基本不等式教学设计
10141510244 数学与应用数学 钟林
课题:人教A版必修5第3章4节,基本不等式
【教学目标】
1.通过两个探究实例,引导学生从几何图形中获得两个基本不等式,了解基本不等式的几何背景,体会数形结合的思想。
2.进一步提炼、完善基本不等式,并从代数角度给出不等式的证明,组织学生分析证明方法,加深对基本不等式的认识,提高逻辑推理论证能力。 3.结合课本的探究图形,引导学生进一步探究基本不等式的几何解释,强化数形结合的思想。
4.借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题,通过例2及其变式引导学生
ab领会运用基本不等式ab的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最
2值中的作用,提升解决问题的能力,体会方法与策略。
【重点难点】
重点:应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索不等式abab的证明过程。
2难点:在几何背景下抽象出基本不等式,并理解基本不等式。
【教学设计】
(一)问题导入
欣赏2002年国际数学家大会会徽,会徽是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能发现它是什么图形构成的吗?请根据会徽探索一些常见相等或不等关系。
探究一:在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗? 在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形两条直角边长为,a,b。
22ab那么正方形的边长为。
于是,4个直角三角形的面积之和S12ab。 正方形的面积S2a2b2。 由图可知S2S1,即a2b22ab。
当直角三角形变为等腰直角三角形,即时,正方形EFGH缩为一个点,这时 a2b22ab
所以a2b22ab。
探究二:如下图所示的梯形中,EF是梯形ABCD的中位线,梯形ABGH相似于梯 形GHDC。
梯形ABCD的上底是a,下底是b。让同学们自主研究GH和EF的大小关系。
ab因为EF是中位线,所以EF,
2由相似,可以得出GHab, 同样因为相似,有
AGABa, GDGHb又因为ab,所以AGGD,即AGAE,
ab。 2显然,当AB逐渐趋近CD的时候,GH也逐渐向EF靠近, 当AB=CD的时候,即ABCD是矩形的时候,GH与EF重合。
ab即,当且仅当ab时,ab。
2ab所以,ab,当且仅当ab时,等号成立。
2所以GHEF,即ab
(二)概念深入
根据上述两个几何背景,初步形成不等式结论:
若a,bR,则a2b22ab。(当且仅当a=b时,等号成立)
ab。(当且仅当a=b时,等号成立) 2请同学们运用代数法证明: 作法一(作差法): 若a,bR,则aba2b22ab(ab)20ab2ab22
当且仅当a=b时,等号成立。且发现这里且a和b可以是全体实数、单项式、多项式。
作法二(分析法):
要证明abab, 2只需证明ab2ab, 即证ab-2ab0, 即为a-b20,该式显然成立,所以,当ab时取等号。
于是有这样的结论:
称ab为a,b的几何平均数;称基本不等式abab为a,b的算术平均数, 2ab又可叙述为: 2两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数
作法三(几何法):
如图,AB是圆O的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作 垂直于AB的弦DE,连接AD,BD。 从而有CDab,ODab。 2ab。 2ab当且仅当C点与圆心O点重合时,即a=b时,ab
2故再次证明:
aba0,b0,ab,当且仅当a=b时,等号成立。
2ab也说明了ab的几何意义:半径不小于半弦。
2由于直角三角形COD中,直角边CD
(三)例题讲解
例1.(1)用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?
(2)一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?
(通过例1的讲解,总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化)
对于x,yR,
(1)若xyp(定值),则当且仅当xy时,xy有最小值2p;
s2(2)若xys(定值),则当且仅当xy时,xy有最大值。
4(鼓励学生自己探索推导,不但可使他们加深基本不等式的理解,还锻炼了他们的思维,培养了勇于探索的精神。)
1例2.求yx(x0)的值域。
x1变式1.若x2,求x的最小值.
x21在运用基本不等式解题的基础上,利用几何画板展示yx(x0)的函数
x图象,使学生再次感受数形结合的数学思想。
ab并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式ab的三个限制
2条件(一正二定三相等)在解决最值问题中的作用,提升解决问题的能力,体会方法与策略。
(四)归纳小结&课后作业 基本不等式:
若a,bR,则a2b22ab。(当且仅当a=b时,等号成立)
ab。(当且仅当a=b时,等号成立) 2(1)基本不等式的几何解释(数形结合思想); (2)运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法。
作业:A组第4题,B组第1题,第2题
若a,bR,则ab