正比,系数 q 即成本; 4)销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数。
5)进一步设x(p)abp,a,b0,即假设它是线性函数。
模型建立:
利润时销售收入与生产支出之差,设每件产品售价为p,成本为q,售量为x(与产量相同),则总收入与总支出分别为
S=px
(1) Z=qx
(2) 在市场竞争的情况下,售量x依赖于售价p,记为
x=f(p)
(3) f称需求函数,是p的减函数。于是不论成本q是否与x相关,收入S和支出Z都是售量p的函数。
因此,利润U可以表示为U(p)S(p)Z(p)
(4)
模型求解:
要使利润U(p)达到最大的最优价格p*可以由得到,即有:
dSdZ|pp*|pp*
(5) dpdpdU|pp*0 dp再由
x(p)abp,a,b0
(6)
并且每件产品的成本q与产量x无关,将(1)~(3)式代入(4)式可得
U(p)(pq)(abp)
(7)
最后用微分法可求出使U(p)最大的最优价格p*为
qap*
(8)
22b
问题二:
模型假设:
1.价格与销量成线性关系
利润既取决于销量和价格,也依赖于产量和成本,按照市场规律,甲的价格p1会随其销量x1的增长而降低,同时乙的销量x2的增长也会使甲的价格有稍微的下降,可以简单地假设价格与销量成线性关系。即:
p1b1a11x1,且a11a1;a1,xb1,a11,a122 20同理:p2b2a21x1a22x2,b2,a21,a220,且a22a21。
2.成本与产量成负指数关系
甲的成本随其产量的增长而降低,且有一个渐进值,可以假设为负指数关系,1x1即:q1rec1,r1,1,c10 1
同理,q2r2e2x2c2,r2,2,c20
模型建立:
有题设可知,甲品牌产品单件获利为p2q2,由产销平衡原理,所有产品德销量就是产量,则甲、乙两种产品总获利为
z(x1,x2)(p1q1)x1(p2q2)x2
若根据大量的统计数据,找出式中的系数分别为: b1=100, a11=1, a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,1=0.015,c1=20,r2=100, 2=0.02,c2=30,则问题即转化为无约束优化问题:求甲,乙两个品牌的产量x1,x2,使总利润z最大.
模型求解:
容易看出,原问题实际上转化为求二元函数z(x1,x2)的极大值,为用matlab优化工具箱中的fminunc求解,需要将其转化为求函数y(x1,x2)z(x1,x2)的最小值。
为确定初始值,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化求z1(b1a11x1)x1(b2a22x2)x2的极值.显然其解为x1b1b= 50, x22= 70,2a112a22我们把它作为优化问题的初始值。下面写出M文件中的目标函数命令,再用matlab优化问题中的fminunc函数求解 。
Matlab程序:
先编写M文件chanxiaopinheng1.m定义目标函数: function y=chanxiaopinheng1(x) p1=100-x(1)-0.1*x(2); p2=280-0.2*x(1)-2*x(2); q1=30*exp(-0.015*x(1))+20; q2=100*exp(-0.02*x(2))+30; y=(p1-q1)*x(1)+(p2-q2)*x(2);
再编写另一M文件,取名为chanxiaopinheng2.m x0=[50,70];
x=fminunc(\'chanxiaopinheng1\',x0)
y=chanxiaopinheng1(x); z=-y 结果为: x =
1.0e+10 *
3.5304
2.7848 z =
3.0923e+21 截图为:
结果是:
所以,甲种品牌的产量为3.5304,乙种品牌的产量为2.7848,最大的利润为3.0923e+21。