推荐第1篇：基本不等式教学设计
基本不等式
一、教学设计理念：
注重学生自主、合作、探究学习，用新课程理念打造新的教学模式.
二、教学设计思路： 1.教学目标确定
这节课的目标定位分为三个层面：
第一层面：知识与技能层面，①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念；②要创设几何和代数两个方面的背景，从数形结合的高度让学生了解基本不等式；③引导学生从不同角度去证明基本不等式；④用基本不等式来证明一些简单不等式.
第二层面：过程与方法，通过掌握公式的结构特点，适当运用公式的变形，能够提高学生分析问题和解决问题的能力，加强学生的实践能力，渗透数学的思想方法.
第三层面：情感、态度与价值观，①通过具体问题的解决，让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行归纳，抽象，使学生感受到数学美，走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式；②通过问题的解决，激发学生探究精神和科学态度，同时去感受数学的运用性，体会数学的奥妙，数学的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程
本节课我设计了五个环节：
第一个环节：创设情境，引入新课.我设计了两个情境：一个是天平测量的问题，另一个是让学生动手操作折纸试验，从不同的角度体验和理解基本不等式，让学生能够体会数学与生活紧密联系，激发学生学习兴趣，为后面学习作铺垫.
第二个环节：探究交流，发现规律.我在问题的情境中，让学生带着不同的数据去比较几何平均数和算术平均数的大小，并通过小组折纸试验，通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节：启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对基本不等式进行严格的证明，包括了比较法，综合法和分析法，而学生对作差比较法是比较熟悉的，综合法和分析法的过程要加强引导，并组织学生去探究这两种方法之间的关系，并规范证明过程，为今后学习证明方法打下基础.
第四个环节：训练小结，巩固深化.学习基本不等式最终的目的体现在它的运用上，首先在例题选择上，注重让学生充分认识 和 间的关系，给出一般的结论，在练习中我选择了题组形式，目的是与让学生强化对基本不等式成立条件包括等号成立的条件.
第五个环节：研究拓展，提高能力.我设计了一道关于例题的变式题，目的是让学生感受到，通过适当的变形将其化为例题中出现的形式，体现化归的思想，最后设计三道思考题，两道进一步巩固化归思想及应用基本不等式的条件，一道需要分类讨论，让学有余力的学生提供更好展示自己能力的机会，得到进一步提高.
最后我通过问题式的小结，让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识，特别是最后一问中，让学生去总结在使用基本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等”这样的结论，但已潜移默化为我们下一节课使用基本不等式求最值问题作了铺垫，起到承前启后的作用.
三、本节课重点
重点：应用数形结合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并从不同的角度探索不等式的证明过程.
难点：灵活使用化归思想把问题转化为运用基本不等式，以及基本不等式成立条件中包括等号成立的条件.
在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索基本不等式的证明过程，包括它的成立条件，在这一节课中我的总体想法是通过互动，发现规律，直接猜想，指定验证，得出结论，最后灵活运用这个结论来解决问题.
四、本节课亮点：
1.积极引导学生自主探究问题，解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三大转变：
①变教学生学会知识为指导学生会学知识；
②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟； ③变模仿式学习为探究式学习.
4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.
导入新课
探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?
（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）?? 推进新课
师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?
【三维目标】：
一、知识与技能
1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；
3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题． 4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．
二、过程与方法
本节课是基本不等式应用举例的延伸。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。
三、情感、态度与价值观
1.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
2.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性
【三维目标】：
一、知识与技能
1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；
3.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号\"≥\"取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；
二、过程与方法
1.通过实例探究抽象基本不等式；
2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质
三、情感、态度与价值观
1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
2.培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力
、知识结构解读
1．教材对基本不等式 的推导给出了三种证法，即作差法、分析法和综合法，同时引导同学们探讨基本不等式的几何解释．
2．基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．应用基本不等式时一定要注意其成立的条件．基本不等式的应用过程蕴涵了函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想及化归与转化等数学思想．
二、重点、难点解读
本节的重点内容是掌握\"两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数\"；掌握\"两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值\"的结论． 难点是正确理解和使用基本不等式求某些函数的最值或证明不等式．
三、知识点精析
1．基本不等式的定义（详见课本）
基本不等式可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数． 注意：不等式 成立的条件是 ． 2．基本不等式的几何证明
已知在 中，如右图所示， 为斜边 上的高， 为 的外接圆的圆心， 的延长线交 于点 ． ， ，证明： ．
一、教学目标
1．知识与技能
探究基本不等式的证明过程，初步理解基本不等式
2．过程与方法
通过对基本不等式的不同角度的探究，渗透数形结合及转化的数学思想．
3．情感、态度与价值观：
通过本节学习，激发学生学习和应用数学知识的兴趣，形成积极探索的学习风气．
二、教学重点 用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程
教学难点 对基本不等式 的探究
三、教学资源 普通高中数学课程标准（实验） 人教A版教材必修5
中学数学周刊2005年第10期 百度
四、教学方法与手段
启发学生探究，多媒体辅助教学
五、教学过程
（一）创设情境：
如图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表着中国人民的热情好客．
你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
设计意图：创设问题情境，为问题的引出做铺垫
（二）新知探究： 图1
将风车抽象成图2
设直角三角形的两条边长为a、b,那么正方形 的边长为 .这样,4个直角三角形的面积和为2ab,正方形面积为 .由于4个直角三角形的面积和小于正方形ABCD的 面积，我们就得到了一个不等式
当直角三角形变为等腰直角三角形, 图2
即 时,正方形EFGH缩为一个点,这时有
此时，a、b代表正方形的边长，显然是正数，如果我们推广到一般情况，对于任意的实数．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；
【教学难点】
基本不等式 等号成立条件
【教学过程】
1.课题导入
基本不等式 的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系
2.讲授新课
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 。
2．得到结论：一般的，如果
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为
当
所以， ，即
4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得 ，
通常我们把上式写作：
2）从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：
要证 (1)
只要证 a+b (2)
要证（2），只要证 a+b- 0 （3）
要证（3），只要证 （ - ） （4）
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。
3）理解基本不等式 的几何意义
探究：课本第110页的《基本不等式》说课稿
一、教材分析
1、本节课的地位、作用和意义
基本不等式又称为均值不等式，选自普遍高中课程标准实验教科书(北京师范大学出版社出版) 必修5 ，第3章第3节内容。学生在初中学习了完全平方公式、圆、初步认识了不等式，同时，在本章前面两节学习了比较大小、一元二次不等式等，这些给本节课提供了坚实的基础；基本不等式是后面基本不等式与最大（小）值的基础，在高中数学中有着比较重要的地位，在工业生产等有比较广的实际应用。
2、本节课的教学重点和难点
我通过解读新课标和分析教材，认为：
重点：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力，所以均值不等式的推导是本节课的重点之一；再者，均值不等式有比较广的应用，需重点掌握，而掌握均值不等式，关键是对不等式成立条件的准确理解，因此，均值不等式以及其成立的条件也是教学重点。
突出重点的方法：我将采用①用分组讨论，多媒体展示、引导启发法来突出均值不等式的推导；用重复法（在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件），变式教学来突出均值不等式及其成立的条件。
难点：很多同学对均值不等式成立的条件的认识不深刻，在应用时候常常出错误，所以，均值不等式成立的条件是本节课的难点。
突破难点的方法：我将采用用重复法（在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件），变式教学等等来突破均值不等式成立的条件这个难点。
二、教学目标分析
1、知识与技能目标
（1）学会推导基本不等式： 。
（2）理解 的几何意义。
（3）能3分钟内写出基本不等式，并说明其成立的条件，准确率为95%
2、过程方法与能力目标
（1）探索并了解均值不等式的证明过程。
（2）体会均值不等式的证明方法。
3、情感、态度、价值观目标
（1）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、研究精神。
（2）通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题、分析问题的习惯。 “探究” 基本不等式的证明（1）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；
2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；
3.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；
二、过程与方法
1.通过实例探究抽象基本不等式；
2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质
三、情感、态度与价值观
1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
2.培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力
【教学重点与难点】：
重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；
难点：理解基本不等式 等号成立条件及 “当且仅当 时取等号”的数学内涵
【学法与教学用具】：
1.学法：先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案
2.教学用具：直角板、圆规、投影仪（多媒体教室）
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1.提问： 与 哪个大？
2.基本不等式 的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）。
二、研探新知
重要不等式 ：一般地，对于任意实数、，我们有 ，当且仅当 时，等号成立。
证明:
所以
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《基本不等式》教学设计
3.4.1基本不等式
教材分析
本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。 要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。
教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。
就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求面积一定，周长最小；周长一定，面积最大”等实际问题的计算中也经常涉及到。
就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。
课程目标分析
依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：
1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律
《基本不等式》教学设计
的方法，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重、难点分析
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式abab的证明过程及应用。 2难点：
1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；
2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
教法分析
本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。
教学准备
多媒体课件、板书
教学过程
教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 具体过程安排如下：
一、创设情景，提出问题；
设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境: 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，
《基本不等式》教学设计
颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 [问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式a2b22ab。在此基础上，引导学生认识基本不等式。
二、抽象归纳：
一般地，对于任意实数a,b，有a2b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立。 [问] 你能给出它的证明吗？
学生在黑板上板书。
特别地，当a>0,b>0时，在不等式a2b22ab中，以a、b分别代替a、b，得到什么？
设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.答案： abab(a,b0)。 2【归纳总结】
如果a,b都是正数，那么abab，当且仅当a=b时，等号成立。 2ab称为a,b的算术平均数，ab称2我们称此不等式为基本不等式。 其中为a,b的几何平均数。
三、理解升华：
1、文字语言叙述：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
2、联想数列的知识理解基本不等式
已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系？
两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
《基本不等式》教学设计
3、符号语言叙述： 若a0,b0，则有ababab，当且仅当a=b时，ab。 22[问] 怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）
“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：
当a=b时，取等号，即ababab； 2仅当a=b时，取等号，即ababab。
24、探究基本不等式证明方法： [问] 如何证明基本不等式？
（意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。）
2 方法一：作差比较或由(ab)0展开证明。
方法二：分析法（完成课本填空）
设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”。 要证abab
① 2只要证ab
② 要证②,只要证ab
0
③ 要证③,只要证()20 ④
显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立 。 点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.
《基本不等式》教学设计
5、探究基本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生abab(a,b0)2的几何解释，通过数形结合，赋予不等式探究不等式abab(a,b0)2几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。
如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，CD
Dab
abab2abOCAB几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。
四、探究归纳
下列命题中正确的是
①对于任意实数a,b，均有ab2ab；
②当x0时，由于1x22x，当且仅当1x2时，即x=1时，等号成立。所以函数y1x2(x0)的最小值为2；
π4π4(0,)的最小sinx4③当x(0,)时，有；所以函数ysinx在
2sinx2sinx值为4。
以上命题均是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式abab成立的条件2a0,b0，及当且仅当ab时，等号成立。这些“陷阱”要让学生自己往里跳，然后自己再从中爬出来，完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。
《基本不等式》教学设计
结论：
若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值； 若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。 简记为：“一正、二定、三相等”。
五、领悟练习：
公式应用之一：
1(1)若x0,x的最小值为________,此时x_________.
x(1) 若a>0,b>0,且a+b=2,则ab的最大值为_______,此时a=_____,b=_____。
公式应用之二：（最优化问题）
设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中
(1) 在学农期间，生态园中有一块面积为100m2的矩形茶地，为了保护茶叶的健康生长，学校决定用篱笆围起来，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
(2)现在学校仓库有一段长为36m的篱笆，要围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
六、反思总结，整合新知：
通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？
设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.老师根据情况完善如下：
一个不等式：若a0,b0，则有abab。 2ab，当且仅当a=b时，2ab两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。
《基本不等式》教学设计
三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”
七、布置作业：P114习题1.2.3
八、课下思考：类比基本不等式，当a,b,c均为正数，猜想会有怎样的不等式？
推荐第3篇：基本不等式教学设计
基本不等式教学设计
10141510244 数学与应用数学 钟林
课题：人教A版必修5第3章4节，基本不等式
【教学目标】
1.通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想。
2.进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力。3.结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想。
4.借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生
ab领会运用基本不等式ab的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最
2值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略。
【重点难点】
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式abab的证明过程。
2难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式。
【教学设计】
（一）问题导入
欣赏2002年国际数学家大会会徽，会徽是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能发现它是什么图形构成的吗？请根据会徽探索一些常见相等或不等关系。
探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？ 在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，a,b。
22ab那么正方形的边长为。
于是，4个直角三角形的面积之和S12ab。 正方形的面积S2a2b2。 由图可知S2S1，即a2b22ab。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形EFGH缩为一个点，这时 a2b22ab
所以a2b22ab。
探究二：如下图所示的梯形中，EF是梯形ABCD的中位线，梯形ABGH相似于梯 形GHDC。
梯形ABCD的上底是a，下底是b。让同学们自主研究GH和EF的大小关系。
ab因为EF是中位线，所以EF，
2由相似，可以得出GHab， 同样因为相似，有
AGABa， GDGHb又因为ab，所以AGGD，即AGAE，
ab。 2显然，当AB逐渐趋近CD的时候，GH也逐渐向EF靠近， 当AB=CD的时候，即ABCD是矩形的时候，GH与EF重合。
ab即，当且仅当ab时，ab。
2ab所以，ab，当且仅当ab时，等号成立。
2所以GHEF,即ab
（二）概念深入
根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：
若a,bR，则a2b22ab。（当且仅当a=b时，等号成立）
ab。（当且仅当a=b时，等号成立） 2请同学们运用代数法证明： 作法一（作差法）： 若a,bR，则aba2b22ab(ab)20ab2ab22
当且仅当a=b时，等号成立。且发现这里且a和b可以是全体实数、单项式、多项式。
作法二（分析法）：
要证明abab， 2只需证明ab2ab， 即证ab-2ab0， 即为a-b20，该式显然成立，所以，当ab时取等号。
于是有这样的结论：
称ab为a,b的几何平均数；称基本不等式abab为a,b的算术平均数， 2ab又可叙述为： 2两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数
作法三（几何法）：
如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b．过点C作 垂直于AB的弦DE，连接AD,BD。 从而有CDab,ODab。 2ab。 2ab当且仅当C点与圆心O点重合时，即a=b时，ab
2故再次证明：
aba0,b0,ab，当且仅当a=b时，等号成立。
2ab也说明了ab的几何意义：半径不小于半弦。
2由于直角三角形COD中，直角边CD
（三）例题讲解
例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）
对于x,yR，
（1）若xyp（定值），则当且仅当xy时，xy有最小值2p；
s2（2）若xys（定值），则当且仅当xy时，xy有最大值。
4（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神。）
1例2.求yx(x0)的值域。
x1变式1.若x2，求x的最小值．
x21在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示yx(x0)的函数
x图象，使学生再次感受数形结合的数学思想。
ab并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式ab的三个限制
2条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略。
（四）归纳小结&课后作业 基本不等式：
若a,bR，则a2b22ab。（当且仅当a=b时，等号成立）
ab。（当且仅当a=b时，等号成立） 2（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）； （2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法。
作业：A组第4题，B组第1题，第2题
若a,bR，则ab
推荐第4篇：基本不等式教学设计
《基本不等式》教学设计
3.4.1基本不等式
开江中学 魏江兰
目标分析
依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：
1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重、难点分析
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式abab的证明过程及应用。 2难点：
1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；
2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
教法分析
本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。
《基本不等式》教学设计
教学准备
多媒体课件、板书
教学过程
教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 具体过程安排如下：
一、创设情景，提出问题；
设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境: 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式a2b22ab。在此基础上，引导学生认识基本不等式。
二、抽象归纳：
一般地，对于任意实数a,b，有a2b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立。 [问] 你能给出它的证明吗？
证明：因为a2b22ab(ab)20，即a2b22ab.（当ab时取等号）
特别地，当a>0,b>0时，在不等式a2b22ab中，以a、b分别代替a、b，得到什么？
设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.
《基本不等式》教学设计
答案： abab(a,b0)。 2你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？ 证明：（分析法）：由于a,bR，于是要证明 ab2ab，
只要证明 ab2即证
2ab，
ab2ab0，即 (ab)20，
所以abab，（当ab时取等号）
【归纳总结】
如果a,b都是正数，那么abab，当且仅当a=b时，等号成立。 2ab称为a,b的算术平均数，ab称2我们称此不等式为基本不等式。 其中为a,b的几何平均数。
文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
探究基本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究abab(a,b0)2的几何解释，通过数形结合，赋予不等式不等式abab(a,b0)2几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。
如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，CD
Dab
abab2abOCAB几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。
《基本不等式》教学设计
4．应用举例，巩固提高
我们可以用两个重要不等式来解决什么样的问题呢？
例1（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化） 对于（1）若（2）若，
（定值），则当且仅当（定值），则当且仅当
时，时，
有最小值有最大值
； ．
（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）
1例 2：当x0时，求yx的最小值？x1变式1：当x0时，yx有最值吗？
x1变式2：当x1时，yx有最值吗？
x通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．
练一练（自主练习）：课本练习5．归纳小结，反思提高
《基本不等式》教学设计
基本不等式：若若
，则，则
（当且仅当（当且仅当
时，等号成立） 时，等号成立）
（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法（一正二定三相等）． 6．布置作业，课后延拓
（1）基本作业：课本P100习题组
1、
2、3题
（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．
推荐第5篇：基本不等式的教学设计
《基本不等式》教学设计
基本不等式
教材分析
本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。 要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。
教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。 通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。 课程目标分析
依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：
1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重、难点分析
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式abab的2证明过程及应用。
难点：
1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；
2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
教法分析
本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。
教学准备
多媒体课件、板书
教学过程
教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 具体过程安排如下：
一、创设情景，提出问题；
设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现
《基本不等式》教学设计
实．基于此,设置如下情境:
上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 [问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab2ab。在此基础上，引导学生认识基本不等式。
二、抽象归纳：
一般地，对于任意实数a,b，有ab2ab，当且仅当a＝b时，等号成立。 [问] 你能给出它的证明吗？
学生在黑板上板书。
特别地，当a>0,b>0时，在不等式ab2ab中，以a、b分别代替a、b，得到什么？
设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.答案：
222222abab(a,b0)。 2【归纳总结】
ab，当且仅当a=b时，等号成立。 2ab我们称此不等式为基本不等式。 其中称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的
2如果a,b都是正数，那么ab几何平均数。
三、理解升华：
1、文字语言叙述：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
2、联想数列的知识理解基本不等式
已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系？
两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
3、符号语言叙述： 若a0,b0，则有ababab，当且仅当a=b时，ab。 22abab； 2[问] 怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）
“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：当a=b时，取等号，即ab仅当a=b时，取等号，即ababab。
24、探究基本不等式证明方法： [问] 如何证明基本不等式？
（意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。）
2(ab)0展开证明。
方法一：作差比较或由 方法二：分析法（完成课本填空）
设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”。
《基本不等式》教学设计
abab
① 2只要证ab
② 要证②,只要证ab
0
③ 要证③,只要证()20 ④ 要证显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立 。
点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.
5、探究基本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式ababab(a,b0)ab(a,b0)22的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。
如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，CDab
D
ab
ab
2 ba BAOC
几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。
四、探究归纳
例1：把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ 例2：把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 结论：
若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值； 若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。 简记为：“一正、二定、三相等”。
五、领悟练习： 公式应用 (1)若x0,x1的最小 x值为________,此时x_________.
(1) 若a>0,b>0,且a+b=2,则ab的最大值为_______,此时a=_____,b=_____。
六、反思总结，整合新知：
设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.老师根据情况完善如下：
一个不等式：若a0,b0，则有ababab，当且仅当a=b时，ab。 22两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。
三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：七字口诀“一正二定三相等”
七、布置作业：
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《不等式的基本性质》教学设计
主备人：黄小妹
辅备人：张泽云 李星华 刘军 李波 教学目标：
知识目标 : 掌握不等式的三个基本性质并且能正确应用；
能力目标: 经历探索不等式基本性质的过程，体会不等式与等式的异同点，发展学生分析问题、解决问题的能力；
情感目标 : 开展研究性学习，使学生初步体会学习不等式基本性质的价值。
教学重点：理解不等式的三个基本性质。
教学难点：对不等式的基本性质3的重点认识。 教法学法： “类比—交流—总结”教学过程：
（一）知识链接
我们在学习一元一次方程先讨论等式的性质，等式的这些性质适用于不等式吗？不等式有哪些性质呢？（类比思想方法） 进而引出本节课的内容——不等式的基本性质。
（二）自主学习
合作探究
1.展示一组题目，让学生先填空，观察以上四个式子，学生以小组的形式合作交流、共同探讨，最后填写规律的发现。
思考：用“﹥”或“﹤”填空，并总结其中的规律： (1)5>3,
5+2___3+2 ,
5－2___3－2 ;
(2)-1
-1+2___3+2 ,
-1－3___3－3 ; 根据发现的规律填空:当不等式两边加或减同一个数(正数或负数）时,不等号的方向______.(3) 6＞2, 6×5____2×5 , 6×（-5）____2×（-5） ; (4)–2
当不等式两边乘同一个正数时,不等号的方向_____而乘同一个负数时,不等号的方向_____; 2.归纳总结 得出结论
向学生展示一个天平的图片，让学生通过观察比较，归纳总结，并用式子表示出来，体会不等式性质的探究过程培养学生的发散思维及创新能力，
两个思考问题：
1、比较上面的性质2与性质3，看看它们有什么区别? 2.比较等式的性质和不等式的性质，看看它们有什么异同? 我的创设意图是：采用类比的学习方法，让学生在问题中加深对新知识的理解，以及对旧知识的回顾。
3.分组练习巩固新知
题组1： (1)如果x-5>4，那么两边都
可得到x>9 (2)如果在-7-2的两边都加上a+2可得到 (4)如果在-3>-4的两边都乘以7可得到 (5)如果在8>0的两边都乘以8可得到
(6)如果在x∕7>2 + x ∕ 2的两边都乘以14可得到 题组2：
(1)如果在不等式8>0的两边都乘以―8可得到 (2)如果-3x>9，那么两边都除以―3可得到 (3)设m>n,用“>”或“
n-5（根据不等式的性质
）-6m
-6n（根据不等式的性质
）
题组3： 1.设a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质（.1） a3；（2） a÷3____b÷3（3） 0.1a____0.1b;
（4） -4a____-4b（5） 2a+3____2b+3; （6）(m2+1)a____ (m2+1)b(m为常数) 2.已知a＜0，用“＜”“＞”填空：
(1)a+2 ____2； (2)a-1 _____-1； (3)3a______0；
(4)-
______0;
(5)a2_____0;
(6)a3______0;(7)a-1_____0； (8)|a|______0．
（三）展示成果
因为数学本身的学科特点，多做练习是很有必要的。 学生练习后展示交流让学生重新回顾新知，并在此基础上掌握不等式的三条性质。因为性质3是学生最容易出错的地方，练习时突破教学难点。
（四）巩固拓展 1.拓展提高 判断正误：
（1）如果a＞b，那么ac＞bc.（2）如果a＞b，那么ac2＞bc2.（3）如果ac2＞bc2,那么a＞b.(4)因为3＞2，所以3a＞2a 2.以下不等式中,不等号用对了么?(1)3-a
(2)3a
（五）本课小结 作业布置
我会跟学生共同回顾、总结、矫正及提高。帮助学生形成本节课的知识网络，特别要总结强调性质3符号问题。这也是学生最易出错的地方，因而是本节课的难点所在。
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《 基本不等式的证明》教学设计
【教材分析】
不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。而基本不等式是本章重要的一个单元，它是证明不等式、求解某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛。基本不等式是高中数学的重要内容之一，在高考说明中等级要求为C级。在不同的章节中都有应用，是培养学生逻辑推理能力和数学应用意识的好素材。本教材特别强调基本不等式的代数与几何背景以及在求最值中的应用。
【学情分析】
学生对函数中求最值，在一元二次不等式中都已经学过接触过有不等式的问题，因此提到不等式最值问题学生也不会陌生。在两个数的算术平均数和几何平均上，我们可以以两个数的等差中项和等比中项来引用这两个概念。这样对两个数据形式上就不会陌生，在初步了解大小关系后在给出概念。但由于学生的基础薄弱，可以预见在探索基本不等式时，寻找不等关系也有一定的困难。
【教学目标】
知识目标：
1、知道算术平均数和几何平均数的概念并且能求出两个数的算术平
均数和几何平均数。
2、理解基本不等式的证明过程。
技能目标：
1、掌握基本不等式的取等条件，并能用此方法求函数最大值。
2、通过对基本不等式证明的理解，体会三种证明方法，能准确用三种证明中简单的方法证明其它不等式问题。
3、体会类比的数学思想方法，培养其观察分析问题的能力和总结概括
的能力
情感目标：通过不等式基本性质的探究过程，培养学生合作交流的思维品质，渗透不等式中的数学美，激发学生学习兴趣，陶冶学生的数学情操。
【教学重点】
1、如果a，b是正书，则为a、b的算术平均数；为a、b的几何平均，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”。即定理（
）（当且仅当
时取
）
，
2、上面公式中“当且仅当的含义是：当时取等号，即
；
仅当时取等号，即，综合起来就
充要条件。 【教学难点】
是的
1、不等式求函数最值时的取等条件
2、对于公式的变形可求的最大值
【教学方法】
启发学生探究，多媒体辅助教学
【教具准备】 多媒体电脑课件 【教学过程】
一、设置问题情境： （展示并介绍古代弦图）
同学们现在看到的是中国古代数学中著名的一副图，叫做弦图。它是由我国三国时期的数学家赵爽设计的。早在1300多年以前，这位数学家就巧妙的利用弦图中的面积关系证明了勾股定理，这是世界上最早证明勾股定理的方法之一。弦图不仅造型美观，而且蕴藏着很多玄机。
（展示24届国际数学家大会会标）
大家现在看到的是2002年在我们北京召开的第24届国际数学家大会的会标。这个会标设计源于古代弦图。它的色调明暗相间，使它看上去象一个风车，这不但
象征中国人民的热情好客，同时也充分展现了中国古代数学对世界所做出的重大贡献。今天咱们也来研究一下弦图。
问题1．请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不等关系?（让学生分组讨论）
形的角度 (利用多媒体展示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积。) 问题2.数的角度 若设直角三角形的两直角边分别为a、b,应怎样表示这种不等关系?
学生讨论结果：
。
问题3．大家看，这个图形里还真有点奥妙。我们从图中找到了一个不等式。这里a、b的取值有没有什么限制条件? 不等式中的等号什么时候成立呢？（师生共同探索）
咱们再看一看图形的变化，（教师演示） （学生发现）a、b为正数，当a=b四个直角三角形都变成了等腰直角三角形，他们的面积和恰好等于正方形的面积，即等式，当且仅当
时等号成立。
。 探索结论：我们得到不
二、数学建构
问题1：若设直角三角形的两直角边分别为系?
,应怎样表示这种不等关
如果把它变形，我们能得到什么？
这个不等式 就是今天我们要研究的重点内容，我们把它叫做基本不等式。
我们常把 叫做正数 的几何平均数， 叫做正数的算术平均数。基本不等式说明两个正数的算术平均数不小于其几何平均数。
问题2：这个不等式怎么证明呢？请与同学讨论一下。
求证：基本不等式 ，（）（当且仅当时取）
证法一：
作差
= 变形
= 判断符号
当且仅当，即时取 取等条件
学生容易忽视取等“=”时的情况，出现这种情况可以让学生仔细从证明问题中注意“”号，进而提示学生没有完成。该过程可以提高学生对问题的细心程度，可以培养学生对周围事物的观察力，善于发现问题的能力。 证法二：
要证
只要证
只要证
只要证
因为最后一个不等式成立，所以时取
成立，当且仅当，即问题3：本证明方法有什么特点？平时有没有遇到过？ 生：从结论出发，逐步反推已知。在初中几何中遇到过。
有了第一种证明方法此时学生已经不会忽视取“=”条件。证法2的方法我们称之为“分析”，其特点是从结论出发（出发点让学生总结），形式是“要证……，只要证……只要证……”（形式让学生自己总结），从本质上看，只是对问题做尝试的探索的过程（即执果索因）。当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的。
探究：对基本不等式再研究
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？（教师演示，学生直观感觉）
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，
那么ＣD2=ＣA·ＣB 即ＣD=
.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.
，其中当且仅因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
这正象著名数学家华罗庚说的:数无形时少直观,形无数时难入微,数形结合千般好,数形分离万事非.可见，数与形真的是密不可分呀。
问题4：前面，我们刚刚学习了数列， 和 在数列中代表什么？
学生：等差中项·等比中项
基本不等式说明两个正数的等差中项不小于他们的等比中项。
三、要点训练 例1 设为正数，证明下列不等式成立：
（1）
（2）
注意：
要说明不等式中等号成立的条件。这两道例题在讲授时以提问学生为主，让学生自己说，老师在前面板书。 练习：课后练习2题
例2 已知函数，，求此函数的最小值。
注意：
要说明什么时候取得最小值。这是证明基本不等式在函数上的第一个应用，要让学生能够结合基本不等式和函数综合解决最值的问题。
四、课堂练习：练习2题，4题
五、课堂小结：请大家想一想，这节课你有哪些收获？
1．知识：基本不等式
2．思想方法：数形结合，转化与化归数学思想
六、课后作业 巩固升华 课本第100页，习题3.4A组
1、2
七、板书设计
基本不等式的证明 基本不等式内容
证法2
例1
例2
证法1
八、教学反思
1、导入新课采用学生比较感兴趣的变换的几何图形为背景，并且，配以解说，使学生从方方面面感受弦图的玄妙，容易被学生接受，从而产生兴趣，迅速激发学习动机。兴趣是驱使学生探究的良方，教学过程中，时刻应注意照顾学生的学习兴趣，推动学生动手动脑去探究。
2、在建立新知的过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步应用所学的知识来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构。每个问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学生思考和回答。使思考和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思考有价值，对知识的理解和掌握在不断的思考和讨论中完善和加深。但实施落实的可能还不到位，有待改进。
3、本节的教学中要求学生对基本不等式在数与形两个方面都有比较充分的认识，特别强调数与形的统一，教学过程从形得到数，又从数回到形，意图使学生在比较中对基本不等式得以深刻理解。“数形结合”作为一种重要的数学思想方法，不是教师提一提学生就能够掌握并且会用的，只有学生通过实践，意识到它的好处之后，学生才会在解决问题时去尝试使用，只有通过不断的使用才能促进学生对这种思想方法的再理解，从而达到掌握它的目的。
4、本课的设计是想通过师生课上的探索、互动学习，达到理解掌握知识的目的。在教师的引导和启发下，学生自己寻找、探求解决问题的途径是本节教学所采用的教学方式。课上学生学习热情很高，师生的互动非常好，出现了很多讨论问题的高潮。学生能够针对教师的问题进行充分的分析和讨论，而且通过讨论,学生对知识点的理解得到了深化，达到了掌握知识的目的。
九、对本节教学设计的说明
新课程的理念倡导学生积极主动地探索知识的发生、发展，但这必须是在教师的引领之下，否则学生很容易误入歧途。教师应该尽力做好学生探究活动的引路人。在设计这节课的教学时，课堂上采取让学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、引导者和服务者，为了让学生的探究活动积极有效，主要设想以问题立意，始终围绕基本不等式的发现、发展这一中心问题并渗透数型结合、转化与化归思想。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学教学理念。
推荐第8篇：《不等式的基本性质》教学设计
《不等式的基本性质》教学设计
义堂中学： 许涛
一、教学目标：
（一）知识技能
1．掌握不等式的三条基本性质。 2．运用不等式的基本性质将不等式变形。
（二）数学思考
1．通过联想等式的性质，探索不等式的性质，初步体会“类比”的数学思想。 2．通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，感受数学思考过程的条理性，发展思维能力和语言表达能力。
（三）解决问题
1．学生经历观察、探究、归纳、总结等过程，获得解决数学问题的经验和方法，能够运用不等式的基本性质解决简单的问题。
2．通过运用不等式的基本性质将不等式变形，形成解决问题的一些基本策略，发展学生用数学意识。
（四）情感态度
通过探究不等式基本性质的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好思维品质。培养学生对数学的好奇心与求知欲，并从数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心。
二、教学重点：
探索不等式的三条基本性质并能正确运用它们将不等式变形。
三、教学难点：
不等式基本性质3的探索与运用。
四、教学方法：自主探究——合作交流
五、教学媒体：投影仪
六、教学过程: 【活动一】
问题1．举例说明什么是不等式？ 学生积极口答。
问题2．判断下列各式是否成立？并说明理由。
( 1 ) 若x－3=12, 则x＝15 (
)
( 2 ) 若3x=12, 则 x＝4
(
)
( 3 ) 若x－3＞12 则 x＞15 (
)
( 4 ) 若3x＞12 则 x＞4
(
)
教师用投影出示问题，学生思考、回答，（1）、（2）小题唤起对旧知识——等式的基本性质的回忆，（3）、（4）小题引导学生大胆说出自己的想法。
教师小结：当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到它是否与等式有相类似的性质。这节课我们就通过类比来探究不等式的基本性质。
在本次活动中，教师应重点关注：（1）学生对等式基本性质的记忆和理解；（2）学生对不等式变形结果的推断。
设计意图：通过复习既找准了旧知停靠点，又创设了一种情境，给学生提供了类比、想象的空间，为后续学习做好了铺垫。 【活动二】
问题2．由等式性质1你能猜想一下不等式具有什么样的性质吗？
估计学生会猜：不等式两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），所得结果仍是不等式。此时教师加以引导，“＝”没有方向性，所以可以说所得结果仍是等式，而不等号：“＞，＜，≥，≤”具有方向性，我们应该重点研究它在方向上的变化。
问题3．你能通过实验、猜想，得出进一步的结论吗？ 同桌同学通过实例验证得出结论，师生共同总结不等式性质1。 问题4．你能由等式性质2进一步猜想不等式还具有什么性质吗？
学生可能会猜：不等式两边都乘或除以同一个数（除数不能是0），不等号的方向不变。教师不置可否，而是鼓励学生实践是检验真理的唯一标准。
问题5．你能和小伙伴一起来验证你们的猜想吗？
学生在四人小组内合作交流，发现了在不等式两边都乘或除以同一个数时，不等号的方向会出现两种情况。教师进一步引导学生通过分析、比较探索规律，从而形成共识，归纳概括出不等式性质2和3。 设计意图：把猜想作为教学的出发点，启发学生积极思维，探索规律，把课堂变为学生再发现、再创造的乐园。让学生在“做”数学中学数学，真正成为学习的主人。
问题6．在不等式两边都乘0会出现什么情况？
问题7．如果a、b、c表示任意数，且a＜b，你能用a、b、c把不等式的基本性质表示出来码？
教师指导学生先作变形再填不等号，对字母c的取值进行讨论，培养学生的分类意识。 设计意图：把文字语言转化为数学语言，是数学学习中的一项基本能力，这里有意识地进行渗透，对培养学生的思维能力有十分重要的意义。
问题8．想一想，不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同之处，有什么不同之处？
学生思考，独立总结异同点。
在本次活动中，教师应重点关注：（1）学生是否能够运用类比猜想并通过对具体实例的验证、归纳、概括，得出不等式的三条基本性质；（2）学生在不等式的基本性质
2、3的探索中是否能正确分类；（3）学生对不等式的基本性质
2、3与等式的基本性质2的比较与认识。
设计意图：引导学生把二者进行比较，有助于加深对不等式基本性质的理解，促成知识的“正迁移”。
【活动三】
问题9．你能运用不等式的基本性质解决问题吗？ 1．课本61页例2 教师解释x＞a或x＜a的特点，并由学生依据不等式的基本性质口述解题过程，然后投影示范。
2．课本62页例3 教师引导学生观察每个问题是由a＞b经过怎样的变形得到的，应该应用不等式的哪条基本性质。由学生思考后口答，教师投影示范。
设计意图：对学生进行推理训练，让学生明白，叙述要有根据，进一步提高学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
问题10．你认为在运用不等式的基本性质时哪一条性质最容易出错，应该怎样记住？ 同桌之间互说悄悄话，传授学习窍门。
设计意图：及时进行学习反思，总结经验，通过相互评价学习效果，及时发现问题、解决知识盲点，培养学生的创新精神和实践能力。
3．小军的困惑
小军用不等式的基本性质将不等式m＞n进行变形，两边都乘以4，4m＞4n，两边都减去4m, 0＞4n－4m,即0＞4(n－m)，两边都除以（n－m）,得0＞4，0怎么会大于4呢？
小军可糊涂了……
聪明的同学，你能告诉小军他究竟错在什么地方吗？ 同桌讨论，教师对活动积极、细心的同学提出表扬。
设计意图：通过替人排忧解难，强化对不等式三个基本性质的理解与运用，突出重点，突破难点。
4．孙悟空火眼金睛 ①a＞2, 则3a___2a ②2a＞3a,则 a ___ 0
在本次活动中，教师应重点关注：学生能否正确运用不等式的基本性质将不等式进行简单地变形。特别是在运用不等式基本性质3时是否注意到了两个改变：性质符号的改变和不等号方向的改变。
设计意图：通过变式训练，加深学生对新知的理解，培养学生分析、探究问题的能力。 【活动四】 拓广探索：
你来决策
咱们班的王帅同学准备在
五、一期间和他的爸爸、妈妈外出旅游。青年旅行社的标准为：大人全价，小孩半价；方正旅行社的标准为：大人、小孩一律八折。若两家旅行社的基本价一样，你能帮王帅同学考虑一下选择哪家旅行社更合算吗？
教师投影出示题目，学生在小组内讨论交流，教师深入学生之中，点拨、引导，最后展示解题过程。
在本次活动中，教师应重点关注：学生在面临实际问题时，是否主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。 设计意图：利用所学的数学知识，解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段。既培养了学生用数学知识解决实际问题的能力，又树立了学好数学的信心。
七、小结：
这节课你有哪些收获？有何体会？你认为自己的表现如何？ 教师引导学生回顾、思考、交流。
教师重点关注：（1）学生归纳总结能力；（2）能否对问题有进一步思考；（3）能否发表自己的见解，倾听他人的意见，反思学习过程；（4）学生对性质的理解程度。
设计意图：回顾、总结、矫正、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络。
八、作业：习题6.1 A组
5、6题，B组1题。
九、教学反思：
推荐第9篇：《基本不等式》教学设计和教学反思
《基本不等式》教学设计
一、教材分析
（一）本节教材的地位与作用
数学是研究空间形式和数量关系的科学.与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系.在本章中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，学习一些关于不等式的基本知识，通过不等式丰富的实际背景理解不等式.而通过本节内容《基本不等式》的学习，学生将了解不等式的证明，解决一些简单的最值问题.同时本节内容还渗透了“数形结合”与“化归”思想，有利于提升学生优良的数学思维品质.
（二）教学目标的确定 （1）知识与技能
①从不同角度探索基本不等式，理解基本不等式； ②会用基本不等式解决简单的最值问题.（2）过程与方法
①借助“拼图游戏”， 通过操作、观察、抽象、概括学会从不同角度探索基本不等式,明确其简单应用；
②渗透“数形结合”与“化归”思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.（3）情感、态度与价值观
通过自主探究活动,获得发现的成就感, 激发对数学的积极情感,培养创新意识和严谨的科学精神.
（三） 教学重点和难点 1.教学重点
从不同角度探索基本不等式，理解基本不等式.2.教学难点
会用基本不等式求最大值和最小值.
二、教法分析
1.采用启发式教学法创设问题情境，激发学生尝试活动.2.多媒体辅助教学，使用多媒体辅助进行直观演示启发学生思考. 3.问题引导，探究基本不等式.4.联系实际问题，讲练结合，同时采用变式教学巩固应用，加深理解.
三、学法分析
在教学中, 让学生在问题情境中, 经历知识的形成和发展, 通过观察、探索、交流、反思参与学习, 认识和理解数学知识, 学会学习, 发展能力.
四、教学过程
（一）问题情境一
问题1：你能用四块相同的三角板拼成一个正方形吗？
这个环节，以基本不等式的几何背景入手，让学生四人一个小组，用准备好的四块相同的三角板进行拼图游戏.从而得到赵爽弦图的模型，并适时地介绍我国三国时期伟大的平民数学家及由他创设的弦图.
设计意图：以趣引思，激发学生发现新知的欲望，让学生对赵爽及赵爽弦图记忆深刻，并为探究基本不等式作好铺垫.
问题2：如果设直角三角形的两条直角边分别为a,b ， 你能用a、b来表示正方形ABCD的面积与四个全等的直角三角形的面积和吗？正方形ABCD的面积与四个全等的直角三角形的面积和之间有怎样的大小关系呢？
通过这两个简单的问题，学生很快得到正方形的面积大于四个直角三角形的面积和，但对于等号是否成立还有疑惑，所以再利用多媒体进行动画演示，对为什么当且仅当a=b时取等号给出了直观的解释.从而得到结论ab2ab(a,bR)（当且仅当a=b时取等号） 设计意图：由学生自己拼成的“弦图”出发，由“形”及“数”， 自然生成得到了基本不等式，也体现了数与形的完美结合.问题情境二
问题3： AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b, 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD.则半径OD =______, 半弦CD =______.半径与半弦有怎样的大小关系？ 设计意图：通过几何背景“半弦≤半径”，探索基本不等式，运用动画演示，对基本不等式给出更直观的几何解释.
（二）建构数学
问题4：刚才我们通过数学实验及几何图形发现了不等关系ab2ab(a,bR)（当且仅当a=b时取等号），我们能否用代数的方法严格证明呢？
学生容易用代数的方法如“作差法”“分析法”“ a2b22ab(a,bR)替代法”来证明这个不等式.从而得到本节课的基本ab2ab(a,bR)（当且仅当a=b时取等号）要特别强调a,bR.设计意图：学生用代数的方法证明基不等式，引导学生体验数学结论的探究过程，体验了成功的喜悦，同时使学生理解数学是自然的，也是严密的
（三）应用数学
1的最小值 x1变式一：x0,求x的最大值
x4的最小值 变式二：x2,求xx24的最大值 变式三：x2,求xx2例1.x0,求x例2.x0,y0,xy3,求xy的最大值 例3判断题
111(1)x的最小值是2;(2)x的最小值是2(x2);(3)x2(x0)的最小值是2xxxx设计意图：通过多个例题及变式,拓展基本不等式应用的灵活性,并着力突出基本不等式使用的前提条件.例4.(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园, 问该矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短，最短的篱笆是多少? (2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时, 菜园的面积最大.最大面积是多少？ 设计意图：
通过本例使学生明确:两个正数积为定值时，和有最小值;两个正数和为定值时，积有最大值，当然前提是等号必须能够取到.并抽象出数学模型: x0,y0(1)xyP(定值),则当xy时,xy的最小值是2P; S2(2)xyS(定值),则当xy时,xy的最大值是
4（四）巩固练习
ab1.a0b0.求的最小值;ba12..0x,求sinx最小值sinx变式:0x?23.求半径为R(常数)的圆的内接矩形面积的最大值
设计意图：
练习1,2及变式是对基本不等式的简单应用：两个正数，当积为定值时，和有最小值，前提等号必须取到.变式强调应用基本不等式时一定要验证等号是否取到.,练习3体现两个正数，当和为定值时，积有最大值的应用.设计这三个练习及变式是在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生进一步加深对基本不等式的理解，深刻体会应用基本不等式求最值时的条件和方法，培养学生的发散和创新思维.充分认识基本不等式的使用价值.
（五）归纳总结、作业布置
学生总结：1．你有哪些收获？
2. 应用基本不等式要注意哪些问题？ 设计意图：
通过两个问题引导学生总结归纳本节课的知识点及应用基本不等式时要注意的一些问题,强化对基本不等式的理解与认识.
推荐第10篇：基本不等式教学反思
基本不等式教学反思
我对这节课做了如下的反思：
一．在教学过程中要充分发挥学生的主体地位
在课堂上，无论是新教师还是老教师，通常会把自己当做课堂上的主人而过多的会忽略学生的主体地位；或者学生会因为长时间的习惯于听老师来讲解而忘记自己是课堂的主人。
在这节课中，我设计了多个让学生讨论的环节，但是当我说了同学们可以和自己的同桌讨论一下自己获得的结论之后教室里还是会很安静。这样的课堂活动经过了一分钟后，我不得不自己来讲解我设计好的问题。此时我感觉到这节课已经失败了，因为我占据了本该属于学生的时间。
二．要设计好教学问题
在教学中应合理设计教学中所要用的问题，我设计的学生互动环节为什么没有成功呢？我想很大的原因是我没有设计好问题，在提问题时没有明确我要求他们要给我什么样的结果。在这节课中，我大部分的问题都是这样问的：请同学们自己首先来做一下这道题目，然后跟自己的同桌讨论一下自己的结果是否正确。当学生听到这样的问题时，他们首先会自己一个人去完成题目，而不会跟自己的伙伴合作完成。而且在数学教学中对问题的梯度设计很重要，因为新课程很强调概念的形成过程，而概念的产生是一个抽象的过程，所以在教学时要非常好的展示给学生概念是怎么产生的，而这个教学环节就要求教师能够设计好问题的梯度。 三．要学会设计有深度的问题
在本节课的教学中，我问的最多的问题就是：同学们明白了没有啊，或者对不对啊，是不是这样的啊这些肤浅的问题。而从课堂效果看，这些问题并没有调动学生的学习积极性，学生也只是机械的回答一下：是或者不是，对或者不对。使学生跟老师之间的沟通成了一种机械的问答过程。所以在以后的教学中我应该更加重视对问题深度的要求。
以上就是我对本节课的教学反思：多发挥学生的主体性地位，设计好教学问题并且要学会提有深度的教学问题。
第11篇：《基本不等式》教学反思
本节课，教师能较好的分析把握教学内容，教学设计新颖合理，教学组织合理有效，较好的达成了教学目标，教学效果良好。本节课有如下主要亮点：
第一，教学线索清晰。教学中以基本不等式的获得和应用为明线，以数学思想方法的渗透和体会为暗线。在本节课的学习和教学中，明暗线索交相呼应，学生不断的在知识学习的过程中体会数学思想方法的作用，甚至能在例题教学中尝试让学生运用思想方法策略性的思考和学习，学生在知识学习的同时更有对数学认识上的提升，这就使得学生的学习过程自然流畅。
第二，注重知识的本质认识和理解。本节课，就基本不等式这一核心知识而言，教师通过对教学材料的有效处理，为学生呈现了多角度认识知识的机会，特别是设计了基本不等式和重要不等式关系的认识和思考环节，使得学生认识到本节课的两个不等式的和谐、一致。这样的设计促进了学生对基本不等式的本质的认识，利于学生理清本节课的核心知识，而教师在轻松自然间不着痕迹的很好的突出了教学重点，同时也为广大教师提供了一些如何认识基本不等式的新视角。
第三，注重学生参与的实质性、坚持知识获得的生成性。整堂课，教师始终做到学生知识的获得来自于实质的数学活动和生成的深刻性。在本节课，我们可以从学生的情感参与、行为参与、认知参与三个维度观察到，通过学生参与真实意义的数学活动，保证了学生生成的自然合理，并将生成成为知识获得的前提，这样的学习是科学有效的。
当然本节课也还存在一些不足：
整堂课表现出缺少引导学生适时对学习进行反思，这样就失去了一些能让学生体会或可能形成学习策略的机会。尽管教师在核心知识的教学中已经较重视知识的本质认识和理解，但在教学过程中的某些时刻还是表现稍有急躁，没有将知识获得的过程持续完美。从整体上看，整节课的探究水平还是显得稍低尚处于引导探究层次。究其原因，是传统讲授式教学习惯在不经意间的反映。
第12篇：基本不等式
基本不等式
一、教学内容：
本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。主要是二元均值不等式。它是在系统的学习了不等式关系和不等式性质、掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基础不等式之一，为后续的学习奠定基础。并且是后面研究最值问题所必须的工具。基本不等式不仅是一门数学问题，而且在知识体系中具有承上启下的作用，具有很重要的作用。
二、教学目标
教学目标：让学生初步了解不等式的几何背景，探究不等式的证明过程。 让学生学习了解不等式的基本性质，并且在老师引导下初步掌握不等式的证明过程。
进一步探究，深入了解不等式证明过程和基本方法。
三、教学问题诊断
从认知上来说，通过课堂学习，学生基本可以掌握课堂上所学习的关于不等式的基本内容，并且也具备了一定的几何知识。但是，如果老师不在深入的引导，学生的并不等通过课堂所学内容灵活的构建和学习不等式中相关内容，甚至形成一定程度的枷锁效应。所以此时老师应该充分的引导学生，增强其对基本不等式的理解，发散学生的思维，让其具有充分可初步自学的能力。
四、教学支持条件分析
为了更好地展示几何图形，让学生更形象更直接的理解几何图形中的基本不等式的基本关系，形成基本的知识框架，可以借助多媒体几何软件或动画帮助学生理解，也可以通过一些数学模型器材帮助学生。
五、教学流程
1.动手操作，几何引入
2.探讨证明
3互动引导，深入探究
4.课后分析，加强巩固
六、教学分析
通过这节课的学习，引领学生多角度、多方位地认识基本不等式，并了解它的几何意义充分渗透数形结合的思想；能在教师的引导下，主动探索并了解基本不等式的证明过程，强化证明的各类方法。在教学过程中始终围绕教学目标进行评价，师生互动，在教学过程的不同环节中及时获取教学反馈信息，以学生为主体，及时调节教学措施，完成教学目标，从而达到较为理想的教学效果。
第13篇：不等式的基本性质教学设计（版）
§6.1.2不等式的性质
【教学重点与难点】
教学重点：掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3． 教学难点：正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．
【教学目标】
1、
探索并掌握不等式的基本性质
2、
会用不等式的基本性质进行化简 【教学方法】
通过观察、分析、讨论，引导学生归纳总结出不等式的三条基本性质，从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．
【教学过程】
一、创设情境
复习引入
（设计说明：设置以下习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．）
问题：
1、什么是等式？等式的基本性质是什么？
2、
什么是不等式？
3、
用“＞”或“＜”填空．
（
1）
3
（
2）2
（3） 2
7+1
2×
5 3×5
2×(-1)
3×(-1) 3-5
7-5
2÷
2 3÷2
2×(-5)
3×(-5)
3+a
7+a
2÷(-2)
3÷(-2) （教学说明： 复习等式的基本性质后学生自然会联想到，不等式是否有与等式相类似的性质，从而引起学生的探究欲望.接着问题3为学生探究不等式的性质提供了载体，通过观察，寻找规律，得出不等式的性质.）
二、师生互动，探索新知
1、不等式的基本性质
问题1：观察思考问题3，猜想出不等式的性质
先让学生独立思考，后合作交流，通过充分讨论，类比等式性质得出不等式的性质.观察时，引导学生注意不等号的方向，通过（1）题学生容易得出不等式性质1：
不等式基本性质1
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
比较（2）、（3）题，注意观察不等号方向，并思考不等号方向的改变与什么有关？由学生概括总结，教师补充完善得出：
不等式基本性质2
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
不等式基本性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 问题2：将不等式－2＜6两边都加上7，－9，两边都乘3，－3试一试，进一步验证上面得出的三条结论．
教师 强调指出：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算，当进行“＋”、“－”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变．
问题3：尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质．
学生思考出答案，教师订正，最后得出： (1)
如果a>b，那么a±c>b±c
(2)
如果a>b，c>0那么ac>bc(或 >) (3)
如果a>b，c
学生独立思考、小组交流讨论，师生归纳得出：
区别：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0）时，结果仍相等；不等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0）时，会出现两种情况，若是正数，不等号方向不改变，若是负数不等号方向要改变，而且不等式两边同乘以0，结果相等.联系：不等式性质和等式性质都讨论的是两边都加上或减去同一个数的情况和两边都乘以或除以同一个数（除数不为0）的情况，即研究“形式”一致.（教学说明：通过观察具体数字运算的大小比较，联系已学过的等式的性质，让学生归纳出不等式的三条基本性质，并分别用式子的形式表示它们.用式子表示是个抽象概括的过程，只有理解了相关内容才会概括表示它们.研究不等式的基本性质与等式的基本性质的区别与联系可以帮助学生用类比的方法来记忆与学习.）
2、不等式性质的应用
例1：利用不等式的性质，把下列不等式化成“x>a” 或“x
(1)x-7>26;
(2)3x50;
(4)-4x>3.解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上7，不等号的方向不变．
得
x-7+7>26 +7.
x>33
（2）根据不等式基本性质1，两边都减去2x ，不等号的方向不变，得
3x-2x
x
（3）根据不等式基本性质2，两边都乘以 ，不等号的方向不变，得
x>75
（4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4，不等号的方向改变，得
x
(教学说明：这些不等式比较简单，可以利用不等式的性质直接求解，从而加深对这些性质的认识.教师板书（1）题解题过程．（2）（3）（4）题由学生在练习本上完成，指定三个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确．解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，有助于加强知识之间的前后联系，突出新知识的特点，并将原题与“x>a” 或“x
例2：三角形中任意两边之差与第三边有什么大小关系？
a
b 师生共析:三角形的两边之和与第三边有什么关系？
c 三角形的任意两边之和大于第三边，如图，我们设三角形三边长分别为a,b,c,那么用式子如何表示前面的结果？
a +b>c, a+c>b, b+c>a 我们现在求的是两边之差与第三边的关系，所以由不等式的性质1将上式变形为：
由a +b>c得a >c-b, b>c-a.同理，由a+c>b, b+c>a可得c>b-a, b >a-c,c>a-b, a >b-c.这就是说，三角形中任意两边之差小于第三边.(教学说明：此问题应用不等式的性质由“三角形的任意两边之和大于第三边”得出“三角形中任意两边之差小于第三边”这个与已有结论等价的新结论.“三角形的任意两边之和大于第三边”对应的是三个形式一样的不等式，而不是一个不等式.由这三个不等式再推出“三角形中任意两边之差小于第三边”.为了加深学生的感性认识，可以通过测量的方法验证这个结论.)
三、巩固训练，熟练技能：
1、如果a>b，那么 (1) a-3
b-3 ， (2) 2a
2b
-3a
-3b，
(4) a-b
0
(5)
（6）(6)-b_____-a.
2、在下列各题横线上填入不等号，并说明是根据不等式的哪一条基本性质．
（1）若a–3＜9，则a_____12；
（2）若-a＜10，则a_____–10；
（3）若 a＞–1，则a_____–4；
（4）若- a＞0，则a_____0．
(3)
第14篇：基本不等式教学设计和课后反思
基本不等式教学设计和课后反思
教学分析
基本不等式（又称均值不等式）是在比较系统地学习了基本不等关系和“不等式的性质”的基础上对不等式的进一步研究，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。基本不等式的证明过程中蕴含诸多的数学思想，对于进一步探索不等式的证明问题和解决实际问题有重要的启发作用。学生通过本章前两节的学习对不等式有了初步的了解，学会了运用不等式解决一些基本问题，但是接触的不等式都较为单一，灵活度不够，而基本不等式在求最值及解决相关实际问题方面要求学生更为灵活地运用，有利于学生更好的掌握对不等式的运用，为后续的学习奠定基础.标学: 1.阅读教材，会证明基本不等式，并熟记不等式使用的条件；
2.小组合作，会利用基本不等式准确求出积（和）定类型的最大（小）值.重点难点 教学重点：
1.从代数的角度探索并理解基本不等式的推导、证明过程；2．会用基本不等式解决一些简单的最大(小)值问题。
教学难点：基本不等式成立时的三个限制条件（简称：一正、二定、三相等） 课时安排
1课时
教学过程
互学1 问题1.你会证明a2b22ab吗？什么时候等号成立呢？
问题2.将上面结论中的a,b分别用a,bєR？
a和b代替，结论会变成怎样？大前提还是不是(设计意图：通过一个关于求函数最小值的实际问题情境设置造成学生认知上的“知识冲
突”，激发其学习本节课新知识的欲望。同时直接利用初中已经学过的完全平方式的非负性及其展开时快速得到基本不等式的来源a总结：重要不等式：a基本不等式:22b22ab，并通过类比的方法得出本节课的主题.）
b22ab，当且仅当ab时等号成立.abab（a0,b0），当且仅当ab时等号成立.（和定积最大） 2ab2ab(a0,b0)当且仅当ab时等号成立.（积定和最小）
互学2基本不等式的应用
（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用
2篱笆最短.最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? （设计意图：利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利 用基本不等式来解决一些简单实际问题的最值问题.）
【牛刀小试】（1）已知x0，求函数yx1x的最小值.（2）已知正数x，y满足xy1,求xy的最大值.（设计意图：通过两个个较为简单的练习让学生掌握证明格式，理解基本不等式成立的“前 提条件”、“取等号条件”,也为突出本节课积定和最小，和定积最大的知识点).应用2.已知x0，求函数yx1x的最大值
解：原式=-（-x1）-2x-x1=-2 x当且仅当-x1即x-1时等号成立 x（设计意图：通过改变条件强调基本不等式成立时的三个限制条件：一正、二定、三相等.
用学评讲：学以致用，检查学生学习情况
课堂小结 ：总结本节课知识，形成结论和做题步骤
作业 ：（分层布置，让各个层的学生都能接受）
必做题：P100习题3.4：A组1（1）、（2）
选做题：A组2 课后反思：
本节课主要存在的问题在于：
1.团队组员之间的交流讨论不热烈，没能让所有学生参与课堂。今后要重点思考完善互学，设计设才能让学生积极热烈的讨论，发挥我们的团队优势。
2.只是提问少数学生演板，没能拿出更多的时间让更多的学生展示学习效果。今后要把课堂更多的交给学生，真正做到以学为主。
3.没有对学生的预习情况进行总结和评价
4.，没有正向激励的评价语言，导致激励效果不好，今后要有目的的收集并学习一些能够激励学生的语言，用表扬来鼓励学生。
5.在讲授新内容之后，应该给与学生对公式限时背诵，增加课堂的任务驱动，让更多的学生积极参与课堂中来。今后要驱动教学，让学生积极思考，从而实现对知识的真正把握。
第15篇：必修五3.1.1基本不等式教学设计
《基本不等式（第一课时）》教学设计
汪清刚
吉林省辽源市东辽县第一高级中学
一、教学目标 知识与技能：
1.理解两个正数的算术平均数不小于他们之积的2倍的不等式的证明。2．理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及几何解释。 过程与方法
本节的学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形俩方面深入的探究不等式的证明，从而进一步突破难点。基本不等式的证明要注重严密性，每一步都有理论依据，培养学生的逻辑能力。 情感，态度与价值观
培养学生举一反三地逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力。引导学生领会运用基本不等式
的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．
二、教学重点和难点
三、重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；
难点：理解“=”成立的充要条件.
三、教学过程：
1．动手操作，几何引入
如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统
一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．
探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？ 在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为
．于是，
，
，
那么正方形的边长为4个直角三角形的面积之和正方形的面积由图可知，即
．
．
探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和现一个不等式吗？
（
），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发通过学生动手操作，探索发现：
2．代数证明，得出结论
根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论： 若，则
． 若，则．
学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：
（1）若，则；（2）若，则
请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明． 证法一（作差法）：
，当（在该过程中，可发现证法二（分析法）：由于
的取值可以是全体实数）
，于是
时取等号．
要证明 ，只要证明 ， 即证 ，
即 ，该式显然成立，所以，当时取等号．
得出结论，展示课题内容 基本不等式: 若若，则，则
（当且仅当（当且仅当
时，等号成立） 时，等号成立）
深化认识：
称为的几何平均数；称为的算术平均数
基本不等式又可叙述为：
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3．几何证明，相见益彰 探究三：如图，于的弦是圆
的直径，点．
由于Rt
中直角边
斜边
，
是
上一点，
，
．过点
作垂直，连接根据射影定理可得：于是有故而再次证明： 当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立．
当时，（当且仅当时，等号成立）
（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性） 4．应用举例，巩固提高
例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化） 对于（1）若，
（定值），则当且仅当
时，
有最小值
；
（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．
（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）
例2.求的值域．
变式1.若，求的最小值．
在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示再次感受数形结合的数学思想．
的函数图象，使学生并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略． 练一练（自主练习）：
1.已知2.设，且，且
，求
，求的最小值． 的最小值．
5．归纳小结，反思提高 基本不等式：若，则
（当且仅当
时，等号成立）
若，则（当且仅当时，等号成立）
（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；
（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法． 媒体展示，渗透思想：
若将算术平均数记为，几何平均数记为
利用电脑3D技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面在曲面 的上方
6．布置作业，课后延拓
（1）基本作业：课本P100习题组
1、2题
（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．
（3）探究作业：
现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．
第16篇：3.4.1 基本不等式的证明教学设计
凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计
3.4.1 基本不等式的证明
南京师范大学附属中学 季人杰
教学目标：
1．探索并了解基本不等式的证明；
2．体会证明不等式的基本思想方法；
3．能应用基本不等式解决简单的不等式证明问题．
教学重点：
基本不等式的证明．
教学难点：
基本不等式的证明．
教学过程：
一、问题情境，导入新课
口述：有一个珠宝商人，很多人到他那里买的东西回家一称发现分量都有问题，于是向工商局投诉，工商局派人去调查，商人承认他用的天平左右的杆长有问题，向人们提出一个调解方案，放左边称变重对人们不公平，放右边称变轻商人要亏本，那么用两次称重的平均值作为物品的实际重量，如果你是购买者，你接受他的方案吗？
问题1 你能不能把这个问题转化成一个数学问题？
珠宝放左边称砝码显示重量为a，放右边称砝码显示重量为b，假设天平的左杠杆长为l1，右杠杆长l2，那么这个珠宝的实际重量是多少？（会算吗？用什么原理来算？你认为珠宝商的方案合理吗，那也就是
问题2 abab 哪个大？） 2abab 哪个大？（你估计一下哪个大？）（如果回答取值代，
2那么可以追问取一正一负行吗？如果回答作差，可以追问你估计一下哪个大？）
二、学生活动
aba0,b0)呢？
2请2个同学上黑板（巡视，有不同的解法让他上黑板写一下）． 问题
3如何证明
证法一（比较法）
：ab1
122
=20，
222
ab时，取“=”．
证法二：要证
ab， 2
只要证
a，b
只要证
0ab，
只要证
02)
因为最后一个不等式成立，所以
时，取“＝”．
证法三：对于正数a,b，有
)， 0ab成立，
即ab2
ab0，
ab
ab 2
先让学生谈一谈证的对不对，他这个证明方法有什么特点？
点评：回顾我们上面的证明过程，我们来看一下各种证法的特点：
证法一是比较法，比较法常用的就是作差将差值与零去比较；
证法二是分析法，分析法的特点是盯住我们要的目标，寻找结论成立的条件； 证法三是综合法，它们都是证明不等式的基本方法．
（看来珠宝商还是多赚钱的，只有a＝b时才是一个守法的商人啊．）
三、建构数学
定理：如果a,b是实数且(a0,b0)，那么
取“＝”）．
问题：对于这个定理你怎么认识它？（结构有什么特点啊？成立的条件是什么？什么叫当且仅当啊？） （上式中ab称为a,b
a,b的几何平均数，两个正2abab（当且仅当ab时
2数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，有的时候我们也把这个定理写成
．要用这个定理首先两个数必须都是非负数． ab2ab）
当ab时，取“＝”，并且只有当ab时，取“＝”，我们把这种等号成立的情况称之为当且仅当．
四、数学运用
例1 设a,b是正数，证明下列不等式成立：
ba1（1）2（2）a2 aba
（3）a2b22ab
（先让学生点评，对不对，关注格式与条件，他用什么方法来证明的？还有什么别的思路？）
点评：我们证明不等式通常有比较法，分析法，现在有了这个定理，也可以应用它来证明
什么时候取等号？
师：我们现在已经对这个不等式有了一定的认识了，你能不能从图形的角度来认识一下它呢？
有线段AB长为a，线段BC长为b，你能找到
讲完了可以让另一个学生再解释一下）
a
b
2B
1,(x0)，求此函数的最小值． x例2（1）已知函数yx点评：什么是最小值，最小值就是大于等于一个数，你说大于等于2，那也大于等于1嘛，我能说最小值就是1吗？
（2）已知函数yx
（3）已知函数y2x
1,(x0)，求此函数的最大值； x1,(x1)，求此函数的最小值． x
1五、回顾小结
回顾本节课，你对基本不等式有哪些认识？
第17篇：不等式的基本性质教学设计一
不等式和它的基本性质
教学过程
一、引言
1．先看两个例子．
①教材第52页上两个天平秤物都不平衡的插图； ②某天的气温最低是－5℃，最高是10℃．
教师引导学生得出：①说明天平两边所放物体重量不相等；②说明气温不相等．
2．在此基础上，教师指出，在实际生活中，同类量之间具有一种不相等的关系．这种不相等的关系是大量存在的，是普遍的，本章将从了解表示不相等关系的不等式的意义开始，研究不等式的性质，一元一次不等式和它的解法，一元一次不等式组和它的解法．本节课我们首先来学习不等式的概念及其基本性质．
二、从学生原有的认知结构提出问题 1．什么叫等式？等式的性质是什么？
(注意强调等式两边都乘以或都除以(除数不为零)同一个数，所得到的仍是等式) 2．当x取何值时，等式x+2=6成立？当x取何值时，等式x+2=6不成立？ 3．用“＜”或“＞”号填空：
(1)－7______ －5；
(2)(－3)4 ______ 34； (3)(－4)2______ (－3)2； (4)|－0.5| ______ |－1000|； (5)3+4 ______1+4； (6)5+3______ 12－5； (7)6×3______ 4×3； (8)6×(－3)______4×(－3)． (注意追问理由，要求用有理数比较大小的法则回答) 4．c一定是正数吗？－a一定是负数吗？ (以上各题均用投影仪陆续打在屏幕上)
三、引导学生通过观察实例，讨论不等式的概念 1．观察下列式子：(投影) －7＜－5； 3+4＞1+4； 5+3≠12－5； a≠0； a+2＞a+1； x+2＜6． 针对上述各式，提出如下问题： ①上述各式都是表示怎样的关系的式子？ ②什么叫不等式？
(若学生回答有困难，教师应提醒学生仿照等式的定义来回答) 此时，教师应指出：前面复习提问中的第(3)题中的各小题的式子都叫不等式．而我们只研究用小于号“＜”，大于号“＞”表示的不等式．
2．研究不等式x+2＜6 (1)这是用小于号连接代数式x+2和6所成的不等式，这里x表示未知数． (2)若未知数x取某一个值(如x=2)，使代数式x+2小于6，我们说当x=2时，不等式x+2＜6成立；若当x取另一个数值(如x=4)代数式x+2的值不小于6，我们说当x=4时，不等式x+2＜6不成立．
(3)提问：①当x=－1.5时，不等式x+2＜6是否成立？当x=0呢？当x=5呢？ ②说出几个使不等式成立的x的值． 说出几个使不等式不成立的x的值．
(引导学生回答，使不等式x+2＜6成立的未知数x的取值不仅有正整数，还有零、负整数，小数) 练习(投影) 1．用不等式表示：
(1)a是正数； (2)a是负数；
(3)a与b的和小于5； (4)x与2的差大于－1； (5)x的4倍大于7； (6)y的一半小于3．
2．当x=2时，不等式x+3＞4成立吗？当x=1.5时呢？当x=－1时呢？(请学生回答，并订正)
四、运用对比的方法，引导学生猜想出不等式的三条基本性质，并通过实例加以验证
首先，让学生用“＞”或“＜”号填空：
(1)7+3______4+3； (2)7+(－3)______ 4+(－3)； (3)7×3 ______ 4×3； (4)7×(－3)______ 4×(－3)．
然后，启发学生由上面第(1)、(2)小题猜想出与等式的基本性质类似的不等式的性质．并请学生叙述不等式的基本性质1．此时，教师应抓住学生叙述中的问题予以纠正．即不能笼统地说“仍是不等式”，要改为书中所说的“不等号的方向不变”．
对比等式中关于两边都乘以或除以同一个数的性质，让学生思考不等式类似的性质．
引导学生观察上述第(3)、(4)小题，并将题中的3换成5，－3换成－5，按题中的要求再做一遍，并猜想出结论．然后让学生试着叙述所得到的不等式的基本性质．(在观察上述练习题时，引导学生注意不等号的方向，并用彩色粉笔标出来，并问原因是什么？当学生在叙述不等式的基本性质感到困难时，教师应作适当的引导，启发．并依次板书这几条基本性质) 不等式基本性质：
1．不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
2．不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 3．不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 此时，教师要特别强调不等式基本性质3，并举例：若a＜b，c
然后，让学生用不等式－2＜4两边都分别加上5，－6，两边都分别乘以3， －3来验证上述不等式的三条基本性质． 问题：(1)在不等式 －2＜6两边都乘以m后，结论将会怎样？(当字母m的取值不明确时，需对m分情况讨论) (2)比较等式性质与不等式的基本性质的异同．
(问这两个问题的目的在于，强化学生对不等式基本性质的理解，特别是对不等式基本性质3的理解)
五、应用举例，变式练习
例1 根据不等式基本性质，把下列等式化成x＞a或x＜a的形式： (1)x－2＜3； (2)6x＜5x－1；
解：(1)由不等式的基本性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以
x－2+2＜3+2， x＜5．
(2)、(3)、(4)题略．
(解题时，要求学生要联想解一元一次方程的思想方法，并将原题与x＞a或x＜a对照着用哪条基本性质能达到题目要求．同时强调推理的根据，尤其要注意不等式基本性质3和基本性质2的区别，解题书写要规范) 例2 设a＞b，用“＜”或“＞”号填空：
(3)－4a ______ －4b； (4)ma ______mb．(m≠0) 解：(1)因为a＞b，两边都减去3，所以由不等式基本性质1，得 a－3＞b－3． (2)，(3)题略．
(4)因为a＞b，两边都乘以m． 当m＞0时，由不等式基本性质2，得
ma＞mb，
当m＜0时，由不等式基本性质3，得
ma＜mb．
(解题时，要让学生明白推理要有根据，并要求以后做类似的习题时，都要写出根据，逐步培养学生逻辑思维的能力) 练习(投影) 1．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式： (1)x+1＞2；
(2)4x＜3x－5；
(5)3x＜x+4； (6)x＜3x+4． 2．设a＜b，用“＞”或“＜”号填空： (1)a+5______ b+5； (2)2a ______ 2b；
六、师生共同小结
首先，让学生回答如下问题： 1．本节课学习哪些内容？
2．不等式的三条基本性质与等式的性质异同点是什么？ 3．运用什么思想方法来学习不等式的基本性质的？
然后，在学生回答上述问题的基础上，教师指出：①在运用不等式的基本性质时，要特别注意不等式的基本性质3，也就是注意在不等式两边同乘以(或除以)同一个数时，一定要分清是正数还是负数，对于代表任意数的字母要分情况加以讨论；②在学习不等式的基本性质时，我们运用了对比的方法，它是学习不等式这章所采用的一种重要的思想方法．
七、作业
1．用不等式表示：
(3)8与y的2倍的和是正数； (4)a的3倍与7的差是负数． 2．当x取下列数值时，不等式x+3＜6是否成立？
1，0， －2.5， －4， 3.5，4，4.5．
3．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：
(5)4x＜2x+6．
4．设 a＞b，用“＞”或“＜”号填空： (1)a+3 ______ b+3； (2)5a ______ 5b；
(5)ma______ mb(m≠0)． 教学设计说明
由于本节课是本章的起始课，故在设计教学过程时，注意从实例引入，激发学生的学习兴趣，并使学生初步了解为什么要学习本章的新知识？本章的主要内容都有哪些？
在复习了有理数的比较大小，等式的概念及其性质等旧知识的基础上采用对比的方法来讲授不等式的定义及其三条基本性质．
对于本节课的难点，不等式的基本性质3的导出，采用通过学生自己动手实践、观察、归纳猜想结论、验证等环节来突破的．并在理解的基础上加强练习，以期达到学生巩固所学知识的目的．
第18篇：不等式的基本性质教学设计三
不等式的基本性质
教学过程
一、从学生原有的认知结构提出问题
1．什么叫不等式？说出不等式的三条基本性质． 2．当x取下列数值时，不等式1－5x＜16是否成立？
－4.5， －4，－3，4，2.5，0，－1．
3．用不等式表示下列数量关系：
(1)x的3倍大于x的2倍与5的差；
(3)y的一半与4的和是负数； (4)5与a的4倍的差不是正数．
4．按照下列条件写出仍然成立的不等式，并说明根据不等式的哪一条基本性质：
(1)m＞n，两边都减去3； (2)m＞n，两边同乘以3； (3)m＞n，两边同乘以－3； (4)m＞n，两边同乘以－3； (5)m＞n，两边同乘以m．
(以上各题中，从第2题开始，用投影仪打在屏幕上．学生在回答上述问题时，如遇到困难，教师应做适当点拨) 在学生回答完上述问题的基础上，教师指出：本节课我们将通过学习例题和练习，进一步巩固并熟练掌握不等式的基本性质，尤其是不等式基本性质3．
二、讲授新课
例1 在下列各题横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式基本性质．
(1)若a－3＜9，则 a ______12； (2)若－a＜10，则a______ －10；
答：(1)a＜12，根据不等式基本性质1． (2)a＞－10，根据不等式基本性质3． (3)a＞－4，根据不等式基本性质2． (4)a＜0，根据不等式基本性质3．
(在讲授本题时，应启发学生在添加不等号“＞”或“＜”时，要和题目中的已知条件进行对比，观察它是根据不等式的哪条基本性质，是怎样由已知条件变形得到的．同时还应强调在运用不等式基本性质3时，不等号要改变方向) 例2 已知a＜0，用“＜”或“＞”号填空：
(1)a+2 ______ 2； (2)a－1 ______ －1； (3)3a______ 0；
(7)a－1______0； (8)|a|______0． 答：(1)a+2＜2，根据不等式基本性质1． (2)a－1＜－1，根据不等式基本性质1． (3)3a＜0，根据不等式基本性质2．
(5)因为a＜0，两边同乘以a＜0，由不等式基本性质3，得a2＞0． (6)因为a＜0，两边同乘以a2＞0，由不等式基本性质2，得a3＜0． (7)因为a＜0，两边同加上－1，由不等式基本性质1，得a－1＜－1． 又已知，－1＜0，所以 a－1＜0． (8)因为a＜0，所以a≠0，所以|a|＞0．
(本例题除了进一步运用不等式的三条基本性质外，还涉及了一些旧的基础知识．如a＜0表示a是负数；a＞0表示a是正数；|a| 是非负数等．后面几个小题较灵活，条件由具体数字改为抽象的字母，这里字母代表正数还是代表负数是解决问题的关键) 例3 判断下列各题的推导是否正确？为什么？(投影)(请学生口答) (1)因为7.5＞5.7，所以－7.5＜－5.7； (2)因为a+8＞4，所以a＞－4； (3)因为4a＞4b，所以a＞b；
(6)因为－1＞－2，所以－a－1＞－a－2； (7)因为3＞2，所以3a＞2a．
答：(1)正确，根据不等式基本性质3． (2)正确，根据不等式基本性质1． (3)正确，根据不等式基本性质2．
(5)不对，根据不等式基本性质3，应改为a＜4． (6)正确，根据不等式基本性质1． (7)不对，应分情况逐一讨论．
当a＞0时，3a＞2a．(不等式基本性质2) 当 a=0时，3a=2a．
当a＜0时，3a＜2a．(不等式基本性质3) (学生在回答本题的过程中，当遇到困难或问题时，教师应做适当引导、启发、帮助)
三、课堂练习(投影) 1．按照下列条件，写出仍能成立的不等式： (1)由－2＜－1，两边都加－a；
(3)由7＞5，两边都乘以不为零的－a． 2．用“＞”或“＜”号填空： (1)当a－b＜0时，a______ b； (2)当a＜0，b＜0时，ab ______0； (3)当a＜0，b＞0时，ab ______0； (4)当a＞0，b＜0时，ab ______ 0； (5)若a ______ 0，b＜0， 则ab＞0；
四、师生共同小结
在师生共同回顾本节课所学内容的基础上，教师指出：①在利用不等式的基本性质进行变形时，当不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母，字母代表什么数是问题的关键，这决定了是用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是不等号是否要改变方向的问题；②运用不等式基本性质3时，要变两个号，一个性质符号，另一个是不等号．
五、作业
1．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
2．设a＜b，用“＞”或“＜”号连接下列各题中的两个代数式： (1)a－1，b－1； (2)a+2，b+2； (3)2a，2b；
3．用“＞”号或“＜”号填空：
(1)若a－b＜0，则a ______ b；(2)若b＜0，则a+b ______ a；
(5)b＜a＜2，则(a－2)(b－2)______0；(2－a)(2－b)______ ；(2－a)(a－b)______．
教学设计说明
由于本节课的教学目标是使学生进一步掌握不等式基本性质，尤其是基本性质3．故在设计教学过程时，注意在教师的主导作用下让学生以练为主，从而使学生在初步掌握不等式的三条基本性质的基础上，通过口答，笔做，讨论等不同的方式的练习，提高学生将不等式正确、灵活进行变形的能力．
第19篇：不等式的基本性质_教学设计_教案
教学准备
1. 教学目标
(一)教学知识点：
1.探索并掌握不等式的基本性质；2.理解不等式与等式性质的联系与区别.(二)能力训练要求：
通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力.(三)情感与价值观要求：
通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与 交流.2. 教学重点/难点
教学重点：
探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用.教学难点：
能根据不等式的基本性质进行化简.3. 教学用具
课件
4. 标签
不等式的基本性质
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ ［生］记得.等式的基本性质1：在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得的结果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证.Ⅱ.新课讲授
1.不等式基本性质的推导
［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法.如果 7 ＞ 3，
那么 7+5 ____ 3+ 5 ，
7 -5____3-5.如果-1
那么-1+2____3+2，-1- 4____3 – 4.你能总结一下规律吗？
在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变.［师］很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究.［生］∵3＜5 ∴3×2＜5×2 3× ＜5× .所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变.［生］不对.如3＜5 3×(－2)＞5×(－2) 所以上面的总结是错的.［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明.［生］如3＜4 3×3＜4×3 3× ＜4×
3×(－3)＞4×(－3) 3×(－ )＞4×(－ ) 3×(－5)＞4×(－5) 由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变.［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时(除数不为0)，情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导.［生］当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变.［师］因此，大家可以总结得出性质2和性质3，并且要学会灵活运用.2.用不等式的基本性质解释 ＞ 的正确性
［师］在上节课中，我们知道周长为l的圆和正方形，它们的面积分别为 和 ，且有 ＞ 存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？ ［生］∵4π＜16 ∴ ＞
根据不等式的基本性质2，两边都乘以l 2得
＞
3.例题讲解
将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式： (1)x－5＞－1； (2)－2x＞3； (3)3x＜－9.［生］(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得 x＞－1+5 即x＞4；
(2)根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得 x＜－ ；
(3)根据不等式的基本性质2，两边都除以3，得 x＜－3.说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否.Ⅲ.课堂练习
1.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.(1)x－1＞2 (2)－x＜
［生］解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x＞3 (2)根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得 x＞－
2.已知x＞y，下列不等式一定成立吗？ (1)x－6＜y－6； (2)3x＜3y； (3)－2x＜－2y.解：(1)∵x＞y，∴x－6＞y－6.∴不等式不成立； (2)∵x＞y，∴3x＞3y ∴不等式不成立； (3)∵x＞y，∴－2x＜－2y ∴不等式一定成立.Ⅳ.课时小结
1.本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质.2.利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空.Ⅴ.课后作业 习题
Ⅵ.活动与探究 1.比较a与－a的大小.解：当a＞0时，a＞－a； 当a=0时，a=－a； 当a＜0时，a＜－a.说明：解决此类问题时，要对字母的所有取值进行讨论.2.有一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大哪个小？
解：原来的两位数为10b+a.调换后的两位数为10a+b.根据题意得10a+b＞10b+a.根据不等式的基本性质1，两边同时减去a，得9a+b＞10b 两边同时减去b，得9a＞9b 根据不等式的基本性质2，两边同时除以9，得a＞b.
课堂小结 学了这节课，你有什么收获？
课后习题 完成课后练习题。
板书 不等式的基本性质
第20篇：不等式教学设计
§9.1 不等式教学设计 教材分析：
本节内容主要有：不等式及其解集、不等式的性质。教材首先以实际问题为例，结合问题中的不等关系，引出不等式及其解集的概念；然后类比一元一次方程，引出一元一次不等式的概念.为进一步讨论不等式的解法，教材接着对不等式的性质进行了讨论，得出不等式的三个性质，并运用它们解简单的不等式.解不等式就是求出对其中未知数的大小的限制，有了这样的目标，再加上对不等式性质的认识，解不等式的方法就能很自然的产生.这一节的框架结构与一元一次方程的相应部分类似，教学中可以类比方程、等式的性质来讨论不等式、不等式的性质等.【课时分配】2课时 §9.1.1不等式及其解集 【教学重点与难点】
教学重点：正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上.教学难点：正确理解不等式解集的意义.【教学目标】
1.知道不等式概念，能正确表示不等式的解集；
2、经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想.【教学方法】
采用启发诱导、实例探究、小组合作的教学方法，揭示知识的发生和形成过程．这种教学方法以“生动探索”为基础，先“引导发现”，后“讲评点拨”，让学生在克服困难与障碍的过程中充分发挥自己的观察力、想像力和思维力.【教学过程】
一、创设情境 导入新课
（设计说明：通过实例创设情境，从“等”过渡到“不等”，培养学生的观察能力，激发他们的学习兴趣。）
问题：
1、两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏．现在换了一个小胖子上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法继续进行下去了．这是什么原因呢?
2、一辆匀速行驶的汽车在11：20时距离A地50千米。要在12：00以前驶过A地，车速应该具备什么条件? 分析：若设车速为每小时x千米，能用一个式子表示吗? 从时间上看，这个车速行驶50千米所用时间不到小时，列式为：；从路程上看，以这个车速行驶小时的路程要超过50千米，列式为：.（教学说明：问题1中，原来的平衡状态被破坏了，产生了一种不等关系；问题2中汽车当然是跑得越快越好，但显然汽车的速度又必须在某一个速度以上。如何表示这两种状态呢?我们知道相等关系可以用等式来表示，那么，不等关系又怎样表示呢?引导学生列出，两个式子，像这样的式子叫做不等式，这节课我们来研究不等式的相关知识，由此导入新课。）
二、师生互动，探索新知
（一）不等式、一元一次不等式的概念
1、不等式的定义
问题1：请同学们举出一些不等式的例子，试着给出不等式的定义.如：5〉3，-1〈0，x≠0等都是不等式。 用“＜”或“＞”表示大小关系的式子叫做不等式；用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
问题2：用不等式表示下列数量关系：
①a比1大；②x的4倍与5的和是负数；③a是非负数；④x与4的和最多为6；
学生容易列出：①a〉1；②4x＋5〈0；③a0；④x＋46.其中③④可能有点困难，在学生独立思考的基础上，相互讨论得出正确答案。
补充说明：用“”、“”表示不等关系的式子也是不等式。 问题3：下列式子中哪些是不等式? (1)a＋b=b＋a (2) -3>-5 (3)2m≠n （4）x＋3〈6 （5）x1 (6)2x-3 很明显（2）、（3）、（4）、（5）是不等式。注意：有些不等式含有未知数，有些不含未知数。
（教学说明：通过实例让学生对不等式有个初步感知，在有了感性认识的基础上举出不等式的例子，再给出不等式的定义，由具体到抽象，层层递进，符合学生的认知规律。为了使不等式的定义更完善，出示了问题2，教师要特别说明“”、“”的含义。
五种不等号的读法及意义：
（1）“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能明确哪个大哪个小；
（2）“＞”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大； （3）“＜”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小；
（4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边“不小于”右边； （5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边“不大于”右边．）
2、一元一次不等式
上述不等式中，有些不含未知数，有些含有未知数．我们把那些类似于一元一次方程，含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（教学说明：
1、一元一次不等式与一元一次方程有很多类似的地方，所以这里采取类比教学的方法学习一元一次不等式；
2、让学生在上述不等式中找出一元一次不等式，特别注意：不是一元一次不等式，因为未知数x在分母中，通过后面有关分式的学习可知，这里x的次数是-1.）
（二）不等式的解、不等式的解集和解不等式
问题1：当x分别取下列数值时，不等式x＋3〈6是否都成立? -4， 3.5, 4, -2.5, 3, 0, 2.9 经过学生验证得出并不是所有的数都适合上述不等式.我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，我们也可以把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。如上面问题中-4，-2.5,0,2.9均是不等式x＋3〈6的解，而3.5,4,3则不是不等式x＋3〈6的解。
问题2：你能找出不等式x＋3〈6的其它解吗?它到底有多少个解?你从中发现了什么规律? 讨论后得出：
用小于3的任何数替代x，不等式x＋3〈6 均成立；用大于3或等于3的任何数替代x，不等式x＋3〈6均不成立，这就是说，任何一个小于3的数都是不等式x＋3〈6的解，这样的解有无数个.因此x〈3表示了能使不等式x＋3〈6成立的x的取值范围，叫做不等式x＋3〈6的解的集合，简称不等式x＋3〈6的解集，记作x〈3.最后请学生总结出不等式的解集及解不等式的概念： 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（教学说明：让学生充分发表意见，并通过计算、动手验证、动脑思考，初步体会不等式解的意义以及不等式解与方程解的不同之处．处理不等式的解与解集的关系时可以通过一些通俗的事例使学生认识到不等式的解集包括了不等式的全体的解，解集中任何一个数都是不等式的一个解.）
（三）用数轴表示不等式解集
例题： 在数轴上表示下列不等式的解集 (1)x>-1;(2)x≥-1;(3)x
注意:1.有等号画实心圆点,无等号画空心圆圈 2.大于向右走,小于向左走.（教学说明：通过数轴表示，可以直观反映不等式的解集，这正体现了数形结合的思想，通过学习，使学生熟练掌握不等式解集的表示，做到能将解集的数学式子表示与几何图形表示互相“翻译”.）
三、巩固训练，熟练技能：
1、指出下列关系式中的不等式：
（1）1〉0 （2）a≤20 （3）2y＋1 （4）1≠3-4k （5）3x＋20=0
2、用不等式表示下列数量关系 (1)a与1的和是正数; (2)y的2倍与1的和大于3; (3)x的一半与x的2倍的和是非正数; (4)c与4的和的30%不大于-2; (5)x除以2的商加上2,至多为5; (6)a与b两数的和的平方不可能大于3.
3、下列说法中正确的是( ) A.x=3是不等式2x>1的解 B.x=3是不等式2x>1的唯一解; C.x=3不是不等式2x>1的解; D.x=3是不等式2x>1的解集
4、如图,表示的是不等式的解集,其中错误的是( )
5、在数轴上表示下列不等式的解集 (1)x>3 (2)x
4、5考察了不等式的解集在数轴上的表示，是数形结合的体现，注意实心圆点与空心圆圈的区别，向左还是向右画线也要考虑清楚.）
四、总结反思，情意发展
（设计说明：设计了以下三个问题，让学生围绕这三个问题，先反悟，后谈自身的收获和疑问，最后师生共同归纳总结）
1.什么是不等式?什么是不等式的解、不等式的解集和解不等式? 2.不等式的解和不等式的解集有何区别? 3.在数轴上表示不等式解集时应注意什么? （教学说明：通过对以上三个问题的思考引导学生回顾整节课的学习历程，巩固所学知识，不断完善自己的认识，形成完整的知识结构.）
五、课堂小结
1．本节主要学习了不等式、不等式的解和解集、不等式解集的表示方法 2．主要用到的思想方法是类比思想和数形结合思想。 3．注意的问题: （1）不等式的解集是个范围，而不等式的解是这个范围中的个体 （2）画数轴表示不等式的解集时要注意方向和空心、实心之分．
六、布置课后作业：
1、课本123页练习
2、课本128习题9.1的
1、
2、3题 （教学说明：进一步巩固本节课所学知识.）
七、拓展练习
1、下列数值中哪些是不等式>50的解?哪些不是? 76，73，79，80，74.9，75.1，90，60
2、直接想出不等式的解集，并在数轴上表示出来： （1）x＋3>6（2）2x0
3、不等式x 4、写出一个不等式，使它的某一个解是100.（教学说明：这是一组提高性练习，练习3可以借助数轴来理解，这样形象直观，练习4是个开放性题，答案不唯一，只要满足某一个解是100即可.）
【评价与反思】
本课设置了丰富的实际情境，比如跷跷板游戏、爆破问题等，研究这些问题，可以使学生体会到现实生活中存在着大量的不等关系，不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效模型．
教学中要突出知识之间的内在联系．不等式与方程一样，都是反映客观事物变化规律及其关系的模型．在教学中，类比已经学过的方程知识，引导学生自己去探索、发现、甄别，从而得出一元一次不等式、不等式的解与解集的意义．
教学过程也是学生的认知过程，只有学生积极地参与教学活动才能收到良好的效果．因此，本课采用启发诱导、实例探究、讲练结合的教学方法，揭示知识的发生和形成过程．这种教学方法以“生动探索”为基础，先“引导发现”，后“讲评点拨”，让学生在克服困难与障碍的过程中充分发挥自己的观察力、想像力和思维力，再加上多媒体的运用，使学生真正成为学习的主体。
