推荐第1篇：二次函数的性质和图像教学设计
《二次函数的性质和图像》教学设计
一、设计理念：
本节课遵循“探索—研究——运用“亦即“观察——思维——迁移”的三个层次要素，侧重学生的“思”、“探”、“究”的自主学习，由旧知识类比得新知识，自主探究二次函数图象及其性质。学生动脑思和究，动手探。教师的“诱”要在点上，在精不用多。通过本节学习，学生更进一步的掌握二次函数性质及其图象特征。
二、学情分析：
学生在初中学习中，已有二次函数的基础，了解二次函数图象及其相关性质，接受起来较快。基于此，教师应在学生原有基础上拓宽知识面，引入新概念，帮助学生加深并提高对二次函数的认识。
三、教学目标
（一）、知识目标
1、使学生掌握研究二次函数的一般方法——配方法。进一步掌握二次函数y=ax2+bx+c (a )的图象的顶点坐标，对称轴方程，单调区间和最值的求法。
2、会用描点法画出二次函数图像，能通过图像认识二次函数的性质
3、通过具体例子，在探索二次函数图像和性质的过程中，学会利用配方法将数字系数的二次函数表达式表示成：y=a(x-h)^2+k的形式，从而确定二次函数图像的顶点和对称轴。
4、通过一般式与顶点式的互化过程，了解互化的必要性。培养学生认识“事物都是相互联系、相互制约”的辩证唯物主义观点。
5、在经历“观察、猜测、探索、验证、应用”的过程中，渗透从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养了学生的转化、迁移能力，实现感性到理性的升华。
（二）、情感目标
1、通过主动操作、合作交流、自主评价，改进学生的学习方式及学习质量，激发学生的兴趣，唤起好奇心与求知欲，点燃起学生智慧的火花，使学生积极思维，勇于探索，主动获取知识。
2、让学生在猜想与探究的过程中，体验成功的快乐，培养他们主动参与的意识、协同合作的意识、勇于创新和实践的科学精神。
（三）、能力目标
1、拟通过本节课的学习，培养学生的观察能力、探索能力、数形结合能力、归纳概括能力，综合培养学生的思维能力及创新能力。
2、培养学生运用运动变化的观点来分析、探讨问题的意识。教学重点：二次函数的性质
教学难点：研究二次函数图象和性质的重要方法——配方法。
对于任何一个二次函数，只要通过配方变形为： (x-h)2 + k的形式，就可以知道函数的图象特征和有关性质。通过本节课的学习，学生从理论上加深了对函数的理解，也可利用所学知识解决日常生活中常见的实际问题，提高自身分析问题，联系实际的能力，从而达到学习目的。
四、教学过程：
（一）、复 习
1、二次函数定义、表达式。
2、求二次函数y= a (x-h)2+ k (a0) 的对称轴和顶点坐标。 （教师通过多媒体展示问题，通过对旧知识的回顾为新知识的学习做好认知铺垫， 学生思考后回答）
（二）、导入新课
1、教师展示问题，要求在同一坐标系中做出下列函数图象：y=-3x2 ,y=-2x2 ,y= -x2 , y=3x2 ,y=2x2 ,y= x2 .回答下列问题：
问题一 ：函数y= ax2 的单调性、奇偶性、最值与图象开口方向、对称性、顶点？
问题二：函数图象随a 值变化，如何变化？ 问题三：y= ax2 与 y= -ax2 图象有何关系？
（教师借助多媒体手段，放映问题答案，展示函数图象随a 值变化的过程，即函数y= ax2 (a )的图象和性质。） 函数y= ax2 (a )的图象和性质： 1．函数是偶函数，图象关于y轴对称.2．顶点坐标（0，0）
3．当a >0 时，开口向上，在上是减函数，在上是增函数，当时，有最小值0 。 4．当a
5．当a >0 时，抛物线在x轴上方，开口随 a增大逐渐减小；当a
教师提问：若将函数的图象进行平移，则函数的哪些性质将不发生变化？哪些将发生变化？（学生讨论回答）， 研究一般的二次函数的性质和图象：
1、研讨二次函数的性质和图象。
2、研讨二次函数的性质和图象。教师设计问题，学生探究：
问题一：指出两个函数的开口方向，并说明哪个函数图象的开口较大？ 问题二：分别将二次函数与配方，然后分别求出两个函数的最值以及与x轴交点。
问题三：列表画图，分别在直角坐标系中作出两个函数的图象：
1、推测两个函数图象的对称轴，并给出证明。
2、y= a (x-h)2+ k (a )的顶点坐标是________，对称轴是________。
3、分别指出两个函数的单调区间。
问题四：将二次函数y=ax2+bx+c (a )配方，并回答下列问题：
1、函数图象的顶点坐标和对称轴分别是_______、_______。
2、对于a>0和a
（学生完成以上问题的过程中教师要适时启发，并在最后加以总结。）
二次函数性质如下：
1、图象是一条抛物线，顶点坐标是，对称轴是直线
2、当a >0 时，抛物线开口向上，函数在处取最小值；在区间上是减函数，在区间上是增函数;
3、当a
（教师指出配方法是研究二次函数性质的通法，对于二次函数性质的有关结论不必死记硬背，关键在于如何运用配方法来研究二次函数性质，组织学生分组讨论。） “配方法”是研究二次函数的主要方法，熟练的掌握配方法是掌握二次函数的关键，对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个函数的主要性质。 应用举例：
例：求函数的最小值和它的图像的对称轴，在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？
（例题由学生版演，教师给予纠正。让学生充分体验研究二次函数的方法——配方法。通过学生版演，可以发现解题过程中出现的问题，及时给予纠正） 解：因为：
所以 函数图象的对称轴是直线，它在区间上是减函数，在区间上是增函数。
（三）、随堂练习：
1、用配方法，求下列函数的最大值或最小值：
（1）1．根据二次函数的顶点坐标公式确定下列函数的对称轴和顶点坐标：
（1）y=2x2-12x+13 （2）（2）y=-5x2+80x-319
2、求下列函数图象的对称轴和顶点坐标，并做出图象：
（1）y＝2x2－2x－2.5 （2）y＝－2x2－4x＋8 （学生做完练习后，教师进行及时评价）
（四）、归纳小结：
方法：研究二次函数的主要方法——配方法。
知识：二次函数的图象与性质的有关结论。
(1）抛物线 ，当x=（ ）时，y有最（ ）值，是 ． （2）当m=（ ）时，抛物线 开口向下．
（3）已知函数 是二次函数，它的图象开口 （ ），当x ( ) 时，y随x的增大而增大．
（4）抛物线的开口 （ ），对称轴是（ ），顶点坐标是（ ），它可以看作是由抛物线 向（ ）平移( )个单位得到的． （5）函数 ，当x( )时，函数值y随x的增大而减小．当x( )时，函数取得最( )值，最( )值y= ( )．
（6）抛物线 可由抛物线 向 ( )平移 ( )个单位，再向平移( )个单位而得到．
（7）二次函数 的图象的顶点是 ( )，当x ( ) 时，y随x的增大而减小．
（五）、作业: P22习题27.2 第2题（1）、（3）、（5）及第3题
推荐第2篇：二次函数的图像和性质3教学设计
22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
教学设计
知识与技能：会用描点法画出二次函数y＝a (x－h)2＋k的图象；
过程与方法：结合图象确定抛物线y＝a (x－h)2＋k的开口方向、对称轴与顶点坐标及性质； 情感态度与价值观：通过比较抛物线y＝a (x－h)2＋k与y＝ax2的关系，培养学生的观察、分析、总结的能力。 学情分析
学生在学习了前两课时的基础上，对于顶点式已经有了一定的认识，可以根据类比思想比较容易得出完整顶点式的图象性质，所以这一部分主要是学生独立探究，个别指导，然后归纳总结。之后把侧重点放在对实际问题的探究上，重点研究实际问题的建模过程，鼓励一题多解，拓展学生思维。 重点难点
教学重点：画出形如y＝a (x－h)2＋k的二次函数的图象，能指出开口方向，对称轴，顶点。 教学难点：理解函数y＝a (x－h)2＋k与y＝ax2及其图象的相互关系。 4教学过程
一、复习导入新课
师：同学们，在学习新课之前，我们先来做这样一道题。 观察y＝－x2、y＝－x2－
1、y＝－(x＋1)2
这三条抛物线中，第一条抛物线可以经过怎样的平移得到第二条和第三条抛物线。（指名学生回答）。
师： 同学们可不可以在这个知识点的基础上进一步猜想一下第一条抛物线能否经过怎样的平移得到抛物线y＝－(x＋1)2－1 生: 向左平移一个单位,再向下平移一个单位。
师：这个猜想是否正确呢？这节课我们一起来验证一下。（板书课题）
二、探究 探究一（大屏幕出示） （自探问题部分）
1.画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．
x y＝－(x＋1)2－1 函数
… …
－4
－3
－2
－1
0 1 2 …
…
开口方向 顶点 对称轴最 值 增减性
y＝－(x＋1)2－1 （学生口头展示以上问题）
2．师：（结合课件）把抛物线y＝－x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2－1．所以抛物线y＝－x2 与抛物线y＝－(x＋1)2－1 形状___________，位置________________． 通过刚才的演示，可以证明我们前面的猜想是正确的。那也就可以说明抛物线y＝a (x－h)2＋k与y＝ax2之间也具备这样的平移关系，那么我们是不是可以借此探究一下抛物线y＝a (x－h)2＋k的性质呢？ （小组合探问题）
1．抛物线y＝a (x－h)2＋k与y＝ax2形状___________，位置________________． 2.函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性
y＝a (x－h)2＋k (板演展示，评价，教师点评归纳) 如果掌握了上面这些内容，我们就可以快速准确的完成下面的练习了。（大屏幕） 3.快速抢答
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点 （1）y＝2(x＋3)2+5； （2）y＝-3(x-1)2-2； （3）y＝4(x-3)2+7； （2）y＝-5(x+2)2-6；
师:像这种形式的抛物线我们可以直接确定他的顶点坐标，所以我们把它称为二次函数的顶点式。已知抛物线的解析式可以快速确定顶点坐标，反之，已知顶点坐标可以怎样确定解析式呢? 我们来看一道实际问题。 探究二 合探完成例4.(大屏幕)
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？ （小组合作探究完成）
教师巡视过程中注意发现不同的建立直角坐标系模型的方法，并指明不同建模方法的同学进行板演和评价。
重点探究实际问题的建模过程，引导学生用不同的方法建立直角坐标系。
教师点拨归纳：结合我们刚才解决这道题的过程，我们一起来归纳一下解决二次函数实际问题的一般方法。首先，我们要根据实际问题建立数学模型（建模），然后结合所建模型，选择恰当的解析式形式；接下来根据已知条件（已知点的坐标）求解析式，最后，找出实际问题的答案。
三、拓展运用
1．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝x2相同的解析式为（ ） A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x＋2)2－3 C．y＝(x＋2)2＋3 D．y＝－(x＋2)2＋3 2．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为__________________．
3．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．
4．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________． 5．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个）
6．若抛物线y＝a (x－1)2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A’的坐标为 。
(学生独立完成，集体校对答案，发现问题组内解决)
四、学科代表对本节课的学习情况做出归纳总结。板书设计：
22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 ——顶点式
函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性
y＝a (x－h)2＋k 学生展示区 学生展示区
教学反思：二次函数的知识一直是初中数学教学的一个重点、难点。本节课为了更好的让学生接受并理解，我在设计上总体遵循的原则是从易到难，从已知到未知的思路。体现了数学当中的类比思想，分类讨论思想，建立数学模型的思想。注重了以学生为主体，教师为主导。前面性质的得出部分，主要想法是依照学生的认知规律，让学生根据已有经验进行猜想，引起学生求知的兴趣，亲手画图象感受从直观到抽象的过程，降低理解难度，验证猜想，获得成功的体验，侧重中等及中等偏下的学生，夯实基础。后面的实际问题部分，由于学生是初次接触二次函数的实际问题，必然会存在这样那样的问题，所以我重在引导学生学会建立二次函数的模型，用不同方法解决问题的思想。教学中取得了满意的效果，不同层次的学生都学有所得。通过这节课的教学，我感受到一个真正优秀的教师，不单只是一个知识的载体，更应该是学生吸纳知识的一根导线，让学生通过我们的引领，真正的进入知识的殿堂！
推荐第3篇：二次函数的图像和性质教学反思
二次函数的图像和性质教学反思
本节的学习内容是在前面学过二次函数的概念和二次函数y=ax
2、y=ax2+h、y=a（x-h）2的图像和性质的基础上，运用图像变换的观点把二次函数y=ax2的图像经过一定的平移变换，而得到二次函数y=a(x-h)2+k (h≠0，k≠0)的图像。二次函数是初中阶段所学的最后一类最重要、图像性质最复杂、应用难度最大的函数，是学业达标考试中的重要考查内容之一。教材中主要运用数形结合的方法从学生熟悉的知识入手进行知识探究。这是教学发现与学习的常用方法，同学们应注意学习和运用。另外，在本节内容学习中同学们还要注意 “类比”前几节的内容学习，在对比中加强联系和区别，从而更深刻的体会二次函数的图像和性质。
通过本节课教学，得出几点体会：
1、在教学中二次函数图像的对称轴，顶点坐标，开口方向尤其重要，必需特别强调。
2、在探究中要积累研究问题的方法并积累经验，学生在前面已经历过探索、分析和建立两个变量之间的关系的过程，学习了一次函数和反比例函数，学会了用描点法作函数图象并据此分析得出函数的性质。我们可以把研究这些问题的方法应用于研究二次函数的图象和性质，并据此形成研究问题的基本方法。
3、要使课堂真正成为学生展示自我的舞台
还学生课堂学习的主体地位，教师要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，为学生提供展示自己聪明才智的机会，使课
堂真正成为学生展示自我的舞台。充分利用合作交流的形式，能使教师发现学生分析问题解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学。但在复习与练习的过程中，我发现学生存在着这样几个问题。
1、某些记忆性的知识没记住。
2、学生稍遇到点难题就失去做下去的信心。题目较长时就不愿意仔细读，从而失去读下去的勇气
3、学生的识图能力、读题能力与分析问题、解决问题的能力较弱。
4、解题过程写得不全面，丢三落四的现象严重。针对上述问题，需要采取的措施与方法是：
1、根据实际情况，对于中考升学有希望的学生利用课余时间做好他们的思想工作。并对他们进行面对面的单独辅导，增强他们的自信心，以此来提高他们的数学成绩。
2、结合自己的学习经验对他们进行学法指导和解题技巧的指导。
3、根据不同的学生情况，搜集典型题让他们单独做，并给予及时的辅导与矫正。
4、与其它任课教师联手一起想对策，指导学生读题的方法与分析问题，解决问题的方法。
5、无论是做练习还是考试之前，都告诉学生要认真仔细的读题，从图形中获取信息。
推荐第4篇：二次函数的图像和性质教学反思
二次函数的图像和性质教学反思
这节课的教学主要使学生在原有基础上，通过类比一次函数掌握二次函数图象和性质，突出的是探索交流合作的方式。
在知识学习过程中给学生留有充分的思考与交流的时间和空间，让学生经历了画图、观察、猜测、交流、反思等活动，借助图形教学，形象直观，体现了数形结合思想，激发了学生的学习兴趣，培养学生的观察、分析、归纳、概括能力，提高数学课堂教学的效率和效果，促使学生主动参与到“做”数学的活动中，从而更加深刻地认识最简二次函数的性质。
对于本节课，我个人认为在教学思路上还是比较清晰的，重难点把握得还是比较准确的，复习时利用原来学过的函数图像，让学生说出增减性，很自然的就引发出了探究二次函数性质的问题以及利用具体的图像，学生比较容易理解和掌握。
但是，整体来看，课堂容量稍有点偏大，学生没有充分的时间进行探究。在得出性质后，应该设置几道练习，让学生能运用新知识，有助于性质的掌握。课堂上时间较紧张，题目的设置还不够精，也没有给学生足够的思考时间，急于得出答案，造成正确率的下降。 二次函数的性质教学反思--于洋
2011年10月21日 来源：本站
二次函数的性质教学反思
进入二次函数这一章节后，难点也就随之而来了，因为这一章节中大部分的内容都是数形结合的知识，学生在这部分也一直是难点。在学习一次函数的时候，涉及到函数增减性的问题，当时的解决方法是让学生动手去做，方法如下：首先做出一次函数的草图，然后用左手从图像的左到右移动，并且要求学生说出随着x的增大（手由左向右的移动过程中x是一直在增大的），图像是升高了还是降低了。最后把话说完整，随着x的增大y是增大了还是减小了，这种方法在当时大部分学生还是能够接受的。所以在二次函数的性质这节课之前我就决定了，还是用动手比划的方法让学生去理解增减性。
首先，让学生理解想求出二次函数的增减性首先要从二次函数的一般式转化为顶点式，目的在于通过顶点式就可以直接看出对称轴，再给学生充分的时间让学生发现，二次函数与一次函数的增减性是不同的，一次函数不用分段去说，而二次函数要求以对称轴为分界点分段去说。在这些都准备好之后，告诉学生判断增减性的要点：
（1）通过函数的顶点和开口方向，画出二次函数的草图。
（2）在草图上标出对称轴，然后用对称轴把二次函数的定义域分成两部分。
（3）确定其中的一部分，用左手在草图上从左到右移动，并仔细观察图像是升高了还是降低了，然后再判断随着x的增大y是增大了还是减小了，从而确定是增函数还是减函数。在用了这样的方法之后，自我感觉学生在理解方面的难度不大，学生的习题完成情况也较好，但是还有一些自己没有预料的问题，比如说学生把一般式转化为顶点式有问题，在说范围的时候，学生不注意对称轴是什么，而都说成了x>0、x
推荐第5篇：二次函数的图像与性质教学设计
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质（1）
一、知识点
1.用描点法画函数 的图象
2.根据图象认识和理解二次函数 的性质
二、教学目标 知识与技能
1.能够利用描点法画函数 的图象，能根据图象认识和理解二次函数 的性质．
2.猜想并能作出 的图象，能比较它与 的图象的异同．
过程与方法：
1.经历探索二次函数 的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
2.由函数 的图象及性质，对比地学习的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维． 情感与态度：
1.通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2.在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
三、重点与难点 重点：作出函数 的图象，并根据图象认识和理解二次函数 的性质.难点：由 的图象及性质对比地学习的图象及性质，并能比较出它们的异同点.、
四、温故知新 (放幻灯片2） 1.正比例函数，一次函数与反比例函数图象特征，请同学们谈谈它们的图象有哪些特征？ 2.画函数图象的主要步骤是什么？ 3.你会用描点法画二次函数 的图象吗? 活动目的：回忆、思考学习过的内容，激发学生的求知欲，为学习新知识奠定基础.
五、探究新知
1.作函数 的图象(放幻灯片
3、4) （1）列表：观察 的表达式，选择适当的x值，填写下表： （2）描点：在直角坐标系中描点：
（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数 的图象.活动目的：运用启发式教学，让学生参与的到学习过程中，加深对知识的理解，体现数学活动充满着创造与探索.2.对于二次函数 的图象(放幻灯片
5、6）
（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流. （2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
（3）当0x时，随着值的增大，的值如何变化？当0x时呢？
（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？ （5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点，并与同伴进行交流.活动目的：让学生在实践中检验自己得到的结论 的图象的性质(放幻灯片7）
(1)图像形状是 ，开口方向是 ． (2)它的图象有最 点（填高或低），最 点坐标是( ) (3)它是 对称图形，对称轴是 ．
在对称轴左侧，y随x的增大而 ； 在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．
(4)图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的 ，同时也是图象的最低点，坐标为(0，0)．
(5)因为图象有最低点，所以函数有最 值(填大或小)，即当 时，最小y.活动目的：学生总结性质，培养学生归纳、整理知识的意识.4.做一做(放幻灯片8～10）
二次函数 图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数 的图象有什么关系？与同伴进行交流.活动目的：学生分工合作，共同解决问题，激发学习热情.函数与的 图象的比较.(放幻灯片11）
我们观察函数2xy与2xy的图象，并对图象的性质作系统的研究，现在我们再来比较一下它们的图象的异同点.（1）开口方向不同，2xy开口向上，2xy开口向下.（2）函数值随自变量增大的变化趋势不同，在2xy图象上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x着的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧， y随x的增大而增大.在2xy的图象上正好相反.（3）在2xy中y有最小值，即0x时，y最小值＝0；在2xy中，y有最大值.即当0x时， y最大值＝0.（4）2xy有最低点，2xy有最高点.相同点： （1）图象都是抛物线.（2）图象都与x轴交于点（0，0）.（3）图象都关于y轴对称.联系：它们的图象关于x轴对称.活动目的：让学生发现处理问题的方法.6.思考拓展.二次函数的图象的开口方向跟什么有关？ 对于2axy这类二次函数来说，a与其张口大小、张口方向都有关系.活动目的：通过探索问题获得解决旧知识的方法.
六、课堂练习
七、课堂小结（放幻灯片12） 1.二次函数2xy的图象及性质.2.二次 函数2xy与2xy的图象的异同点.
八、课后作业
推荐第6篇：反比例函数图像和性质教学设计
反比例函数的图象和性质
教学目标
1．知识与技能
会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题．
2．过程与方法
通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．
3．情感、态度与价值观
由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣．
教学重点难点
重点：反比例函数图象的画法及探究，反比例函数的性质的运用．
难点：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析．
(一)创设情境，导入新课
问题：1．若y=≠-1 ．
2．用描点法画图象的步骤简单地说是 列表、描点、连线 ．
3．试用描点法画出下列函数的图象：（1）y=2x； （2）y=1-2x．
(二)合作交流，解读探究 (2n1)(n1)x是反比例函数，则n必须满足条件 n≠
12或n
问题：我们已知道，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，•那么反比例函数ykx(k为常数且k≠0)的图象是什么样呢？
尝试 用描点法来画出反比例函数的图象．
画出反比例函数y=
解：列表
6x和y=-
6x的图象．
（请把表中空白处填好）
描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．
连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来．
探究 反比例函数y=和y= −
x66x的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？
做一做 把y=和y= −x66x的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称．
归纳 反比例函数y=和y= −
x66x的图象的共同特征：
（1）它们都由两条曲线组成．
（2）随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴）．
（3）反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola）．
此外，y=6x的图象和y= −
6x的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．
做一做 在平面直角坐标系中画出反比例函数y=和y= −
x33x的图象．
交流 两个函数图象都用描点法画出？
【分析】 由y=
6x和y= −
6x的图象及y=
3x和y= −
3x的图象知道，
（1）它们有什么共同特征和不同点？
（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？
（3）在每一个象限内，y随x的变化而如何变化？
猜想 反比例函数ykx（k≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？在每一个象限内，y随x的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？
【归纳】 （1）反比例函数ykx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线．
（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第
一、第三象限，在每个象限内，y•值随x值的增大而减小．
（3）当k
二、第四象限，在每个象限内，y•值随x值的增大而增大．
(三)应用迁移，巩固提高
例题 指出当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y坐标系中的图象( )
kx (k≠0)在同一
【分析】 对于y=kx来说，当k>0时，图象经过
一、三象限，当k 二、四象限；对于ykx来说，当k>0时，图象在
一、三象限，当k 二、四象限，所以应选B．
【答案】 B
（四）总结反思，拓展升华
1．画反比例函数的图象．
2．反比例函数的性质．
3．反比例函数的图象在哪个象限由k决定，且y值随x值变化只能在“每一个象限内”研究．
4．在ykx（k≠0）中，由于x≠0，同时y≠0，因此双曲线两个分支不可能到达坐标轴．
反比例函数的性质及运用
（1）k的符号决定图象所在象限．
（2）在每一象限内，y随x的变化情况，在不同象限，不能运用此性质．
（3）从反比例函数ykx的图象上任一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂
12足及坐标原点所构成的三角形面积S△=│k│．
（4）性质与图象在涉及点的坐标，确定解析式方面的运用．
推荐第7篇：二次函数的图像的教学设计
二次函数的图像的教学设计
作者： 王方苹
日期：2008-01-08 21:14:07
教学目标 知识与技能目标 ：
1.了解二次函数图象的概念
2.学会用描点法画y=ax2图象。
3.学会观察、归纳、概括函数图像的特征
4.掌握y=ax2图象的位置关系及有关性质
程序性目标：1.经历描点法画函数图像的过程
2.经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理
情感与价值观目标：
进一步培养数形结合方法研究函数的性质
教学重点 ：函数 y=ax2型二次函数的描绘和图像特征的归纳
教学难点 ：选择适当的自变量和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂；还有提高题实际的应用难度较高 教学媒体准备 多媒体
教学设计过程
（①教学程序设计；②教法设计；③学法设计；④教材的处理与媒体。）
一、回顾知识
问题：1.正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么
2.一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么
3.反比例函数 （k ≠ 0）其图象又是什么 （学生思考后集体回答）
4.二次函数y=ax²+ bx+c（a ≠ 0）其图象又是什么呢？ 5.函数图像画法
（ 列表
描点
连线 ）
二、新课教学
1.研究函数 的图像
（师生共同列表，描点，连线，得到函数的图像） 2.课内练习
画函数⑴ 的图像
［学生自己画，要求：第一组⑴⑶，第二组⑵⑶，第三组⑴⑶；同桌相互配合，共同完成］ 3.函数 的顶点坐标、对称轴有关概念 （教师介绍顶点坐标、对称轴有关概念） 4.课内练习
5.例1 已知二次函数
(a≠0)的图像经过点(-2,-3).(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置.（师生共同完成） 6.课内练习
练习一：若抛物线 （a ≠ 0），过点（-1，3）。
（1）则a的值是
；
（2）对称轴是
，开口
。 （3）顶点坐标是
，顶点是抛物线上的
。
抛物线在x轴的
方（除顶点外） 练习二：已知抛物线 经过点A（-2，-8）。
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
练习三：某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．
(1) 以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线
（a ≠ 0） 的解析式；
(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）
三.课堂小结
1.二次函数
(a≠0)的图像是一条抛物线.2.图象关于y轴对称,顶点是坐标原点.
3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a
推荐第8篇：《二次函数的图像与性质》教学反思
《二次函数的图像与性质》教学反思
《二次函数的图像与性质》教学反思
本节课的学习内容是在前面学过一次函数、反比例函数的图像和性质的基础上运用已有的学习经验探索新知识。《二次函数的图像与性质
（一）》是二次函数性质研究的第一步，为后面研究较为复杂的函数类型作了必要的铺垫，具有承上启下的作用。
讲课中首先一起回顾一次函数与反比例函数的图像与性质，然后让学生动手在坐标系中作二次函数y=x2和y=-x2的图象，从感性上结识抛物线.再后又对两个特殊的二次函数的图象和性质进行了归纳和总结，从理性上再次结识抛物线.利用几何画板揭示了两个抛物线之间的联系，使本节课的知识得到了升华。
成功之处：
1.课前的引课很精彩，几句简短的语言使学生感受数学就在我们的身边，并激起学生学习数学的兴趣.
2.对二次函数图象的作图，通过学生作品的展示、思考、讨论、讲评起到指导全体学生的作用.作图后让学生反思自己的作图过程，加深学生对作图的理解，规范作图，同时培养学生严谨治学的精神.
3.二次函数的图象和性质掌握起来有一定的难度，因此我设计一系列问题串，让学生观察图象回答，以突出重点分散难点.同时借助课件的动态展示能帮助学生更形象地理解和掌握二次函数的图象和性质，也为今后探讨其他类函数的性质提供思路.
4.在教学中注重多种学习信息的捕捉，引导学生从图与形，表达式、表格、图像等多角度地去分析理解数学知识，使学生对抛物线有一个丰满的认识。
5.几何画板很好的展示了两个函数之间的关系，动态的演示有助于理解难点，是这节课的亮点。
不足之处：
1.在学生作图教学时，课堂上有一部分学生没有进行完，此处给学生的时间少一些.
2.作图展示时只说明了有问题的部分而没有展示优秀的部分，无法使学生获得成功的喜悦。 3.在探索二次函数的图象和性质的活动中，没有让学生有更多的思考交流和评价的过程，限制了学生思维的发展.
通过这节课，我认为要使课堂真正成为学生展示自我的舞台，还学生课堂的主体地位，教师要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，为学生提供展示自己的舞台，充分利用合作交流的形式，使教师帮助学生不断积累学习经验，完善学习的过程，最终使“要我学”变为“我要学”。
推荐第9篇：反比例函数的图像和性质教学设计
“17.1.2反比例函数的图象和性质”教学设计 江苏省南通市第一初级中学 许 磊 摘 要：“17.1.2反比例函数的图象和性质”是在学生已学完一次函数，并初步认识、感知反比例函数概念之后，对反比例函数的图象和性质的进一步掌握．基于从函数的角度使学生深刻体会数学与实际生活的联系，感受数学的奇妙，从而加深学生对函数本质意义和研究方法的认识，在探索过程中不断体验数形结合的思想，了解数学模型的应用价值的理念．本教学设计，通过引导学生类比一次函数，自主发现反比例函数的图象和性质，并借助多媒体加以验证，在教学过程中通过自主探究、小组研讨、学生设计问题等环节充分激发学生的学习兴趣．
关键词：类比；数形结合；自主探究；自主设计问题
一、内容和内容解析
内容
人教版课标教材八年级下册“17.1.2反比例函数的图象和性质”。
内容解析
函数是刻画变量之间关系的数学模型，本节课是学生已学完一次函数，并初步认识、感知反比例函数概念之后，对反比例函数的图象和性质的进一步掌握．教学中，应从函数的角度使学生深刻体会数学与实际生活的联系，感受数学的奇妙，从而加深学生对函数本质意义和研究方法的认识，在探索过程中不断体验数形结合的思想，了解数学模型的应用价值．
教学重点
对反比例函数性质的探究和掌握．
二、目标和目标解析
目标
能描点画出反比例函数的图象；能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（为常数，≠0）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析并解决一些简单的实际问题．
目标解析
（1）能描点画出反比例函数的图象。
（2）能根据图象数形结合,引导学生发现反比例函数的性质，培养观察、归纳、概括的能力。
（3）能利用反比例函数性质分析并解决一些基本问题，抓住函数的变化规律是由决定这一性质。
（4）使学生在学习一次函数的性质之后，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步学会数形结合的思想方法。
（5）在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，使学生在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟．
三、教学问题诊断分析
学生已经学习了一次函数，基本熟练掌握了一次函数的概念、图象、性质与应用，同时前一课也初步认识、感知了反比例函数的概念．但是反比例函数自身的特殊性以及学生学习一次函数所产生的“惯性”，会导致学生在画图、探究反比例函数的性质等方面出现负迁移等问题．
学生在描点作反比例函数的图象时，可能会出现以下问题：
（1）取点时，都取正值，导致只画出一支曲线；
（2）由于所取的点较少，导致图象失真；
（3）连线时习惯用线段，导致出现“硬转弯”的折线图；
（4）习惯性的过原点或与两坐标轴相交；
„„
基于以上可能出现的问题，教学时将采取正面引领（展示学生所画的正确图象，回顾作图步骤），反面剖析（展示学生所画的错误图象，分析错误原因），实践操作（学生再画函数图象时，不仅能正确作出函数的图象，而且能在作图中体验、探索函数的性质）3个步骤加以解决．
在学生探究反比例函数性质时，对于函数的增减性会出现不加“在每个象限内”这个限定条件的错误．教学时将采取举例说明的方法，让学生自主发现问题、解决问题，从而加深对反比例函数增减性的体验和理解．
四、教学支持条件分析
为了高效实现教学目标，可以借助计算机进行辅助教学．在学生观察图象、探究反比例函数的性质时，可以借助《几何画板》将较多反比例函数图象呈现给学生，既节约时间，又有利于学生进行观察、总结．在“设计问题”环节的教学，如有学生提出与面积有关的问题，可以通过《几何画板》演示点在不同反比例函数图象上的移动，引导学生发现代数与几何之间的内在联系和统一，将课堂延伸到课后，并为下一课的教学做好铺垫．
五、教学过程设计
问题1：上一节课我们已经学习了反比例函数的定义，那么什么叫做反比例函数？
（形如（）的函数叫做反比例函数．）
（教师板书：反比例函数（）。）
今天我们就来探究反比例函数的图象和它的性质．
【设计意图】通过类比正比例函数的学习，提出本节课所要研究的问题及其研究方法，并引导学生的研究思路．
问题2：请大家尝试着画一画反比例函数的图象．
（教师展示学生作品，并让学生交流作图步骤和注意点．）
【设计意图】学习正确的作图过程，在填表过程中感受随变化的规律，为基于图象探究函数性质打下基础．
问题3：（教师首先展示学生所画正确的函数图象）很好！这名同学画出来的函数图象非常优美．下面要展示的几幅图同样是来自同学的作品，能不能反思一下它们的问题在哪里？这样我们下次就能画出更美的曲线（展示几幅学生所画有错误的函数图象）．
【设计意图】重视反例教学，充分开发和利用“错误”资源，感受反比例函数的性质．
问题4：很好！下面请大家按照正确的步骤和方法再画一下函数的图象．
（1）列表（如表1）。
表1
…
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
（2）描点。
（3）连线．
(教师展示学生所画图象。)
【设计意图】加深学生对作反比例函数图象的认识，达到“能描点画出反比例函数的图象”的教学目标；并在列表、画图过程中进一步感知反比例函数的性质，如通过列表发现决定了图象所在的象限等．
问题5：观察反比例函数的图象是两条曲线．
（给出函数图象名称：双曲线．）
教师借助于计算机，画出了更多反比例函数的图象，仔细观察，类比正比例函数的性质，引导学生总结反比例函数的性质．
（开展小组协作、讨论。）
（教师板书：当k>0,在每个象限内，随的增大而减小; 当k
【设计意图】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力．
问题6：总结（如表2）。
表2 名称 解析式
图象
图象分布
函数变化情况
反比例函数
师：对于反比例函数，我们一定要注意这三者之间的关系：图象，的正负，函数的增减性．可以说，只要知道其中一个，就可以知道另外两个．
【设计意图】通过与正比例函数的比较，加深学生对反比例函数的性质的理解，尤其是要理解决定了函数的变化规律，提高学生的归纳总结能力．
问题7：一个直角三角形的两直角边长分别为，其面积为2，则与之间的关系用图象表示大致为（
）。
【设计意图】从实际问题抽象建模成反比例函数，同时引导学生注意实际问题中自变量的取值范围．
问题8：你能补全这道选择题吗？
以下各图表示正比例函数与反比例函数（）的图象，其中正确的是（
）。
【设计意图】从图中识别不同的函数，及时巩固概念；引导学生观察图形，从分类角度认识与函数图象的关系．
问题9：下列反比例函数图象的一个分支，在第三象限的是（
）。
（A）
（B）
（C）
（D）
【设计意图】帮助学生辨析一个常见错误（少数学生会误认为是函数解析式中的大于0或小于0）．
问题10：若点（-2，y1），（-1，y2），（2，y3）在反比例函数的图象上，则（
）。
（A） y1 >y2 >y3
（B） y2 >y1 >y
3（C） y3 >y1 >y2
（D） y3 >y2 >y1
【设计意图】加深学生对反比例函数增减性的理解，培养学生结合图象研究函数的习惯．
问题11：如图1，A、B是双曲线的一个分支上的两点，且点在点的右侧，则的取值范围是
．
图1
【设计意图】加深对反比例函数增减性和“在每个象限内”的理解，培养学生结合图象研究函数的习惯．
问题12：已知反比例函数，你能运用今天所学的知识，设计一个关于的问题么？
例如，函数图象位于第
二、四象限，求的取值范围．
解：因为双曲线在第
二、四象限，所以。所以。
【设计意图】让学生基于本节课所学的知识设计问题，对学生提出了更高的要求，使学生获取知识和技能的同时，激发学习数学的兴趣，并使智力得到发展，能力得到培养．
问题13：学生总结．
作业：教材P46页习题17.1 3第8题、第9题．
【设计意图】让学生通过自我总结，更加系统、全面地认识本节课的知识，并把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用，也进一步升华了这节课所要表达的本质思想。
六、目标检测设计
1.选择题
（1）反比例函数的图象位于（
）。 （A）第
一、二象限
（B）第
一、三象限
（C）第
二、三象限
（D）第
二、四象限
（2）已知函数的图象经过点（2，3），下列说法正确的是（
）。
（A）y随x的增大而增大
（B）函数的图象只在第一象限
（C）当x＜0时，必有y＜0
（D）点（－2，－3）不在此函数图象上
（3）若反比例函数的图象在其每个象限内,y随x的增大而减小,则k的值可以是（
（A）-1
（B）3
（C）0
-3
（4）矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（
）。
（5）已知，则函数和的图象大致是（
）。
（6）函数的图象上有两点，，若0
）。
（A）
（B）
（C）
（D）、的大小不确定
2.填空题
（7）已知下列反比例函数：
。 D）
）
（①；
②；
③；
④；
⑤。
图象两支分别在第
一、三象限内的函数是___________；
在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大的函数有___________。
（8）函数，当x>0时，图象在第____象限， y随x 的增大而_________。
（9）已知2，4，m是三角形的三边长，那么双曲线的两支在第_____象限内。
（10）双曲线的两个分支分别位于第
象限．
3.解答题
（11）反比例函数的图象如图2所示，，是该图象上的两点．
①比较与的大小；
②求的取值范围．
图2
（12）已知一次函数与反比例函数的图象交于点．
①求这两个函数的函数关系式。
②在给定的直角坐标系（如图3）中，画出这两个函数的大致图象。
③当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？当为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
答案：（1）D；（2）C；（3）B；（4）B；（5）D；（6）A；（7） ①③⑤，②④；（8）一，减小；（9）
一、三；（10）
二、四；（11） >，；（12），，当时，一次函数的值大于反比例函数的值，当时，一次函数的值小于反比例函数的值.
【设计意图】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，基本题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验．
注：
江苏省南通市课题组成员：袁亚良，王兴富，李明生，蔡新春，陆志强，马公仕，许磊，葛媛，徐向清，徐强，陶慧，陈天龙。
教学设计中的“问题8”选项D缺图——D选项是由学生设计的问题，所以应该空着，不需要修改
本文发表于《中国数学教育》初中版2011年第
1、2期
推荐第10篇：《正弦函数的图像和性质》教学设计
《正弦函数的图像和性质》教学设计
广元市利州中等专业学校
李洪兵
教学设计总体结构图
【教学分析】
教材分析
教材特点：教材选用高等教育出版社中职课改新教材《数学》，该教材具有“基础性”、“职业性”“普及性”、“实用性”等特点。本课是第五章第六节的内容，授课时间为：45分钟。
地位作用：是函数、指数函数、对数函数的后续内容，是研究其
他三角函数的图像和性质的基础，有极其重要的地位与作用。
学情分析
授课对象为中专10级平面设计班一年级下学期的学生，他们有良好的信息素养，思维活跃、想象力丰富，特别喜欢用计算机来辅助学习。但他们重实践，轻理论，总结归纳能力不强。
学习过指数、对数函数，能利用描点法作出函数图像， 在三角函数的内容中，不要求他们掌握正弦线的概念。 教学目标
知识目标：理解周期性概念，掌握正弦曲线的作法， 五点法作图，
正弦函数的性质。
能力目标：观察、分析、归纳表达能力的培养。 培养数形结合和
化归转化的数学思想方法。
情感目标：合作学习、数学交流的能力；勇于探索、勤于思考的
科学素养。
重点：理解周期性，五点法作图
难点：周期性
如何突破难点？
（一）
通过时钟的转动和星期的周而复始来说明周期性的存在，通过星期和日期的函数F(x)，F(x)=F(x+7k)（F(x)=0,1,2,3,4,5,6，k是整数）来引入数学中的周期函数的概念，引导学生类比正弦函数的诱导公式也具有这个特征，得出周期性函数具有图像必定会重复出现这一重要结论。
如何突破难点?
（二） 作出正弦曲线后，对于认识周期性，通过在PPT课件中编写VBA代码，在正弦曲线上随机任意选取一点或一段曲线段，该点或曲线段就会至少每隔2就会重复出现，说明周期性不仅是[0, 2]这一段曲线才会重复出现，从形的方面理解了sin(x+2k)=sin(x)的意义，加强对函数周期性的理解。
【教法学法】
教法
教学模式：问题建构模式
问题情景——协作探索——猜想尝试——画图验证 ——巩固应用——方法归纳 教学手段：CAI课件
电脑动画模拟演示利用描点法作正弦函数的图象，使问题变得形象直观，也激发了同学们的学习兴趣。
学法 联想尝试
引导学生借鉴已有知识和经验，通过观察、分析、尝试发现新的知识方法，培养学生的数学情感，提高学生的学习兴趣，有助于学生对知识的理解和掌握。 协作学习
通过观察教师利用电脑作正弦曲线，引导学生动手操作，同桌两人边看边讨论共同解决问题。
【教学过程】
创设情景，兴趣导入
通过时钟走动的例子，引出周期性的概念，再通过星期的周而复始，写出符合该特征的式子：f(x)=f(x+7k)(k是整数)，引导学生通过正弦函数的诱导公式类比得出正弦函数也是周期函数，再给出周期性的严格定义，最后根据定义得出重要结论：周期函数的图像一定会重复出现。
构建问题，任务驱动，动脑思索，解决问题
提出任务
1、如何正弦函数的函数图像？
2、如何作出正弦函数在[0,2]的函数图像，引导同桌互相讨论，给出一般方法，最后，大家观察教师通过电脑模拟作图学习掌握方法，对正弦函数的图像有了完整的理解后，引伸出五点作图法，并用计算机演示五点作图法，如下图:
延伸拓展，获取新知
通过一个典型的正弦曲线，认识正弦函数的周期性，奇偶性、单调性和有界性。 典型例题，巩固知识
例：用五点法作出y=sinx+1在[0,2]上的函数图像。
在黑板上用手工的方法讲解例题。加深同学们对手工作图的理解。 总结归纳，达成目标 （1） 学生自我总结思考
（2） 教师给出知识性总结和能力要求总结
【板书设计】
主要用手工的方法在黑板上演示五点法作图（完成例题）
【教学思考】
（1）在本节课的教学中，学生第一次接触周期性概念，日常生活中的周期性好理解，但如何将其和数学中周期性概念接合，是一个难点，在教学中，教材给出时钟的例子容易理解，但函数式不好给出，星期的周而复始容易理解，同时，可以写出一个符合周期性特征的表达式，开始我还作出了一个图像，但是由于图像是散列的点，如果用直线，学生容易混淆，因此，最终没有给出星期与日期关系的函数图象。
（2） 作图时，一定要引导学生X轴和Y轴的刻度要一致，X轴 要用弧度。
注意培养学生的成就感，学生对描点法已经熟练了，在自己作图时，对学生初次画出的图形多给鼓励。
对于数学的学习尽可能的创造条件利用多媒体进行教学 ，使抽象的问题变得形象直观，同时也可以激发学生的学习兴趣。
第11篇：《余弦函数的图像和性质》教学设计
《余弦函数的图像和性质》教学设计
一、教学目标
1.知识与技能：学会用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图象，通过对余弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。
2.过程与方法：培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力；培养数形结合和化归转化的数学思想方法。
3.情感、态度与价值观：培养学生合作学习和数学交流的能力；培养学生勇于探索、勤于思考的科学素养；渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动与静的辩证关系，培养辩证唯物主义观点。
二、教学重点：“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的余弦函数图像。
三、教学难点：运用几何法画余弦函数图像。
四、教学过程
（一）复习旧知，新知铺垫
1.三角函数的定义。（教师提问，学生回答）
⒉三角函数线的作法和作用。（教师对学生作答进行点评）根据以往学习函数的经验，你准备采取什么方法作出余弦函数的图像？引导学生画出点_____________，组织他们完成下面的步骤：描点、连线。
[设计意图：把问题作为教学的出发点，引起学生的好奇，用操作性活动激发学生求知欲，为发现新知识创设一个最佳的心理和认识环境，关注学生动手能力培养，使教学目标与实验的相一致。]
（二）创设情境，引入新课
1.什么是余弦线？如何作出点_____________，展示幻灯片。
2.引导学生借助三角函数线完成余弦图像。引导学生由单位圆的正弦线知识，只要已知角x的大小，就可以由几何法作出相应的余弦值cosx，一方面分组合作探究，展示动手结果，上台板演，同时回答同学们提出的问题。
[设计意图：为学生提供一个轻松、开放的学习环境，有助于 有效地组织课堂学习，有助于带动和提高全体学习的积极性、主动性，更有助于培养学生的集体荣誉感，以及他们的竞争意识。]
3.五点法y=cosx,x∈［０,2?仔］的简图。y=cosx,x∈［０,2?仔］“五点法”画的简图。请同学们观察，边口答在y=cosx,x∈［０,2?仔］的图像上，起关键作用的点有几个？引导学生自然得到下面五个：
组织学生描出这五个点，并用光滑的曲线连接起来，很自然得到函数的简图，称为“五点法”作图。
[设计意图：通过对正弦线复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。通过课件演示让学生直观感受余弦函数图像的形成过程。并让学生亲自动手实践，体会数与形的完美结合。]
（三）探究学习
例1.画出函数y=cosx,x∈［０,2?仔］的简图。思考：若从函数y=1+cosx的图像变换分析的图像可由y=cosx的图像怎样得到？
[设计意图：把学生推向问题的中心，让学生动手操作，直观感受波形曲线的流畅美，对称美，使学生体会事物不断变化的奥秘。]
（四）合作交流
提出问题：余弦函数有哪些主要性质？提问部分小组，教师进行归纳并板书。学生分组讨论交流、相互评价，教师巡视并参与学生的讨论。
[设计意图：突出学生的主体性，通过协作讨论区，同学之间互相配合、互相帮助、各种观点互相补充，增强合作意识。学生通过观察余弦函数图像的特点，分组完成了正弦函数的主要性质的建构。培养学生学生合作学习和数学交流的能力。]
（五）联想探究
余弦函数的性质：（1）定义域 R；（2）值域[-1,1]。
借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维认识，遵循学生的认知规律，提高学生的思维层次。引导学生进行讨论，相互补充后进行回答，教师评析。
[设计意图：只需指出函数的定义域、值域即可，关于函数的奇偶性、单调性和周期性安排下一个课时再讲，函数的单调区间学生可能说不完整。]
（六）归纳总结
1.余弦曲线
2.注意与三角函数线等知识的联系。
3.思想方法：“以已知探求未知”、类比、从特殊到一般。
[设计意图：发展学生的应用意识，是高中数学课程标准所倡导的重要理念之一。加深学生对余弦曲线的理解，体验数学在解题中的应用。让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。]
（七）作业安排
教材34页1.2。分两个层次留作业，第一层次要求所有学生都要完成；第二层次要求学有余力的同学完成。
（责任编辑付淑霞）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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第12篇：“正切函数的图像和性质”的教学设计
“正切函数的图像和性质”的教学设计
“正切函数的图像和性质”是全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册（下）第四章第十节的内容，也是普通高中课程标准试验教科书（必修）《数学》4 §1.4.3的内容.
正切函数的图像和性质的学习是正弦、余弦函数的图像和性质知识的延续和深化，也是数形结合等重要数学思想方法的基础.本节课的教学不但能使学生在原有知识和经验的基础上进一步体会数形结合思想，而且可以提高观察、比较、概括等能力的发展.但对图像的认识学生始终有些难以理解，因此，本节课力争使用多媒体教学，使学生从理性和感性两方面去认识，从而达到预期的效果.
一、教学目标
1.知识目标
通过本节的学习能理解并掌握作正切函数图像的方法，能用正切函数的图像解决有关问题.
2.能力目标
经历正切函数图像的作法过程，发展学生运用类比的方法分析问题和解决问题的能力，并让学生进一步体会数形结合思想方法的重要性.
3.情感目标
培养学生积极参与、合作交流的主体意识和主动探索、勇于发现的科学精神.在知识的探索和发现的过程中，使学生感到数学学习的意义，从而产生良好的数学学习态度.
4.重点和难点
重点：正切函数的图像形状及其主要性质.
难点：利用正切线画出正切函数y=tanx，x∈-π2，π2的图像.
为了突出重点、突破难点，在教学中采取以下措施：
（1）采用类比的方法，让学生在正弦函数图像画法的基础上研究正切函数图像的画法.
（2）从学生已有的知识出发，利用数形结合的思想，逐步引导学生通过自主探索、合作交流的形式，观察、归纳出正切函数的主要性质.
二、教法探索
1.教法分析
针对高一年级学生的年龄特点和心理特征，结合他们的认知水平，在遵循启发式教学原则的基础上，本节课我主要采用以“情境――问题”教学法为主，以类比法、讨论法、练习法为辅的教学方法，意在通过教师的引导，调动学生的积极性，让学生多交流、多讨论，主动参与到教学活动中来.
“情境――问题”教学法是贵州师范大学数学系的教授和研究生们，从跨文化数学教育研究的结果出发，为改变由教师单向灌输书本知识、学生被动接受学习的模式，提出了旨在培养创新意识和创新能力的基本教学模式，表示为：
设置数学情境→提出数学问题→解决数学问题→注重数学应用
（引导观察分析）（猜想探究）（正面求解或反例反驳） （学做学用）
2.学法指导
现代教育理论认为，教师的“教”不仅要让学生“学会知识”，更主要的是要让学生“会学知识”，而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键，因此在本节课的教学中，教会学生能用“类比”的学习方法学习正切函数的图像和性质，体会数形结合解决问题的好处，使传授知识与培养能力融为一体，真正实现本节课的教学目标.
3.教学手段
为了更形象、直观地突出重点、突破难点，增大教学容量，提高教学效率，本节课采用多媒体辅助教学，以加深学生对图像的认识，尤其使用几何画板的功能，让学生用动态的观点分析问题和解决问题.
三、教学环节设计
为了达到预期的教学目标，对整个教学过程进行了系统的规划，主要设计了以下五个教学环节（诸环节的标题与顺序见下面的各个小标题）：
1.创设情境，导入新课
引入新课：正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性，为了更好地研究其性质，我们首先讨论y=tanx的图像.
利用多媒体展示正弦函数的图像：y=sinx，x∈（0，2π）.
2.自主探索，归纳新知
（本环节主要引导学生探索研究，得出新知.引导学生由正弦函数图像，通过类比作出正切函数图像，并让学生通过对图像的观察，自主探索、合作交流，归纳出正切函数性质.）
师生互动：
活动一：采用类比的方法，让学生通过正弦函数图像的作法探索如何利用正切线作出正切函数的y=tanx，x∈-π2，π2图像.
在学生合作交流、共同探讨后利用多媒体课件展示正切函数的图像（如图示）.
活动二：利用几何画板的强大功能展示正切函数图像的动态画法，让学生在动态中享受数学知识带来的乐趣.
活动三：引导学生通过函数的周期性作出函数y=tanx在整个定义域内的函数图像.
（此环节让学生通过正弦函数的画法，通过类比的方式，根据正切函数的周期性得出.）
活动四：引导学生通过对图像的研究，分析归纳出正切函数的性质.
（本环节中，通过设计“问题串”、作类比等方式，使学生对于知识的理解不仅仅停留在表面，而是抓住了其实质，从而轻松地掌握本节的教学重点.）
3.巩固练习，深化知识
适当的巩固性、应用性练习是学习新知识、巩固新知识所必不可少的.为了促进学生对新知识的理解和掌握，及时安排学生完成以下练习.
1.求函数y=tanx+π4的定义域.
2.不求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
（1）tan167°与tan173°；
（2）tan-11π4与tan-13π5.
4.归纳小结，反思提高
小结以提问的方式出现.
问题1：通过本节课的学习，你学会了什么知识？
问题2：在解决问题的过程中，你掌握了哪些数学思想方法？
5.布置作业，分层落实
为培养学生良好的学习习惯，巩固所学内容，提高学生的探究能力和自主学习能力，让学生完成下列练习：
1.证明函数f（x）=tanx在-π2，π2是增函数.
2.课后习题（习题4.10）.
四、反思研究
作为一节新知识课，在教法上，我打破了传统的教学模式，精心设计问题情境，积极引导、启发学生，经过类比、观察、归纳，最终得出.
本节课在设计和教学过程中，留下了一些遗憾.比如，想让学生了解的内容过多，而对学生的估计不足，使得在教学过程中，未能充分发挥学生的主观能动作用，教学中未能完全放开.
附：板书设计
4.10正切函数的图像和性质
1.正切函数的图像
2.正切函数的性质：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期性：
（4）奇偶性：
（5）单调性：
3.练习巩固.
【参考文献】
[1]马复.设计合理的数学教学[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]教育部.普通高中数学课程标准（实验）.北京：人民教育出版社，2003.
[3]吕传汉，汪秉彝.中小学数学情景与提出问题数学探究[M].贵阳：贵州人民出版社，2002.
第13篇：二次函数图像教学反思
《二次函数y=ax2的图像》教学反思
教师的任务不仅在于教数学，更主要的是创设情境，激励学生凭借自己的能力去获取数学知识，理解数学的道理，构建数学思想.因此，在教学中，我们应鼓励学生通过独立思考或合作学习研究，“发现”或“再创造”出数学知识。
一、教学背景分析：
1、教材分析：二次函数的知识是看中学数学学习的重要内容之一，它是从生活实际问题中抽象出的数学知识，又是在解决实际问题时广泛应用的数学工具，无论是在生活中还是在运用二次函数知识的方法上，都具有重要意义的教学内容。因此，搞好二次函数的图像和性质的教学，对学生能力的培养有重要的奠基意义。
2、教学内容分析：本节课二次函数的图像的第一课时，主要是研究最简单的二次函数的图像的画法，从而总结出它的性质。这既是对学生进行理性思维的培养，又是进行抽象思维的培养，具有较高的数学教育价值。因此学好本节内容对以后的学习也很重要。我确定本节课的重点是：根据图像观察、分析出二次函数的性质。
3、学生情况分析：本节课的教学对象是职高一年级级学生，在此之前他们对一次函数的图像和性质有一定的基础，但他们的观察能力，概括能力还比较弱，因此我确定本节课的难点是继续渗透数形结合的数学思想方法。
二、教学目标的确定：
我根据数学课程标准中关于“二次函数的图像”的教学要求，结合学生的实际情况，从以下三个方面确定了本节课的教学目标：
知识与技能：
（1）会用描点法画出二次函数y=ax2的图像。
（2）根据图像观察、分析出二次函数的性质。
（3）进一步理解二次函数和抛物线的有关知识。
过程与方法：通过画函数图像，总结性质，渗透由特殊到一般的辨证唯物主义观点。渗透数形结合的数学思想方法，培养观察能力和分析问题的能力。
情感态度：培养学生勇于探索创新及实事求是的科学精神。
三、教学方法与手段：
教学方法主要采用问题导学、小组讨论与反馈练习相结合的方法，通过教
师设置问题，引导学生独立思考，通过总结二次函数的性质组织学生小组讨论，为较差学生提供得到帮助的机会，通过反馈练习了解学生情况，及时分析和矫正，提高课堂教学效果。
教学手段采用分层教学与学案相结合的方法。通过分层提问，使不同的学生获得不同的收获，通过学案的设计帮助学生检测学习情况，反思学习过程，不断提高学习效果。
四、教学过程的反思：
优点：
1、上课一开始，我就注重对所学过的平面直角坐标系的有关知识、平面内如何确定点的坐标、以及各象限内点的坐标特征和关于y轴对称点的坐标特征的复习。使学生在画二次函数图像时描点找得很快、很准确。在讲解抛物线的概念时，出示了同学们很感兴趣的姚明投篮的照片，激发了学生的学习兴趣。为了得出a不同对抛物线图像和性质的影响，在学生画完三个图像后，教师采用“问题导学”式教学方法，设置问题情境，引导学生自主进行观察、发现、归纳、反思等数学活动，得出二次函数y=ax2的图像和性质，在教学中，由学生自己动手，通过列表、描点、连线绘制出二次函数的图像，培养了学生动手动脑的习惯和综合分析归纳的能力。
2、小组合作学习，发现其中的规律。鼓励学生相互交流自己的想法，并说明理由。如在画出图像后，提问学生“我们可以从图中观察到什么”。渗透了数形结合的思想，培养了学生观察、综合分析的能力，增加了学习的自信心和学习的能力。在合作学习中，也培养了他们善于与人交流，合作，肯于负责任的良好个性品质。
3、教师适时地总结、深化，提高认识水平。教师在不断地总结中渗透数学思想方法，抓住时机培养学生思维的深刻性。如这几个基本函数的学习上一节课经历了从实例抽象概括出函数概念，本节课由函数的解析式画出函数的图像，总结出函数的性质，再利用所学知识解决有关问题。在师生的共同讨论中，深化所学知识，培养学生具备反省思维的能力。
4、课堂教学中充分体现了教师和学生的“双主作用”，其中“问题导学”的教学模式起了重要作用。只有教师创造性的教，学生才能创造性地学，一旦学生的学习活动充满创造性的时候，学习过程便充满美的魅力，成为学生积极进取、自我完善的过程。
不足：对y=-x2的读法，教师读的不规范，没有注意小的细节。在总结二
次函数性质时，对于开口宽度，我在备课时用a的绝对值来表示的，a为负数时与a为正数时正好相反，一个学生说对了，但不是老师要的答案，我当时没有多想，就说他说的不对。忽略了不同的说法。另外老师提出问题后，给学生去分析、归纳、总结的时间还不够，因此本节课中教师有包办现象。
五、得到的启示：
反思这节课，从课前准备到课堂实施再到课后作业效果和检测，我得到如下启示：
1、对教材的处理要灵活，要考虑到前后知识的联系。
2、学生是变化的，要能及时准确的了解学生情况。
3、要不断探索和完善自己的教学方法和手段，向其他老师学习。
4、不断提高学生学习兴趣，不断提高课堂实效。
5、加强个别辅导。指导学生
第14篇：二次函数的图像和性质教学案课堂作业.
内容:6.2二次函数的图像和性质(3
二次函数的图像和性质(2教学案 +课堂作业 3 教学内容:6.2二次函数的图像和性质(3 课 型:新授课 学生姓名:______ 学习目标:
1、经历探索二次函数 y=a(x-h2(a≠ 0 的图象作法和性质的过程;
2、能够理解函数 y= y=a(x-h2与 y=ax2的图象的关系, 知道 a、h 对二次函数的图象的影响;
3、能正确说出函数 y=a(x-h2的图象的性质 .教学过程:
一、叙述二次函数 y=ax2+k(a≠ 0 的图象和性质。
二、探索二次函数 y=a(x-h2(a≠ 0 的图象作法和性质:
1、操作:
2、思考: (1函数 y=(x+32的图象与 y=x2的图象有什么关系? (2函数 y=(x+32的图象与 y=x2的图象的形状相同吗 ? (3从表格中的数值看,函数 y=(x+32的函数值与函数 y=x2的函数值相等时,它们所对
应的自变量的值有什么关系 ? (4从点的位置看,函数 y=(x+32的图象与函数 y=x2的图象的位置有什么关系?它是轴
对称图形吗 ? 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 ?
3、结论 :函数 y=(x+32的图象可以由函数 y=x2 的图像沿 x 轴向平移 个单位长度得到 , 所以它是 ,这条抛物线的对称轴是 ,顶点坐标是 ,当 x 时 ,y 随 x 的增大而增大 , 当 x 时 ,y 随 x 的增大而减小 .
4、观察右图 , 思考并回答下列问题 : ①抛物线 y=-3(x-12可以看作是抛物线 y=-3x2 沿 x 轴平移了 个单位 ; 抛物线 内容:6.2二次函数的图像和性质(3
y=-3(x+12可以看作是抛物线 y=-3x2 沿 x 轴平移了 个单位 .②图象向左平移还是向右平移 , 移多少个单位长度 , 有什么规律吗 ?
5、归纳:二次函数 y=a(x-h2(a≠ 0 的图象和性质:
三、例题:
1、二次函数 y=2(x+5 2的图像是 ,开口 ,对称轴是 ,当
y 有最 y=2x2向 ____平移 ______个单位得到。它向左平移 6个单位后的二次函数的解析式为 ___________。
2、将函数 y=3(x -4 2 的图象沿 x 轴对折后得到的函数解析式是 ; 将函数 y=3(x -4 2 的图象沿 y 轴对折后得到的函数解析式是 。
3、把抛物线 y=a(x-4 2 向左平移 6个单位后得到抛物线 y=- 3(x-h 2 的图象, 则 a= , 。若抛物线 y= a (x-4 2的顶点 A ,且与 y 轴交于点 B ,抛物线 y=B.2415y x =- C.2415y x =-+ D.24 15 y x =+ 12.能否适当地向左或向右平移函数 2 12 y x =-的图象, 使得到的新的图象过点 (-9, -8 ? 若能,请说出平移的方向和距离;若不能,请说明理由。 13.把函数 2 12
y x = 的图象向右平移 4个单位后 , 其顶点为 C, 并与直线 y x =分别交于 A,B 两点 (点 A 在点 B 的左边 .求 ABC 的面积 .
第15篇：6.2二次函数的图像和性质(4)教案
课 题: §6.1二次函数 教学目标：
1.掌握二次函数ya(xm)2k与yax
2、yax2k、ya（xm)2的图像的位置关系；
2、会用配方法确定二次函数yax2bxc图象的顶点坐标、对称轴和函数的最值，会用列表描点法画函数ya(xm)2k的图象．
教学重点：通过配方法画二次函数y=ax2+bx+c的图象、确定其开口方向、顶点坐标、对称轴以及函数的最值问题
教学难点：用配方法确定二次函数的顶点坐标和对称轴 教学程序设计：
一、情境创设
上节课，我们发现了 yax2与 yax2k， ya(xm)2的图象之间的关系，那么你认为形如ya(xm)2k的图象会是什么呢？形如 yax2bxc的图易用又是什么呢？它们有什么性质？ 师生活动设计：
22师：展示同一坐标系中 yx2与y（x1） y（x1）2的图象，出示这个问题。 生：思考并解决。 生2：补充回答
设计意图：展示上节课的探究内容，让学生进入这个数学活动，意图是引领学生从点坐标的数量变化、图形的位置变化着手，用运动变化的观点来分析解决问题
二、探索活动
活动一：探索二次函数 ya(xm)2k的图象和性质。 1． 在直角坐标系把yx2的图象沿X轴左向移动1个单位，再沿y轴向上移动2 个单位，画出这条新的抛物线。
2． 写出这条抛物线的解析式。 3． 抛物线y(x1)22的性质。 抛物线y(x1)22的性质
活动二：探索yax2bxc的图象及其性质。 1．讨论yx22x3的图象及性质。
2．运用配方法，找一找yax2bxc的顶点坐标公式和对称轴。 3．讨论yax2bxc的图象性质
师生活动设计：展示坐标系中的抛物线yx2 师：把它x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移2个单位。请同学画出这两条抛物线。 生1：板演。
师：说出这两条抛物线的解析式。 生2：y(x1)
2 y(x1)22
师：说说y(x1)22的图象是什么？有哪些性质？ 生3：独立回答。 生4：独立回答。
师：讨论y(x1)22 的图象。 生5.独立回答。
请同学们独立思考形如ya(xm)2k的图象及其性质。
生9：回答开口方向、顶点坐标、对称轴、函数的最大（小）值。 生10：补充或纠正回答
师：二次函数yx22x3的图象也是条抛物线吗？ 生1：是的。
师：那它的顶点坐标和对称轴分别是什么？ 生2：对称轴是直线x=-1，顶点是（-1，2）。 师：你是怎么知道的？
生3：通过配方，把yx22x3变形成y(x1)22。
师：那么对于一般式yax2bxc来说，能不能找到它的顶点坐标和对称轴呢？ 生4：能，配方。
生5：板演配方过程。 师：评析配方过程。 师：顶点坐标是（4acb4a2b2a,
b2a,)。对称轴是直线x=有了这个公式，以后我们代入计算就可以了，无须再写出配方的过程。再请同学们说说它还有哪些性质？ 生6：（开口方向）
生7：（增减性方面）
设计意图：活动一中：学生已有左加右减上加下减的平移规律，知道平移前后仅仅是顶点和对称轴的位置变化，容易归纳出形如ya(xm)2k的图象性质。活动二中： 学生能直观看出yx2x32与
y(x1)22其实是同一个解析式，此时老师点评只要把一般式配方成顶点式，我们就能找到任何一条抛物线的解析式了。再抛砖引玉：如果对yax2bxc进行配方，能不能找到顶点坐标与系数abc的关系？正如一元二次方程的求根公式一样，以后我们就可以直接代入公式，不用再配方？以此激发出学生探索的乐趣和主动。
三、例题教学
例1：分别回答下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性，并说明x取何值时函数的最大（小）值是多少
（1）y2(x1)2
2 （2）y3(x4)25 （3）y(x5)27
（4）y4(x3)21 例2：填空：
（1）x24x______(x___)2
（2）x26x_____(x___)2 （3）x25x_____(x___)2
(4) x23x______(x_____)2 例3：根据顶点坐标公式求出下列图象的顶点坐标、对称轴，函数的最值。 ① y=x-2x-3
②y=-2x-5x+7
③y=3x+2x④y=例4：画出y=12x222
252x23x
23x52的图象。
并说明X取何值时y有最小值，这个最小值是多少？
师生活动设计：师：画图象最关键的要有顶点坐标和对称轴这两要素，这样才能根据 对称性左右各取两点。 本题如何求顶点坐标。
生1：配方。生2：代入坐标公式
生3：板演配方过程。
生4：板演坐标公式。 师：根据对称性质，我们用5个点画图，顶点+对称轴左右各两个点。下面我们列表取X算y .
生5：描点画出抛物线
设计意图：已知函数解析式能画出它的图象，训练这个基本技能，为以后的二次函数的综合题的解题能力的培养作好台阶
四、课堂小结
本节课学到了什么？
1.形如ya(xm)2k的图象及其性质 2.形如yax2bxc的图象及其性质
五、当堂反馈（见导学案当堂反馈） 师生活动设计：独立思考并完成。
设计意图：通过当堂反馈，巩固和复习本节课的内容。
六、课后作业（见导学案课后作业）
设计意图：既照顾全体，又关注个别，真正体现全面关注所有学生的发展，并巩固学生所学习的知识.
七、教学反思
第16篇：二次函数图像教案
二次函数的图像
略阳天津高级中学 杨 娜
课 型：新授课 课时安排： 1课时 教学目标：
1、理解二次函数中a,b,c,h,k对其图像的影响。
2、领会二次函数图像平移的研究方法，并能迁移到其他函数图像的研究，而提高识图和用图能力。
3、培养学生数形结合的思想意识。重点难点: 1．教学重点:二次函数图像平移变换规律及应用
2．教学难点:理解平移对解析式的影响及如何利用平移变换规律求解析式，并能把平移变换规律迁移到一般函数． 教学过程：
一、导入新课
在初中我们已经学过二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向，对称轴，顶点等特征，本节课将进一步研究一般的二次函数的性质。 二、讲授新课
提出问题1 二次函数yax(a0)的图像与二次函数yx的图像之间有什么关系？ 1.我们先画出yx 的图像，并在此基础上画出y2x的图像。
学生阅读课本41页并在练习本上作图 （教师用几何画板演示） 2.学生阅读课本41页，并动手实践。
3.概括：二次函数yax(a0)的图像可以由yx的图像个点的纵坐标变为原来的a倍得到。4.用几何画板演示a对开口大小得影响。 5.抽象概括
二次函数y=ax2(a≠0)的图像可由的y=x2图像各点纵坐标 变为原来的a倍得到。
a决定了图像的开口方向:a>o开口向上，a
222222a决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小:|a|越小图像开口就越大 6.练习列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为_ 11(1)f(x)=x2 ; (2)f(x)=x242
问题
212(3)f(x)=-x ; (4) f(x)=-3x23函数ya(xh)2k(a0)的图像与函数yax2(a0)的图像之间有什么关系呢？
1.我们先一起回顾y2x2与y=2(x+1)²+3图像的关系。（教师用几何画板演示）
在初中我们已经知道，只要把y2x2的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，就可以得到y=2(x+1)²+3的图像。它们形状相同，位置不同（如图2-22）。 2.学生动手实践想想并回答课本上的问题2。 3.概括：二次函数y=a(x+h)2+k (a0), ①a决定了二次函数图像的开口大小及方向；
而且“a正开口向上，a负开口向下”；｜a｜越大开口越小； ②h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”； ③k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。
问题3 yax(a0) 和yaxbxc(a0)的图像之间有什么关系？ 1.我们先来回顾y2x与y2x4x1的图像关系 （ 教师在黑板演示，可以转化为顶点式）
至此我们知道把y2x的图像向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，就可以得到y2x4x1的图像（如图2-23）。
2.动画演示yaxbxc(a0)中a,b,c对图像的影响。3.概括：
⑴一般地，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0），通过配方可以得到它的恒等形式y=a(x+h)2 +k，从而知道可以由y=ax2 的图像
通过平移得到y=ax2+bx+c(a≠0）的图像.⑵a决定了二次函数图像的开口大小及方向；
而且“a正开口向上，a负开口向下”；｜a｜越大开口越小；b影响了图像的位置不仅2222222上下平移而且左右平移；c决定了图像与坐标轴y轴的交点位置，c>0 交点在y轴上半轴，c
三、巩固练习
１.完成课后练习题1，2，3 ２.把下列二次函数一般式化为顶点式：
① yx28x9 ② y2x212x16 ③yax2bxc(a0) 3.把yx2的图像经过怎样平移可得到yx28x9的图像？
4.将二次函数y=3x2的图像平行移动,顶点移到（－３，２），则它的解式为？
5..二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)=x2+1，f(x)图像的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为什么？ 四．小结
1.回顾二次函数ya(xh)2k(a0)中，h,k对函数图像有何影响？
二次函数yaxbxc(a0)中，确定函数开口大小及方向的参数是什么？确定函数位置的参数是什么？
2.我们经历了yx到yax2(a0)，yax2(a0)到ya(xh)2k(a0)，通过这个过程，我们就能体会yax2(a0)到yax2bxc(a0)的图像变化过程，到研究一般函数的拓展过程。五．作业
完成课后习题1.2题。 六．板书设计
二次函数再研究
问题1 演算过程 练习题 问题2 结论 问题3 附加题：
将二次函数y2x的图像平移顶点移到下列各点，写出对应的函数解析式。 ⑴ （4,0）; ⑵（0，-2）; ⑶ (-3，2) ⑷ （3，-1） 222
第17篇：正比例函数的图像和性质教学设计专题
教学目标
（一）知识与能力
1、进一步巩固正比例函数的概念，会画正比例函数的图象，进一步熟悉函数图象作图步骤。
2、能根据正比例函数图象观察、发现归纳出它的性质，并会简单运用。
（二）过程与方法
通过实例函数图象画法的学习，发现并总结正比例函数图象的常用画法。 通过观察、探究、分析、引导学生发现正比例函数的性质。
培养学生善于观察问题发现结论，了解数形结合及由一般到特殊的数学思想。
（三）情感态度及价值观
培养学生积极参与数学活动，勇于探究，发现数学的现象和规律，培养学生的数学交流能力和团队协作精神。 2学情分析
教材分析：
正比例函数图象是在学习正比例函数解析式的后续内容，这一节内容是正比例函数与直角坐标系的完美结合。学生在这节课中如果能内化和感悟数形结合的思想，将会为以后研究更为复杂的反比例函数及二次函数的图象打下坚实的基础。 学生分析：
在这节课之前，该班学生已经较好的拥有了解决平面坐标系的一些基本问题的能力，理解了变量以及常量和代数式的内容，因此在学习新知识的时候也不存在多大的问题，形成了较理想的先决条件，但学生运用数学知识解决实际问题以及推理总结的能力有待进一步加强。 3重点难点
教学重点：正比例函数图象的画法及性质的探索。 教学难点：发现、归纳正比例函数的性质。 4教学过程
4.1 正比例函数的图象和性质
教学活动
活动1【导入】
（一） 温故知新，引入课题
1、下列函数哪些是正比例函数？ ①
②
③
④
⑤
2、（学生回答完上述问题后提问概念）
一般地，形如y=kx（k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫做比例系数。
3、画函数图象的一般步骤 （1）列表 （2）描点 （3）连线 学生回答后：
教师引导：现在我们已经知道正比例函数的意义及画图象的步骤，那么正比例函数的图象有什么特征呢？ 出示课题
活动
2（二） 探究正比例函数的图象和性质
例
1、画出下列正比例函数的图象。（1）y=x （2）y=2x (2)学生练习画出函数y=-x和y=-2x的图象。 (3)提出问题
师：观察图象回答：正比例函数y=x与y=2x的图象是什么图形？是否经过原点？分别经过哪些象限？自左向右上升还是下降？ 生甲：一条直线
生乙：过原点的直线，y=2x的图象过
一、三象限，y=－2x的图象过
二、四象限。师：点评学生后,总结出正比例函数的图象性质: (1) 当k>0时，正比例函数的图象经过第
一、三象限，自变量x逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大。
(2) 当k
二、四象限，自变量x逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小。思考： 师：通过前面的探讨，同学们发现画正比例函数图象有更简单的方法吗？为什么？ 生乙：过原点画一条直线。
生丙：过原点和（
1、k）两点画一条直线。
师：点评后师生共同归纳出一般规律：一般地，正比例函数y=kx(k≠0)的图象过（0，0）和（
1、k）两点的直线，我们把函数y=kx的图象叫直线y=kx，以后画y=kx图象时通常选取（0，0）和（
1、k）两点。
活动3【练习】
（三）学生动手实践“两点法”画正比例函数图象。
(1)y=3/2x (2)y=3x 评论(0) 活动4【练习】巩固练习
若A(-1，y1)，B(3，y2)都在直线 上，则y1与y2的大小关系是（ ） A、y1≤y2 B、y1=y2 C、y1y2
4、正比例函数y=（m－1）x的图象过
一、三象限，则m的取值范围是( ) A、m=1 B、m＞1 C、m＜1 D、m≥1
5、在正比例函数y=(2a-2)x中，若y随x增大而减小，则a的取值范围是（ ） A、a1 C、a=1 D、不能确定
6、函数y=(k+2)x，当k 时，y随x的增大而增大，图象经过 象限； 当k 时，y随x的增大而减小，图象经过 象限.
7、画函数y=－5x的图象，你认为过 与 两点画直线最简单.
8、若函数y＝kx的图象经过点（2，6），则k= ，y随x的增大而 。
9、若函数y=(2m+6)x2+（1-m）x是正比例函数，则其解析式是 ，该图象经过 象限，y随x的增大而 .
10、已知正比例函数 的图象经过第
二、四象限，则m = .活动5【讲授】小结 (1) 当k>0时，正比例函数的图象经过第
一、三象限，自变量x逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大。
(2) 当k
二、四象限，自变量x逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小。
活动6【练习】拓展练习
1、已知正比例函数y =(2+2m)x （1）m为何值时，函数图象经过第
一、三象限？ （2）m为何值时,y随x的增大而减小? （3）若函数图象经过（-1，4），求此函数的解析式并画出函数的图象。
活动7【作业】布置作业
A：课本习题19.2第
1、2题， B：学习辅导第55-56页。
第18篇：22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质教案
22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
一、教学内容
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
二、教材分析
二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。因此，本节课的内容十分重要。
三、学情分析
四、教学目标
1.知识与技能
使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。 2.过程与方法
使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.情感态度价值观
让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
五、教学重难点
重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方
确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b/2a、(－b/2a，4ac－b2/4a)
六、教学方法和手段
讲授法、练习法
七、学法指导
讲授指导
八、教学过程
（一）提出问题导入新课
1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？具有哪些性质? 2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系? 3．不画出图象，你能直接说出函数y＝-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?通过今天的学习你就明白了
（二）学习新知
1、思考： 像函数 y＝－4(x－2)2＋1很容易说出图像的顶点坐标，函数y＝-1/2x2-6x+21能画成y=a(x－h)2＋k 这样的形式吗？
2、师生合作探索： y＝-1/2x2-6x+21
变成
y=a(x－h)2＋k的过程
3、做一做
（1）通过配方变形，说出函数y＝－2x2＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 在学生做题时，教师巡视、指导； 让学生总结配方的方法；思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系? 以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?
教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，汇报结果：
y＝ax2＋bx＋c（配方变形的过程略）
当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。
对称轴是x＝－b/2a，顶点坐标是(－b/2a，4ac－b2/4a) (2)P12练习第
1、
2、
3、4题
4、待定系数法求二次函数解析式(引导学生自学看书12页)
5、练一练
P13练习第
1、2
九、课堂小结
通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？
十、作业布置
P40练习
十一、板书设计
22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
十二、教学反思
第19篇：22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质教案
22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
一、教学内容
二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
二、教材分析
二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。因此，本节课的内容十分重要。
三、学情分析
四、教学目标
1.知识与技能
使学生掌握函数y＝ax2＋bx＋c的性质。 2.过程与方法
使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.情感态度价值观
让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
五、教学重难点
重点：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b/2a、(－b/2a，4ac－b2/4a)
六、教学方法和手段
讲授法、练习法
七、学法指导
讲授指导
八、教学过程
（一）提出问题导入新课
1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系? 3．你能直接说出函数y＝-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?通过今天的学习你就明白了
（二）学习新知
1、思考： 像函数 y＝－4(x－2)2＋1很容易说出图像的顶点坐标，函数y＝-1/2x2-6x+21能画成y=a(x－h)2＋k 这样的形式吗？
2、师生合作探索： y＝-1/2x2-6x+21
变成
y=a(x－h)2＋k的过程
3、做一做
通过配方变形，说出函数y＝－2x2＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的性质。那么，对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?
教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，汇报结果：
y＝ax2＋bx＋c（配方变形的过程略）
当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。
对称轴是x＝－b/2a，顶点坐标是(－b/2a，4ac－b2/4a)
4、师生归纳y＝ax2＋bx＋c的性质
九、课堂小结
通过本节课的学习，你学到了什么知识？
十、作业布置 十
一、板书设计
22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
十二、教学反思
第20篇：反比例函数的图像和性质教学反思
反比例函数的图象和性质教学反思
刚刚讲完《反比例函数的图像和性质》这节课，感受很深，本节课的内容主要有两点：一是画反比例函数的图象，二是由图像得出反比例函数的性质。而难点是反比例函数图象的画法及探究反比例函数的性质。
首先，本节课在反比例函数图象的画法这一难点的处理上，我先让学生自学课本内容，根据自学指导完成练习，再由教师利用多媒体演示列表、描点、连线过程，特别注意自变量x的取值范围，然后，学生在给出的坐标纸中描点画图，我运用多媒体及时矫正，学生很容易发现自己画图中的错误，最后概括总结水到渠成。本节课在探究反比例函数的性质这一难点的处理上，学生通过自主完成图像的画法，观察、比较归纳出反比例函数的性质。我感到课前确定的教学目标基本达成。
其次，通过引导学生自主探索反比例函数的性质，全班学生都能够主动地去观察、感受、讨论、发现、探究、总结，表现了他们的学习兴趣和信心。实现了学习中让学生自己动手、主动探索、合作交流的目的。同时通过练习让学生理解“在每个象限内”这句话地必要性，学生再一次体会数学的严谨性。根据新课标精神，“人人学有用的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”最后在练习时给出有梯度的练习，以满足不同层次学生学习的需要。如应用性质“题组训练 巩固练习”都能很好的体现分层教学的要求。
然而，由于学生刚刚接触反比例函数的图像 ，图像的外在形式（双曲线）与一次函数的图像（直线）之间存在较大的差异，学生还缺乏对反比例函数图像“整体形象”的把握。一方面，当反比例系数的绝对值较大时，部分学生画出的图形，不能完整地反映其图像“渐近”的特征；另一方面，在应用反比例函数（增或减）的性质，比较反比例函数的两个函数值的大小时，学生还不能有意识地从“自变量的正负”来考虑问题，导致学生在课后完成作业时，对部分问题的解决可能出现偏差。这些在接下来的教学中要加强引导。
