定理证明（精选多篇）

推荐第1篇：定理与证明

定理与证明(一)

教学建议

（一）教材分析

1、知识结构

2、重点、难点分析

重点：真命题的证明步骤与格式．命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性．

难点：推论证明的思路和方法．因为它体现了学生的抽象思维能力，由于学生对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对学生证明的思路和方法的训练是教学的难点．

（二） 教学建议

1、四个注意

（1）注意：①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题；②公理可以作为判定其他命题真假的根据．

（2）注意：定理都是真命题，但真命题不一定都是定理．一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题．这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的．

（3）注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断．如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法．只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的．但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等．

（4）注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．①论据必须是真命题，如：定义、公理、已经学过的定理和巳知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由．

2、逐步渗透数学证明的思想：

（1）加强数学推理(证明)的语言训练使学生做到，能用准确的语言表述学过的概念和命题，即进行语言准确性训练；能学会一些基本的推理论证语言，如“因为„„，所以„„”句式，“如果„„，那么„„”句式等等；提高符号语言的识别和表达能力，例如，把要证明的命题结合图形，用已知，求证的形式写出来．

（2）提高学生的“图形”能力，包括利用大纲允许的工具画图(垂线、平行线)的能力和在对要证命题的理解(如分清题设、结论)的基础上，画出要证明的命题的图形的能力，后一点尤其重要，一般通过图形易于弄清命题并找出证明的方法．

（3）加强各种推理训练，一般应先使学生从“模仿”教科书的形式开始训练．首先是用自然语言叙述只有一步推理的过程，然后用简化的“三段论”方法表述出这一过程，再进行有两步推理的过程的模仿；最后，在学完“命题、定理、证明”一单元后，总结证明的一般步骤，并进行多至

三、四步的推理．在以上训练中，每一步推理的后面都应要求填注推理根据，这既可训练良好的推理习惯，又有助于掌握学过的命题．

教学目标：

1、了解证明的必要性，知道推理要有依据；熟悉综合法证明的格式，能说出证明的步骤．

2、能用符号语言写出一个命题的题设和结论．

3、通过对真命题的分析，加强推理能力的训练，培养学生逻辑思维能力．教学重点：证明的步骤与格式．

教学难点：将文字语言转化为几何符号语言．

教学过程：

一、复习提问

1、命题“两直线平行，内错角相等”的题设和结论各是什么？

2、根据题设，应画出什么样的图形？（答：两条平行线a、b被第三条直线c所截）

3、结论的内容在图中如何表示？（答：在图中标出一对内错角，并用符号表示）

二、例题分析

例

1、证明：两直线平行，内错角相等．

已知：a∥b，c是截线．

求证：∠1＝∠2．

分析：要证∠1＝∠2，

只要证∠3＝∠2即可，因为

∠3与∠1是对顶角，根据平行线的性质，

易得出∠3＝∠2．

证明：∵a∥b（已知），

∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）．

∵∠1＝∠3（对顶角相等），

∴∠1＝∠2（等量代换）．

例

2、证明：邻补角的平分线互相垂直．

已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，

OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．

求证：OE⊥OF．

分析：要证明OE⊥OF，只要证明∠EOF＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可．

证明：∵OE平分∠AOB，

∴∠1＝ ∠AOB，同理 ∠2＝ ∠BOC，

∴∠1＋∠2＝ （∠AOB＋∠BOC）＝ ∠AOC＝90° ，∴OE⊥OF（垂直定义）．

三、课堂练习：

1、平行于同一条直线的两条直线平行．

2、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．

四、归纳小结

主要通过学生回忆本节课所学内容，从知识、技能、数学思想方法等方面加以归纳，有利于学生掌握、运用知识．然后见投影仪．

五、布置作业

课本P143

5、（2）,7.六、课后思考：

1、垂直于同一条直线的两条直线的位置关系怎样？

2、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线位置关系怎样？

3、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线位置关系怎样？

推荐第2篇：定理与证明

《定理与证明》学案

【学习目标】

1．了解定理，证明的定义。

2．知定理必须证明是正确的命题后才可运用。 (重点)

3．会用几何语言证明一个命题。 (难点)

【问题导学】

1．阅读课本55页，写下并记忆五个基本事实。

1）两点确定一条直线；2）两点之间，线段最短；3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；

5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行。

2．认真阅读课本56页后回答：

① 什么是定理？定理的作用是什么？

数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断他们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。

作用：揭示客观事实的本质属性，作为进一步确认其他命题真假的依据。

② 认真完成“思考”的问题，参照云图中的提示，判断结论的正确与否：可知第一个结论不正确.23571113159509 第二个结论不正确.钝角三角形 第三个结论正确.

对上面不正确的结论举反例说明。

③什么是证明？哪些可以作为证明的依据呢？

根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。

3．阅读“直角三角形的两锐角互余”的证明后回答：

③ 写出这个命题的条件和结论，总结证明命题的步骤。

④ 仿照例题步骤证明定理“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”

4.阅读课本57页读一读，写出证明的依据有哪些？

定义、基本事实、已经学过的定理，等式的性质、等量代换

【课堂检测】

课本练习的第一题和第二题【学习小结】

推荐第3篇：定理与证明

定理与证明(二)

一、教学目标

1．了解“证明”的必要性和推理过程中要步步有据．

2．了解综合法证明的格式和步骤．

3．通过一些简单命题的证明，初步训练学生的逻辑推理能力．

4．通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力．

5．通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法．

二、学法引导

1．教师教法：尝试指导，引导发现与讨论相结合．

2．学生学法：在教师的指导下，积极思维，主动发现．

三、重点·难点及解决办法

（－）重点

证明的步骤和格式是本节重点．

（二）难点

理解命题，分清其题设和结论，正确对照命题画出图形，写出已知、求证．

（三）解决办法

通过学生分组讨论，教师归纳得出证明的步骤和格式，再以练习加以巩固，解决重点、难点及疑点．

四、课时安排

l课时

五、教具学具准备

投影仪、三角板、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．通过引例创设情境，点题，引入新课．

2．通过情境教学，学生分组讨论，归纳总结及练习巩固等手段完成新授．

3．通过提问的形式完成小结．

七、教学步骤

（－）明确目标

使学生严密推理过程，掌握推理格式，提高推理能力。

（二）整体感知

以情境设计，引出课题，引导讨论，例题示范讲解新知，以练习巩固新知．

（三）教学过程

创设情境，引出课题

师：上节课我们学习了定理与证明，了解了这两个概念．并以证明“两直线平行，内错角相等”来说明什么是证明．我们再看这一命题的证明（投影出示）．

例1已知：如图1， ， 是截线，求证： ．

证明：∵ （已知），∴ （两直线平行，同位角相等）．

∵ （对项角相等），∴ （等量代换）．

这节课我们分析这一命题的证明过程，学习命题证明的步骤和格式．

［板书］2.9定理与证明

探究新知

1．命题证明步骤

学生活动：由学生分组讨论以上命题的证明过程，按自己的理解说出证明一个命题都需要哪几步．

【教法说明】根据上一节“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明过程让学生讨论、分析、归纳命题证明的一般步骤，一是可以加深对命题证明的理解，二是培养学生归纳总结能力。在总结步骤时，学生所说的层次不一定有逻辑性，或不太严密，教师要注意引导，使学生分清命题证明几个步骤的先后层次．

根据学生讨论，回答结果．教师归纳小结，师生共同得出证明命题的步骤（出示投影）：第一步，画出命题的图形．

先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出．还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．第二步，结合图形写出已知、求证．

把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．

第三步，经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程．

学生活动：结合“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明，理解以上命题证明的一般步骤（给学生一定时间理解记忆）．

【教法说明】在以上第二个步骤中，将文字语言转化为符号语言是教学中的难点，要注意在练习中加强辅导，第三步由学生独立完成有困难，要逐步培养训练，现阶段暂不要求学生独立完成．

反馈练习：（1）画出证明命题“两直线平行，同旁内角互补”时的图形，写出已知、求证．

（2）课本第112页A组第5题．

【教法说明】由学生依照例1“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明画出图形，写出已知、求证，巩固命题证明的第

一、二步．

2．命题的证明

例2证明：邻补角的平分线互相垂直．

【教法说明】此例题完全放手让学生独立完成有一定困难，但教师也不能包办代替，最好通过让学生分步讨论，同桌互相磋商，分步完成的方法，使学生对命题证明的每一步都进一步理解，教师可以给学生指明思考步骤．

（1）分析命题的题设与结论，画出命题证明所需要的图形．

邻补角用图2表示：

图2

添画邻补角的平分线，见图3：

图3

（2）根据命题的题设与结论写出已知、求证．邻补角用几何符号语言提示： ，角平分线用几何符号语言表示： ， ，求证邻补角平分钱互相垂直，用符号语言表示： ．

（3）分析由已知谁出求证途径，写出证明过程．

有什么结论后可得 （ ），由已知可以推导 吗？学生讨论思考．

【教法说明】以上步骤的完成教师只提供思路，具体结论的得出与操作要由学生独立完成．找一个学生到黑板上板演，其他同学在练习本上写出完成整过程．

已知：如图， ， ， ．

求证：

证明：∵ （已知），又∵ ， （已知），∴ ．

∴ （垂直定义）．

证明完成后提醒学生注意以下几点：

①要证明的是一个简单叙述的命题，题设和结论不明显，可以先根据题意画出图形．如例2，结合图形分析命题的题设和结论．

②在写已知、求证的内容时，要将文字语言转化为符号语言来表示，转化时的写法也不是惟一的，要根据使用的方便来写，如： 与 互为邻补角，在已知中写为 ，角平分线有几种表示方法，如 是 的平分线， ， ，根据此题写成 较好，方便于下面的推理计算．

③对命题的分析、画图，如何推理的思考过程，证明时不必写出来，不属于证明内容．

反馈练习：按证明命题的步骤证明：“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角相等．”

【教法说明】由学生独立完成，找学生板演，发现问题教师及时纠正．

3．判定一个命题是假命题的方法

师：以上我们的推理是说明一个命题是真命题的判定方法．那么如何判定一个命题是假命题呢？如“相等的角是对项角”，同学们都知道这是一个假命题，如何说明它是一个假命题呢？谁能试着说明一下？

【教法说明】教师先不告诉学生判定一个命题是假命题的方法，而是由很明显的“相等角是对顶角”这一假命题，让学生自己尝试着去说明，体验从反面去说明一个问题的方法，然后教师归纳小结．

根据学生说明，教师小结：

判定一个命题是假命题，只要举出一个反例即可，也就是说你所举命题符合命题的题设，但不满足结论．如“同位角相等”可如图， 与 是同位角但不相等就说明“同位角相等是假命题”．

反馈练习：课本第111页习题2.3A组第4题．

【教法说明】在做以上练习时一定让学生学会从反面思考问题的方法，再就是要澄清一些错误的概念．

反馈练习

投影出示以下练习：

1．指出下列命题的题设和结论

（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

（2）两个角的和等于直角，这两个角互为余角．

（3）对项角相等．

（4）同角或等角的余角相等．

2．画图，写出已知，求证（不证明）

（1）同垂直于一条直线的两条直线平行．

（2）两条平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．

3．抄写下题并填空

已知：如图， ．

求证： ．

证明：∵ （），

∴ （）．

∴ （）．

【教法说明】以上练习让学生独立完成，第1题主要是训练学生分清命题的题设和结论；第2题是训练学生把命题转化为几何语言、几何图形的能力；第3题是让学生进一步体会命题证明的三个步骤．

总结、扩展

以提问的形式归纳出本节课的知识结构：

八、布置作业

（－）必做题

课本第110页习题2.3A组第3（2）、（3）、（4）题．

（二）思考题

课本第112页B组第l、2题．

作业答案

A组（略）

B组1．已知两直线平行，同旁内角互补。

（两直线平行，同旁内角互补） （同角的补角相等）．

2．已知：如图， ，、分别平分 与 ．求证： ．

推荐第4篇：数学定理证明

一．基本定理： 1．（极限或连续）局部保号性定理（进而证明保序性定理） 2．局部有界性定理． 3．拉格朗日中值定理．

4．可微的一元函数取得极值的必要条件． 5．可积函数的变上限积分函数的连续性． 6．牛顿——莱布尼茨公式．

7．多元函数可微的必要条件（连续，可导）． 8．可微的二元函数取得极值的必要条件． 9．格林定理．

10．正项级数收敛的充要条件：其部分和数列有界． 11．幂级数绝对收敛性的阿贝尔定理． 12．（数学

三、四）利润取得最大值的必要条件是边际成本与边际收入相等． 二．基本方法：

1．等价无穷小替换：若xa时，有(x)~(x)，试证明lim(x)f(x)lim(x)f(x) 。

xa

xa

2．微元法：若f(x)是区间[a,b]（a0）上非负连续函数，试证明曲边梯形D(x,y)axb,0yf(x) 绕 轴旋转，所得的体积为V2



ba

xf(x)dx。

3．常数变易法：若P(x)和Q(x)是连续函数，试证明微分方程yP(x)yQ(x)的通解为

P(x)dxyeC





Q(x)e

P(x)dx

dx。 

三．一些反例也是很重要的：

1．函数的导函数不一定是连续函数。反例是：函数点不连续。

2．f(a)0，但不一定存在xa点某个邻域使函数f(x)在该邻域内单调增加。反例是：函数

1

x100x2sin,

f(x)x

0,

x0, x0,

12

xsin,

f(x)x

0,

x0,在x0点可导，但f(x)x0,

在x0

3．多元函数可（偏）导点处不一定连续。反例是：函数

xy

,2

f(x,y)xy2

0,

(x,y)(0,0),(x,y)(0,0),

4．多元函数在不可（偏）导点处，方向导数不一定不存在。反例是：函数 f(x,y)处两个一阶偏导数都不存在，但是函数在在(0,0)点处沿任一方向的方向导数都存在。

an1an



xy

22

在(0,0)点



5．

1，既不是正项级数an收敛的充分条件，也不是它收敛的必要条件。反例一，正项级数

n1

n1



n

1n

满

足

an1an

1但不收敛。反例二，正项级数

n1

53(1)

n

不满足

an1an

a2n

，但是它是收敛的。211 a

2n1

推荐第5篇：正弦定理证明

新课标必修数学5“解三角形”内容分析及教学建议

江苏省锡山高级中学杨志文

新课程必修数学5的内容主要包括解三角形、数列、不等式。这些内容都是高中数学中的传统内容。其中“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性。在历次教材改革中都作为中学数学中的重点内容，一直被保留下来。在这次新课程改革中，新普通高中《数学课程标准》（以下简称《标准》）与原全日制普通高级中学《数学教学大纲》（以下简称《大纲》）相比，“解三角形”这块内容在安排顺序上进行了新的整合。本文就《标准》必修模块数学5第一部分“解三角形”的课程内容、教学目标要求、课程关注点、内容处理上等方面的变化进行简要的分析，并对教学中应注意的几个问题谈谈自己的一些设想和教学建议，供大家参考。

一、《标准》必修模块数学5中“解三角形”与原课程中“解斜三角形”的比较

1．课程内容安排上的变化

“解三角形”在原课程中为“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作为平面向量的一个单元。而在新课程《标准》中重新进行了整合，将其安排在必修模块数学5中，独立成为一章，与必修模块数学4中的“平面向量”分别安排在不同的模块中。

2．教学要求的变化

原大纲对“解斜三角形”的教学要求是：

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解斜三角形的计算问题。

（2）通过解三角形的应用的教学，提高运用所学知识解决实际问题的能力。

（3）实习作业以测量为内容，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力。 《标准》对“解三角形”的教学要求是：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 由此可以看出，《标准》在计算方面降低了要求，取消了“利用计算器解决解斜三角形的计算问题”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。

3、课程关注点的变化

原《大纲》中，解斜三角形内容，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上。而《标准》则关注运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。侧重点放在学生探究和推理能力的培养上。

4、内容处理上的变化

原《大纲》中，解斜三角形作为平面向量知识的应用，突出其工具性和应用性。而《标准》将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何的作用，为学生理解数学中的量化思想、进一步学习数学奠定基础。解三角形处理的是三角形中长度、角度、面积的度量问题，长度、面积是理解积分的基础，角度是刻画方向的，长度、方向是向量的特征，有了长度、方向，向量的工具自然就有用武之地。

二、教学中应注意的几个问题及教学建议

原《大纲》中解斜三角形的内容，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上。 而《标准》将解三角形作为几何度量问题来展开，强调学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，解决简单的三角形度量问题。这就要求在教学过程中，突出几何的作用和数学量化思想，发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的探究过程、再创造过程。因此在教学中应注意以下几个问题。

1．要重视探究和推理

《标准》要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。因此建议在教学中，既要重视从特殊到一般的探索学习过程的教学，又要重视数学的理性思维的培养。教学中不要直接给出定理进行证明，可通过学生对三角形边与角的正弦的测量与计算，研究边与其对角的正弦之间的比，揭示它们在数量上的规律，发现正弦定理的结论，然后再从理论上进行论证，从而掌握正弦定理。从中体会发现和探索数学知识的思想方法。

参考案例：正弦定理的探索、发现与证明

教学建议：建议按如下步骤设计教学过程：

(1)从特殊三角形入手进行发现

让学生观察并测量一个三角板的边长。

提出问题：你能发现三边长与其对角的正弦值之比之间的关系吗？

例如，量得三角板三内角300，600，900所对的三边长分别约为5cm，8.6cm，10cm，

58.610

，，101010 000

sin30sin60sin90

abc

对于特殊三角形，我们发现规律：。 

sinAsinBsinC

则有：

提出问题：上述规律，对任意三角形成立吗？ (2)实验，探索规律

二人合作，先在纸上做一任意锐角（锐角或钝角）三角形，测量三边长及其三个对角，然后用计算器计算每一边与其对角正弦值的比，填入下面表中，验证前面得出的结论是否正确。（其中，角精确到分，

忽略测量误差，通过实验， 对任意三角形，有结论：

abc

，即在一个三角形中，

sinAsinBsinC

各边和它所对的角的正弦的比相等。

提出问题：上述的探索过程所得出的结论，只是我们通过实验(近似结果)发现的一个结果，如果我们能在理论上证明它是正确的，则把它叫做正弦定理。那么怎样证明呢？

(4)研究定理证明的方法方法一：（向量法）①若△ABC为直角三角形，由锐角三角函数的定义知，定理显然成立。 ②若△ABC为锐角三角形，过点A做单位向量j垂直于AC，则向量j与向量的夹角为900-A， 向

量j

与向量CB的夹角为900-C，（如图1） ，且有：ACCBAB， 所以j·(+) = j·即j·+ j· = j·AB 展开|j||AC|cos900+ | j||CB|cos(900-C)=| j|||cos(900-A)

ac

。 

sinAsinC

cbabc

同理，过点C做单位向量j垂直于,可得：，故有 。 

sinCsinBsinAsinBsinC

③若△ABC为钝角三角形，不妨设角A>900（如图2），过点A做单位向量j垂直于AC，则向量j与

则得 a sinC = c sinA，即

向量AB的夹角为A -900，向量j与向量的夹角为900-C，且有：，同样可证得：

abc

。 

sinAsinB

提出问题：你还能利用其他方法证明吗？

方法二：请同学们课后自己利用平面几何中圆内接三角形（锐角，钝角和直角）及同弧所对的圆周角相等等知识，将△ABC中的边角关系转化为以直径为斜边的直角三角形中去探讨证明方法。

2．要重视综合应用

《标准》要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。建议在正弦定理、余弦定理的教学中，设计一些关于正弦定理、余弦定理的综合性问题，提高学生综合应用知识解决问题的能力。如可设计下面的问题进行教学：

参考案例：正弦定理、余弦定理的综合应用 C 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD=10，AB=14，

BDA=60，BCD=135 .求BC的长.教学建议：

引导学生进行分析，欲求BC，需在△BCD中求解，∵BCD=135，BDC=30，∴需要求BD，而BD需在△ABD中求解.再引导学生将

A B

四边形问题转化为三角形问题，选择余弦定理求BD ，再由正弦定理

例2图 求BC。

3．要重视实际应用

《标准》要求运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。因此建议在教学中，设计一些实际应用问题，为学生体验数学在解决问题中的作用，感受数学与日常生活及与其他学科的联系，培养学生的数学应用意识，提高学生解决实际问题的能力。在题目的设计中要注意对恒等变形降低要求，避免技巧性强的变形和繁琐的运算。

参考案例：解三角形在实际中的应用

参考案例1．航海中甲船在A处发现乙船在北偏东45，与A的距离为10海里的C处正以20海里/h的速度向南偏东75的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，问甲船沿什么方向，用多少时间才能与

乙船相遇？

教学建议：引导学生依据题意画出示意图，将实际问题转化为解三角形问题。若设甲船与乙船经过t小时在B处相遇， 构建ACB，容易计算出AB20海里,BC20海里，根据余弦定理建立关于t的方程，求出t，问题就解决了。

答: 甲船沿北偏东75的方向，经过0.5小时与乙船相遇.参考案例2．为了测量某城市电视塔的高度，在一条直道上选 择了A，B，C三点，使ABBC60m，在A，B，C三点







例1图 DA 观察塔的最高点，测得仰角分别为45，54.2，60，若测量 E

者的身高为1.5m，试求电视塔的高度(结果保留1位小数).F 教学建议：引导学生依据题意画出示意图如图，将实际问题转化为

解三角形问题。要求电视塔的高度。只要求出DE的长。将问题中的已

知量、未知量集中到有关三角形中，构造出解三角形的数学模型。在

例2图 ACE中和BCE中应用余弦定理，使问题获得解决.答: 电视塔的高度约为158.3m.

4．要重视研究性学习

解三角形的内容有较强的应用性和研究性，可为学生提供丰富的研究性素材。建议在教学内容的设计上探索开放，在教学形式上灵活多样。可设计一些研究性、开放性的问题，让学生自行探索解决。参考案例：研究性学习

课外研究题：将一块圆心角为120，半径为20厘米的扇形铁片裁成一块矩形，请你设计裁法，使裁得矩形的面积最大?并说明理由．

教学建议：这是一个研究性学习内容，可让学生在课外两人一组合作完成，写成研究报告，在习题课上让学生交流研究结果，老师可适当进行点评。

参考答案：这是一个如何下料的问题，一般有如图（1）、图（2）的两种裁法：即让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB

平行。从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将

这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论．

NBB

PO图（2）

QM

O图（1）

按图（1）的裁法:矩形的一边OP在OA上，顶点M在圆弧上，设MOA，则：

时，Smax200．

4按图（2）的裁法: 矩形一边PQ与弦AB平行，设MOQ，在MOQ中，OQM9030120，由正弦定理，得：

sin120

又MN2OMsin(60)40sin(60)， MQ

20sin



40

3sin． 3

MP20sin,OP20cos，从而S400sincos200sin2．即当



∴SMQMN

33

sinsin(60)cos(260)cos60． 33



∴当30时，Smax由于

400． 3

400平方厘米． 200，所以用第二中裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为33

也可以建议学生在课外自行寻找研究性、应用性的题目去做，写出研究或实验报告，在学校开设的研究性学习课上进行交流，评价。

参考文献：

①全日制普通高中级学《数学教学大纲》。人民教育出版社。2002年4 月。

②《普通高中数学课程标准（实验））》。人民教育出版社。2003年4月第一次印刷。 ③《普通高中数学课程标准（实验）解读》。严士健 张奠宙王尚志等主编。江苏教育出版社。2004年4月。

推荐第6篇：几何证明定理

几何证明定理

一.直线与平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.2.应用:反证法(证明直线不平行于平面)

二.平面与平面平行的(判定)

1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

2.关键：判定两个平面是否有公共点

三.直线与平面平行的(性质)

1.性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行2.应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直线

四.平面与平面平行的(性质)

1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行

2.应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行

五：直线与平面垂直的(定理)

1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

2.应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线(线面垂直→线线垂直)

六.平面与平面的垂直(定理)

1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直

(或者做二面角判定)

2.应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换

七.平面与平面垂直的(性质)

1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行

2.性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内(性质三没什么用,可以不用记)

以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!!

31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合

33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c

47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形

48定理四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°

51推论任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2矩形的对角线相等

62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形。

推荐第7篇：正弦定理证明

正弦定理

1.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，且等于其外接圆半径的两倍，

即

abc2R sinAsinBsinC

证明：如图所示，过B点作圆的直径BD交圆于D点，连结AD BD=2R, 则 D=C，DAB90 在RtABD中 A sinCsinDc 2RD

b c c2R sinCab同理：2R,2R

sinAsinBabc所以2R

sinAsinBsinC2.变式结论

1）a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC 2）sinAC

a

B abc ,sinB,sinC2R2R2R3）asinBbsinA,asinCcsinA,csinBbsinC 4）a:b:csinA:sinB:sinC

例题

在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若(3bc)cosAacosC，求cosA的值.解：由正弦定理 a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC得

(3sinBsinC)cosAsinAcosC

3sinBcosAsin(AC)sin(AC)sinB3sinBcosAsinBB(0,)0sinB1cosA33

推荐第8篇：正弦定理证明

正弦定理证明1.三角形的正弦定理证明： 步骤1.在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到

a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC 步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 2.三角形的余弦定理证明：平面几何证法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 3 在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC a^2=b^2+c^2-2bc*cosA b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。 过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a 由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2+b^2-2a*CD 因为cosC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 题目中^2表示平方。 2 谈正、余弦定理的多种证法 聊城二中 魏清泉

正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则 (1)(正弦定理) = = ; (2)(余弦定理) c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A.

一、正弦定理的证明

证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有 AD=b•sin∠BCA， BE=c•sin∠CAB， CF=a•sin∠ABC。

所以S△ABC=a•b•csin∠BCA =b•c•sin∠CAB =c•a•sin∠ABC.证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有 AD=b•sin∠BCA=c•sin∠ABC， BE=a•sin∠BCA=c•sin∠CAB。 证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆 的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。 因为AB=AC+CB，

所以j•AB=j•(AC+CB)=j•AC+j•CB.因为j•AC=0，

j•CB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=a•sinC， j•AB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=c•sinA .

二、余弦定理的证明

法一：在△ABC中，已知 ，求c。

推荐第9篇：弦切角定理的证明

弦切角定理的证明

弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明

证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作Tp的平行线交BC于D，

则∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

证明：分三种情况：

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，

∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,

(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,

那么

.

(3)圆心O在∠BAC的外部,

过A作直径AD交⊙O于D

那么

2连接并延长TO交圆O于点D，连接BD因为TD为切线，所以TD垂直TC，所以角BTC+角DTB=90因为TD为直径，所以角BDT+角DTB=90所以角BTC=角BDT=角A

3编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠pCA，∠pCB都为弦切角。编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。∵∠TCB=90-∠OCB∵∠BOC=180-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴(弦切角定理)(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,AB=a求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.

推荐第10篇：弦切角定理证明方法

弦切角定理证明方法

(1)连OC、OA，则有OC⊥CD于点C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。

而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。进而有∠OAC=∠BAC。

由此可知，0A与AB重合，即AB为⊙O的直径。

(2)连接BC，且作CE⊥AB于点E。立即可得△ABC为Rt△，且∠ACB=Rt∠。

由射影定理有AC²=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC²=AB*AD。

第一题重新证明如下：

首先证明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA。

连接OA、OC、BC，则有

∠ACD+∠ACO=90°

=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)

=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)

=∠ACO+(1/2)∠AOC,

所以∠ACD=(1/2)∠AOC，

而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，

得∠ACD=∠CBA。

另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB，

所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，进而AB为⊙O的直径。

2证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90-∠OCB

∵∠BOC=180-2∠OCB

∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)

∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)

∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)

证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：(弦切角定理)

证明：分三种情况：

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，

∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,

∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角(2)圆心O在∠BAC的内部.

过A作直径AD交⊙O于D,

若在优弧m所对的劣弧上有一点E

那么，连接EC、ED、EA

则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴(弦切角定理)

(3)圆心O在∠BAC的外部,

过A作直径AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,AB=a求BC长.

解：连结OA，OB.

∵在Rt△ABC中,∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.

求证：EF∥BC.

证明：连DF.

AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，

求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.

证明：∵AB是⊙O直径

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠B，

∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，

∴∠MCA=∠ACD，

即AC平分∠MCD，

同理：BC平分∠NCD.

第11篇：凯莱定理证明

Theorem1.Let n be a positive integer, and let G = be a cyclic group of order n.Then G≌(Zn;+).Consequently, any two cyclic groups oforder n are isomorphic to each other.

Theorem2.Let G = be an innite cyclic group.Then G≌(Zn;+).Consequently, any two innite cyclic groups are isomorphic to each other.

Theorem3(Caycley\'s Theorem).If G is a group,then G is isomorphic to a subgroup of SX, thesymmetric group on a set X (it is called a transformation group(交换群) of X).In particular,if G is fnite, then G is isomorphic to a subgroup of Sn (it is called a permutation group(置换群)).

定理6.2(Cayley定理)任何一个群都与某个变换群同构.

证明设G是群.对于每一个aG,定义G的变换σa如下:σa(x)ax,xG.显而易见,σa是G的一一变换.

令G\'{σa|aG}.下面我们来阐明G\'是G上的一个变换群.事实上,显然,我们有IGσeG\'.此外,对于任意的σa,σbG\',我们有(σaσb)(x)abxσab(x),(σaσa1)(x)aa1xxIG(x),

(σa1σa)(x)a1axxIG(x),xG,从而,σaσbσabG\',σaσa1σa1σaIG.所以G\'是G上的一个变换群.

现在考察由下式定义的G到G\'的映射f:f(a)σa,aG.

显而易见,f是满射.对于任意的a,bG,我们有f(a)f(b)σaσbσa(e)σb(e)ab.因此f是单射,从而,f是双射.此外,我们有f(ab)σabσaσbf(a)f(b),a,bG.

所以f是G到G\'的同构,从而,GG\'.

Pf:AumeG is a group.For everyaG,we have

σa(x)ax,xG.

It is obvious thatσais a transformation of G.

LetG\'{σa|aG}.obviously,we have IGσeG\'.Otherwise,for everyσa,σbG\',we have

(σaσb)(x)abxσab(x),

(σaσa1)(x)aa1xxIG(x),

(σa1σa)(x)a1axxIG(x),xG,

thus,σaσbσabG\',σaσa1σa1σaIG.Therefor G\'is a transformation group ofG.

Now inspect thef by type definition G toG\' :f(a)σa,aG.

Obviously,f is a surjection.For alla,bG,we have

f(a)f(b)σaσbσa(e)σb(e)ab.

Therefore f is injection,Thus,fis a bijection.Moreover,we have

f(ab)σabσaσbf(a)f(b),a,bG.

So fis isomorphic fromGtoG\',thus,GG\'.

第12篇：向量证明正弦定理

向量证明正弦定理

表述：设三面角∠p-ABC的三个面角∠BpC，∠CpA，∠ApB所对的二面角依次为∠pA，∠pB，∠pC，则Sin∠pA/Sin∠BpC=Sin∠pB/Sin∠CpA=Sin∠pC/Sin∠ApB。

目录

1证明2全向量证明

证明

过A做OA⊥平面BpC于O。过O分别做OM⊥Bp于M与ON⊥pC于N。连结AM、AN。显然，∠pB=∠AMO，Sin∠pB=AO/AM;∠pC=∠ANO，Sin∠pC=AO/AN。另外，Sin∠CpA=AN/Ap，Sin∠ApB=AM/Ap。则Sin∠pB/Sin∠CpA=AO×Ap/(AM×AN)=Sin∠pC/Sin∠ApB。同理可证Sin∠pA/Sin∠BpC=Sin∠pB/Sin∠CpA。即可得证三面角正弦定理。

全向量证明

如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C

由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步骤

1记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤3.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

3用向量叉乘表示面积则s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三级

记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,

4过三角形ABC的顶点A作BC边上的高，垂足为D.(1)当D落在边BC上时，向量AB与向量AD的夹角为90°-B，向量AC与向量AD的夹角为90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的绝对值*向量AD的绝对值*COS(90°-B)=向量的AC绝对值*向量AD的绝对值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)当D落在BC的延长线上时，同样可以证得

第13篇：考研数学定理证明

考研数学定理证明

不一定会考，或者说是好像近几年也就是09年的考题出过一道证明题(拉格朗日中值定理的证明)。但准备时最好把课本上几个重要定理(比如中值定理)的证明看下，做到会自己证明。还有就是几个证明过程或方法比较奇特的定理，要看懂证明。一个可以应付直接考证明题，还可以借鉴证明思路帮助自己解其他题目，算是开扩思路吧，总之看下会有好处的，而且也不是很多，比照课本自己总结下吧，我去年就是这么整理的。数学140+

定理的证明属于比较难的，可以不看。很多人看都看不懂，或者看懂了也不会用。

但是定理的结论和应用一定要会。

考研里的证明题属于压轴的，大部分人都做不出来，所以不用担心。只要把基本盘拿下，你的分数就应该能过国家线。

祝你成功。

呵呵非常理解你的处境。我觉得这个问题不难解决，主要有两个办法。下面帮你具体分析一下，呵呵～

一。旁听师弟师妹的数学课～优点：不仅经济，便利，而且对老师的水平有保证～因为都是你们学校的嘛，你可以事先充分打听好哪个老师哪门课讲得好，然后还能比较容易获取课程进度，这样就可以专门去听自己不懂得那块，针对性强矮甚至你下课后还可以就不懂得习题跟老师请教一下～就本人这么多年的上学经验，老师对“问题学生”都是欢迎的，至少不排斥～缺点：由于不是专门针对考研复习的讲授，有些东西可能不是很适合～举个例子吧，比如将同样的知识，高一时候和高三第一轮复习时，讲的侧重点就不一样～(但是个人觉得这不算什么大缺点～嘿嘿～)

二。报名参加专门的考验辅导班。优点显而易见。老师肯定都是有多年考研辅导经验的，指导复习当然针对性强，有事半功倍的效果。缺点就是，嘿嘿，学费问题。你所在地的学费情况我就不清楚了，你可以自己去查一下～

还有一句话想说，其实这两个办法也不是对立的，你可以在学校里去旁听老师的课，把第一轮扎扎实实的复习完，放假回家去报名参加个辅导班，利用假期有针对性的做第二轮复习～相信两轮复习下来，你的长进一定不蝎呵呵～

我就说这么多，要是以后想起来了会再来补充的～最后祝你如愿考上理想院校哦～加油

也不知道一楼是哪个名校数学系的研究生，广州大学吗?这么有才华!听他的话等楼主没考到130哭的地方都找不到。

考研每一门学科都要复习好几轮，也不知道楼主考什么专业，数学几?

基础差的话第一轮复习要弄清楚定理及其证明过程。如果应届本科生又是学理科，平时成绩不错，高数，线性分都很高的话第一轮可以直接看教材做题。

第14篇：中心极限定理证明

中心极限定理证明

一、例子

高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.

如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且

那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.

二、中心极限定理

设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立

称服从中心极限定理.设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.

解:服从中心极限定理,则表明

其中.由于,因此

故服从中心极限定理.

三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理

在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则

用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,

由此即得

第一类问题是已知,求,这只需查表即可.

第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的.

第三类问题是已知,求.

解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:.

抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?

解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.

已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:

的随机变量.求.

解:

因为很大,于是

所以

利用标准正态分布表,就可以求出的值.

某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.

解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.

如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,

查表得,,故取.于是

取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.

根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.

解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.

由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有

其中,即有

四、林德贝格-勒维中心极限定理

若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有

证明:设的特征函数为,则

的特征函数为

又因为,所以

于是特征函数的展开式

从而对任意固定的,有

而是分布的特征函数.因此,

成立.在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.

设有个数,它们的近似数分别是,.,.令

用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,

以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有

设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.

证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有

由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.

作业:

p222EX32,33,34,3

5五、林德贝尔格条件

设为独立随机变量序列,又

令,对于标准化了的独立随机变量和

的分布

当时,是否会收敛于分布?

除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.设是独立随机变量序列,又,,这时

(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有

(2)若是离散型随机变量,的分布列为

如果对于任意的,有

则称满足林德贝尔格条件.

以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.

证明:令,则

于是

从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有

这个关系式表明,的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.

六、费勒条件

设是独立随机变量序列,又,,称条件为费勒条件.林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.

七、林德贝尔格-费勒中心极限定理

引理1对及任意的,

证明:记,设,由于

因此,,其次,对,

用归纳法即得.由于,因此,对也成立.

引理2对于任意满足及的复数,有

证明:显然

因此,

由归纳法可证结论成立.

引理3若是特征函数,则也是特征函数,特别地

证明定义随机变量

其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.

林德贝尔格-费勒定理

定理设为独立随机变量序列,又.令,则

(1)

与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.

证明:(1)准备部分

记

(2)

显然(3)

(4)

以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么(5)

这时

因此林德贝尔格条件化为:对任意,

(6)

现在开始证明定理.设是任意固定的实数.

为证(1)式必须证明

(7)

先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:

(8)

事实上,由(3)知,又因为

故对一切,

把在原点附近展开,得到

因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有

(9)

这时

(10)

对任意的,只要充分小,就可以有

(11)

因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有

(12)

因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.

(2)充分性

先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,

(13)

右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.

其次证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,

当时,

当时,

因此

(14)

对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.

(3)必要性

由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,

(15)

上述被积函数的实部非负,故

而且

(16)

因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得

故林德贝尔格条件成立.

八、李雅普诺夫定理

设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有

则对于任意的,有

第15篇：正弦定理的证明

正弦定理的证明

（方法一）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则a

sinb

sin同理可得

从而a

sinAcsinCbsinBb

sinBcsinC

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（方法二）利用向量证明

如图，在ABC中，过点A作一个单位向量j，使jAC。

当BAC为钝角或直角时，同理可证上述结论。

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a

sinb

sinc

sin

[理解定理

]

- 1 -

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k

使aksinA，bksinB，cksinC；

（2）

下面还介绍几种证明的方法，供感兴趣同学探索。

（方法三）利用复数证明

如图，如图2，建立平面直角坐标系．在复平面内，过点A作BC的平行线，过点C作AB的平行线，交于点D．

asinAbsinBcsinC等价于asinAbsinB，csinCbsinB，asinAcsinC

根据复数相等的定义，实部等于实部，虚部等于虚部．可以得出

（方法四）利用ABC的外接圆证明Ⅰ

如图，O是ABC的外接圆，设半径为R，分

别连结OA、OB、OC，过点O作ODBC,垂足为

D。

证明：

（方法五）利用ABC的外接圆证明Ⅱ

O是ABC的外接圆，如图，设半径为R，连结BO并延长，交 O于点D，连结AD。

证明：

（方法六）利用ABC的高线证明 如图，在ABC中，过点B作BDAC，垂足为D 证明：

（方法七）利用两角和的正弦公式证明

如图，在ABC中，过点B作BDAC，垂足为D

此题还能这样入手：

以下过程同上。

第16篇：09命题、定理、证明

第9节命题、定理、证明

【学习目标】

A级：掌握命题的定义，结构，分类

B级：会将命题改成“如果„„，那么„„”的形式，并由此找出题设和结论部分 C级：会使用反例来说明一个命题是假命题

D级：掌握文字命题证明的步骤并会证明文字命题。 【自学导引】自主学习教材P20—P22.【夯实基础】

一、前面我们学过一些对某一件事情进行判断的语句，请举例（多举）。

像这样判断一件事情的语句，叫做命题。 判断下列语句是否是命题 （1） 画线段AB＝CD （2） 对顶角相等吗？ （3） x＝1是方程x2

1的根

（4） 2>1

（5） 不相等的角不是对顶角。

二、命题的结构

命题是由题设和结论两部分组成的，题设是已知事项（已知条件），结论是由已知事项推出的事项。所以命题往往可以改写：

命题常常改写成“如果„„，那么„„”的形式。这样容易找到题设和结论两部分。例如：对顶角相等

可以改为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 题设就是：如果两个角是对顶角， 结论就是：那么这两个角相等

将下列命题改成“如果„„，那么„„”的形式 （1） 两直线平行，同位角相等 （2） 内错角相等，两直线平行

（3） 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。 （4） 互为相反数的两个数的绝对值相等。

三、命题的分类：

请说明命题、真命题、假命题、公理和定理五个概念间的关系

思考：如何说明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题？

四、证明 证明的步骤

（1）根据题意画出图形。 （2）写出已知、求证

（3）证明：即写出推理过程。

1、求证：邻补角的角平分线互相垂直

2、求证：两平行线被第三条直线所截，内错角的角平分线互相平行。

3、求证：两平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直。

4、书P

24、第13提，册P20、第14题。

第17篇：初中数学定理证明

初中数学定理证明

数学定理

三角形三条边的关系

定理：三角形两边的和大于第三边

推论：三角形两边的差小于第三边

三角形内角和

三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

推论1直角三角形的两个锐角互余

推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

推论3三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角

角的平分线

性质定理在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

几何语言：

∵OC是∠AOB的角平分线(或者∠AOC=∠BOC)

pE⊥OA，pF⊥OB

点p在OC上

∴pE=pF(角平分线性质定理)

判定定理到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上

几何语言：

∵pE⊥OA，pF⊥OB

pE=pF

∴点p在∠AOB的角平分线上(角平分线判定定理)

等腰三角形的性质

等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等

几何语言：

∵AB=AC

∴∠B=∠C(等边对等角)

推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

几何语言：

(1)∵AB=AC，BD=DC

∴∠1=∠2，AD⊥BC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

(2)∵AB=AC，∠1=∠

2∴AD⊥BC，BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

(3)∵AB=AC，AD⊥BC

∴∠1=∠2，BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

推论2等边三角形的各角都相等，并且每一个角等于60°

几何语言：

∵AB=AC=BC

∴∠A=∠B=∠C=60°(等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°)

等腰三角形的判定

判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等

几何语言：

∵∠B=∠C

∴AB=AC(等角对等边)

推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

几何语言：

∵∠A=∠B=∠C

∴AB=AC=BC(三个角都相等的三角形是等边三角形)

推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

几何语言：

∵AB=AC，∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)

∴AB=AC=BC(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)

推论3在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

几何语言：

∵∠C=90°，∠B=30°

∴BC=AB或者AB=2BC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)

线段的垂直平分线

定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

几何语言：

∵MN⊥AB于C，AB=BC，(MN垂直平分AB)

点p为MN上任一点

∴pA=pB(线段垂直平分线性质)

逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

几何语言：

∵pA=pB

∴点p在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线判定)

轴对称和轴对称图形

定理1关于某条之间对称的两个图形是全等形

定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

定理3两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

逆定理若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那这两个图形关于这条直线对称

勾股定理

勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即

a2+b2=c

2勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形

四边形

定理任意四边形的内角和等于360°

多边形内角和

定理多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)·180°

推论任意多边形的外角和等于360°

平行四边形及其性质

性质定理1平行四边形的对角相等

性质定理2平行四边形的对边相等

推论夹在两条平行线间的平行线段相等

性质定理3平行四边形的对角线互相平分

几何语言：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD‖BC，AB‖CD(平行四边形的对角相等)

∠A=∠C，∠B=∠D(平行四边形的对边相等)

AO=CO，BO=DO(平行四边形的对角线互相平分)

平行四边形的判定

判定定理1两组对边分别平行的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD‖BC，AB‖CD

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)

判定定理2两组对角分别相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵∠A=∠C，∠B=∠D

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)

判定定理3两组对边分别相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD=BC，AB=CD

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)

判定定理4对角线互相平分的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AO=CO，BO=DO

∴四边形ABCD是平行四边形

(对角线互相平分的四边形是平行四边形)

判定定理5一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD‖BC，AD=BC

∴四边形ABCD是平行四边形

(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

矩形

性质定理1矩形的四个角都是直角

性质定理2矩形的对角线相等

几何语言：

∵四边形ABCD是矩形

∴AC=BD(矩形的对角线相等)

∠A=∠B=∠C=∠D=90°(矩形的四个角都是直角)

推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

几何语言：

∵△ABC为直角三角形，AO=OC

∴BO=AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

几何语言：

∵∠A=∠B=∠C=90°

∴四边形ABCD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)

判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

几何语言：

∵AC=BD

∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)

菱形

性质定理1菱形的四条边都相等

性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

几何语言：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=BC=CD=AD(菱形的四条边都相等)

AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC

(菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角)

判定定理1四边都相等的四边形是菱形

几何语言：

∵AB=BC=CD=AD

∴四边形ABCD是菱形(四边都相等的四边形是菱形)

判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

几何语言：

∵AC⊥BD，AO=CO，BO=DO

∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)

正方形

性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

中心对称和中心对称图形

定理1关于中心对称的两个图形是全等形

定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

梯形

等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

几何语言：

∵四边形ABCD是等腰梯形

∴∠A=∠B，∠C=∠D(等腰梯形在同一底上的两个角相等)

等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

几何语言：

∵∠A=∠B，∠C=∠D

∴四边形ABCD是等腰梯形(在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形)

三角形、梯形中位线

三角形中位线定理三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半

几何语言：

∵EF是三角形的中位线

∴EF=AB(三角形中位线定理)

梯形中位线定理梯形的中位线平行与两底，并且等于两底和的一半

几何语言：

∵EF是梯形的中位线

∴EF=(AB+CD)(梯形中位线定理)

比例线段

1、比例的基本性质

如果a∶b=c∶d，那么ad=bc

2、合比性质

3、等比性质

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

几何语言：

∵l‖p‖a

(三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例)

推论平行与三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例

定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行与三角形的第三边

垂直于弦的直径

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵OC⊥AB，OC过圆心

(垂径定理)

推论

1(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵OC⊥AB，AC=BC，AB不是直径

(平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧)

(2)弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵AC=BC，OC过圆心

(弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧)

(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

几何语言：

(平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧)

推论2圆的两条平分弦所夹的弧相等

几何语言：∵AB‖CD

圆心角、虎弦、弦心距之间的关系

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条虎两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等

圆周角

定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直角

推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

圆的内接四边形

定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

几何语言：

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形

∴∠A+∠C=180°，∠B+∠ADB=180°，∠B=∠ADE

切线的判定和性质

切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

几何语言：∵l⊥OA，点A在⊙O上

∴直线l是⊙O的切线(切线判定定理)

切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点半径

几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A

∴l⊥OA(切线性质定理)

推论1经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理

定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

几何语言：∵弦pB、pD切⊙O于A、C两点

∴pA=pC，∠ApO=∠CpO(切线长定理)

弦切角

弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

几何语言：∵∠BCN所夹的是，∠A所对的是

∴∠BCN=∠A

推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

几何语言：∵∠BCN所夹的是，∠ACM所对的是，=

∴∠BCN=∠ACM

和圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被焦点分成的两条线段长的积相等

几何语言：∵弦AB、CD交于点p

∴pA·pB=pC·pD(相交弦定理)

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

几何语言：∵AB是直径，CD⊥AB于点p

∴pC2=pA·pB(相交弦定理推论)

切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项

几何语言：∵pT切⊙O于点T，pBA是⊙O的割线

∴pT2=pA·pB(切割线定理)

推论从圆外一点因圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等

几何语言：∵pBA、pDC是⊙O的割线

∴pT2=pA·pB(切割线定理推论)。

第18篇：塞瓦定理证明

塞瓦定理

在△ABC内任取一点O，

直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1证法简介

（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：

∵△ADC被直线BOE所截，

∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①

而由△ABD被直线COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

（Ⅱ）也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，

根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。

可用塞瓦定理证明的其他定理;

三角形三条中线交于一点（重心）:如图5 D , E分别为BC , AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1

且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 ，所以三角形三条中线交于一点，即为内心

用赛瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点

此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：

在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1

第19篇：命题定理证明教案

5、3命题定理证明教案

学习目标：

（1）了解命题的概念以及命题的构成（如果……那么……的形式）．

（2）知道什么是真命题和假命题．

(3）理解什么是定理和证明．

（4）知道如何判断一个命题的真假．

学习重点：

对命题结构的认识．理解证明要步步有据

一、自学基础：（看书20页---22页）

1、对一件事情___________________的语句，叫做命题。

2、命题由______和________组成。__________是已知事项，__________是由已知事项推出的事项。

3、命题常可以写成__________________的形式。“_______”后接的部分是题设，“________”后面接的部分是结论。

4、_________________叫真命题， _______________叫假命题。

二、探究新知

问题1 什么叫做命题？

像这样判断一件事情的语句，叫做命题（proposition）.问题2思考命题是由几部分组成的？

命题是由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

问题3 下列语句是命题吗？如果是，请将它们改 写成“如果„„，那么„„”的形式.

问题4 什么样的命题叫做真命题？什么样的命题叫做假命题？ 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，

这样的命题叫做真命题．

假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，

这样的命题叫做假命题．

问题 请同学们举例说出一些真命题和假命题． 问题5公理定理

有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的， 这样的真命题叫做公理。

有些命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫做定理。 问题6证明

三、课堂小结

四、当堂检测

五、布置作业

第20篇：原创正弦定理证明

1．直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1

即c=

∴abc， c= ，c=．sinAsinBsinCacbcabc== sinAsinBsinC

2．斜三角形中

证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中

S△ABC=absinCacsinBbcsinA

两边同除以abc即得：

证明二：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴aaCD2R sinAsinD

bc=2R，＝2R sinBsinC12121212abc== sinAsinBsinC

同理

证明三：（向量法）

过A作单位向量j垂直于AC

由 AC+CB=AB

两边同乘以单位向量j 得 j•(AC+CB)=j•AB 则•+•=•

∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=| j|•|AB|cos(90A)

∴asinCcsinA∴ac= sinAsinC

cbabc同理，若过C作j垂直于CB得： =∴== sinCsinBsinAsinBsinC

正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：

1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况

:

⑴若A为锐角时: absinA无解absinA一解(直角)

bsinAab二解(一锐, 一钝)ab一解(锐角)

已知边a,b和A

a

无解a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinA

ab无解⑵若A为直角或钝角时: ab一解(锐角)

《定理证明.doc》

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