正弦定理的证明

发布时间：2020-03-02 05:34:42 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

正弦定理的证明

（方法一）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则a

sinb

sin同理可得

从而a

sinAcsinCbsinBb

sinBcsinC

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（方法二）利用向量证明

如图，在ABC中，过点A作一个单位向量j，使jAC。

当BAC为钝角或直角时，同理可证上述结论。

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a

sinb

sinc

sin

[理解定理

]

- 1 -

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k

使aksinA，bksinB，cksinC；

（2）

下面还介绍几种证明的方法，供感兴趣同学探索。

（方法三）利用复数证明

如图，如图2，建立平面直角坐标系．在复平面内，过点A作BC的平行线，过点C作AB的平行线，交于点D．

asinAbsinBcsinC等价于asinAbsinB，csinCbsinB，asinAcsinC

根据复数相等的定义，实部等于实部，虚部等于虚部．可以得出

（方法四）利用ABC的外接圆证明Ⅰ

如图，O是ABC的外接圆，设半径为R，分

别连结OA、OB、OC，过点O作ODBC,垂足为

D。

证明：

（方法五）利用ABC的外接圆证明Ⅱ

O是ABC的外接圆，如图，设半径为R，连结BO并延长，交 O于点D，连结AD。

证明：

（方法六）利用ABC的高线证明如图，在ABC中，过点B作BDAC，垂足为D 证明：

（方法七）利用两角和的正弦公式证明

如图，在ABC中，过点B作BDAC，垂足为D

此题还能这样入手：

以下过程同上。

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