实际问题与二次函数教案
仙游私立一中
林元炳
教学目标：
1、知识与技能：经历数学建模的基本过程。
2、方法与技能：会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。
3、情感、态度与价值观：体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。
教学重点：二次函数在最优化问题中的应用。
难点：从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。
复习旧知：
1、求在下列自变量范围下二次函数y=－x＋2x－3的最值：
2⑴若－3≤x≤0，该函数的最大值为___________、最小值为__
。 ⑵若0≤x≤3，该函数的最大值_____________、最小值为______________。 先画函数草图，再进行具体分析。
问题引入：
问题1, 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 分析： 先思考以下几个问题：
1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2] 5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 [y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)] 将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：
2 y=－100x＋100x＋200 (0≤x≤2)„„„„„„„„(2) 变式
一、某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润． 注意：在变式中分析清楚随着价格的改变，其销售量也随之改变；进而总利润也发生了变化。
练习：商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 请同学们思考以下两个问题：
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？
分析：
调整价格包括涨价和降价两种情况 （1），先来看涨价的情况：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化， 我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖
件，实际 卖出
件，每件的利润为____________元。（或销售额为
元，买进商品需付
元），
因此，所得利润为
元。（
） 解：设涨价x元时利润最大，则每星期可少卖_________件，实际卖出___________件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润
（2），在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程写出分析过程。 设每件降价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。降价x元时则每星期少卖
件，实际卖出
件，销售额为
元，买进商品需付
元，因此，所得利润为
元。
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润
由(1)(2)的讨论分析,你知道应该如何定价能使利润最大吗?
解这类题目的一般步骤:
归纳： （1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
问题2；
某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。问：
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式； （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
分析：在这个问题中要注意的是：“物价部门规定每箱售价不得高于55元”这个条件。 所以自变量的取值要考虑到55元这个限制。
练习2，某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果售价超过50元但不超过80元；每件商品的售价每涨价1元，每个月少卖出1件；如果售价超过80元后，每涨落价1元，每个月少卖3件。设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件。（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）设每月的销售利润为W元，请直接写出W与x的函数关系式；
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
作业：课本P27 第9题
