推荐第1篇：方程的根与函数的零点教学设计
方程的根与函数的零点教学设计
【教材分析】
函数是中学数学的核心概念。核心的原因之一就在于函数与其知识据有关烦的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起。
本节课是在学生学习了函数的性质，具备初步的数形结合知识，了解方程的根与函数零点之间的关系的基础上，结合函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础。
因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要． 【教学目标分析】
根据本节课教学内容的特点以及新课标对本节课的教学要求，结合以上对教材以及学情的分析，我制定以下教学目标：
知识与技能目标：巩固方程的根与函数零点之间的关系，学会函数零点存在的判定方法，理解利用函数单调性判断函数零点的个数。 过程与方法目标：经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟有具体到一抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。 过程与方法目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，培养学生严谨的科
学态度。
【教学重点分析】
教学重点：因为函数的零点与方程的关系至关重要，为下面二分法的学习奠定基础，因此我把本节教学重点定为判定函数零点存在及其个数的方法。
教学难点：为了培养学生的探究精神，让学生体验学习的快乐和成果，故本节难点定为探究发现函数零点的存在性，利用函数单调性判断函数零点的个数。
【教法分析和学法指导】
结合本节课的教学内容和学生的和认知水平，在教法上，我借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—探究—讨论”式教学模式，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。 在学法上，我以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验，精心设置一个个问题链，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的机会。
【教学过程设计】
为了突出重点，突破难点，在教学上我做如下设计。
问题1：求方程
的实数根，画出函数观察他们之间的联系？
学生通过观察分析易得：方程
的实数根就是函数
的图像；并
的图像与x轴交点的横坐标
[设计意图说明]通过学生熟悉的二次函数的图像和二次方程让学生观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根和函数图象之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。
初步提出零点的概念：-1，2既是
的根，又是函数在y=0时x的值，也是函数图象与x轴的交点横坐标。-1,2在方程中称为实数根，在函数中称为零点。
问题2：对于一般的一元二次方程和相应方程这种关系是否成立？ [设计意图说明]利用几何画板，学生从动态的角度体会方程的跟与函数
的零点之间的关系。 引出函数零点的定义
对于函数y=f(x)，我们把使f(x）=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)
有零点
问题3：求函数零点
(1) (2) (3)
对于（1）（2）小题，学生容易求的函数零点，而（3）小题学生则意识到无论用代数还是几何方法入手，再不借助计算机的前提下，不易求得函数
零点。
[设计意图说明] 借助这个练习题既巩固检测了学生对知识点的掌握情况，又引发学生认知冲突，引出本节课题，为新课的教学作好铺垫。
问题4：请同学们观察动画《小马过河》
将河流抽象成x轴，将小马前后的两个位置抽象为A、B两点。 请问当A、B与x轴满足怎样的位置关系时AB间的一段函数图象与x轴会
有交点。
通过观察，学生不难发现只要满足A、B两点在X轴两侧这种位置关系就可以达到要求，这种位置关系引申为f(a)·f(b)
结合图像，请同学们用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否
存在零点？
学生容易表述为：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上有f(a)·f(b)
数y=f(x)在区间（a,b）内有零点
[设计意图说明] 将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，同时由原来的图形语言抽象成数学语言，再转换成函数图像。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程，启发学生自主发现函数零点的判定方法，培养学生自主探究和归纳创造的能力。
问题5：仅满足f(a)·f(b)
引导学生构造反例：
强调判定条件——图像是连续不断的一条曲线。
[设计意图说明] 让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时，需要一定修正。同时问题设计层层递进，有助于学生理解概念，学生经历总结方法，发现缺陷，完善方法的过程，利于知识的理解和掌握，也培养了学生归纳概
括能力。
通过上述研究，学生可以自己概括出函数零点存在的定理： 如果函数f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)
，使得f(c)=0,这个c也是
方程f(x)=0的根。
为了加深对概念的认识，我设计如下三个问题，请同学们分组讨论：
（1）函数具备了哪些条件，就可确定它有零点存在呢？
（2）若函数f(x)在区间内有零点， 一定能得出f(a)·f(b)
问题6：为了加深概念，提高学生的应用意识，我们再次回到问题3第三小
题
已知函数f(x)=lnx+2x-6试判断函数零点的个数？并说明。 [设计意图说明]针对疑难学生进一步领悟，并学会初步利用函数的单调性判断零点的个数。教师可结合几何画板作出相应函数的图象分析其零点问题，让学生对函数的零点判断形成更加直观认识．
题组练习
题组1 1.函数
的零点是（） A．（-1，0）
B.（3，0）
C.x=3
D -1和3 2.函数
的零点是（）
A 1
B 2
C 3
D 不确定
题组2 已知函数
(1)m为何值时，函数有两个零点？
(2)若函数恰有一个再远点右侧，求m的值
[设计意图说明] 立足教材，选取难易适当且适量的习题，给学生提供一个完整运用知识的平台，从而帮助学生进一步落实基本知识，提高基本能力。
归纳小结
（1）方程f(x)=0有实数根函数y= f(x)的图像与x轴有交点函
数y= f(x)有零点
（2）f(x)连续且f(a)·f(b)
（3）f(x)连续且f(a)·f(b)
在唯一零点
[设计意图说明]小结是一堂课的概括和总结，有利于优化学生的认知结构，能把课堂所学的知识与方法较快转化为学生的素质，也更进一步培养学
生的归纳概括能力。 课后作业，自主学习
[设计意图说明]对课后作业实施分层设置，分必做和选做，利于拓展学
生的自主发展的空间。
【教学反思】 方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，教学还需要妥善处理其中的一些问题。首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性其次教学要把握内容结构，突出思想方法像这些中学新增内容的教学，教学就要取得成功的确不易，需要一个不断实践以及实践后的反思的过程，在实践与反思的过程中，不仅要妥善解决上述问题，还要不断地发现和解决新的问题，这样，教学效果才会逐步得到改善。
推荐第2篇：方程的根与函数的零点教学设计
方程的根与函数的零点教学设计 教学内容与任务分析 本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版数学必修一第三章第一节3.1.1方程的根与函数的零点。本节课的主要内容为方程的根与函数零点之间的关系，连续函数在某区间上存在零点的判定方法，是以之前的函数图象、性质为基础，为之后学习用二分法其方程的近似解提供理论支持。 学习者分析
学生已经学习了函数的图象及性质，会画基本的函数图象，能通过图象了解函数的性质，但学生对一些特殊的方程还不熟悉，解题可能会感到困难。 教学重难点
教学重点：方程的根与函数零点之间的关系，连续函数在某区间上存在零点的判定方法 教学难点：函数的零点与方程的根的联系的理解,零点的判定 教学目标
知识与技能目标
（1）理解零点的定义
（2）方程的零点与函数的根的联系
（3）掌握连续函数在某区间上存在零点的判定方法 过程与方法目标
（1）在合作探究的过程中，体会从特殊到一般，数形结合，转化化归的数学思想 （2）培养分析问题、解决问题的能力 情感态度与价值观目标
通过方程的根与函数零点的学习，产生数学学习兴趣 形成有序全面思考问题的意识 教学过程
问题引入，激发兴趣
师：提出问题1：求的实数根，画出函数的图象；并观察他们之间的联系？
【学情预设】学生能够解出方程的根，并从图象上能获得与方程的根的一些联系。 【设计意图】通过学生熟悉的二次函数的图象和一元二次方程让学生观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根和函数图象之间的关系。 组织探究，得出概念 1.方程的根与函数的零点
师：我们可以发现1，2既是的根，也是函数图象与x轴的交点横坐标。 那现在我们来思考一下一般方程的情况。我们是如何去判断方程的个数的呢？是不是借助Δ，那大家通过小组合作一起来完成ppt上的这张表格。 填表
Δ>0 Δ
方程实数根
函数图象与x轴的交点
【设计意图】通过合作填表的过程，让学生体会方程的根与函数图象的x轴的坐标的关系，通过对比教学，揭示知识点的联系。
师：从表格中我们可以得出这样的等价关系：
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点
那我们再来思考一下，假如我们求出函数y=f(x)的图象与x轴的交点坐标为（x0,0），这个x0 是不是就是令y=0的x的值啊？
这个x0在方程中我们定义它为方程的根，那在函数中我们也给它一个定义，叫做函数的零点。 师：现在老师给出函数零点的定义。对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
那函数的零点他是不是一个点呢？
大家一起来再将概念缩一下句，实数x叫做零点，那说明零点时一个数。 【设计意图】通过对概念中的关键进行提炼，加深对概念的理解。 师：那现在我们又可以得出另一个等价关系：
函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点 又因为这两个等价关系两两等价，因而可以得出 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
【设计意图】通过上述过程，让学生领会求方程f(x)=0的实数根，就是确定函数y=f(x)的零点这一关键。
2.零点的存在性探究 师：探究
【设计意图】通过层层递进的问题链，教师引导学生探索，归纳总结函数的零点存在性定理，培养归纳总结的能力。 师：一般的，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)*f(b)
提问：仅满足f(a)·f(b)
【设计意图】通过反例，强调判定条件——图像是连续不断的一条曲线，加深 对概念的认知。 巩固练习，提升能力 例1：
【设计意图】通过例题，对所学知识进行及时巩固， 归纳小结，布置作业
学生自主对本节课的内容进行归纳总结 函数零点的定义 三个等价关系 零点的存在性定理
【设计意图】建立自主的知识体系，形成知识网络，加深对知识的巩固，培养总结归纳的能力。
布置分层作业：基础题和提高题
【设计意图】通过分层作业，注重学生的个体差异，因材施教，是每个层次的学生都有所进步。
推荐第3篇：方程的根与函数的零点教学设计
教师的工作就不是原来的意义的教书，应改变为导书，即指导学生去读书，在指导学生学习的同时要点拨给学生学习的方法，帮助学生解疑析难，指导学生形成知识体系与思想方法，亦即将教法向导法转变。 例如：方程的根与函数的零点 ①首先开门见山地提出问题
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数b=ax2+bx+c(a≠0)图象有什么关系? ②要解决上述问题还得先确定探索的方法，由特殊到一般：即通过具体的函数与方程来讨论。 ③分组实施 ④交流汇报结果 ⑤老师精点 ⑥引导猜想 方程f(x)=0有实根零点。
⑦引导学生去总结出：函数y=f(x)有零点的特征(见课本P102) ⑧应用
学生完成P102的例题、P103的练习⑨小结：(1)探问题的方法 (2)得到的结果 (3)能解决什么问题 (4)解决问题的步骤 3
y=f(x)的图象与x轴有交点
y=f(x)有零点。从而定义函数的要实现教法的改变，必须转变学法，这更需学生树立正确态度和思想：我要学习、我急需学习，由一段时间努力和体会，学法会形成的。16.在感受中发现，在领悟中升华——“函数的概念与图象”教学的一点随想深圳市平冈中学孙文彩当我拿着精美的新教材，看着一幅幅优美的图片时，给我最大的感触就是：图文并茂，内容丰富，叙述形式充满浓厚的人文时代气息……，特别是当我上完“函数的概念与图象”这部分内容后，感慨很多，在此略加采撷，旨在抛砖引玉，恳请同行指正! (一)让学生感受数学，体会数学的价值。
数学对是客观世界的数量关系和空间形式的描述，它来源于客观世界的实际事物，学生们的生活中处处有数学。教学时如能善于挖掘生活中的数学素材，从生活实际出发，结合学生的生活实际，把教材内容与“数学现实”有机结合起来，引入数学知识，让数学贴近生活，使学生感受数学的实用性，对数学产生亲切感。
教材中“函数的概念与图象”内容就是把学生身边的素材：国民生产总值，一天的温度变化曲线，自由落体运动函数，等等，教者如能把它制成幻灯片作为课堂引入，或者再因地制宜地举出一些其它的实例，如飞机票价表，数学用表，股市走势图，家庭生活用电数……，使学生对熟悉的生活场景的回顾，感受到函数与我们现实生活的密切关系，消除同学们对函数这一概念的陌生感、恐惧感。堂课的背景材料取材于学生最熟悉的资料，当学生看到自己非常熟悉的材料出现在课堂上时，那种油然而生的亲切感会使他们的情绪空前高涨，从而激发主动学习的愿望。有了学生情感的积极参与，课堂将会一片生机盎然。
《数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流”，用数学眼光去观察生活实际，从而让学生感受生活化的数学，体验数学化的生活，教材为我们提供了一定的让学生进行主动探索的材料，同时更需要发挥教师的主导作用，创造性地使用教材，发挥教师的主观能动性，使数学更贴近学生，拉近学生与书本，与数学的距离。 (二)让学生体验数学，涵养数学的灵气
体验就是个体主动亲历和虚拟地亲历某件事并获得相应的认知和情感的直接经验活动。新颁布的《高中数学课程标准》与原来的教学大纲相比，一个明显的特征是增加了过程性目标和体验性目标，特别强调学生“经历了什么”、“体会了什么”、“感受了什么”。对数学的认识不仅要从数学家关于数学本质的观点去领悟，更要从数学活动的亲身实践中去体验，重视从学生的生活实践和已有的知识经验中学习数学、理解数学和运用数学。所以数学教学必须引导学生通过主动参与和亲身实践，或独立思考、或与同学教师合作探究，让他们发展能力，感受自己的价值，从而激发对学习数学的兴趣。
“函数的概念与图象”设计了一个小组讨论，让学生举出自己生活中遇到，见到的函数实例。同学们的热烈讨论，举出许多生活中的函数实例，实实在在地体验到数学就在自己身边，原来函数就是如此! 数学起源于生活，但经过抽象后形成的书本知识远比生活知识来的难以接受。如课本中的函数的概念，函数的三种表示，分段函数等等，学生觉得数学难懂、难学，一个重要的原因就是课程知识与生活的经验严重脱节，把学生死死地捆绑在课本里，死记那些学生认为枯燥的概念和公式。新教材的一个重要特征就是引导学生关注生活，让学生在生活的问题情境中，学会应用数学的思想方法去观察、分析；同时教师要把丰富的，贴近学生生活的素材展现在学生面前，并以此为基点，延伸，拓展，这种建立在学生生活经验上的知识就容易被他们掌握，理解，同化以致于转化成学生的一种数学能力。 (三)领悟数学，升华思想，呈现本质
新的课程理念认为，学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。课堂上让学生亲历体验，有助于学生通过多种活动探究和掌握数学知识，达到对知识的深层理解，更重要的是学生在体验中能够逐步发现规律、认识数学的一般方法。
案例：某种笔记本每个5元，买x(x∈｛1，2，3，4｝)个笔记本的钱数记为y(元)，试分别用解析法，列表法，图象法将y表示成x的函数。
学生通过自主探究，给出函数的三种表示，领悟到一个函数有时可以用不同方法表示，同时不同方法的表示又有助于对函数的本质的深层理解。学生学习数学的过程不是一个被动吸收、机械记忆、反复练习的过程，它是一种在已有经验和原有认识的情况下解决问题，形成技能，巩固新知识的有意义的过程，让学生经历知识的再创造，体验知识的形成过程，才能把新知识纳入到原有知识中去，内省为有效知识。 (四)让学生应用数学
新教材内容特别注意加强数学应用意识的培养，这是因为随着社会主义市场经济的发展，使得“数学从社会的幕后走到台前”，在很多方面可以直接为社会创造价值。让学生学会数学 认识数学、体验数学、形成正确数学观的过程，在这个过程中以数学知识为载体的数学，不能仅仅追求知识的获得和问题的解决，更重要的是使学生通过这一过程学会数学的思维，体会数学的思想方法，感悟数学的精神并形成积极的数学态度。
案例：一座钢索结构桥的立柱PC与QD的高度都是60m，A，C间距离为200m，B，D间距离为250m，C，D间距离为2000m，E，F间距离为10m，P点与A点间，Q点与B点间分别用直线式桥索相连结，立柱PC，QD间可以近似看做是抛物线式钢索PEQ相连结。 现有一只江欧从A点沿着钢索AP，PEQ，QB走向B点，试写出从A点走到B点江欧距离桥面的高度与移动的水平距离之间的函数关系。
这是课本中的一个问题，从中可以看出数学在建筑设计中的应用，教者引导学生完成对问题的分析，提取，抽象，解剖，计算，总结，导出了数学建模，分段函数，二次函数的解析式，待定系数等到数学概念，把学生的创造力发挥得淋漓尽致，学生学数学的过程成了“做数学”、“用数学”的过程。
在教学中，充分挖掘其人文的、科学的和应用的价值，让学生通过对身边具体的事例研究，体会数学和生活的紧密联系，感受数学在科学决策中的价值，从而提高学习数学的兴趣。学生在学习过程中因为数学的抽象性，数学问题解决经常伴随着困难，但难度只要不超过学生的能力，总有可能获得成功。美国著名的数学教育家波利亚说过：“如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了。”但在失败后的成功是更令人兴奋的，心中的愉悦是无法形容的，当学生有了这种情感体验后，就会不断地去追求，使自己的学习走向深入，就会感受到数学是伟大。
推荐第4篇：“方程的根与函数的零点”教学设计
一.内容和内容解析
本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理.
函数零点是研究当函数的值为零时，相应的自变量的取值，反映在函数图象上，也就是函数图象与轴的交点横坐标.
由于函数的值为零亦即，其本身已是方程的形式，因而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程有解，则函数存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与轴的交点横坐标.顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题.这是函数与方程关系认识的第一步.
零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件.如果函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足f(a)f(b)0，则函数在区间(a,b)内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断.定理的逆命题不成立.
方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形;零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还使用了数形结合思想及转化与化归思想.
方程的根与函数零点的关系研究，不仅为用二分法求方程的近似解的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法函数与方程思想的理论基础.可见，函数零点概念在中学数学中具有核心地位.
本节的教学重点是，方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理.
二.目标和目标解析
通过本课教学，要求学生：理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，在此基础上，学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题;理解零点存在性定理，并能初步确定具体函数存在零点的区间.
1.能够结合具体方程(如二次方程)，说明方程的根、相应函数图象与轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系;
2.正确理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用;知道定理只是函数存在零点的一个充分条件;了解函数零点只能不止一个;
3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数;
4.能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应的函数;并会判断存在零点的区间(可使用计算器).
三.教学问题诊断分析
学生已有的认知基础是，初中学习过二次函数图象和二次方程，并且解过当函数值为0时，求相应自变量的值的问题，初步认识到二次方程与二次函数的联系，对二次函数图象与轴是否相交，也有一些直观的认识与体会.在高中阶段，已经学习了函数概念与性质，掌握了部分基本初等函数的图象与性质.
教学的重点是方程的根与函数零点的关系及零点存在性定理的深入理解与应用.
以二次方程及相应的二次函数为例，引入函数零点的概念，说明方程的根与函数零点的关系，学生并不会觉得困难.学生学习的难点是准确理解零点存在性定理，并针对具体函数(或方程)，能求出存在零点(或根)的区间.
教学过程中，通过引导学生通过探究，发现方程的根与函数零点的关系;而零点存在性定理的教学，则应引导学生观察函数图象与轴的交点的情况，来研究函数零点的情况，通过研究：①函数图象不连续;②;③，函数在区间上不单调;④，函数在区间上单调，等各种情况，加深学生对零点存在性定理的理解.
四.教学支持条件分析
本节教学目标的实现，需要借助计算机或者计算器，一方面是绘制函数图象，通过观察图象加深方程的根、函数零点以及同时函数图象与轴的交点的关系;另一方面，判断零点所在区间过程中，一些函数值的计算也必须借助计算机或计算器.
五.教学过程设计
1.方程的根与相应函数图象的关系
复习总结一元二次方程与相应函数与轴的交点及其坐标的关系：
一元二次方程根的个数
图象与轴交点个数
图象与轴交点坐标
意图：回顾二次函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备.
问题
一、上述结论对其他函数成立吗?为什么?
在《几何画板》下展示如下函数的图象：、、、、，比较函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系。
函数的图象与轴交点，即当，该方程有几个根，的图象与轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标.
意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数。
2.函数零点概念
对于函数，把使的实数叫做函数的零点.
说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值.
3.方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为方程问题.这正是函数与方程思想的基础.
4.零点存在性定理 问题
二、观察图象(气温变化图)片段，根据该图象片段，将其补充成完整函数图象，并问：是否有某时刻的温度为0℃?为什么?(假设气温是连续变化的)
意图：通过类比得出零点存在性定理.
给出零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根.
问题
三、不是连续函数结论还成立吗?请举例说明。
在《几何画板》下结合函数的图象说明。
问题
四、若，函数在区间在上一定没有零点吗?
问题
五、若，函数在区间在上只有一个零点吗?可能有几个?
问题
六、时，增加什么条件可确定函数在区间在上只有一个零点?
在《几何画板》下结合函数的图象说明问题
四、
五、六。
意图：通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理.
5.例题：求函数的零点的个数.
问题
七、能否确定一个区间，使函数在该区间内有零点.
问题
八、该函数有几个零点?为什么?
意图：通过例题分析，学会用零点存在性定理确定零点存在区间，并且结合函数性质，判断零点个数的方法.
六.目标检测设计
1.已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点?为什么?
x
1 2 3 4 6 10
f (x) 20 -5.5 -2 6
-3
2.函数在区间[-5，6]上是否存在零点?若存在，有几个?
3.利用函数图象判断下列方程有几个根
(1)
(2)
4.指出下列函数零点所在的大致区间
(1)
(2)
最后，师生共同小结(略)
思考题：函数的零点在区间内有零点，如何求出这个零点?设计意图：为下一节二分法的学习做准备.
推荐第5篇：“方程的根与函数的零点”教学反思
《方程的根与函数的零点》教学反思
巴里坤县第三中学教师 李晓莹
本节是在学习了前两章函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与对应方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供基础。因此本节内容具有承上启下的作用，非常重要。表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生真正理解，在教学设计和难点突破上需要下足够的功夫，教学过程中还需要妥善处理其中的一些问题。所以，我在教法上，以问题为纽带，用问题引出内容，激发学生积极主动地进行探索；同时向学生渗透数学思想方法；渗透问题意识，培养学生发现问题、解决问题的能力以及采用“提出问题——引导探究——得出结论——讲练结合”的教与学模式。本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习．如，函数零点与方程根之间的联系是这节课的一个重点，为了突破这一重点，在教学中利用多媒体教学，调动了学生学习的积极性，准确、直观、易于学生理解，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验知识的形成过程，变静态教学为动态教学。
一、新课的引入
本堂课是用对实际问题的探讨来引入函数的零点，通过这样一个问题激发学生的学习兴趣，由直观过渡到抽象，更符合学生的认知过程，在评课的时候，这一点也获得了听课老师的一致好评。再复习巩固一元一次方程和一元二次方程的解法，由学生已掌握的知识入手，创设熟悉环境，引导进入本课状态。接着让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数的零点，再来理解其他复杂的函数的零点就会容易一些。围绕怎样判断所给方程是否有实根来提出问题，并且，利用了教材中的方程提出了下列问题：方程x2－2x－3＝0是否有实根？你是怎样判断的？结果，大家对如何解一元二次方程早就熟练了，快速解决了问题。由此看来，这堂课一开始引入熟悉的例子，最能激发学生的学习积极性，并让其认识到学习函数的零点的必要性。
二、重难点的突破
零点存在性定理是本节课的难点和重点，教学设计的好坏直接关系到学生对本节课的学习效果。因此，从“一个函数是否有零点，就是看它的图象与x轴是否有交点。那么，我们又如何判定一个函数的图象与x轴是否有交点呢？”的提问入手，引出零点存在条件的探究。给出6个问题：问题
1、2是学生熟悉的一元一次方程和一元二次方程求根，问题
3、4是方程的根和函数图象与x轴的交点之间有何联系与区别，问题
5、6上升到抽象连续函数y=f(x)在区间（a,b）内一定有零点的条件。引导学生一边画草图，一边思考，总结规律：函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点。要判断函数f(x)在（a，b）内是否有零点（教材对于函数f(x)在（a，b）内有零点，只研究函数f(x)的图象穿过x轴的情况），应该先观察函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，再证明是否有f(a)f(b)
三、教学内容结构，突出思想方法
首先要通过把握教材内容结构来设计教学框架，然后根据教学框架来考虑需要突出的思想方法。本节课按照下列主线来展开教学：
（一）如何引导学生将复杂的问题简单化，并学会从已有认知结构出发由特殊到一般地思考问题。
教材设置函数的零点这一内容的目的，就是为了体现函数的应用，为用二分法求方程的近似解奠定基础。所以，教学一开始就从学生熟悉的知识点入手，用方程的求解出发展开讨论，然后引导学生体会其中的思想方法。例当学生陷入困境时，再逐步提出下面的问题进行引导：
1．当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？
以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。 2．以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？
以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。
3．除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？
以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。
（二）怎样突出数形结合的思想方法
数形结合的思想方法几乎贯穿于“基本初等函数”一章的始终，学生通过前面的学习，已基本形成数形结合的思想方法，所以本节教学以培养学生主动运用数形结合的思想方法去分析问题为目的。在建立方程的根与函数的零点的关系时，函数图象起到了关键的桥梁作用，充分体现了它与方程的根以及函数零点之间的数形结合的关系。由学生作出函数图象，让学生回答方程的根与函数图象和x轴的交点有何关系，然后学生自己总结出方程的根、函数图象和x轴的交点、函数的零点之间的关系。这样的教学，在一定程度上也能体现数形结合的思想方法。在这种能够体现思想方法的关键地方，教师要舍得花时间，要让学生由方程自觉地联想到相应的函数，主动地建立方程的根与函数图象间的关系，提升数形结合思想方法的层次，增强函数应用的意识。
（三）如何从直观到抽象
教材是通过由直观到抽象的过程，才得到判断函数f(x)在（a，b）内有零点的一种条件。如何让学生从直观自然地到抽象，有下面几个教学难点需要处理：
1．如何引导学生用f(a)f(b)
教材是先从函数图象出发，让学生通过观察函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，来认识函数f(x)在（a，b）内是否有零点。这是一个直观认识的过程，对学生来说并不困难。然后再让学生认识，f(a)f(b)
2．如何引导学生判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数？
（1）要判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数，可先观察函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴有几个交点，再进行证明。
当观察到函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴的交点个数后，可以在（a，b）内分别选取每个交点周围的一个区间，然后说明函数分别在各个区间只有一个零点。这样，就将判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数转化为判断函数在各个区间内分别只有一个零点。由于f(a)f(b)
（2）要证明函数在某个区间内只有一个零点需要一个循序渐进的过程
证明函数在某个区间内只有一个零点，是一个从图象的直观到抽象的代数证明的理性思维过程。从学生现有的知识积累来看，目前教学应立足从图象直观来认识，对于易于用函数单调性定义证明函数单调性的函数，可要求学生进行代数证明。待学生学习了函数的导数之后，再统一要求学生对所有的函数都进行代数证明。所以，学生对这一问题的认识有一个循序渐进的过程，教师对这一问题的教学需要分阶段提出不同层次的要求，关键是把握好教学的度。
本课的实际教学中还存在着不足: 1.在探究新知识时试图给学生讲授一点关于方程的解的数学史知识，但时间问题，最终舍弃了；
2.想自在的调控课堂而不尽得。我所期望的课堂是学生既自主又合作，既数学又生活的。这需要对数学史与知识点较透彻的理解，这需要语言表达的精确，这些都是我的不足。 3.在课件制作方面还是存在不足，水平不够高，有待提高。 4.在板书方面，板块意识有了，也算工整，但是字迹不够美观。
本节课零点的引入部分可以简化改进，使之更趋合理，零点存在性定理引入部分略显生硬，应该有更艺术的方式。高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任。具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位。函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，应该是本节课必须承载的重要任务。在这一任务的达成度方面，本课还需更突出。另外，课堂上教师怎样引导学生也是值得我深思的一个问题，还有少讲多引方面也是我今后教学中努力的方向。
《方程的根与函数的零点》教学反思
巴里坤县第三中学教师
李晓莹
推荐第6篇：方程的根与函数的零点教学反思
3.1.1 方程的根与函数的零点”教学反思
朱河中学 李丹
“方程的根与函数的零点”是高中课程标准新增的内容，教材用了三个版面（人民教育出版社《普通高中课程标准试验教科书·数学1（必修）A版》P.86—87）介绍本课。从表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生真正理解，在教学设计和难点突破上需要下足够的功夫。实施本节课的教学，得到一些感悟。
一、背景分析
1、学习任务分析
函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在新课程教学中有着不可替代的重要位置.为什么要引进函数的零点?原因是要用函数的观点统帅中学数学,把解方程问题纳入到函数问题中.引入函数的零点,解方程的问题就变成了求函数的零点问题.
就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．即体现了函数与方程的思想,又渗透了数形结合的思想.总之，本节课渗透着重要的数学思想 “特殊到一般的归纳思想” “方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。
2、学生情况分析
学生在学习本节内容之前已经学习了函数的图象和性质,理解了函数图象与性质之间的关系,尤其熟悉二次函数,并且已经具有一定的数形结合思想,这为理解函数的零点提供了直观认识,并为求出零点提供了支持,但学生基础普遍较差，因此在设计导学案的时候，都是以基础为主，没有把函数零点的存在性放在里面，主要是理解函数零点的概念和三者之间的关系，为后面零点的存在性和零点的分布打好基础。而且学生有一定的方程知识的基础,熟悉从特殊到一般的归纳方法,这为深入理解函数的零点及方程的根与函数零点的联系提供了依据.但学生对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程，发现函数的零点造成了一定的难度。因此教学中尽可能提供学生动手实践的机会，让学生亲身体验中掌握知识与方法，充分利用学生熟悉的二次函数图象和一元二次方程通过直观感受发现并归纳出函数零点的概念；在函数零点存在性的判定方法的教学时应该为学生创设适当的问题情境，激发学生的思维引导学生通过观察、计算、作图、思考理解问题的本质。
二、本节课的内容、地位、核心
本节课的内容就是三个“一”：一个概念（函数零点）、一种关系（函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者的等价关系）、一个方法（求函数零点的方法）。它反映了方程与函数的联系，体现了“数”与形的辩证统一，增加了函数的“应用点”，体现了函数应用的广泛性，具体诠释了“数学是有用的”。本节课的核心内容是函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者的关系，从而得到如何求函数零点的方法，这既是本节课的重点又是难点。
三、本节课的成功之处
1.新课的引入
简单介绍了章头话，说明本章的任务——运用函数的思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题。给出三个方程：（1）
；（2）
；（3）
。
为引入新课作铺垫，得到函数零点的概念。函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者的等价关系。
2.难点的突破
学生有一定的方程知识的基础,熟悉从特殊到一般的归纳方法。同时通过一元二次方程的判别式来探讨函数的零点，方程的根以及函数图像与X轴的交点三者之间的关系。逐层铺垫，降低难度由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形．恰当使用信息技术，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程.采用“启发—探究—讨论”教学模式,精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机
3.课堂小结
课堂小结中为了让学生记忆深刻，巩固知识，将本节课的知识点”归结为一首小诗：函数零点方程根，形数本是同根生。读起来朗朗上口，容易记忆，又道出了“函数零点”的定义，数形结合这一重要的的数学思想方法。
三、本节课值得思考之处
1.对学生估计不足，学生面对全校的数学专家，开场时有点怯场，思维受阻，导致一些该引导学生回答的问题，老师代劳了，学生的主体作用未得到充分体现。
2.对现代教育手段的使用，由于能力有限，未能做出精美生动的图形变化来刺激学生的思维，更好地辅助教学。
推荐第7篇：“方程的根与函数的零点”教学反思
“方程的根与函数的零点”教学反思
王巧香
方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，教学还需要妥善处理其中的一些问题。最近，在浙江绍兴听了这一内容的两堂新授课，使用教材都是人民教育出版社《普通高中课程标准试验教科书·数学1（必修）》，课后又与部分学生进行了交流。总的来说，教学效果都不甚理想，暴露出了一些共同的问题，看来具有一定的代表性。下面就两堂课共同存在的问题，谈一点看法。
一、首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性
教材是利用一元二次方程的例子来引入函数的零点。这样处理，主要是想让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数的零点，再来理解其他复杂的函数的零点就会容易一些。但在教学时，就不能照本宣科。
这两堂课的教学都和教材一样，也是利用一个一元二次方程来引入，围绕怎样判断所给方程是否有实根来提出问题。并且，两位教师都利用了教材中的方程提出了下列问题：
方程x2－2x－3＝0是否有实根？你是怎样判断的？
结果，学生的反应都很平淡，大多数人对这个问题都不感兴趣。课后学生认为，大家对如何解一元二次方程早就熟练了，老师没必要再问那么简单的问题了。由此看来，这堂课一开始就应该让学生认识到学习函数的零点的必要性。教师所选择的例子，最好是学生用已学方法不能求解的方程，这样才能激发学生的学习积极性，并让其认识到学习函数的零点的必要性。例如，可以把教材后面的例子先提出来，让学生思考：
方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？
在学生对上述问题一筹莫展时，再回到一元二次方程上，引导学生利用函数的图象和性质来研究方程的根。这堂课的头开好了，整堂课就活了。
二、一元二次方程根的存在是否由其判别式决定
当教师问到一元二次方程x2－2x－3＝0是否有实根时，两个班的学生很快就用根的判别式作出了判断，没有一位学生用方程相应的函数图象进行分析。于是，教师又引导学生作出一元二次方程相应的函数的图象，并建立方程的根与函数图象和x轴交点的联系。值得注意的是，在上述活动中，学生认为，因为一元二次方程根的判别式的大小有三种情况，所以一元二次方程相应的函数图象和x轴的交点就有三种情况。教师不仅对此默认，还在研究了一元二次方程与其函数图象的关系后总结到，虽然我们可以用判别式来判断一元二次方程根的存在，但对于没有判别式的其他方程就可以根据相应的函数图象来判断了。
看来，师生们对一元二次方程根存在的本质原因都不清楚，都误以为是其判别式的大小。如果通过建立一元二次方程与其相应函数图象的关系，没有揭露出方程根存在的本质原因是相应函数的零点的存在，那么就会导致学生对引入函数零点的必要性缺乏深刻的认识，以为结合函数图象并利用f(a)?f(b)的值与0的关系判断方程根的存在只是其中的一种方法或技巧，而认识不到其一般性和本质性。所以，教学在研究一元二次方程与其相应函数图象的关系时，关键要以函数图象为纽带，建立一元二次方程的根与相应函数零点之间的关系，让学生理解方程根存在的本质以及判断方程根存在的一般方法。这样，才能将所得到的判断方程根存在的方法推广到一般情况，并使学生对方程根存在的认识不仅仅停留在判别式或函数图象上。
三、根据图象能否判断函数是否有零点以及零点的个数 尽管两堂课教师都谈到，要判断函数f(x)在（a，b）内是否有零点（教材对于函数f(x)在（a，b）内有零点，只研究函数f(x)的图象穿过x轴的情况），应该先观察函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，再证明是否有f(a)?f(b)
看来，教师有必要引导学生认识证明的必要性。例如，我们可以作出一些特殊函数在不同区间范围的图象，让学生通过观察对比得到认识。
如图1，是计算机所作的某个函数的图象。可以让学生根据图象思考，该函数是否有零点？
在学生作出判断后，再逐步将原点附近的图象放大，得到该函数在其他较小区间范围的多个图象（图2（1）、（2））。然后再问学生，该函数究竟有没有零点？
如图3，是计算机所作的又一个函数的图象。可以让学生根据图象思考，该函数有几个零点？
在学生作出判断后，再逐步将原点附近的图象放大，得到该函数在其他较小区间范围的多个图象（图4（1）、（2））。此时再问学生，该函数究竟有几个零点？
结合上述例子，要让学生知道，我们所作的函数图象只能反映函数一个局部的情况，如果根据一个图象就作出判断可能就会片面。这样，学生自然就会认识到证明的必要性了。
四、教学要把握内容结构，突出思想方法
教师首先要通过把握教材内容结构来设计教学框架，然后根据教学框架来考虑需要突出的思想方法。本节课可以按照下列主线来展开教学：
两位教师对教材内容结构的把握还不到位，课堂教学比较凌乱，对上述三块内容所蕴含的思想方法也没能抓住，主要表现在以下几个方面。
（一）如何引导学生将复杂的问题简单化，并学会从已有认知结构出发由特殊到一般地思考问题 教材设置函数的零点这一内容的目的，就是为了体现函数的应用，为用二分法求方程的近似解奠定基础。所以，教学一开始就应该从学生用已学方法不能求解的方程出发展开讨论，然后引导学生体会其中的思想方法。例如，可以像前面一样先提出：方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？当学生陷入困境时，教师再逐步提出下面的问题进行引导：
1．当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？
以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。 2．以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？ 以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。
3．除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？
以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。
遗憾的是，两位老师都是直接从一元二次方程出发展开讨论，学生就错过了上述这些思想方法的训练。
（二）怎样突出数形结合的思想方法
数形结合的思想方法几乎贯穿于“基本初等函数I”一章的始终，学生通过前面的学习，已基本形成数形结合的思想方法，所以本节教学应该以培养学生主动运用数形结合的思想方法去分析问题为目的。但是，在两堂课中，教师却没有留给学生主动运用数形结合思想方法的空间。
在建立方程的根与函数的零点的关系时，函数图象起到了关键的桥梁作用，充分体现了它与方程的根以及函数零点之间的数形结合的关系。但是，两位教师却没有留给学生足够的时间去主动搭建函数图象这一桥梁，而是由教师作出函数图象，让学生回答方程的根与函数图象和x轴的交点有何关系，然后老师再给出方程的根、函数图象和x轴的交点、函数的零点之间的关系。这样的教学，虽然一定程度上也能体现数形结合的思想方法，但体现的思想层次却很低。在这种能够体现思想方法的关键地方，教师要舍得花时间，要让学生由方程自觉地联想到相应的函数，主动地建立方程的根与函数图象间的关系，提升数形结合思想方法的层次，增强函数应用的意识。
（三）如何从直观到抽象
教材是通过由直观到抽象的过程，才得到判断函数f(x)在（a，b）内有零点的一种条件。如何让学生从直观自然地到抽象，有下面几个教学难点需要处理：
1．如何引导学生用f(a)?f(b)
教材是先从函数图象出发，让学生通过观察函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，来认识函数f(x)在（a，b）内是否有零点。这是一个直观认识的过程，对学生来说并不困难。然后再让学生认识，f(a)?f(b)
（1）我们看到，当函数f(x)的图象穿过x轴时，函数f(x)的图象就与x轴产生了交点。如果不作出函数f(x)的图象，你又如何判断函数f(x)的图象与x轴有交点？
（2）函数f(x)的图象穿过x轴这是几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？
（3）函数f(x)的图象穿过x轴其实就是穿过与x轴的交点周围的部分，比如（a，b）。在区间（a，b）内，如何用代数形式来描述呢？
（4）如果函数f(x)的图象与x轴的交点为（c，0），那么函数f(x)分别在区间（a，c）和区间（c，b）上的值各有什么特点？这对我们用代数形式进行描述有何帮助？
2．如何引导学生判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数
要判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数，可先观察函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴有几个交点，再进行证明。这同样是一个从直观到抽象的过程，教学需要处理好下列两个问题：
（1）如何引导学生说明函数在某个区间内只有一个零点 当观察到函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴的交点个数后，可以在（a，b）内分别选取每个交点周围的一个区间，然后说明函数分别在各个区间只有一个零点。这样，就将判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数转化为判断函数在各个区间内分别只有一个零点。由于f(a)?f(b)
① 可以先给出一些只有一个零点的函数图象（图5）；
②让学生通过观察这些图象，归纳出这些函数具有的共同性质；
③当学生发现这些函数分别在交点周围的一个区间上都单调后，再让学生思考，为什么函数在某个区间上单调则函数在该区间内就只有一个零点？
经过上述从直观到抽象的过程，学生才会真正认识到，为什么可以利用函数的单调性来说明函数在某个区间内只有一个零点。
（2）要证明函数在某个区间内只有一个零点需要一个循序渐进的过程
证明函数在某个区间内只有一个零点，是一个从图象的直观到抽象的代数证明的理性思维过程。从学生现有的知识积累来看，目前教学应立足从图象直观来认识，对于易于用函数单调性定义证明函数单调性的函数，可要求学生进行代数证明。待学生学习了函数的导数之后，再统一要求学生对所有的函数都进行代数证明。所以，学生对这一问题的认识有一个循序渐进的过程，教师对这一问题的教学需要分阶段提出不同层次的要求，关键是把握好教学的度。
从两堂课的教学情况来看，两位教师都没能抓住上述内容所蕴含的思想方法来设计教学，而是直接将结论灌输给学生，让学生失去了合适的思维训练和思想方法提升的机会。
方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，第一次教学就要取得成功的确不易。看来，像这些中学新增内容的教学，需要一个不断实践以及实践后的反思的过程，在实践与反思的过程中，不仅要妥善解决上述问题，还要不断地发现和解决新的问题，这样，教学效果才会逐步得到改善。
推荐第8篇：方程的根与函数的零点教学反思
方程的根与函数的零点教学反思
通过本节课的教学实践，我感觉学生对方程和函数之间的关系有了进一步的理解，通过对具体函数与方程之间关系的分析到对一般函数和方程之间关系的分析，使学生真正理解了方程的根、函数的图像与轴交点的横坐标和函数的零点是一个值在不同环境下的不同称呼，更使学生能够利用不同的方法判断函数的零点。通过生活实例让学生自主探究出函数零点存在的判定条件，突破本节课的难点，并能利用存在定理判断函数在区间是否有零点及零售的个数，体现出数学与生活的紧密联系，是自然的。这样基本达到本节课的教学目标，学生在自己思考或讨论或探究问题的过程中基本能得到正确的结果，对问题的解决能力有所提高。
存在的问题是，本节课因为教学容量过大，时间过紧，结束部分处理的比较仓促；在学生探究讨论部分，教师干预过多，留给学生思考的空间及时间稍显不足；在板书环节由于对黑板的不适应导致板书不够美观，感到很遗憾。
推荐第9篇：方程的根与函数零点的说课稿
“方程的根与函数的零点”说课稿各位老师，你们好！ 我说课的课题是 “方程的根与函数的零点” 说课内容分为六个部分， 首先对教材进行简要分析
一、教材分析
方程的根与函数的零点是普通高中课程标准实验教科书必修数学 1 数学（A 版）第三章第一节 第一课时的内容，学生学习了基本初等函数的图象和性质以及一元二次方程根的求解方法为本节奠 定了基础，本节课有着承上启下的作用，且承载建立函数与方程数学思想的任务；同时本课的内容 将为下一节用二分法求方程的近似解提供了理论依据。方程的根与函数的零点在高考中一般以选择 题或填空题的形式出现，且一般与其他知识点结合起来进行考查，像 20xx年全国及各省高考考查函 数与导数的题目中大约有 5%涉及到函数的零点，所以本节是函数的应用内容中的基础及重点之一。
二、教学目标
根据上述教材分析，结合课程标准的要求，本节课的教学目标为以下三个方面： 1．知识与技能目标 理解函数零点的概念；领会函数零点与相应方程的关系，掌握零点的存在条件；掌握函数在某 个区间上存在零点的判定方法。
2.过程与方法目标 让学生经历探究函数零点与方程根的联系和函数在某区间存在零点的判别方法，使学生领悟方 程与函数的区别与联系，进一步体会数形结合方法。
3.情感态度与价值观目标 通过探究过程逐步形成用函数处理问题的意识。
三、教学重点、难点
为了实现上述教学目标，根据上述教材分析，结合内容特点，本节课的教学重点是函数的零点 与方程的根之间的联系，函数零点在某区间存在性的判定方法 重点 函数的零点与方程的根之间的联系，函数零点在某区间存在性的判定方法 由于高中生年龄特点及现阶段的认知能力，通过函数图象的直观认识得到其中所蕴含的某种性 质具有一定的难度，所以本课的教学难点是函数在某区间存在零点的判别方法。
难点 函数在某区间存在零点的判别方法。
四、教法与学法
针对教学内容的特点结合高中生具有探究原理心理愿望和有一定逻辑推理能力的特点，我采用 探究式的教学模式。在教学过程中通过数形结合的方法，并按照由特殊到一般的认知过程，突出教 学重点；运用实例的探究分析来突破教学难点。
根据以上的分析，我的教学过程是：
五、教学过程
1.导入 首先，我将一同与学生回顾以前所学习的一元二次方程根个数的判定方法。即根的判别式 ? ， 以此来引起学生的求知欲。
接下来我将向学生提出问题：一元二次方程根与相应二次函数图象之间有什么关系，先让学生 思考一下。2.新课教学 为了解决这个问题我将利用三个具体实例： ① ② ③x2 ? 2x ? 3 ? 0x2 ? 2x ?1 ? 0x2 ? 2x ? 3 ? 0 且它们的 ? 值分别是大于零、等于零、小于零的情况。为了突出重点，我将一同与学生对第一个方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 进行探讨。结和函数图象。通过与学生一同对方程根的求解和二次函数的观察得到当 ? ? 0 时一元二次方程的根就是 相应二次函数与 x 轴交点的横坐标。
然后利用这种方法类比分析第二个和第三个方程，总结归纳以上三个方程得到一元二次方 程的根就是相应二次函数与 x 轴交点的横坐标。
2 接下来再与学生继续来分析第一个方程，通过函数 y ? x ? 2 x ? 3 当 y ? 0 时即得到了其对应的方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,与学生共同进行探讨，并且将函数对应方程的根叫做函数的零点，即引出本节课所要学习的函数零点的概念——函数零点为其对应方程的根。
进一步与学生对函数零点进行分析，结合之上的三个具体的实例以及函数零点的概念得到 函数零点的存在条件，即假设方程 f ( x) ? 0 有实数根可以得到其对应的函数 y ? f (x) 的图象 与 x 轴有交点，同时等价于函数 y ? f (x) 有零点。
为了加深学生对函数零点概念的理解和掌握，我将让学生求解上一章所学习的指数函数y ? a x 和对数函数 y ? loga x （其中 0 ? a ? 1或a ? 1）的零点，通过这个课堂练习，使学生进一步回顾上一章所学习的指数函数和对数函数的相关性质，体会了知识之间的联系。
为了使学生对函数零点进行进一步的认识，我将假设函数 y ? f (x) 的图象在区间 ?a, b? 是 一条连续不断的曲线，且区间端点的函数分居以 x 轴的两侧，形如：引导学生分析，区间端点的函数分居以 x 轴的两侧，即说明 f (a )、f (b) 的函数值异号， 从而得到 f (a) ? f (b) ? 0 ，同时结合函数图象的分析可以得到函数图象在区间 ?a, b? 内一定得穿过 x 轴，由函数零点的概念得函数在区间 ?a, b? 内一定存在零点，引导学生总结得到函数在某 区间存在零点的判定方法。即函数 y ? f (x) 的图象在区间 ?a, b? 是一条连续不断的曲线，且有f (a) ? f (b) ? 0 ，则有函数在区间 ?a, b ? 内一定存在零点。为了加深学生对判定条件的理解， 我将利用学生所熟知的二次函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在区间?? 2,1? 和 ?2,4?进行探究，同时提出疑问：对于函数 y ? f (x) 的图象在区间 ?a, b? 是一条连续不 断的曲线，若函数在区间 ?a, b ? 内存在零点，是否一定有 f (a) ? f (b) ? 0 呢？带着疑问我将与学生共同探究二次函数 y ? x 2 ? 2 x ? 1 ，得到判定条件的一个注意事项， 即对于函数 y ? f (x) 的图象在区间 ?a, b? 是一条连续不断的曲线，若函数在区间 ?a, b ? 内存在 零点，不一定有 f (a) ? f (b) ? 0 。
3.例题 为了加深学生对本节课知识的掌握，我将共同与学生对教材中的例题一进行探讨，例一为 了求函数零点的个数。通过例题一的探究，加深了学生对函数零点概念和存在条件的理解，引 导学生得出要求函数零点的个数可以通过函数图象与 x 轴的交点个数得到，并且让学生体会函 数在某区间存在零点的判定条件。
4.小结 为了使学生对本节课的知识形成一个系统的知识，我将带领学生对本节课进行小结，与学 生一同回顾本节课所学习的函数零点的概念及其存在条件，以及函数在某区间存在零点的判定 条件。
5.作业 为了巩固本节课的知识， 加深学生对函数零点的理解， 我将教材 P8
8、2 布置为课外作业。
六、板书设计
最后根据本节课的教学内容，按照中学黑板结构，将板书设计如下： 3.1.1 方程的很与函数的零点y=ax y=logax2．零点的存在条件 方程根与函数图象的分 3． 判定方法 小结 作业： 我说课的内容到此为止，请各位老师批评指正，谢谢！ 析分享到: 分享到： 使用一键分享，轻松赚取财富值， 嵌入播放器：普通尺寸(450*500pix)较大尺寸(630*500pix)
推荐第10篇：《方程的根与函数的零点》教案设计
《方程的根与函数的零点》教案设计
1、教学设计的理念
本节课以提升数学核心素养的为目标任务，树立学科育人的教学理念，以层层递进的“问题串”引导学生学习，运用从特殊到一般的研究策略，进行教学流程的 “再创造”，积极启发学生思考。
2、教学分析
在本节课之前，已经学习了函数概念与性质，研究并掌握了部分基本初等函数，接下来就要研究函数的应用。函数的应用，教材分三步来展开，第一步，建立一般方程与相应的函数的本质联系.第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，进一步体现函数与方程的关系.第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系.
3、教学目标
（1）经历函数零点概念生成过程，理解函数的零点与方程的根之间的本质联系；
（2）经历零点存在性定理的发现过程，理解零点存在定理，会判断函数在某区间内是否有零点；
（3）积极培养学生良好的学习习惯，提升数学核心素养。
4、教学重点、难点
教学重点：零点的概念及零点存在性的判定。
教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。
5、教学过程
环节一：利用一个学生不能求解的方程来创设问题情境，激发学生的求知欲，引导学生将复杂的问题简单化，从已有认知结构出发来思考问题
环节二：建立一元二次方程的根与相应二次函数图象的关系，突出数形结合的思想方法，并引导学生从特殊到一般，得到方程的根与相应函数零点的本质联系
环节三：利用二次函数的图象与性质，从直观到抽象，具体到一般，得到判断函数零点存在的充分条件（即函数的零点存在性定理）
环节四：学会判断函数在某区间内是否存在零点
教学过程与操作设计： 环节
教学内容设置 师生双边互动 创
设
情
境
《方程的根与函数的零点》教学设计先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： 方程与函数 方程与函数 方程与函数
师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．
组
织
探
究
二次函数的零点： 二次函数
．
１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点． ２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．
师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？
环节
教学内容设置 师生双边互动 组
织
探
究 函数零点的概念：
对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．
函数零点的意义：
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标． 即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
函数零点的求法： 求函数的零点：
（代数法）求方程的实数根；
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．
生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：
代数法；
几何法．
环节
教学内容设置 师生互动设计 探 究 与 发 现
零点存在性的探索：
（Ⅰ）观察二次函数的图象：
在区间上有零点______； _______，_______, ·_____0（＜或＞）．
在区间上有零点______； ·____0（＜或＞）．
由以上探索，你可以得出什么样的结论？
怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．
生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，形成结论．
师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系． 环节
教学内容设置 师生互动设计 例 题 研 究
例1．求函数的零点个数． 问题：
1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？
《方程的根与函数的零点》教学设计
师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．
6、小结与反馈：说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤．
第11篇：方程的根与函数零点的教案设计
用几何图形巧解向量问题
北京市垂杨柳中学 刘占峰
一、教材分析
本节是在复习完必修4第2章平面向量的概念、运算、坐标及应用整章知识后的一堂专题研讨课．教材一直坚持从数和形两个方面建构和研究向量．如向量的几何表示，三角形，平行四边行法则让向量具备形的特征，而向量的坐标表示，和坐标运算又让向量具备数的特征．所以我们在研究向量问题或用向量解决问题时，应具备数形结合思想．本节课让学生感受到数形结合在解题中的魅力，体会向量的工具性，因此本节课既是对前面所学的向量知识的巩固也为以后学生运用向量来解决数学问题奠定了基础，起到了承上启下的作用．
二、教学目标
根据上面对教材的分析，依据教学大纲的要求和新课程的教学理念并结合学生的认知水平和思维特点，确定本节课的教学目标：
知识目标：能根据向量的线性运算及相关条件构造恰当的几何图形，解决向量有关问题．
情感目标：感受到数形结合在解题中的魅力，体会向量的工具性．
能力目标：提高运用数形结合思想、转化思想解决问题的能力．
三、教学重点和难点
根据本节课的作用制定了教学重点是：通过平面几何图形性质与向量运算法则的有机结合，构造恰当的几何图形解决向量问题；渗透数形结合思想，转化思想；提高学生的构造能力和对所学知识的整合能力．
根据学生的实际情况制定了教学难点是：如何构造恰当的几何图形．
四、教学手段和主要教学方法及学法
教学方法：采用引导对比法、启发式探索讨论相结合的教学方法．
教学手段：运用学案、借助几何画板和实物投影来辅助教学．
通过探究、启发、引导学生对于用数的方法和形的方法来解向量问题形成对比，体会到用形的好处，培养用图的意识；采用启发式讲解、互动式讨论及操作的授课方式，培养学生的分析与解决问题的能力；借助几何画板、实物投影的辅助教学，达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学氛围．
学情分析：我任教的两个文科班学生的学习愿望强烈、学习习惯较好，但是理解能力，空间想象能力，思维能力等方面良莠不齐．
解决措施： 根据学生的不足和本节课的难点，设置了用几何图形对向量六个基本关系的描述，更通过试一试来搭台阶及能力提高的环节使学生学会对所学的基本知识的迁移和整合．
五、教学过程
1．探究引入
探究：（05年北京）若
，
，
且
，求与
的夹角．
设计意图：这道北京高考题既可以用数的方法求解，也可用形的方法求解．通过比较两种解法的优劣让学生感受数形结合的简捷美．更通过此题引出本节课的课题《用几何图形巧解向量问题》
已知：平面内任意两个非零的不共线向量、（1） （4）； （5）
； （6）
． ； （2）
；
（3）
；
，用几何图形描述下列运算关系．
设计意图：学生用数形结合解决向量问题，最大的困难在于如何根据提议挖掘隐含条件构建恰当的几何图形，因此设计了这六个基本运算关系的向量表示，帮助学生在此基础上提高构图的能力，从而达到突破教学难点的目的．另外这六个题让学生从具体实例中发现结论．符合学生认知规律，并在结论的发现过程中培养学生的思维能力．
2．讲练结合
试一试：
（1）已知非零向量、，的夹角为________．
（2）若非零向量、
A .
B.
C .D .
满足
，则( )
，则
_________，
与
（3）已知向量与
（4）设、
的夹角为，，
，
则__________．
、满足,,,，则____________．
设计意图：这四个题是对前面所介绍的六个图形的迁移与整合，培养学生的构图意识，提高学生的构图能力；处理方式采用学生相互协作在学案上完成构图，并用实物投影演示，教师点评，培养学生动手操作能力和合作，探究意识．也为下面的能力提高作铺垫．
能力提高
（１）若、
（２）已知向量
变式：若_____________．
（3）(2005浙江)已知向量（ ）．
A． B．
C．
D．
，
，对任意
，恒有
，则
，
，则
的最大值为
，
，则求
的最大值． 都是单位向量，则
的取值范围是______________．
设计意图：此组题既能从数的角度解之，也能从形的角度解之．从数的角度能达到复习向量基础知识、基本方法的目的，但运算量较大，从形的角度达到复习向量几何运算和培养学生构图能力的目的，让学生感受数形结合方法的简捷，激发学生的学习热情．更通过试一试和能力提高达到了突出重点的目的．
3．巩固检测
（1）已知向量
（2）求与向量
和
，求
的值
夹角相等，且模为的向量的坐标．
设计意图：通过几分钟的检测再现本节课的重难点，以此来反馈学生对本节课的掌握情况．
4 ．小结
通过数形结合研究向量问题：
（1）要关注向量的大小（模）
（2）要关注向量的方向（夹角）．
（3）要关注自由向量的可平移性．
（4）构造几何图形解决问题是手段．
启发、引导学生归纳总结，一方面了解学生对本堂课的接受情况，另一方面培养学生的归纳总结能力．使知识系统化，条理化．
5．作业
◆ 必做题：
（1）已知
（2）设向量_________．
、
，向量与的夹角为，则___________．
、满足，且，，则
（3）已知是平面内的单位向量，若向量
（4）设非零向量、、满足
◆ 选做题：
，
满足，则的取值范围．
，则与的夹角为__________．
（5）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足
，则点
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
◆ 思考题：
（6）你能用向量形式给出点O是
的轨迹一定通过的（ ）．
的四心（即垂心，重心，内心，外心）的条件吗？
设计意图：通过作业中的分层变式训练，巩固所学概念，发现和弥补教与学中的遗漏和不足，强化基础技能训练，提高分析问题、解决问题能力，通过分层满足不同层次学生需要，符合因材施教原则．从而达到培养学生养成“题后思考”的习惯和提高数学能力的效果．
六、板书设计
第12篇：《方程的根与函数的零点》说课稿
3.1.1方程的根与函数的零点教学设计说明
各位尊敬的老师，下午好。今天我说课的题目是《方程的根与函数的零点》。下面我将从教材的地位与作用、学情分析，教学目标与重难点分析，教法和学法指导、教学过程设计五个方面来阐述我对本节课的构思。
【教材的地位与作用】
本节课是选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章第一节。函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。
本节是函数应用的第一课，学生在系统地掌握了函数的概念及性质，基本初等函数知识后，学习方程的根与函数零点之间的关系，并结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个去件上存在零点的判定方法。为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供了基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要．
对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。 【教材目标】
根据本课教学内容的特点以及新课标对本节课的教学要求，考虑学生已有的认知结构与心理特征，我制定以下教学目标：
（一）认知目标：
1．理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系 ，学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题；
2．理解零点存在条件，并能确定具体函数存在零点的区间．
（二）能力目标：
培养学生自主发现、探究实践的能力．
（三）情感目标：
在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值
【教材重难点】
本着新课程标准的教学理念，针对教学内容的特点，我确立了如下的教学重点、难点： 教学重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件及应用．
教学难点：探究发现函数零点的存在性.【教法分析】充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.指导学生比较对照区别方程的根与函数图象与X轴的交点的方法，指导学生按顺序有重点地观察函数零点附近的函数值之间的关系的方法，并比较采用 “启发—探究—讨论”式教学模式.这样的教法有利于突出重点——函数的零点与方程的根之间的联系与零点存在的判定条件及应用
【学法分析】
1．通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。对于函数零点的概念本质的理解，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。 【教学过程】
（一）创设情景，提出问题
1 由简单到复杂，使学生认识到有些复杂的方程用以前的解题方法求解很不方便,需要寻求新的解决方法，让学生带着问题学习，激发学生的求知欲．
以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系。培养学生的归纳能力。理解零点是连接函数与方程的结点。
（二）启发引导，形成概念
利用辨析练习，来加深学生对概念的理解．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点.
引导学生得出三个重要的等价关系，体现了“化归”和“数形结合”的数学思想，这也是解题的关键 ．
（三）初步运用，示例练习
巩固函数零点的求法，渗透二次函数以外的函数零点情况．进一步体会方程与函数的关系．
（四）讨论探究，揭示定理
通过小组讨论完成探究，教师恰当辅导，引导学生大胆猜想出函数零点存在性的判定方法.这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程.函数零点的存在性判定定理，其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解作好知识上和思想上的准备。
（四）讨论辨析，形成概念
引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用，并通过特殊图象来帮助学生理解,将抽象的问题转化为直观形象的图形，更利于学生理解定理的本质．定理不需证明，关键在于让学生通过感知体验并加以确认，有些需要结合具体的实例，加强对定理进行全面的认识，比如定理应用的局限性，即定理的前提是函数的图象必须是连续的，定理只能判定函数的“变号”零点；定理结论中零点存在但不一定唯一，需要结合函数的图象和性质作进一步的判断。定理的逆命题不成立．
（五）观察感知，例题学习
引导学生思考如何应用定理来解决相关的具体问题，接着让学生利用计算器完成对应值表，然后利用函数单调性判断零点的个数，并借助函数图象对整个解题思路有一个直观的认识.
（六）知识应用，尝试练习
对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，同时反映教学效果，便于教师进行查漏补缺.
（八）课后作业，自主学习
巩固学生所学的新知识，将学生的思维向外延伸，激发学生的发散思维
第13篇：校内公开课《方程的根与函数的零点》教学设计
校内公开课《方程的根与函数的零点》
教学设计
校内公开课《方程的根与函数的零点》教学设计
海口海港学校 黄于芮
一、教学目标
（1）知识与技能：
结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。
（2）过程与方法：
培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。
（3）情感态度与价值观：
在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。
二、教学重难点
重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念
难点：函数零点与方程根之间的联系
三、教法学法
以问题为载体，学生活动为主线，以多媒体辅助教学为手段利用探究式教学法，构建学生自主探究、合作交流的平台
四、教学过程
1．创设问题情境，引入新课
问题1求下列方程的根
（1）（2）（3）
师生互动:问题1让学生通过自主解前3小题，复习一元二次方程根三种情形。
问题2填写下表，探究一元二次方程的根与相应二次函数与x轴的交点的关系？
师生互动:让学生自主完成表格，观察并总结数学规律
问题3 完成表格，并观察一元二次方程的根与相应二函数图象与x轴交点的关系？
师生互动:让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。
2．建构函数零点概念
函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
思考：
（1）零点是一个点吗？
（2）零点跟方程的根的关系？
(3)请你说出问题2中3个函数的零点及个数？（投影问题2的表格）
师生互动:教师逐一给出3个问题，让学生思考回答，教师对回答正确学生给予表扬，不正确学生给予提示与鼓励。
3．知识的延伸，得出等价关系
(1)方程f(x)=0有实数根(2)函数y=f(x)有零点(3)函数y=f(x)的图象与x轴有交点
师生互动:分析等价性：（1）、（2）两个命题的等价是从数的角度来刻画，第（3）个命题是从形的角度来刻画。基于此，我们就可用函数的观点看待方程，方程的根即函数的零点，可以把解方程的问题转化为函数图像与x轴的交点问题。
4．练习巩固
练习1：函数 的零点是（ ）
A.(-2，0)和(3，0) B.-2 C.3 D.-2和3
练习2：求下列函数的零点。
练习3：根据函数图象判断下列函数有几个零点？
5、归纳小结
请你谈谈本节课的收获？
（1）、函数零点的概念
（2）、三个等价关系
师生互动:让学生自己对本课进行小结，教师对学生的小结给予肯定并补充完善。
布置作业，学以致用
必做题:
1、求函数：y=-x2+6x+7的零点
2、方程的解所在的区间是 （ ）
A．
0，1） B．（1，2） C．2，3）．（3，4）（（ D
第14篇：3.2 方程的根与函数的零点 教学设计 教案
教学准备
1. 教学目标
1．知识与技能
①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，掌握零点存在的判定条件．
②培养学生的观察能力． ③培养学生的抽象概括能力． 2．过程与方法
①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．
②让学生归纳整理本节所学知识． 3．情感、态度与价值观
在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
2. 教学重点/难点
重点 零点的概念及存在性的判定． 难点 零点的确定．
3. 教学用具
多媒体
4. 标签
方程的根与函数的零点
教学过程 (一)创设情景，揭示课题
1、提出问题：一元二次方程的图象有什么关系？
(a≠0)的根与二次函数2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： （用投影仪给出） ①方程②方程 ③方程
与函数与函数与函数
1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和关系，引出零点的概念．
轴交点坐标的生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流． 师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？
（二） 互动交流
研讨新知 函数零点的概念： 对于函数
，把使的零点．
成立的实数
叫做函数函数零点的意义：
函数的零点就是方程轴交点的横坐标． 即：方程有实数根有零点． 函数零点的求法： 求函数的零点：
的实数根；
的图象联
函数
的实数根，亦即函数
的图象与
的图象与轴有交点函数①（代数法）求方程②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数系起来，并利用函数的性质找出零点． 1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法． 生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法： ①代数法；
②几何法．
2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．
二次函数的零点：二次函数
轴有（１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与两个交点，二次函数有两个零点．
（２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （３）△＜０，方程二次函数无零点． 3．零点存在性的探索： （Ⅰ）观察二次函数① 在区间上有零点______；
_______，·② 在区间·
_______,
图象：
无实根，二次函数的图象与
轴无交点，_____0（＜或＞＝）． 上有零点______； ____0（＜或＞＝）．
的图象 （Ⅱ）观察下面函数
① 在区间上______(有/无)零点； ·② 在区间·③ 在区间·_____0（＜或＞＝）．
上______(有/无)零点； _____0（＜或＞＝）．
上______(有/无)零点； _____0（＜或＞＝）．
由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？
怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？ 4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．
师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．
生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．
师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．
（三）、巩固深化，发展思维 1．学生在教师指导下完成下列例题
例
1、求函数f(x)=㏑x＋2x －6的零点个数。 问题：
（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？ 例2．求函数
，并画出它的大致图象．
师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数． 2．P88页练习第二题的（1）、（2）小题
课堂小结
1． 请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些；
2． 在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出.
课后习题
板书
第15篇：教学案例《方程的根与函数的零点》（推荐）
《方程的根与函数的零点》教学案例
肃南一中
程斌斌
一、教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第94-95页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。 函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。 就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数” 思想。
总之，本节课渗透着重要的数学思想 “特殊到一般的归纳思想” “方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。
二 学生学习情况分析
地理位置：学生大多来自基层，学生接触面较窄，个性较活跃，所以开始可采用竞赛的形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精神相差较大，所以可适当对知识点进行拓展。
程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高的学生占少数。
知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂。因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系。
三、设计思想
教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣 教学原则：注重各个层面的学生 教学方法：启发诱导式
四、教学目标 以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。
五、教学重点难点
重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。 难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。
六、教学程序设计
1.方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索 1.1方程的根与函数的零点 问题1：解方程（比赛）：①6x－1=0 ；②3x2＋6x－1=0 。 再比赛解3x3＋6x－1=0
设计意图：问题1（产生疑问，引起兴趣，引出课题）
比赛模式引入，调动积极性，可根据学分评定中进行过程性评定加分奖励，充分调动学生积极性和主动性。
第三题学生无法解答，产生疑惑引入课题：教师介绍说一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如 3x5＋6x－1=0 紧接着介绍阿贝尔（挪威）定理（五次及高于五次的代数方程没有一般的代数解法），伽罗瓦（法国）的近世代数理论，提出早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法，振奋学生的民族自豪感，最后引出人们一直在研究方程的近似解方法二分法引入课题。
问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图7-1 方程与函数 方程与函数 方程与函数
图7-1 [师生互动] 师：教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念。 零点概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的。 师：填表格 函数
函数的零点
方程的根
生：经过独立思考，填完表格
师提示：根据零点概念，零点是点吗？零点与函数方程的根有何关系？ 生：经过观察表格，得出第一个结论
师再问：根据概念，函数y＝f（x）的零点与函数y＝f（x）的图象与x轴交点有什么关系 生：经过观察图像与x轴交点完成解答，得出第二个结论 师：概括总结前两个结论（请学生总结）。 1）概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。例如函数的零点为x=-1,3 2）函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标． 3）方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。 师：引导学生仔细体会上述结论。
再提出问题：如何并根据函数零点的意义求零点？ 生：可以解方程而得到（代数法）； 可以利用函数的图象找出零点．（几何法） 问题2一方面让学生理解函数零点的含义，另一方面通过对比让学生再次加深对二者关系的认识，使函数图象与x轴交点的横坐标到函数零点的概念转变变得更自然、更易懂。通过对比教学揭示知识点之间的密切关系。
问题3：是不是所有的二次函数都有零点？ 师：仅提出问题，不须做任何提示。
生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论． 二次函数的零点：看△
１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点． ２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点． 第一阶段设计意图
本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路。进而培养学生归纳总结能力。 1.2零点存在性的探索 [师生互动] 师：要求生用连续不断的几条曲线连接如图4 A、B两点，观察所画曲线与直线l的相交情况，由两个学生上台板书：
．A
a
b l ．B
图4
生：两个学生画出连接A、B两点的几条曲线后发现这些曲线必与直线l相交。
师：再用连续不断的几条函数曲线连接如图A、B两点，引导学生观察所画曲线与直线l的相交情况，说明连接A、B两点的函数曲线交点必在区间 (a，b) 内。 生：观察下面函数f（x）＝0的图象（如图5）并回答 图5 ①区间[a，b]上______(有/无)零点；f（a）·f（b）_____0（＜或＞）。 ②区间[b，c]上______(有/无)零点；f（b）·f（c）_____0（＜或＞）。 ③区间[c，d]上______(有/无)零点；f（c）·f（d）_____0（＜或＞）。
师：教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系。
生：根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论）
一般地，我们有：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）
教师引导学生探索归纳总结函数零点存在定理，培养归纳总结能力和逻辑思维 2.例范研究
例1.已知函数f（x）= －3x5－6x＋1有如下对应值表： x －2 －1.5 0 1 2
f（x） 109 44．17 1 －8 －107
函数y＝f（x）在哪几个区间内必有零点？为什么？ 设计意图通过本例引导探索，师生互动
探求1：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）>0时，函数在区间（a，b）内没有零点吗? 探求2：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）
探求3：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）
师：总结两个条件：
1）函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线 2）在区间[a，b]上有f（a）·f（b）
f（x）在区间[a，b]内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点 补充：什么时候只有一个零点？
（观察得出）函数y＝f（x）在区间[a，b]内单调时只有一个零点 例2．求函数的零点个数．问题：
1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？ 第三阶段设计意图：
教师引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用,应用例1，例2加深对定理的理解
3.练习尝试(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整) 1．求函数，并画出它的大致图象．
2．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1）；（2）；
3．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间： （1）；（2）； [师生互动] 师：多媒体演示；结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用． 生：建议学生使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为下一节的用二分法求方程的近似解做准备。
第四阶段设计意图：利用练习巩固新知识，加深理解，为用二分法求方程的近似解做准备 4.探索研究(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整) 讨论：请大家给方程的一个解的大约范围，看谁找得范围更小？ [师生互动] 师：把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，发挥其主观能动性。也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激发学生学习潜能和热情。老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间大小情况。 生：分组讨论，各抒己见。在探究学习中得到数学能力的提高 第五阶段设计意图：
一是为用二分法求方程的近似解做准备
二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到上述目的。5.课堂小结： 零点概念
零点存在性的判断
零点存在性定理的应用注意点：零点个数判断以及方程根所在区间 6.作业回馈 教材P108习题3．1（A组）第
1、2题；思考：总结函数零点求法要注意的问题；思考可以用求函数零点的方法求方程的近似解吗？ 教学程序设计框图：
七、教学反思
本设计遵循了由浅入深、循序渐进的原则，分三步来展开这部分的内容。第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，体现函数与方程的关系。第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系。本节只是函数与方程的关系建立的第一步，教学中忌面面具到，延展太深。
恰当使用信息技术：本节的教学中应当充分使用信息技术。实际上，一些内容因为涉及大数字运算、大量的数据处理、超越方程求解以及复杂的函数作图，因此如果没有信息技术的支持，教学是不容易展开的。因此，教学中会加强信息技术的使用力度，合理使用多媒体和计算器。
第16篇：方程根与函数的零点教学设计__王明[1]
《方程根与函数的零点》教学案例
——新课程改革下的教学模式
高一年级
王数学组
明方程根与函数的零点教学案例
【教材的地位与作用】
本节课是选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章第一节。函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。
本节是函数应用的第一课，学生在系统地掌握了函数的概念及性质，基本初等函数知识后，学习方程的根与函数零点之间的关系，并结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个去件上存在零点的判定方法。为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供了基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要．
对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。 【学情分析】
1．通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。对于函数零点的概念本质的理解，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。 【教材目标】
根据本课教学内容的特点以及新课标对本节课的教学要求，考虑学生已有的认知结构与心理特征，我制定以下教学目标：
（一）认知目标：
1．理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系 ，学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题；
2．理解零点存在条件，并能确定具体函数存在零点的区间．
（二）能力目标：
培养学生自主发现、探究实践的能力．
（三）情感目标：在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值
【教材重难点】
本着新课程标准的教学理念，针对教学内容的特点，我确立了如下的教学重点、难点：
教学重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件及应用．
教学难点：探究发现函数零点的存在性. 【教法分析】充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.指导学生比较对照区别方程的根与函数图象与X轴的交点的方法，指导学生按顺序有重点地观察函数零点附近的函数值之间的关系的方法，并比较采用 “启发—探究—讨论”式教学模式.这样的教法有利于突出重点——函数的零点与方程的根之间的联系与零点存在的判定条件及应用 【教学过程】
（一）创设情景，提出问题
由简单到复杂，使学生认识到有些复杂的方程用以前的解题方法求解很不方便,需要寻求新的解决方法，让学生带着问题学习，激发学生的求知欲．
以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系。培养学生归纳能力。理解零点是连接函数与方程的结点。
（二）启发引导，形成概念
利用辨析练习，加深学生对概念的理解．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点. 引导学生得出三个重要的等价关系，体现了“化归”和“数形结合”的数学思想，这也是解题的关键 ．
（三）初步运用，示例练习
巩固函数零点的求法，渗透二次函数以外的函数零点情况．进一步体会方程与函数的关系．
（四）讨论探究，揭示定理
通过小组讨论完成探究，教师恰当辅导，引导学生大胆猜想出函数零点存在性的判定方法.这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程.函数零点的存在性判定定理，其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解作好知识上和思想上的准备。
（五）讨论辨析，形成概念
引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用，并通过特殊图象来帮助学生理解,将抽象的问题转化为直观形象的图形，更利于学生理解定理的本质．定理不需证明，关键在于让学生通过感知体验并加以确认，有些需要结合具体的实例，加强对定理进行全面的认识，比如定理应用的局限性，即定理的前提是函数的图象必须是连续的，定理只能判定函数的“变号”零点；定理结论中零点存在但不一定唯一，需要结合函数的图象和性质作进一步的判断。定理的逆命题不成立．
（六）观察感知，例题学习
引导学生思考如何应用定理来解决相关的具体问题，接着让学生利用计算器完成对应值表，然后利用函数单调性判断零点的个数，并借助函数图象对整个解题思路有一个直观的认识.
（七）知识应用，尝试练习
对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，同时反映教学效果，便于教师进行查漏补缺.
（八）课后作业，自主学习
巩固学生所学的新知识，将学生的思维向外延伸，激发学生的发散思维
【教学反思】
一、首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性
教材是利用一元二次方程的例子来引入函数的零点。这样处理，主要是想让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数的零点，再来理解其他复杂的函数的零点就会容易一些。但在教学时，就不能照本宣科。
二、一元二次方程根的存在是否由其判别式决定
当教师问到一元二次方程x2－2x－3＝0是否有实根时，两个班的学生很快就用根的判别式作出了判断，没有一位学生用方程相应的函数图象进行分析。于是，教师又引导学生作出一元二次方程相应的函数的图象，并建立方程的根与函数图象和x轴交点的联系。值得注意的是，在上述活动中，学生认为，因为一元二次方程根的判别式的大小有三种情况，所以一元二次方程相应的函数图象和x轴的交点就有三种情况。在研究了一元二次方程与其函数图象的关系后总结到，虽然我们可以用判别式来判断一元二次方程根的存在，但对于没有判别式的其他方程就可以根据相应的函数图象来判断了。
三、根据图象能否判断函数是否有零点以及零点的个数 要判断函数f(x)在（a，b）内是否有零点（教材对于函数f(x)在（a，b）内有零点，只研究函数f(x)的图象穿过x轴的情况），应该先观察函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，再证明是否有f(a)?f(b)
方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，第一次教学就要取得成功的确不易。看来，像这些中学新增内容的教学，需要一个不断实践以及实践后的反思的过程，在实践与反思的过程中，不仅要妥善解决上述问题，还要不断地发现和解决新的问题，这样，教学效果才会逐步得到改善。
第17篇：关于方程的根与函数的零点一课的教学反思
关于方程的根与函数的零点一课的教学反思
穆棱市第一中学
靳春明
本节课是一节校内公开课，回顾这节课整个过程有成功之处也有遗憾，为了更好进行教学，总结过去展望未来，对本节进行如下的分析：
本节是第三单元的第一节，我先对这一章内容进行了分析：
从总体上把握住了教学的关键，认识到了本节课在本章的地位和作用，本节课是为了二分法的教学的一节预备课，是基础课，为此也就确定了本节课的重点：零点的存在性。为此我开始思考如何让学生对这个问题产生兴趣，如何理解零点的存在性，如何在问题情境下引导学生自主探求知识产生发展过程。为此我设计在引入时提出
2三个方程（1）3x20；（2）x5x60；（3）lnx2x60让同学们解决，前两个方程学生很容易解决，但第三个超越方程学生不能够解决，从而激发学生的求知欲，根据由易到难，有已知得到未知的认知规律为前提，从具体的问题出发,揭示函数与代数式、方程之间的内在联系，并从学生所熟悉的具体二次函数，推广到一般的二次函数，再进一步推广到一般的函数。从而提出零点的概念，此时再回到求方程lnx2x60的根的问题，及时回应了导入时提出的问题又再次激发学生的探索欲望，这时学生已经能考虑到可以利用函数的图像，零点的知识解决但同时又有新的问题出现，怎么判断函数的零点位置，什么时候出现函数的零点，这时我有趁热打铁提出零点的存在性问题。
问题1：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？ 怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？ 探究: （Ⅰ）观察二次函数f(x)x22x3的图象：
①.在区间(-2,1)上有零点______；f(2)_______，f(1)_______,
． f(2)·f(1)_____0（＜或＞）②.在区间(2,4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（＜或＞）．
（Ⅱ）观察函数的图象
①在区间(a,b)上______(有/无)零点；f(a).f(b)_____0（＜或＞）． ② 在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b).f(c) _____ 0（＜或＞）． ③ 在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c).f(d) _____ 0（＜或＞）． 通过上面问题学生已经能够得出零点的存在性定理，此时再次提出lnx2x60的根的问题，同学们已经可考虑到利用函数图像，零点的存在性定理判断它有根的问题但是还不能确定有几个，此时再将问题升华：在什么样的条件下，何时零点的个数是惟一的呢？这样使学生对零点的存在性及惟一性就有了既明确又深刻的认识。 最后解决问题
求函数f(x)=㏑x＋2x －6的零点个数。 设计问题：
（1）你可以想到什么方法来判断函数是否存在零点？ （2）你是如何来确定零点所在的区间的？ （3）零点是唯一的吗？为什么？
最后学生虽然找到零点的范围但是依然没确定方程的根，提出问题如何确定跟的具体值？为下节课埋下伏笔。 本节课成功之处：
1.引入时提出方程lnx2x60它是教材中的例题，把它放到引入里让学生带着问 题进行学习，激发了学生的学习兴趣，调动了他们的学习积极性。有部分同学马上想到了可以利用图像法，我给与鼓励并提出方程的根与函数图像究竟是怎样的联系并引导学生先从简单的，我们熟悉的二次方程二次函数开始研究从而推动了教学的进行。
2.始终以lnx2x60中心，围绕这个问题不断设问引导学生解决问题，在关键环节，例如：当我们提出了零点概念，知道了方程的根与对应函数与x轴的交点的关系此时在提出lnx2x60这个方程的根的问题，学生能够马上联想到考虑对应函数的图像问题。又如当我们得到函数零点的存在性定理后在提出lnx2x60。这样环环相扣，步步为营为最中突破问题奠定了坚实的基础。
3.在过程中始终没有给灌输学生知识，而是引导学生步步接近答案让学生真正的体会到了学习的成就感，体现了以教师为主导，学生为主体，体现了问题下的情景教学，学生自主探究完成教学任务。
4.本节课遵循了这样一个规律，遇到问题—先解决相类似的问题— 总结一般规律—深入挖掘内在联系—得到新知识—利用新知识解决遇到问题。
教学机智 ：
当我引入给出方程lnx2x60有同学马上想到了可以利用图像法，我给与鼓励并提出方程的根与函数图像究竟是怎样的联系并引导学生先从简单的，我们熟悉的二次方程二次函数开始研究从而推动了教学的进行。又如当学生总结出零点存在性定理后我进行了补充，学生质疑[a,b]为什么不能写成（a,b）,我给学生画出图像，很好的解决了这个问题。不足之处：
二次方程二次函数图像的关系探讨时间过长导致巩固练习没有进行，函数零点概念不需要学生提出，学生只要发现方程的根与对应函数图像与x轴交点的关系教师就可以直接给出定义。数学语言有时还不规范，如开闭区间有时不说，板书设计还不能完美。
再教设计：
减少二次函数二次方程探讨时间认识到这个探讨的主要目的是引出零点概念，要主次分明。
第18篇：方程的根与函数的零点 教学反思(区级公开课 )
2011年10月19日光明新区高一数学公开课 “方程的根与函数的零点”教学反思
“方程的根与函数的零点”教学反思
光明中学 王国学
一、关于课题的引入
备课时我曾经想到用“方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？”来引入课题，在学生对上述问题一筹莫展时，再回到一元二次方程上，引导学生利用函数的图象和性质来研究方程的根，一开始就让学生认识到学习函数的零点的必要性。
但后来考虑到上课地点不再是学生熟悉的课室，而是换了地点，学生难免紧张，拿“方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？”这个他们没办法解决的问题，可能会加剧他们的紧张，对后面的教学不利。而且利用学生提前到的时间解他们熟悉的方程，既能缓解学生的紧张情绪，又为新课做好了准备。课后看来这一点调整还是有必要也是很好的。
二、关于“图象在[a，b]上连续不断”
“函数y＝f（x）的图象在[a，b]上连续不断”是零点定理的 2011年10月19日光明新区高一数学公开课 “方程的根与函数的零点”教学反思
其定义域的一个子区间[a，b]上，图象显然是连续不间断的。所以有老师提到淡化处理 2011年10月19日光明新区高一数学公开课 “方程的根与函数的零点”教学反思
现有两组镜头（如图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？
问题： 将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？
问题： A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？
问题：满足条件的函数图象在（a，b）内与x轴一定有交点吗？即函数在（a，b）内一定有零点吗？
通过这样一个问题串由直观过渡到抽象，更符合学生的认知过程。在评课的时候，这一点也获得了听课老师的一致好评。当然，除了这一些比较大的地方引起了我的反思之外，还有一些细节还做得不够尽善尽美，也是我今后要提升的地方。
第19篇：3.1.2方程的根与函数的零点习题2
3.1.2方程的根与函数的零点练习
（二）
1、若函数fxlnxx-1，（1）利用图像法找出fx零点的位置（作图），并写出零点所在的大致区间，（2）证明在你所找出来的区间中，有且只有一个零点；
2、若函数fx2xx，（1）利用图像法找出fx零点的大致位置（作图），并写出零点所在的大致区间，（2）证明在你所找出来的区间中，有且只有一个零点；
x
3、判断函数fx2x2在定义域上零点的个数，并写出零点所在的大致区间；
4、判断下列说法正确的是（），若有错请作出解释；
A、若函数fx在区间a,b上有fafb0成立，则fx有且只有一个零点，
B、若函数fx中有fafb0成立，则fx在定义域上至少有一个零点，
C、若函数fx在区间a,b上有fafb0成立，则fx在区间a,b上不存在零点，
D、若函数fx在区间a,b上有fafb0成立，且fx在区间a,b上具有单调性，则fx有且只有一个零点；若函数fx在区间a,b上有fafb0成立，则fx在区间a,b上可能存在零点。
第20篇：方程的根与函数的零点教学设计修改稿(刘彩凤)
《方程的根与函数的零点（第一课时）》教学设计方案
山西省汾阳中学
刘彩凤
一、内容和内容解析
内容：方程解法史话，方程的根与函数的零点
方程的求解在数学史上经历了很长时间，约公元50-100年编成的《九章算术》给出了一次方程和二次方程和正系数三次方程的求根方法；11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法；13世纪，南宋数学家秦九绍给出了求任意次代数方程的正根的解法，国外数学家对方程的求解也有很多研究，数学史上，人们曾经希望得到五次以上代数方程的公式解，但最后被十九世纪挪威的数学家阿贝尔证明了五次及五次以上的一般方程没有公式解。
方程的根是使方程f(x)=0左右两边相等的x的值，函数的零点是使f(x)=0的x,函数y=f(x)的图像和x轴交点的横坐标是y=f(x)中纵坐标y=0时x的取值,所以他们三者实质上是同一个值，只是在不同的环境中不同的称呼而已，其中体现了数形结合的思想：方程的根与函数图像的结合；转化与化归的思想：求方程的根转化为研究函数的图像与性质，利用求方程的根研究函数的图像与性质；函数与方程的思想。其中方程的根，函数的零点，函数y=f(x)的图像和x轴交点的横坐标的关系是核心，零点是连接函数与方程的结点。
本节对“方程的根与函数零点”的认识，是从初中一次、二次函数与其相应的方程关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究,其学习的平台是学生已经掌握了函数的概念、函数的性质以及基本初等函数等相关知识.对本节课的研究，不仅为“用二分法求方程的近似解” 这一“函数的应用”做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要的思想方法之一——“函数与方程思想”的理论基础，起到了承前起后的作用。
方程的根与函数零点的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法，这就是加强数形结合，由具体到抽象，由特殊到一般。首先在初中一元二次方程与一元二次函数学习的基础上，通过一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系的观察，分析，归纳，发现方程的根与函数零点的关系，推广到一般情形，进一步用数学语言刻画函数零点的概念并应用，从而掌握求函数零点的方法。 本课的教学重点是
体会函数零点与相应方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识。 掌握求函数零点的方法。
二、目标和目标解析
1．能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系.从中体会由特殊到一般、由局部到整体的认知规律，提升学生的抽象和概括能力。
2．能利用函数图象判断某些函数的零点个数，能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题。从中领会数形结合、化归等数学思想.
三、教学问题诊断分析
本节课的学习障碍是零点概念的认识，本课在必修1中的最后一章内容，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图像已经有了一个比较系统的认识与理解。特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，初步具备了学习所需的函数与方程的思想能力所以零点的概念从一元二次方程与其相应的一元二次函数出发，在分析了众多图像的基础上，由图像与x轴的位置得到一个形象的概念，不仅可以较容易的建立起它们之间的关系，而且一元二次方程的根的情况具有代表性，这样由具体到一般很自然地使问题得到推广。
在高一学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都不很全面的基础上，本节课的学习会遇到较多的困难，所以在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，尽可能提供学生动手实践的机会,让学生从亲身体验中掌握知识与方法；环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位，必要时教师适当的引导和帮助。 基于上述分析，确定本课时的教学难点：
发现函数y=f(x)零点与相应方程f(x)=0根的关系。 四．教学支持条件分析 为了有效实现教学目标，借助计算机或计算器来参与运算，通过多媒体课件演示提高课堂效率加大容量容量大就好吗？教学中的辩证法要掌握好。，提高生动性，提高学习兴趣。 计算机（几何画板软件），计算器，展台 五．教学过程设计
（一）引言
在高次代数方程解的探索历程中，不少伟人作出了杰出的贡献：
1：花拉子米(约780～约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法。
2：数学家方台纳的故事1535年，在意大利有一条轰动一时的新闻：数学家奥罗挑战数学家方台纳，奥罗给方台纳出了30道题，求解x3+5x=10，x3+7x=14 x3+11x=20，„„；诸如方程x3+Mx=N，M，N是正整数，比赛时间为20天，方台纳埋头苦干，终于在最后一天解决了这个问题。
3：阿贝尔(1802～1829)证明了五次以上一般方程没有求根公式。 ..................................................................方程的求解经历了相当漫长的岁月，让我们来感受数学探索的魅力吧！
（设计意图：不仅使学生知道五次以上一般方程，含指数对数的超越方程无求根公式，用方程的思想不能求根，要借函数的思想把方程问题转化为函数问题。从而明白为什么要学本节内容。而且使学生了解所学新内容的背景，体会人类在认识和发展数学的过程中体现出来的探索和进取精神及所能达到的崇高境界，增强探索精神，培养创新意识。）
（二）创设情景，引入课题
问题1：方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？（学生独立思考） （设计意图：从学生用已学方法不能求解的方程出发展开讨论，诱导学生发现用函数思想解决方程问题非常必要，进一步引发学生思考方程与函数到底有怎样的联系？） 预设的回答：学生发生认知冲突，陷入困境。 此时教师再逐步提出下面的问题进行引导：
1．当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？
以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。 2．以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？
以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。
3．除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？ 以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。 教师讲解：把求方程的根转化为两个函数的交点问题，即：转化为函数y =lnx与函数y=-2x+6的交点问题，也就是我们可以用函数的思想解决方程问题，那么方程与函数到底有怎样的联系呢？下面我们从熟悉的二次函数来研究。
问题2：填写下表，并探究一元二次方程的实数根与其相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标的关系。（学生独立完成）
方程
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0
函数
y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3
函 数 的 图 像 / / /
方程的实数根 x1=－1,x2=3 x1=x2=1 无实根
图像与轴的交点 (－1,0)、(3,0) (1,0) 无交点
（设计意图：引导学生从熟悉的，具体的二次函数入手，对函数图像与方程的根的关系有初步的认识，从简单入手顺应学生的认知结构,调动学生的知识储备，为理解函数零点，了解函数零点与方程根的联系作准备。）
预设的回答：学生填表并得出结论：方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标，方程的解的个数和函数的图象与x轴的交点个数是一样的。
问题3： 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠ 0) 的根与相应的一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0) 的图象与x轴交点的横坐标关系，上述结论是否仍然成立？其判别式(＝b2－4ac.（类比） (＝b2－4ac ax2＋bx＋c＝0 (a≠ 0) 的根
y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0) 的图象与x轴交点 (>0 两个不相等的实数根x1、x2 (x1,0) , (x2,0) (=0 两个相等的实数根x1 =x2 (x1,0)
(
（设计意图：由具体的一元二次方程和一元二次函数到一般的一元二次方程与一元二次函数，设置学生的最近思维发展区，既利于学生掌握知识又利于学生抽象思维能力的形成。） 预设的回答：学生填表，并交流归纳：如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴就没有交点；如果一元二次方程有实数根，它的实数根就是相应的二次函数图像与x轴的交点的横坐标，方程的解的个数和函数的图象与x轴的交点个数是一样的。
（三） 归纳推广，形成概念
问题4：对于一般的函数（高次函数，指对数函数等）与方程是否也有上述的结论成立呢？（类比） （设计意图：遵循由特殊到一般的认识规律，由具体的二次方程和二次函数到一般的二次方程和二次函数，再到一般的方程，函数，使学生感受函数零点概念的来龙去脉，体验自主发现的过程，体现了“化归”和“数形结合”的数学思想。） （活动方式：教师通过几何画板作出以下函数的图像：
（1）f(x)=-x３-３x＋５=0
（2）f(x)=lnx+2x-6
（3）f(x)= -ex-4x
学生观察图像归纳总结。）
（教师提示：由一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠ 0)抽象出方程f(x)=0，由一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0)抽象出函数y=f(x)。）
预设的回答：学生归纳：方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。方程f(x)=0的解的个数和函数y=f(x)的图象与x轴的交点个数是一样的。 教师给出函数零点定义：
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 追问：函数的零点是一个点吗？函数的零点在方程中如何体现？在函数的图像中又如何体现？试论述三者之间的关系？（师生共同讨论归纳）
（设计意图：理解零点概念，领会其实质，培养学生的观察和归纳能力，并体现等价转换思想。）
小结：函数的零点不是一个点，而是一个数，函数零点，方程的根，函数图像与x轴交点的横坐标它们三者实质上是同一个值，只是在不同的环境中不同的称呼而已，并引导学生得出零点的三个重要的等价关系： 方程f(x)=0有实数根
/函数y=f(x)的图像与X轴有交点
/ 函数y=f(x)有零点
给出零点概念后，教师向学生指出：借助方程可以研究相应函数的性质，反之借助函数也可以研究方程根的情况。可以揭示其中蕴含的数学思想。
（四）初步应用，自主练习
问题4：一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0) 的零点的情况怎样？ 填下列表格。（学生完成） (＝b2－4ac 方程的根 函数的图像 图象与x轴交点 函数的零点
(>0
(=0
(
（设计意图：让学生对二次函数零点概念产生直观，完整的认识，深化零点概念，进而了解求方程的根就是确定函数零点这一本质。） 活动过程：
师：引导学生利用函数零点的意义，探索二次函数零点的情况。
生：根据函数零点的意义，探索研究二次函数的图像和性质，独立完成对二次函数零点情况的分析，并进行交流，总结概括形成结论。
问题5：分别指出问题2，问题3中涉及到的函数的零点。
（设计意图：让学生对二次函数零点概念产生直观，完整的认识，深化零点概念，进而了解求方程的根就是确定函数零点这一本质。）
预设的回答：学生学生容易把函数的零点写成点的形式。
问题6：1：求下列函数的零点.（独立思考） (1)f(x)=2x-3
(2)f(x)=Lnx-1
(3)f(x)=
-9
（4）f(x)=2x+x （设计意图：
将求函数的零点拓展到二次函数以外的其他基本函数中去不仅巩固函数零点的定义，而且可以使学生从错误中加深对零点定义的理解。） 预设的回答：学生容易把函数的零点写成点的形式。 2：利用函数图象判断各方程有没有根,有几个根。（独立思考） (1)-x2+3x+5=0
⑵2x(x-2)=-3
⑶x2=4x-
4 ⑷5x2+2x=3x2+5
(5)x3-x=3
(6) （设计意图：培养学生对知识的转化应用能力。） 预设的回答：学生可能会直接解方程求解。
此时教师提示：要用函数的观点解决方程的问题，注意对知识的转化。
问题6：如何求函数y=f(x)的零点？（小组讨论形式） （设计意图：进一步理解零点概念，领会其实质，体现“化归”和“数形结合”的数学思想。） （活动方式：先由学生做答，教师收集整理，挑选其中合理的成份，之后再在学生回答的基础上引导学生得出结论。）
预设的回答：学生想不到从哪些角度归纳。
教师启发性讲解：注意零点概念，以及三个重要的等价关系，从数与形的角度思考。 教师小结：求函数y=f(x)的零点的方法： （1）（代数法）求方程f(x)=0有实数根； （2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。
（五）反思小结，培养能力 问题6：：通过本节课的学习你有哪些收获？可以从知识，数学思想，经验等方面谈谈。 （设计意图：充分发挥学生的自主性，培养学生地归纳概括能力，归纳整理本节所学的知识和重要思想方法，优化学生的认知结构。） 预设的回答：
知识方面：函数零点概念，函数y=f(x)零点与相应方程f(x)=0根的关系，求函数y=f(x)的零点的方法。
数学思想：数形结合，类比，化归等数学思想。
经验：今天所学的知识源于已有的知识经验，所以在学习过程中要注意知识间的联系。
（六）目标检测设计
练习1：求下列函数的零点
（1） y= x2－5x+6；
（2）y= 2x－1 （3）y=lg(x-1)
（4）
练习2: 函数y=x2-5x+6的零点是（
）
A （3，0），（2，0）；B x=2；
C x=3
D 2和3．
练习2：由下列函数的图像，回答函数有零点吗？有几个零点？// 练习3: 已知f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1的一个零点是1，求m的值．
（设计意图：对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和作用，同时反应教学效果，便于教师在教学中查漏补缺。）
（七）布置作业，分层落实
1．若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，求
loga25 + b2 2．请判断方程lnx=x2-4x+3的零点个数.（要求简单说明，并画出必要的图象） 3．思考：函数f(x)= – x3 – 3x+5的零点所在的大致区间为（
） （设计意图：分层教学，让学生既能体会到学数学的成功感，又能恰当的提高学生的兴趣。）
（八）后记――一点感想
方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，教学还需要妥善处理其中的一些问题。
一、首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性 教材是利用一元二次方程的例子来引入函数的零点。这样处理，主要是想让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数的零点，再来理解其他复杂的函数的零点就会容易一些。但在教学时发现，当提问“方程x2－2x－3＝0是否有实根？你是怎样判断的？”时，学生的反应都很平淡，对这个问题都不感兴趣，因为他们对如何解一元二次方程早就熟练了，因此没必要再问这么简单的问题。由此看来，这堂课一开始就应该让学生认识到学习函数的零点的必要性。最好是选择学生用已学方法不能求解的方程的例子，这样才能激发学生的学习积极性，并让其认识到学习函数的零点的必要性。例如，可以把教材后面的例子先提出来，让学生思考：
方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？
在学生对上述问题一筹莫展时，再回到一元二次方程上，引导学生利用函数的图象和性质来研究方程的根。这堂课的头开好了，整堂课就活了。
二、教学要把握内容结构，突出思想方法
教师首先要通过把握教材内容结构来设计教学框架，然后根据教学框架来考虑需要突出的思想方法。本节课可以按照下列主线来展开教学：
?
（一）如何引导学生将复杂的问题简单化，并学会从已有认知结构出发由特殊到一般地思考问题
教材设置函数的零点这一内容的目的，就是为了体现函数的应用，为用二分法求方程的近似解奠定基础。所以，教学一开始就应该从学生用已学方法不能求解的方程出发展开讨论，然后引导学生体会其中的思想方法。例如，可以像前面一样先提出：方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？当学生陷入困境时，教师再逐步提出下面的问题进行引导： 1．当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？
以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。 2．以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？
以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。
3．除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？ 以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。
（二）怎样突出数形结合的思想方法
数形结合的思想方法几乎贯穿于“基本初等函数I”一章的始终，学生通过前面的学习，已基本形成数形结合的思想方法，所以本节教学应该以培养学生主动运用数形结合的思想方法去分析问题为目的。在建立方程的根与函数的零点的关系时，函数图象起到了关键的桥梁作用，充分体现了它与方程的根以及函数零点之间的数形结合的关系。所以在教学时要留给学生足够的时间去主动搭建函数图象这一桥梁，而不是由教师作出函数图象，让学生回答方程的根与函数图象和x轴的交点有何关系，然后老师再给出方程的根、函数图象和x轴的交点、函数的零点之间的关系。这样的教学，虽然一定程度上也能体现数形结合的思想方法，但体现的思想层次却很低。在这种能够体现思想方法的关键地方，教师要舍得花时间，要让学生由方程自觉地联想到相应的函数，主动地建立方程的根与函数图象间的关系，提升数形结合思想方法的层次，增强函数应用的意识。 此外本节课涉及多种数学思想方法，是数学教学走向本质的一大尝试，也是在实际教学中需要不断思考的一个课题。
