《方程的根与函数的零点（第一课时）》教学设计方案
山西省汾阳中学
刘彩凤
一、内容和内容解析
内容：方程解法史话，方程的根与函数的零点
方程的求解在数学史上经历了很长时间，约公元50-100年编成的《九章算术》给出了一次方程和二次方程和正系数三次方程的求根方法；11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法；13世纪，南宋数学家秦九绍给出了求任意次代数方程的正根的解法，国外数学家对方程的求解也有很多研究，数学史上，人们曾经希望得到五次以上代数方程的公式解，但最后被十九世纪挪威的数学家阿贝尔证明了五次及五次以上的一般方程没有公式解。
方程的根是使方程f(x)=0左右两边相等的x的值，函数的零点是使f(x)=0的x,函数y=f(x)的图像和x轴交点的横坐标是y=f(x)中纵坐标y=0时x的取值,所以他们三者实质上是同一个值，只是在不同的环境中不同的称呼而已，其中体现了数形结合的思想：方程的根与函数图像的结合；转化与化归的思想：求方程的根转化为研究函数的图像与性质，利用求方程的根研究函数的图像与性质；函数与方程的思想。其中方程的根，函数的零点，函数y=f(x)的图像和x轴交点的横坐标的关系是核心，零点是连接函数与方程的结点。
本节对“方程的根与函数零点”的认识，是从初中一次、二次函数与其相应的方程关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究,其学习的平台是学生已经掌握了函数的概念、函数的性质以及基本初等函数等相关知识.对本节课的研究，不仅为“用二分法求方程的近似解” 这一“函数的应用”做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要的思想方法之一——“函数与方程思想”的理论基础，起到了承前起后的作用。
方程的根与函数零点的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法，这就是加强数形结合，由具体到抽象，由特殊到一般。首先在初中一元二次方程与一元二次函数学习的基础上，通过一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系的观察，分析，归纳，发现方程的根与函数零点的关系，推广到一般情形，进一步用数学语言刻画函数零点的概念并应用，从而掌握求函数零点的方法。 本课的教学重点是
体会函数零点与相应方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识。 掌握求函数零点的方法。
二、目标和目标解析
1．能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系.从中体会由特殊到一般、由局部到整体的认知规律，提升学生的抽象和概括能力。
2．能利用函数图象判断某些函数的零点个数，能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题。从中领会数形结合、化归等数学思想.
三、教学问题诊断分析
本节课的学习障碍是零点概念的认识，本课在必修1中的最后一章内容，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图像已经有了一个比较系统的认识与理解。特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，初步具备了学习所需的函数与方程的思想能力所以零点的概念从一元二次方程与其相应的一元二次函数出发，在分析了众多图像的基础上，由图像与x轴的位置得到一个形象的概念，不仅可以较容易的建立起它们之间的关系，而且一元二次方程的根的情况具有代表性，这样由具体到一般很自然地使问题得到推广。
在高一学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都不很全面的基础上，本节课的学习会遇到较多的困难，所以在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，尽可能提供学生动手实践的机会,让学生从亲身体验中掌握知识与方法；环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位，必要时教师适当的引导和帮助。 基于上述分析，确定本课时的教学难点：
发现函数y=f(x)零点与相应方程f(x)=0根的关系。 四．教学支持条件分析 为了有效实现教学目标，借助计算机或计算器来参与运算，通过多媒体课件演示提高课堂效率加大容量容量大就好吗？教学中的辩证法要掌握好。，提高生动性，提高学习兴趣。 计算机（几何画板软件），计算器，展台 五．教学过程设计
（一）引言
在高次代数方程解的探索历程中，不少伟人作出了杰出的贡献：
1：花拉子米(约780～约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法。
2：数学家方台纳的故事1535年，在意大利有一条轰动一时的新闻：数学家奥罗挑战数学家方台纳，奥罗给方台纳出了30道题，求解x3+5x=10，x3+7x=14 x3+11x=20，„„；诸如方程x3+Mx=N，M，N是正整数，比赛时间为20天，方台纳埋头苦干，终于在最后一天解决了这个问题。
3：阿贝尔(1802～1829)证明了五次以上一般方程没有求根公式。 ..................................................................方程的求解经历了相当漫长的岁月，让我们来感受数学探索的魅力吧！
（设计意图：不仅使学生知道五次以上一般方程，含指数对数的超越方程无求根公式，用方程的思想不能求根，要借函数的思想把方程问题转化为函数问题。从而明白为什么要学本节内容。而且使学生了解所学新内容的背景，体会人类在认识和发展数学的过程中体现出来的探索和进取精神及所能达到的崇高境界，增强探索精神，培养创新意识。）
（二）创设情景，引入课题
问题1：方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？（学生独立思考） （设计意图：从学生用已学方法不能求解的方程出发展开讨论，诱导学生发现用函数思想解决方程问题非常必要，进一步引发学生思考方程与函数到底有怎样的联系？） 预设的回答：学生发生认知冲突，陷入困境。 此时教师再逐步提出下面的问题进行引导：
1．当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？
以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。 2．以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？
以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。
3．除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？ 以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。 教师讲解：把求方程的根转化为两个函数的交点问题，即：转化为函数y =lnx与函数y=-2x+6的交点问题，也就是我们可以用函数的思想解决方程问题，那么方程与函数到底有怎样的联系呢？下面我们从熟悉的二次函数来研究。
问题2：填写下表，并探究一元二次方程的实数根与其相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标的关系。（学生独立完成）
方程
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0
函数
y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3
函 数 的 图 像 / / /
方程的实数根 x1=－1,x2=3 x1=x2=1 无实根
图像与轴的交点 (－1,0)、(3,0) (1,0) 无交点
（设计意图：引导学生从熟悉的，具体的二次函数入手，对函数图像与方程的根的关系有初步的认识，从简单入手顺应学生的认知结构,调动学生的知识储备，为理解函数零点，了解函数零点与方程根的联系作准备。）
预设的回答：学生填表并得出结论：方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标，方程的解的个数和函数的图象与x轴的交点个数是一样的。
问题3： 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠ 0) 的根与相应的一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0) 的图象与x轴交点的横坐标关系，上述结论是否仍然成立？其判别式(＝b2－4ac.（类比） (＝b2－4ac ax2＋bx＋c＝0 (a≠ 0) 的根
y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0) 的图象与x轴交点 (>0 两个不相等的实数根x1、x2 (x1,0) , (x2,0) (=0 两个相等的实数根x1 =x2 (x1,0)
(
（设计意图：由具体的一元二次方程和一元二次函数到一般的一元二次方程与一元二次函数，设置学生的最近思维发展区，既利于学生掌握知识又利于学生抽象思维能力的形成。） 预设的回答：学生填表，并交流归纳：如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴就没有交点；如果一元二次方程有实数根，它的实数根就是相应的二次函数图像与x轴的交点的横坐标，方程的解的个数和函数的图象与x轴的交点个数是一样的。
（三） 归纳推广，形成概念
问题4：对于一般的函数（高次函数，指对数函数等）与方程是否也有上述的结论成立呢？（类比） （设计意图：遵循由特殊到一般的认识规律，由具体的二次方程和二次函数到一般的二次方程和二次函数，再到一般的方程，函数，使学生感受函数零点概念的来龙去脉，体验自主发现的过程，体现了“化归”和“数形结合”的数学思想。） （活动方式：教师通过几何画板作出以下函数的图像：
（1）f(x)=-x３-３x＋５=0
（2）f(x)=lnx+2x-6
（3）f(x)= -ex-4x
学生观察图像归纳总结。）
（教师提示：由一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠ 0)抽象出方程f(x)=0，由一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0)抽象出函数y=f(x)。）
预设的回答：学生归纳：方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。方程f(x)=0的解的个数和函数y=f(x)的图象与x轴的交点个数是一样的。 教师给出函数零点定义：
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 追问：函数的零点是一个点吗？函数的零点在方程中如何体现？在函数的图像中又如何体现？试论述三者之间的关系？（师生共同讨论归纳）
（设计意图：理解零点概念，领会其实质，培养学生的观察和归纳能力，并体现等价转换思想。）
小结：函数的零点不是一个点，而是一个数，函数零点，方程的根，函数图像与x轴交点的横坐标它们三者实质上是同一个值，只是在不同的环境中不同的称呼而已，并引导学生得出零点的三个重要的等价关系： 方程f(x)=0有实数根
/函数y=f(x)的图像与X轴有交点
/ 函数y=f(x)有零点
给出零点概念后，教师向学生指出：借助方程可以研究相应函数的性质，反之借助函数也可以研究方程根的情况。可以揭示其中蕴含的数学思想。
（四）初步应用，自主练习
问题4：一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a> 0) 的零点的情况怎样？ 填下列表格。（学生完成） (＝b2－4ac 方程的根 函数的图像 图象与x轴交点 函数的零点
(>0
(=0
(
（设计意图：让学生对二次函数零点概念产生直观，完整的认识，深化零点概念，进而了解求方程的根就是确定函数零点这一本质。） 活动过程：
师：引导学生利用函数零点的意义，探索二次函数零点的情况。
生：根据函数零点的意义，探索研究二次函数的图像和性质，独立完成对二次函数零点情况的分析，并进行交流，总结概括形成结论。
问题5：分别指出问题2，问题3中涉及到的函数的零点。
（设计意图：让学生对二次函数零点概念产生直观，完整的认识，深化零点概念，进而了解求方程的根就是确定函数零点这一本质。）
预设的回答：学生学生容易把函数的零点写成点的形式。
问题6：1：求下列函数的零点.（独立思考） (1)f(x)=2x-3
(2)f(x)=Lnx-1
(3)f(x)=
-9
（4）f(x)=2x+x （设计意图：
将求函数的零点拓展到二次函数以外的其他基本函数中去不仅巩固函数零点的定义，而且可以使学生从错误中加深对零点定义的理解。） 预设的回答：学生容易把函数的零点写成点的形式。 2：利用函数图象判断各方程有没有根,有几个根。（独立思考） (1)-x2+3x+5=0
⑵2x(x-2)=-3
⑶x2=4x-
4 ⑷5x2+2x=3x2+5
(5)x3-x=3
(6) （设计意图：培养学生对知识的转化应用能力。） 预设的回答：学生可能会直接解方程求解。
此时教师提示：要用函数的观点解决方程的问题，注意对知识的转化。
问题6：如何求函数y=f(x)的零点？（小组讨论形式） （设计意图：进一步理解零点概念，领会其实质，体现“化归”和“数形结合”的数学思想。） （活动方式：先由学生做答，教师收集整理，挑选其中合理的成份，之后再在学生回答的基础上引导学生得出结论。）
预设的回答：学生想不到从哪些角度归纳。
教师启发性讲解：注意零点概念，以及三个重要的等价关系，从数与形的角度思考。 教师小结：求函数y=f(x)的零点的方法： （1）（代数法）求方程f(x)=0有实数根； （2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。
（五）反思小结，培养能力 问题6：：通过本节课的学习你有哪些收获？可以从知识，数学思想，经验等方面谈谈。 （设计意图：充分发挥学生的自主性，培养学生地归纳概括能力，归纳整理本节所学的知识和重要思想方法，优化学生的认知结构。） 预设的回答：
知识方面：函数零点概念，函数y=f(x)零点与相应方程f(x)=0根的关系，求函数y=f(x)的零点的方法。
数学思想：数形结合，类比，化归等数学思想。
经验：今天所学的知识源于已有的知识经验，所以在学习过程中要注意知识间的联系。
（六）目标检测设计
练习1：求下列函数的零点
（1） y= x2－5x+6；
（2）y= 2x－1 （3）y=lg(x-1)
（4）
练习2: 函数y=x2-5x+6的零点是（
）
A （3，0），（2，0）；B x=2；
C x=3
D 2和3．
练习2：由下列函数的图像，回答函数有零点吗？有几个零点？// 练习3: 已知f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1的一个零点是1，求m的值．
（设计意图：对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和作用，同时反应教学效果，便于教师在教学中查漏补缺。）
（七）布置作业，分层落实
1．若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，求
loga25 + b2 2．请判断方程lnx=x2-4x+3的零点个数.（要求简单说明，并画出必要的图象） 3．思考：函数f(x)= – x3 – 3x+5的零点所在的大致区间为（
） （设计意图：分层教学，让学生既能体会到学数学的成功感，又能恰当的提高学生的兴趣。）
（八）后记――一点感想
方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，教学还需要妥善处理其中的一些问题。
一、首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性 教材是利用一元二次方程的例子来引入函数的零点。这样处理，主要是想让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数的零点，再来理解其他复杂的函数的零点就会容易一些。但在教学时发现，当提问“方程x2－2x－3＝0是否有实根？你是怎样判断的？”时，学生的反应都很平淡，对这个问题都不感兴趣，因为他们对如何解一元二次方程早就熟练了，因此没必要再问这么简单的问题。由此看来，这堂课一开始就应该让学生认识到学习函数的零点的必要性。最好是选择学生用已学方法不能求解的方程的例子，这样才能激发学生的学习积极性，并让其认识到学习函数的零点的必要性。例如，可以把教材后面的例子先提出来，让学生思考：
方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？
在学生对上述问题一筹莫展时，再回到一元二次方程上，引导学生利用函数的图象和性质来研究方程的根。这堂课的头开好了，整堂课就活了。
二、教学要把握内容结构，突出思想方法
教师首先要通过把握教材内容结构来设计教学框架，然后根据教学框架来考虑需要突出的思想方法。本节课可以按照下列主线来展开教学：
?
（一）如何引导学生将复杂的问题简单化，并学会从已有认知结构出发由特殊到一般地思考问题
教材设置函数的零点这一内容的目的，就是为了体现函数的应用，为用二分法求方程的近似解奠定基础。所以，教学一开始就应该从学生用已学方法不能求解的方程出发展开讨论，然后引导学生体会其中的思想方法。例如，可以像前面一样先提出：方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？当学生陷入困境时，教师再逐步提出下面的问题进行引导： 1．当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？
以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。 2．以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？
以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。
3．除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？ 以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。
（二）怎样突出数形结合的思想方法
数形结合的思想方法几乎贯穿于“基本初等函数I”一章的始终，学生通过前面的学习，已基本形成数形结合的思想方法，所以本节教学应该以培养学生主动运用数形结合的思想方法去分析问题为目的。在建立方程的根与函数的零点的关系时，函数图象起到了关键的桥梁作用，充分体现了它与方程的根以及函数零点之间的数形结合的关系。所以在教学时要留给学生足够的时间去主动搭建函数图象这一桥梁，而不是由教师作出函数图象，让学生回答方程的根与函数图象和x轴的交点有何关系，然后老师再给出方程的根、函数图象和x轴的交点、函数的零点之间的关系。这样的教学，虽然一定程度上也能体现数形结合的思想方法，但体现的思想层次却很低。在这种能够体现思想方法的关键地方，教师要舍得花时间，要让学生由方程自觉地联想到相应的函数，主动地建立方程的根与函数图象间的关系，提升数形结合思想方法的层次，增强函数应用的意识。 此外本节课涉及多种数学思想方法，是数学教学走向本质的一大尝试，也是在实际教学中需要不断思考的一个课题。
