“正切函数的图像和性质”的教学设计
“正切函数的图像和性质”是全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册（下）第四章第十节的内容，也是普通高中课程标准试验教科书（必修）《数学》4 §1.4.3的内容.
正切函数的图像和性质的学习是正弦、余弦函数的图像和性质知识的延续和深化，也是数形结合等重要数学思想方法的基础.本节课的教学不但能使学生在原有知识和经验的基础上进一步体会数形结合思想，而且可以提高观察、比较、概括等能力的发展.但对图像的认识学生始终有些难以理解，因此，本节课力争使用多媒体教学，使学生从理性和感性两方面去认识，从而达到预期的效果.
一、教学目标
1.知识目标
通过本节的学习能理解并掌握作正切函数图像的方法，能用正切函数的图像解决有关问题.
2.能力目标
经历正切函数图像的作法过程，发展学生运用类比的方法分析问题和解决问题的能力，并让学生进一步体会数形结合思想方法的重要性.
3.情感目标
培养学生积极参与、合作交流的主体意识和主动探索、勇于发现的科学精神.在知识的探索和发现的过程中，使学生感到数学学习的意义，从而产生良好的数学学习态度.
4.重点和难点
重点：正切函数的图像形状及其主要性质.
难点：利用正切线画出正切函数y=tanx，x∈-π2，π2的图像.
为了突出重点、突破难点，在教学中采取以下措施：
（1）采用类比的方法，让学生在正弦函数图像画法的基础上研究正切函数图像的画法.
（2）从学生已有的知识出发，利用数形结合的思想，逐步引导学生通过自主探索、合作交流的形式，观察、归纳出正切函数的主要性质.
二、教法探索
1.教法分析
针对高一年级学生的年龄特点和心理特征，结合他们的认知水平，在遵循启发式教学原则的基础上，本节课我主要采用以“情境――问题”教学法为主，以类比法、讨论法、练习法为辅的教学方法，意在通过教师的引导，调动学生的积极性，让学生多交流、多讨论，主动参与到教学活动中来.
“情境――问题”教学法是贵州师范大学数学系的教授和研究生们，从跨文化数学教育研究的结果出发，为改变由教师单向灌输书本知识、学生被动接受学习的模式，提出了旨在培养创新意识和创新能力的基本教学模式，表示为：
设置数学情境→提出数学问题→解决数学问题→注重数学应用
（引导观察分析）（猜想探究）（正面求解或反例反驳） （学做学用）
2.学法指导
现代教育理论认为，教师的“教”不仅要让学生“学会知识”，更主要的是要让学生“会学知识”，而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键，因此在本节课的教学中，教会学生能用“类比”的学习方法学习正切函数的图像和性质，体会数形结合解决问题的好处，使传授知识与培养能力融为一体，真正实现本节课的教学目标.
3.教学手段
为了更形象、直观地突出重点、突破难点，增大教学容量，提高教学效率，本节课采用多媒体辅助教学，以加深学生对图像的认识，尤其使用几何画板的功能，让学生用动态的观点分析问题和解决问题.
三、教学环节设计
为了达到预期的教学目标，对整个教学过程进行了系统的规划，主要设计了以下五个教学环节（诸环节的标题与顺序见下面的各个小标题）：
1.创设情境，导入新课
引入新课：正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性，为了更好地研究其性质，我们首先讨论y=tanx的图像.
利用多媒体展示正弦函数的图像：y=sinx，x∈（0，2π）.
2.自主探索，归纳新知
（本环节主要引导学生探索研究，得出新知.引导学生由正弦函数图像，通过类比作出正切函数图像，并让学生通过对图像的观察，自主探索、合作交流，归纳出正切函数性质.）
师生互动：
活动一：采用类比的方法，让学生通过正弦函数图像的作法探索如何利用正切线作出正切函数的y=tanx，x∈-π2，π2图像.
在学生合作交流、共同探讨后利用多媒体课件展示正切函数的图像（如图示）.
活动二：利用几何画板的强大功能展示正切函数图像的动态画法，让学生在动态中享受数学知识带来的乐趣.
活动三：引导学生通过函数的周期性作出函数y=tanx在整个定义域内的函数图像.
（此环节让学生通过正弦函数的画法，通过类比的方式，根据正切函数的周期性得出.）
活动四：引导学生通过对图像的研究，分析归纳出正切函数的性质.
（本环节中，通过设计“问题串”、作类比等方式，使学生对于知识的理解不仅仅停留在表面，而是抓住了其实质，从而轻松地掌握本节的教学重点.）
3.巩固练习，深化知识
适当的巩固性、应用性练习是学习新知识、巩固新知识所必不可少的.为了促进学生对新知识的理解和掌握，及时安排学生完成以下练习.
1.求函数y=tanx+π4的定义域.
2.不求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
（1）tan167°与tan173°；
（2）tan-11π4与tan-13π5.
4.归纳小结，反思提高
小结以提问的方式出现.
问题1：通过本节课的学习，你学会了什么知识？
问题2：在解决问题的过程中，你掌握了哪些数学思想方法？
5.布置作业，分层落实
为培养学生良好的学习习惯，巩固所学内容，提高学生的探究能力和自主学习能力，让学生完成下列练习：
1.证明函数f（x）=tanx在-π2，π2是增函数.
2.课后习题（习题4.10）.
四、反思研究
作为一节新知识课，在教法上，我打破了传统的教学模式，精心设计问题情境，积极引导、启发学生，经过类比、观察、归纳，最终得出.
本节课在设计和教学过程中，留下了一些遗憾.比如，想让学生了解的内容过多，而对学生的估计不足，使得在教学过程中，未能充分发挥学生的主观能动作用，教学中未能完全放开.
附：板书设计
4.10正切函数的图像和性质
1.正切函数的图像
2.正切函数的性质：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期性：
（4）奇偶性：
（5）单调性：
3.练习巩固.
【参考文献】
[1]马复.设计合理的数学教学[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]教育部.普通高中数学课程标准（实验）.北京：人民教育出版社，2003.
[3]吕传汉，汪秉彝.中小学数学情景与提出问题数学探究[M].贵阳：贵州人民出版社，2002.
