证明矩阵相似（精选多篇）

推荐第1篇：相似证明

1、△ABC中AF∶FC=1∶2，G是BF的中点，AG的延长线交BC于E，求BE:EC

E

2、□ABCD中，E是AB的中点，AF=C

B E A

3、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作AC的平行线交BA延长线于E， 求证：DEDCEABDD

1FD，连接FE交AC于G，求AG∶AC 2D C C

4、△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上的一点，过点C作CF∥AB，延长BP交2AC于E，交CF于F，求证：BPPEPF

F

C D

5、已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC上的中点，过点D作BC的垂线DF，交BA的延长线于点F，交AC于点E．求证：BC2＝4DE·DF．

A E C

F

推荐第2篇：3矩阵的证明

矩阵的证明

常见的有矩阵秩的证明，向量组的线性相关性证明等，这些大部分都可以利用矩阵式来解决。掌握好关键的几点。

第一：矩阵式的表示

第二：矩阵秩和相关性的关系（秩小于向量的个数，线性相关，秩等于向量的个数，线性无关）

第三：掌握秩的有关结论，主要有八个结论，用得比较多的有

7.

8.AmnBnl0R(A)R(B)nABCR(C)R(A),R(B)

推荐第3篇：添平行线、利用相似三角形证明

平行线分线段成比例(添辅助线)

一、知识要点：

1、平行线分线段成比例的基本图形；

2、构造基本图形来解题。

二、例题简析及练习：

例

1、已知FD与△ABC的边AB交于F，与AC交于E，与BC的延长线交于D，且

DEABAF=CD，求证： EFBC

B C D

1EF2AF练习

1、已知如图BD=CD，求证： 2BEAC

C例

2、△ABC中AF∶FC=1∶2，G是BF的中点，AG的延长线交BC于E，求BE:EC

C E

练习

2、△ABC中D是BC上的一点，AE∶EC=3∶4，BD∶DC=2∶3，求BF∶FE

E

C D 1例

3、□ABCD中，E是AB的中点，AF=FD，连接FE交AC于G，求AG∶AC 2D C

B E A

练习

3、已知，如图，△ABC中，E、F分别为BC的三等分点，D为AC的中点，

BD分别与AE、AF交于点M、N，求BM:MN:ND

DE F C

三、巩固练习：

1、△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AP=PD。求证：1）PB=3PF；2）如果AC=13，求

AF的长。

F

C D

2、如图，D、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，且AD∶DB＝CF∶FA＝2∶3 连DF交BC的延长线于E.求EF∶FD.3、已知OM∶MP=ON∶NR，求证：△PQR为等腰三角形。O

4、直线截△ABC的边AB、BC、AC或其延长线于D、E、F，求证：

5、在△ABC中AC=BC，F为底边AB上的一点，的中点D，连接AD并延长交BC于E。1）求

R

ADBECF

1 DBECFA

F

E

D

C

BFm

，（m,n为正数）。取CFAFn

BE

的值；2）如果BE=2EC，那么CFEC

所在的直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论。3）E点能否为BC的中

m

点？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由。

n

利用相似三角形的证明

1、已知菱形ABCD中，F是BD上的一点，AF的延长线交BC于E，交DC的延长线于G，

A

求证：CFFEFG

D

练习、如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点, E、F分别在AB、AC上，∠BDE＝∠CFD.试说明 : BD·DC = BE·CF

练习、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作AC的平行线交BA延长线于E，求证：DEDCEABD

D

C

2、已知如图，∠A=90°，D是AB上任意一点，BE⊥BC，∠BCE=∠DCA，EF⊥AB， 求证：AD=BF

3、已知等腰直角△ABC中，BD

B

D

A

1

1AB,AEAC，求证：∠ADE=∠EBC。 3

3练习、已知等腰直角△ABC中，AM∶MN∶NC=3∶1∶2，求证：∠CBN=∠ABM

E

C

B

4、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在CB和CB的延长线上，

∠BAE＝∠ADB．求证：AB2＝CD·BE．

B

C

E

练习、已知：如图4-38，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AE是△ABC的外角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF的延长线交AE于E．求证：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．

5、已知如图，△ABC中AD是∠A的平分线，E是AB的中点，EF⊥AD交BC延长线于F，

求证：DFCFBF

F D C

练习、△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上的一点，过点C作CF∥AB，延长BP

交AC于E，交CF于F，求证：BPPEPFF

D C

6、已知如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，求证：BC22ACCD

C

练习

3、已知：在△ABC中，∠

BAC＝90°，点D为BC上的中点，过点D作BC的垂线DF，交BA的延长线于点F，交AC于点E．求证：BC2＝4DE·DF．

A CE

巩固练习

F

1、如图△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，D、B、C、E共线，则图中有相似三角形的个数至少为（）(A)一对(B)二对(C)三对(D)四对



ABC，C90,CDAB于D，延长CB到E，使BECB。

2、已知：如图，

求证：BAEBED。

3、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DE为AC的中线，延长线交AB的延长于F，求证：AB·AF=AC·DF。

4、已知：如图，D、E是△ABC的边BC上两点，且∠BAD=∠C，∠DAE=∠EAC，求证：BD:BA=DE:EC

5、已知：如图，在△ABC中EF是BC的垂直平分线，AF、BE交于一点D，AB=AF。求证：AD=DF。

6、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。求证：EB·DF=AE·DB

7、如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接并延长DE交BC的延长线于点

F，连接DC、BE，若∠BDE＋∠BCE＝180°。⑴写出图中3对相似三角形（注意：不得添加字母和线）⑵请在你所找出的相似三角形中选取1对，说明它们相似的理由。A

8、如图，在△ABC中，DF经过△ABC的重心G，且DF∥AB，DE∥AC，连接EF，如果BC=5，AC=2AB.求证:△DEF∽△ABC

F

推荐第4篇：矩阵分析

第一章：

了解线性空间（不考证明），维数，基

9页：线性变换，定理1.3

13页：定理1.10，线性空间的内积，正交

要求：线性子空间（3条）非零，加法，数乘

35页，2491011

本章出两道题

第二章：

约旦标准型

相似变换矩阵例2.8（51页）出3阶的例2.6（46页） 出3阶的

三角分解例2.9（55页）（待定系数法）（方阵）

行满秩/列满秩 （最大秩分解）

奇异值分解

本章出两道题

第三章：

例3.1（75页） 定理3.2要会证明例3.3必须知道（证明不需要知道）定义3.3 例3.4证明要知道定理3.5掌握定理3.7要掌握

习题24

本章出（一道计算，一道证明）或者（一道大题（一半计算，一半证明））

第四章：

矩阵级数的收敛性判定要会，一般会让你证明它的收敛

比较法， 数字级数

对数量微分不考，考对向量微分（向量函数对向量求导）

本章最多两道，最少 一道，也能是出两道题选一道

第六章：

用广义逆矩阵法求例6.4（154页）

能求最小范数（158页） 如果无解就是LNLS解

定理6.1了解定理6.2 求广义逆的方法（不证明）

定理6.3（会证明）定理6.4（会证明）（去年考了） 定理6.9（会证明）推论要记

住定理6.10（会证明）

出一道证明一道计算

推荐第5篇：矩阵心得体会

《矩阵论》学习心得体会

2011-2012第一学期，我在李胜坤老师的引领下，逐步学习了科学出版社出版、徐仲和张凯院等编著的《矩阵论简明教程》第二版。该书是大学本科期间所学习的《线性代数》的矩阵部分内容的深化，从数域扩展到矩阵，要想充分理解“矩阵论”的精髓，就得先好好的将《线性代数》复习——掌握其基本概念及重要定理、结论。

该书有8个章节，第一章是矩阵的相似变换，第二章讲的是范数理论，第三章介绍的是矩阵分析，第四章详细介绍的是矩阵分解，第五章罗列的是特征值的估计与表示，第六章介绍的是广义逆矩阵，第七章介绍的是矩阵的直积，最后一章介绍的是线性空间与线性变换。下面分章节谈论。

第一章中的特征值与特征向量、矩阵的相似对角化、向量内积是本科期间《线性代数》中的内容，我想作者的目的是借助以前大家都熟悉的知识，将我们引领到另一个崭新的知识领域，起到承上启下的作用，让我们对《矩阵论》感到不陌生。该章中的Jordan标准形、Hamilton-Cayley定理、酉相似的标准形是本科期间不曾深入学习的知识，这些知识为后续学习《矩阵论》吹响了号角。总之，第一章就是高等数学中的知识与“矩阵论”的衔接章节，同时也是后续章节学习的非常重要基础章节。我们要学好《矩阵论》就得学好该章，理解记忆其中的概念、结论。

第二章介绍向量范数与矩阵范数及其应用。介绍了向量范数的三公理、酉不变性、1范、2范、无穷范、p范、加权范数（也叫椭圆范数）以及很重要的一个不等式——Cauchy-Schwarz不等式、向量的收敛、发散性；矩阵范数的定义、m1范、m无穷范、F范及其酉不变性，矩阵范数与向量范数的相容性等。范数与矩阵的谱半径紧紧相连，有了范数作为研究矩阵的数学工具，我们将会更易更深入的理解、研究矩阵，并用矩阵指导实际生产实践。

第三章矩阵分析和第四章矩阵分解各是矩阵论的最重要章节之一。通过对矩阵的收敛性、矩阵级数、矩阵函数、矩阵微分、矩阵积分、矩阵四种分解等系统性学习研究，让我明白了矩阵理论在实际生活中的巨大作用——矩阵论将大大减少工程运算量及提高计算速度、精度。有了矩阵理论作指导，现实生活中很多不能解决或者很难解决的数学问题等都能够得到很好的解决。比如，提高计算机的计算速度、优化数字信号处理算法等。

第五章介绍了矩阵的非常重要的参数——特征值的估计及其表示，介绍了特征值界定估计、特征值包含区域等，让我们对特征值有了更进一步的了解，用书中的方法可以很高效的确定特征值的范围、估计特征值的个数。是研究矩阵的有效方法，为计算特征值指明了方向，解决了以前计算特征值的困扰。

第六章介绍的是广义逆矩阵，是逆矩阵的推广。广义逆矩阵是将可逆的方阵推广到不可逆矩阵、长方矩阵。介绍了广义逆矩阵的概念、逆矩阵的应用、Moor-Penrose逆A+的计算、性质以及在解线性方程组中的应用。我想该章更大的应用应该在解线性方程组中，解决生活中的计算问题，提供了又一高效办法。

第七章矩阵的直积是很易懂的知识，是以前向量直积在矩阵中的推广。对矩阵直积的研究对信号处理与系统理论中的随机静态分析与随机向量过程分析等有重要的指导作用，同时也是重要的数学工具，是研究信号处理人员必备的数学工具。

第八章线性空间与线性变换，其中线性空间是几何空间与n维向量空间概念的推广与抽象，线性变换则反映了线性空间元素之间的一种最基本的联系。该章的学习需要我们充分发挥我们的空间想象能力，同时该章也将会大大的启迪我们思维的灵活性、唤醒沉睡已久的新思维。

通过《矩阵论简明教程》的学习，开阔了我的数学视野，给我思考问题、解决实际问题提供了新的思维方法。我将努力借助《矩阵论》，使自己在信号处理领域走的更远。

推荐第6篇：《相似三角形的证明——K字型相似》教案

课题：相似三角形的证明——K型相似（教案）

学校：茶陵思源实验学校 教师姓名：段中明

教学目标：

1、通过习题引入，了解“K型图”的特征与其中两个三角形相似的条件，并掌握其中两个相似三角形的性质；

2、利用“K型图”中两个三角的相似性解决一些计算、证明等简单问题；

3、在“K型图”变化的过程中经历图形动态思考，积累做“K型图”相似解题的特点与经验。

教学重点难点：

1、在已知图形中观察关键特征——“K型”；

2、在非“K型”图形中画辅助线，得到“K型”图形；

3、在“K型”图的两个三角形中，探索其相似条件。学情分析：

学生刚刚学习完湘教版九上数学第三章图形的相似，复习完本章各知识点后，进行一些思维拓展延伸，教师已引导学生学习相似三角形中的基本图形，如 “A”字型、“X”字型、“母子”型、“双垂直”型等。结合中考试题探究“K型图”相似这个问题，本课将在此基础上展开学习。 教学过程：

一、课前寄语：

学生在老师的心里就是自己的孩子，所以老师祝福天下所有的孩子健康成长，快乐学习！

二、复习与回顾：

1.相似三角形的判定3条定理；

2.相似三角形的基本图形：A字型、反A字型、母子型、X型、蝴蝶型、双垂直型„„

3.图形演变：双垂直型变三垂直型，三垂直型变K字型。

三、新课讲解：

（一）.呈现学习目标：

（1）.能利用k形图证明三角形相似； （2）.能构造k形图解决相关问题 （3）.体会“分类讨论”的数学思想

（二）.轻松一刻：（突出快乐学习）

同学们，这幅画美吗？看到这幅画我就想起小学时学过的一首小诗，一首富有诗情画意的诗，哪位同学能把这首诗读出来吗？

对，是《小池》。它句句是诗，句句是画，描绘了明媚的初夏风光，自然朴实又真切感人。今天我们边欣赏古诗边学习新课。下面我们跟着这首古诗走进今天的例题探究。

（三）.例题探究：

1.如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE ，交CD于F，连结BF，已知AE=4，ED=2，AB=3则DF=__________ 2.在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°,BD=2,CE=1, 则△ABC的边长为 .

A

3.如图，正方形ABCD的边长为4，E是边AB上的动点， (1)若DE⊥EF ，求证：△ADE∽△BEF；

(2)若BF=1，当△ADE与△BEF相似时，求AE的长。

4.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5 ∥l6 ，如果正方形ABCD的四个顶点在平行直线上相邻两条平行直线间的距离相等且为1，AB与l4交于点G.(1)求正方形的面积；(2) 求CG的长

一、课堂练习：

1.如图，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，AD=10cm， 求EC的长。（一题多解）

BFCEADEBDCDL1L2L3AGCL4L5L6B2.在直角梯形ABCF中，，CB=14，CF=4, AB=6,,CF∥AB,在边CB上找一点E,使以E、A、B为顶点的三角形和以E、C、F为顶点的三角形相似，则CE=_______（分类讨论）

二、课后拓展：

1.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是2，线段AB的两端点分别在直线l

1、l3上并与l2相交于点E，

①AE与BE的长度大小关系为

； ②若以线段AB为一边作正方形ABCD，C、D两点恰好分别在直线l

2、l4上，则sinα=

2.如图，正△ABC边长为6cm，P,Q同时从A,B两点出发，分别沿AB,BC匀速运动，其中点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q点到达C点时，两点都停止运动，设运动时间为t（s），作QR//BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ.

五、课堂小结：

我们今天这堂课收获了什么呢？

（1）学习了K型相似的证明；（2）我们要快乐学习。

六、作业布置：

ADCEB

推荐第7篇：相似教案

相似

1．成比例线段

用同一长度单位度量两条线段所得量数的比叫做这两条线段的比．

如果线段a和b的比等于线段c和d的比，那么线段a，b，c，d叫做成比例线段，记作ac或a∶b＝c∶d，其中a，c叫做比的前项，b，d叫做比的后项，b，c叫做比例内bd若项，a，d叫做比例外项，d叫做a，b，c的

(3)相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； (4)相似三角形周长比等于相似比；

(5)相似三角形面积的比等于相似比的平方． 6．相似多边形的性质

(1)相似多边形的对应角相等；

(2)相似多边形对应边的比等于相似比； (3)相似多边形周长的比等于相似比；

(4)相似多边形面积的比等于相似比的平方． 7．直角三角形中的成比例线段

如图13－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则(1)△ADC∽△ACB∽△CDB(可拆成三对相似三角形)；

图13－1 (2)CD2＝AD·DB；(注：用时要证明) (3)AC2＝AD·AB，

BC2＝BD·BA；(注：用时要证明) (4)CD·AB＝AC·BC．(注：用时要证明) 8．位似

(1)如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

(2)如果两图形F与F′是位似图形，它们的位似中心是点O，相似比为k，那么

①设A与A′是一对对应点，则直线AA′过位似中心O点，并且②设A与A′，B与B′是任意两对对应点，则

OAk.OA\'ABk若直线AB，A′B′不通过位AB似中心O，则AB∥A′B′．

(3)利用位似，可以将一个图形放大或缩小．

(4)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k． ．．．．9．相似图形的应用

二、例题分析

例

1已知：如图13－2，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB＝3，BF⊥BP于点B，试在射线BF上找一点M，使得以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，作图并指出相似比k的值．

图13－2

分析

由已知，∠ABP＝∠CBF．欲使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，只要使夹∠ABP及∠CBF的两边对应成比例．

解

如图13－3．

图13－3 ∵AB⊥BC，PB⊥BF， ∴∠ABP＝∠CBF．

BM14BM1BC，即，BM1＝3时，△CBM1∽△ABP．相似比k＝1． 3BPAB44BM2BCBM2416当即,BM2时，△CBM2∽△PBA．相似比k 4ABBP33316∴当BM＝3或BM时，以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，相似比分

3当4别为1和

3说明

(1)对于探究三角形相似的条件这类问题，可从“角的关系在先、边的关系在后”的思维顺序入手，由于题目条件中只有一组对应角相等，因此就考虑这组对应角的四条线段何时对应成比例，由于点C可以与点A对应(此时点M与点P对应)，点C也可以与点P对应(此时点M与点A对应)，因此有两种情形．

(2)注意当相似比k＝1时，两个相似图形全等，因此，全等图形是相似图形的特例． 例

2已知：如图13－4，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q

图13－4

(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1的除外)； (2)求BP∶PQ∶QR的值．

解

(1)△BCP∽△BER，△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，△PAB∽△RDQ． (2)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，AC∥DE．

PBPR,PC1 RE2又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ． ∵点R是DE中点，∴DR＝RE．

PQPCPC1,∴QR＝2PQ． QRDRRE2又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ，

∴BP∶PQ∶QR＝3∶1∶2． 说明

(1)如图13－5，“若DE∥BC，则△ADE∽△ABC”．这是用平行线截得三角形构成相似三角形，得到成比例线段常见的基本图形结构．

图13－5 (2)对于例2，还可进一步思考研究其他问题，例如，在已知条件不变的前提下，若△PCQ的面积为S，你能用含S的代数式分别表示图13－4中其他各图形的面积吗?并说明你的理由．

(1)△BPC的面积＝______．理由是__________________________________________； (2)△ABP的面积＝______．理由是__________________________________________； (3)四边形PCER的面积＝______．理由是____________________________________； (4)四边形APRD的面积＝______．理由是____________________________________； „„

例3 如图13－6，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点(不与B，C重合)，连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．

图13－6 (1)你认为图中哪两个三角形相似，为什么? (2)当点P在底边BC上自点B向C移动的过程中，是否存在一点P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．

解

(1)△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“两角对应相等，两三角形相似”可得△ABP∽△PCE．

BCAD2，腰长AB＝CD＝2CF＝4，这样原2问题转化为在底边BC上是否存在一点P，使得CE＝1.5． (2)作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝假设存在P点，使CE＝1.5，由△ABP∽△PCE，得

BPAB，可得BP·PC＝AB·CECEPC＝6．

设BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7， ∴PC＝7－x．

∴x(7－x)＝6，即x2－7x＋6＝0． 解得x1＝1，x2＝6．

答

当BP＝1或BP＝6时，使得DE∶EC＝5∶3．

例4 如图13－7，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．

图13－7 (1)求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；

(2)设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；

(3)当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求x的值． 解

(1)在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4， ∠B＝∠C＝90°． ∵AM⊥MN，

∴∠AMN＝90°．

∴

∠CMN＋∠AMB＝90°．

在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°， ∴∠MAB＝∠CMN． ∴Rt△ABM∽Rt△MCN． (2)∵Rt△ABM∽Rt△MCN，

ABBM4x，即

MCCN4xCNx24xCN

4yS梯形ABCN1x24x4(4) 2411x22x8(x2)210.

22当x＝2时，y取最大值，最大值为10． (3)∵∠B＝∠AMN＝90°， ∴要使△ABM∽△AMN，只需由(1)知

AMAB MNBMAMAB MNMC∴BM＝MC．

∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x＝2．

例5 如图13－8，在正方形ABCD中，AD＝12，点E是边CD上的动点(点E不与端点C，D重合)，AE的垂直平分线FP分别交AD，AE，BC于点F，H，G，交AB的延长线于点P．

图13－8

(1)设DE＝m(0＜m＜12)，试用含m的代数式表示(2)在(1)的条件下，当

FH的值； HGFH1时，求BP的长． HG2解

(1)如图13－9，过点H作MN∥AB，分别交AD，BC于M，N点．在正方形ABCD中，

图13－9

∵AD∥BC，∴△FMH∽△GNH．

FHMH HGHN∵FH垂直平分AF，

∴在△ADE中，H是AE的中点． 又∵MH∥DE，∴M是AD的中点． 11DEx.22由已知，不难得出四边形ABNM是矩形． ∴MN＝AB＝AD＝12． MHHN121x.21mFHMHm2,

1HGHN24m12m2其中0＜m＜12．

FH1m1时，，解得m＝8． HG224m2欲求BP的长，只要求AP的长．

在Rt△ADE中，∵AD＝12，DE＝8，

2 AE413,AH213,sinEAD13(2)当∵FP⊥AE于点H，∠DAP＝90°， ∴∠P＝∠EAD．

AH13, sinP∴BP＝AP－AB＝13－12＝1．

说明

(1)在解

(2)在解

图13－12

∵∠FDE＋∠4＝90°，

∴∠FDE＝∠1．∴△DEF∽△HGM．

DEEF HGGM而EF＝b－a，DE＝a，HG＝b－c，GM＝c， 即aba,得ac＝(b－a)(b－c)． bcc整理可知b(a＋c)＝b2，而b≠0，∴a＋c＝b．

例8 (2008哈尔滨市)已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE＝3，连接BE，与对角线AC相交于点M，则解

MC的值是______． AM2 3提示

注意题中给出的“点E在直线AD上”这个条件，因此有两种情况．

MCBC2；(2)AMAEMCBC2 点E在AD的延长线上时，如图13－13(b)，△CMB∽△AME，AMAE3(1)点E在线段AD上时，如图13－13(a)，△CBM∽△AEM．

图13－13

四、课标考试达标题 (一)选择题

1．如图13－14，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中共有相似三角形(

)．

图13－14 A．4对

B．5对 C．6对

D．7对

2．如图13－15所示，小刚身高AB为1.7m，测得他站立在阳光下的影子AC长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子AD长为1.1m，那么小刚举起的手臂BE超出头顶

(

)．

图13－15 A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m 3．如图13－16，在△ABC中，AB＞AC，过AC边上一点D作直线与AB相交，使得构成的新三角形与△ABC相似，这样的直线共有(

)．

图13－16 A．1条

B．2条 C．3条

D．4条

4．如图13－17，王华同学晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于(

)．

图13－17 A．4.5米

B．6米 C．7.2米

D．8米

5．如图13－18，在8×8正方形的网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在(

)．

图13－18 A．P1处

B．P2处 C．P3处

D．P4处

6．如图13－19，把△PQR沿着PQ的方向平移到△P′Q′R′的位置，它们重叠部分的面积是△PQR面积的一半，若PQ＝2，则此三角形移动的距离PP′是(

)．

图13－19 A．1 2B．

22

C．1

D．21

(二)填空题

7．已知：如图13－20，在△ABC中，AD∶DB＝1∶2，DE∥BC交AC于E，若△ABC的面积等于81，则四边形BCED的面积为______．

图13－20 8．如图13－21，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，点G，H在DC边上，BC＝12，GH1DC.若AB＝10，则图中阴影部分的面积为______． 2

图13－21 9．如图13－22，△ABC与△A′B′C′的位似中心为点O，若AB＝2，A′B′＝5，则△ABC与△A′B′C′的面积比是______，AC与A′C′的比是______．

图13－22 10．如图13－23，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作

11．如图13－24，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC，BE．若∠BDE＋∠BCE＝180°，写出图中三对相似三角形(注意：不得加字母和线)；请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由．

图13－24

12．如图13－25，在□ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE．F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．

图13－25 (1)求证：△ABF∽△EAD；

(2)若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长；

(3)在(1)、(2)的条件下，若AD＝3，求BF的长．(计算结果可含根号)

13．如图13－26，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

图13－26 (1)求梯形ABCD的面积；

(2)求四边形MEFN面积的最大值；

(3)试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，写出正方形MEFN的面积．

参考答案

推荐第8篇：矩阵理论听后感

矩阵理论听后感

09级矩阵理论小结（1-16） 生一：（020090015） 我与矩阵论

矩阵是一个重要的数学工具，这是本科线性代数第一章矩阵的第一句话。为什么重要，当时的我并说不出一个缘由，大概只因为这是一门公共必修课，以至于学完这门课之后，我也没有看到有何应用所在，特别是和自己学的化学又有何联系呢。到大二接触结构化学，计算轨道和能级时发现，原来曾经盲目学习过的矩阵求逆，初等变换还是有其用武之地的，再到后来接触matlab软件，从使用内置函数到编写M文件，瞬间感悟，矩阵深入到了数值求解的每个领域。研究生阶段继续学习矩阵分析，不再因为是必选，而是必须。看到计算材料力学性能的论文里频繁提到的Jordan标准型，矩阵函数求解，LU分解等曾经陌生的概念，自己才发现当年学习的矩阵知识何其浅薄。 许多人说，矩阵分析是线性代数的后续和扩展，学完之后，我有所同感，但更觉得线性代数包含于矩阵分析。从线性代数里的实向量空间延伸到线性空间，从向量的乘积扩展到内积空间„„以自己的研究课题为例，计算材料力学性能时，采用了弹簧格子模型，计算中涉及到求解大规模稀疏线性方程组，这个问题如果能够通过调整方程及未知量的顺序使得方程组的系数矩阵成带状结构即可大为简化，对系数矩阵使用LU分解，即可保障单位下三角矩阵L及三角矩阵U仍为带状结构，恐怕这个问题使用本科线性代数就有点力不从心，但不可否认离不开线性代数。矩阵分析中为了不至于研究空间太大，引入了子空间，为了得到矩阵的极限，引入了矩阵范数作为一元衡量尺度。在最后部分，我们提到了矩阵函数，这是研究矩阵的分析运算，但似乎更贴近实用，如我们常碰到的求解一阶线性常系数微分方程组定解问题在这一部分就有谈到。

数学是一个庞大的学科，每学完一门课程，就会对该领域有了一个更深入的认识。但数学里的各个门类又有密切关联，解决一个实际问题需要用到多方面的知识，虽然学习数学这门课程许多年，但仍只知皮毛，对于矩阵的了解，我想同样也是略知一二。矩阵分析及其应用课程是学完了，但仍感觉路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！ 最后，感谢老师带给我对矩阵、对数学的新认识！

生二：（020090062） 我与矩阵论

与矩阵论认识之前结识了线性代数，本科的线性代数的学习过程有些起伏，初学感觉比较容易，向量等一些知识在高中或高等数学里已经接触过，学着学着就开始抽象了，开始不那么容易了，又开始理清头绪。最后总算基本弄清楚。

研究生阶段接触矩阵论是在学习矩阵理论这门课之前.导师给的一个课题是Subspace-based model-free H∞control，问题来了，Subspace、H∞都没接触过，自己开始查阅矩阵方面资料书籍，找到了子空间与H∞范数的概念，但是仅凭那概念的几行字还是不能理解子空间方法和H∞范数为什么应用在控制领域。带着诸多疑问进入了研一下的矩阵论课程的学习。通过课程的学习和自己在研究中的思考，慢慢形成了自己对矩阵的理解。虽然前面学的是线性代数，但越来越觉得矩阵论里几何学的意味，在子空间方法的H∞控制的文献里，子空间的投影映射等都是几何学里对应的，A/B，A/cB等都是用几何描述并加以运用的。在我学习矩阵论的过程中，几何学的思想起了很大的作用，空间的基，坐标，映射，都是先在头脑里建立起2维或3维图像加以理解并推广到多维的，虽然多维的空间已经不能用传统的图形来表示，但是可以先通过低维来理解。在课题的研究中，运用了大量的矩阵论的方法与思想，QR分解，SVD，范数，在实际的应用中就要求我对矩阵有更多的了解。QR分解的matlab实现中就发现matlab运算结果与书本的例题结果不一致，诸如此类，都加深了对矩阵论的理解。

作为控制科学与工程的硕博研究生，今后的学习中将会有大量的矩阵论知识的应用，这就要求我打好矩阵论的基础，但我觉得最重要的还是空间思想的建立与成熟。在解决问题的时候有空间的思想，或许能发现类似于子空间方法的H∞控制这样的新方法运用在控制中。

生三：（020090067） 我与矩阵论

作为一个理工科学生，一直对数学很感兴趣，成绩一直都还不错。随着从小到大数学的学习过程，我发现一个问题，大家都能很熟练的（地）应用一些理论公式，解决现在的考试问题，但是不理解这些理论的原理，导致大家都依葫芦画瓢的（地）解决一些问题，但不会把它扩展、应用到更深层次上。

本人觉得李老师的授课方式还是很不错，能把理论与形象的几何或其它结合在一起。学习枯燥的理论知识很乏味，导致大家不愿意接近数学。但是把那些理论与实际相结合，或用直观形象的图形表示出来的话，能让学生更任意接受。

我是工科学生，免不了要用到模式识别方面的知识。矩阵在模式识别中的应用很多，尤其是范数，在分类中的作用非常大，范数理论在机器学习、模式识别中起着举足轻重的作用。矩阵范数反映了线性映射，所以在理解SVM（支持向量机）中很有帮助。可以把一个空间的数据先映射到高维空间，然后再变换回来。

可能是缺少了考研的洗礼，所以刚开始学习矩阵理论的时候，理解起来比较吃力，还得翻出大学时用到的书本，借助其他矩阵论方面的书，结合在一起理解。现在对矩阵论算是比较了解，但是这个整体框架还是把握不住，对您课件中经常看到的矩阵的整体框架有些还是不理解，可能自己的知识，还是很欠缺，需要加强。

我觉得涉及到矩阵的知识可以应用到很多领域，我建议李老师在授课的过程中把理论知识讲清楚了，还可以把它用到一个很简单的应用实例上，便于大家了解，我想学这门课的学生大部分都是工科学生，在平时的学习研究中都会用到这些知识，李老师举一些实例，学生应该都能够理解，可以加深对这些知识的印象。

最后，非常感谢李老师在这一学期对我们的指导，让我们学到了很多。如果在以后研究过程中有什么不理解的知识，可能还会麻烦到李老师，希望李老师（届时）能给予我们帮助，在此非常感谢。

生四：（020090068） 我与矩阵论

作为矩阵论的一门基础课，线性代数及其应用是读本科时的第一门比较难懂的课程，尽管经过自己的努力也顺利通过了考试，但对其应用还是没有任何感性认识，只知道可以用来解方程。

大三时，现代控制理论作为一门考研课程被提前学习。在这门课里，我第一次知道了用矩阵来表示状态变量、状态空间，将单变量推广到多变量，用一个个矩阵来表示一个个状态，真是一件非常奇妙的事情，而且所有系统的稳定性，可控可观性都可以通过矩阵来计算„„这些使我认识到整个控制理论应该就是建立在矩阵论的基础之上。 对矩阵的第一次感性认识源自电力电子课程的矩阵变换器。它完全利用了矩阵的特点，将所有的连接线横竖排列，每个支点处理一个开关，通过切换不同的开关闭合状态，可以实现任意相数的整流和逆变。当时学完这门课程除了惊叹开发出这种变换器的人是个天才之外，更是对矩阵这种美妙结构的重新认识。

读了研究生，发现matlab是一门必修的课程，因为几乎所有算法、仿真，都可以通过matlab完成，而经过初步学习，我发现在matlab里面，所有的参数、变量，都是一个矩阵，而这些矩阵的组合、排列居然可以解决诸如微积分、非线性方程等以前认为跟矩阵完全不相关的问题。我对矩阵论的认识又有了进一步的变化，我觉得它不仅是控制理论的基础，甚至可以作为整个数学的基础之一。

从学科的角度来讲，世界上公认为数学是所有学科的基础，因而是最美妙的一门科学，也吸引着全世界最聪明的人加入其中。而作为这门学科的基础，矩阵论是探索这门学科的最有效工具。

认识总是随着时间和已有知识的积累在不断修正，我对矩阵论的认识也大致如此。从一开始的认为只能解线性方程，到如今发现它的几乎无所不能，我想我收获到的不仅仅是这种简单的知识，更是一种世界观，那就是对所有的事物都不要轻易地下定论。同时，当我们知道的越多，就会发现未知的东西越多。作为一门已经发展了一百多年的学科，我对矩阵论的认识只是沧海一粟，唯有终身学习，不断探索，才可能真正领悟到其中之真谛，我亦将为此付诸行动。 非常感谢李老师的教导。

生五：（020090070） 我与矩阵论

时间飞逝，一个学期的课程就这样快要结束了。在这个学期，有专业课的高深，有英语课的无趣，幸有李老师那幽默风趣的矩阵理论课，使我这个本来索然无味的学期变得丰富多彩。

第一次看到矩阵理论这门课的时候是在大四。当时正值做毕业设计的时候，天天在实验室。在快期末的时候，看见学长们在看矩阵理论的课件，就非常好奇的（地）看了两眼，可能是他们正在看的东西比较容易，当时就觉得矩阵理论和本科时所学的线性代数没有什么不同，因此也没有太留意，只是觉得矩阵理论比较容易，又是一门能够轻松搞定的数学课。

但是事与愿违，当第一次真正学习这门课的时候其实矩阵理论并没有那么简单。可能是因为我是保研的缘故，在大四的时候没有重新复习过线性代数，很多概念与解题思路有所遗忘，亦或是矩阵理论的内容直接将我们对数学的认识提高到了一个新的台阶。因此总感觉学习矩阵理论没有我想象中来的那么的容易。

例如在线性变换的矩阵表示这一节中为什么一个2X2阶的矩阵，最后会变成一个4X4阶的矩阵，我一直搞不明白。虽然从书上例题中，我了解了如何解类似的题目，但是就是不明白为什么。看书上和PPt上对该题的说明也总觉得是一头雾水，一知半解，就是无法理解其中的奥妙，后来通过对线性代数的复习，以及对书和PPt进一步地研究终于理解了其中的奥妙。

后来在李老师的blog上看了一篇杂谈，是关于矩阵论的。在这篇文章中，作者主要写了矩阵论的含义，以及矩阵论从浅到深的知识要点，使我茅塞顿开。回顾已经学过的矩阵知识，我发现我们所学的知识其实就是按照这个思路来的，这使我兴奋异常。

虽然我现在在我所研究的领域中还未用到矩阵理论的知识，但是根据我的了解，在计算机领域，例如模式识别、人工智能、图像处理等方面都会使用到矩阵理论的知识。因此对于我们计算机系来说矩阵理论是一门非常重要的课程，要努力地、好好地学。

在此感谢李老师这一学期教导。由于您的心血，使我学好了这门课程，因为您的风趣和幽默使我喜欢上了这门课程。最后，我想说的是我和矩阵理论的缘份还会继续下去。

生六：（030090448） 我与矩阵论

刚开始学习矩阵论的时候，真的是感到一头的雾水，茫然不知所措。虽然有过大学里学习的线性代数的基础，但由于那已成为遥远的往事，年代久远，除了些基础与框架，其余都差不多忘却了。再加上矩阵论的第一章就讲线性空间，线性变换，直接从已（以）往直观的二三维抽象到了n维，确实无法立即适应。但是庆幸的是，我有个好的矩阵论的老师，随着李老师每堂课深入浅出，富有激情与活力的讲解，我渐渐地入门了，而且也从这门课程的学习，从李老师的讲解中领悟到了许多学习的方法。

在所有的感悟中，有体会到最深刻的当属类比法。这在学习矩阵分析及其应用这章时，尤为明显。在次（此）之前，在高中大学阶段，我学习过数列、函数以及微积分等知识，那时的自变与应（因）变量、元素等都是一个数的概念。而在学习矩阵分析与应用时，我们把矩阵看成一个“超数”，通过类比的方法，得到了矩阵序列及其敛散性的判别法则；同样也是通过类比的方法，我们轻而易举地得到了矩阵函数及其运算规律，虽然在一些细微的地方与先前的函数法则规律有所区别，但是总体上来讲，除了有了新的概念扩展，其余的几乎是神似而又形似。通过类比法，使我对不熟悉的领域，有了一个快速、准确而又全面的了解，不失为学习矩阵论时的良方。

当然，除了类比法，在学习矩阵论的过程中，还有其它众多的能够对理解、学习矩阵论有帮助的方法，如演绎法、归纳法等。在第一章学习的过程中，随着老师的讲解与自己的琢磨，我发现其实线性空间也就是在总结归纳了之前一些空间的性质与规律（个人感觉可能取了向量空间的经），然后演绎到n维空间甚至于无限维空间（当然这个我们没学，估计是考虑到n维空间可用矩阵表示，而无限维相对麻烦）。同样，在学习矩阵的标准型的时候，因为对角阵而常得，从而通过演绎得到了Jordan标准型。种种如此，在整个矩阵论中数不胜数，可见理解这两种方法对理解矩阵论中，为什么会产生一些新的概念与新的矩阵形式，是有一定的帮助的，因为通过如此，你能了解到矩阵论中每一部份（分）知识的作用，从而在整体上对矩阵论有个把握，学习起来也就事半功倍了。

总之，通过这门矩阵论的学习以及李老师的讲解，我得到的不仅仅是矩阵论的知识，更重要的是如上所述的思想方法，因为知识易忘，而思想的精神、学习的方法是长存的。

2010.6.

5生七：（030090465） 我与矩阵论

马上矩阵论的课程就已经结课了，从选课时对矩阵论的一知半解，认为它就是用来解方程组的另一种方法，与大学所学的线性代数相似，到上了课才真正知道它的难度，特别是出现了一些新的概念和定义让我迷惑了很长时间。从大学开始，我的数学成绩就一直不怎么样，主要的原因是很多时候我认为数学是为现实生活服务的，每学一种新的理论总要找出它的应用。矩阵论我想也是一样的，（因此我）努力的寻找它在现实中的应用。

给我印象最深的应该是在内积空间的学习这一章。老师用课件给我们讲了各类空间的层次关系。从那时起我才有一些明白矩阵论在空间研究的重要性。，不应只局限于解释方程组，空间不仅有一维、二维、三维。现在应用更多的空间还有内积空间，欧式空间，完全超出了我所看到的三维空间的概念，就像老师今天所讲的，四维空间经过几何观测的奇异值分解转化为球形空间一样。

然后就是正交投影还有它的应用方面，（我）了解（到它）不仅是（在）微分方程的有限元方法有应用，而且在最优化极值求法、控制通信等学科的应用都和正交投影有密切关系，这让我想到现代通讯中使用的交换机工作原理。在打电话时，通话可以由不同频率的电流传送，或转换成数字信号；电话交换系统自动选择最佳通话路径，并发出一连串指令。自动选择的路线则由节省的距离和时间来决定。而电话线路总是被看作有一个多维的复杂空间几何立体形来看，这正是用到正交投影的知识、最小二乘法及其单纯形算法。

在当今计算机日渐普遍的情况下，有很多计算量很大的工程都可以轻松得到解决，这同时也加快了矩阵理论的发展和应用。通过对矩阵论的学习，首先是加固了我对数学的认识，扩展了知识面，对将来更深一步的学习数学打下了基础，其次学习矩阵论的过程中我学会了使用matlab软件，虽然还不是十分熟练，但终于会用了。在老师的博客上我看到很多新的观点思想，看完之后让我开朗（窍）了很多。最后十分幸运能选修这门课，认识了在网上可与学生畅所欲言的老师。

生八：（030090487）

学习矩阵理论后，我对学习的思考

在科学技术和工程应用中，矩阵理论的重要性和应用的广泛性是众所周知的。我作为一名机械专业的学生，在学完“现代控制理论”这门课后深感“矩阵理论”这门课的重要性。“矩阵理论”与Matlab的结合使得处理问题更加方便。但与此同时，我在学习“现代控制理论”时也感觉到“矩阵理论”是一门非常难的学科。庆幸的是我遇到了一位非常负责的老师，他强调抽象内容的矩阵处理技巧，使问题的描述形式和处理方法简洁，这样我们就可以有效的利用矩阵这一数学工具，同时通过自己学习数学处理软件想Matlab，Maple等，把这些软件与矩阵结合起来能更有效的处理工程问题。

通过老师的讲解，自己学到了一些矩阵的知识，但从老师的思路来看，我更多的是学习了一种看问题、解决问题的思路。老师让我知道最重要的不是知识本身这个形而下，而是以矩阵作为基础，努力通过某种事件，同时深入独立思考而体悟到的形而上，即《老子》中的“常道”，即思维能力的提高，精神境界的提高与升华。听老师讲矩阵，大都是从其起源，或者用几何或者通俗易懂的图形语言出发，这样我得到了很多灵感，也有很多的感悟，一些很深奥的知识是能从最基本的定理出发，只要能表达清楚，别人能看懂便是好知识。李老师让我明白只有掌握知识的源头，我才有机会驾驭知识，发展知识，创新知识，而不是被知识所驾驭，成为存储知识的载体，要做到“活水源头”这样的境界。

李老师改变了我研究生期间对老师的印象，大多数老师都是考前给学生划重点，甚至给我们试题范围，让我们不费吹灰之力都能考个八九十分，这样虽然我们面子上是满足了，但是基础知识很薄弱，而李老师并不和其他老师一样，他不给我们试题范围，只是让我们自己分析哪里会考，和注重基础，只有对所学知识（没）有个很好的理解才能考出理想的分数，我想这就是厚积薄发的。现在我做项目，经常觉得知识不够用，对所学的知识没有任何印象，想想这也许就是只重外表、不重内在修养的表现吧。

现在我们国家，讲求创新，但像我这样的基础知识太差，或者没有基础，脑子里没有知识储备，我想是很难创新的，遇到不会、不懂的问题就去查文献，把别人的拿过来解决自己的问题，这样也只能是“引进再创新”，无法达到“原始性创新”。我想学习了矩阵理论，让我明白知识需要积累，再难的知识也需要我去理解掌握，要想在某方面取得成功，必须对此相关的知识的储备有大量的积累。

生九：（030090562） 我与矩阵论

矩阵，初一上课对我来说已不是陌生的。本科的学习，考研路上的辛苦，对于矩阵可以说是有一种复杂的感觉。之前的学习过程很枯燥，面对着考试，都说想了解一样东西，要先爱上这个东西，但那时候的我真的没有爱上矩阵这个朋友。

或许是因为这段时间经历了一些，变得开始会思考了，所以这次的课堂让我收获颇多。

您的上课对我最大的感觉是原来数学也是可以这个样子的。不用那么刻板，不用那么按部就班，第一节课就把上课时间调整到了8：30，为了能迁就一下我们。而且从你的博客里面，看到了不一样的老师，您明白学生在想什么，喜欢说两句古文，还有一个穴居人的个性名字。 在您的课堂上，数学、矩阵，不仅仅局限在那小小的一间屋子，您总说学到了知识，很长时间不用了就会遗忘，但教会了方法，你就掌握了这项技能。您授我们渔，让我们以后可以自己捕鱼。矩阵，数学不再是简简单单的数字了，它可以成为一种思想，一种看问题、想问题、处理问题的思想。

表面上，矩阵是行列式的计算，但是，慢慢的，我发现了很多有趣的事情。两个行列式看上去完全不一样，但是通过一系列变化，它们其实是同一个。会发现有的时候，费力解出来了，还有（更）简便的方法，很奇妙。就像一种方法，没有什么和什么是完全独立的，任何东西都是可以通过分解、转化，找到一个中间量让他们发生关系的。对于行列式有了基，有了坐标，就有了运算。有了变换，有了联系，再加内积，带入角度，我们从平面走入了空间。矩阵也有自己最基本的样子，也有自己改变不了的。我们通过标准型去认识它们，分别它们。矩阵也是可以分解的。我们可以从局部入手，一点点去发现，一点点去解决。虽然在解一个矩阵、一个行列式时，是数字在发生关系，可实际上是我们在分解，在变换，在联系，在重新组合，让纸上的那些数字发生了一个奇妙的过程。

虽然，您的课是一门数学课。原本我认为应该枯燥无味的数字，但您赋予了它们一些新的东西，让我学到了一些不一样的东西。我想，这种思考的方法，会伴随我很长很长时间。

生十：（030090591） 学《矩阵理论》小感

记得当初选《矩阵理论》的时候，心中的无奈，对数学的感觉总是又爱又恨，从小，老师就教导我们，要好好学习数学，对提高智商有帮助，优质的我当年哪懂什么是智商，只懂得数学不及格，回家少不了一顿思想教育课，高考以及格分升入大学让我满意，研究生考试以刚入线的成绩顺利“升级”，对数学，从不敢有何奢望。

而当我上了第一次课后，却有了对数学新的认识：苦（枯）燥的数学在老师的课堂上变得生动起来，听老师对数学、对矩阵、对线性代数的解析，突然感到，原来数学也可以当作一种艺术来看待。那些数学符号在我的面前生动起来，虽陌生但有了初见亲切感。而老师的严密的思维，逻辑的能力让我倍感到，数学是可以指导人的思维，锻炼人的能力，而自己虽无深解，却能小尝一下数学带给自己的好处，例如，在平时繁杂的实验过程中，遇到一些问题的时候，数学课堂上的某些分析问题的方法会突然出现在脑海中，不知道这算得上是数学给自己的灵感吗，呵呵，反正，有时还挺有用的。

去年学习了Matlab课程，今年又修了《矩阵理论》，自己还真给数学挷（绑）上了，想到研究生课程或将结束，就会特别珍惜每一节课，心里知道，大学里的学习不是结束，数学的学习才刚开始。在李老师的博客中，读哪（那）些数学大师级别的文字，发现数学冷酷的外表下，是完美的艺术，才知道，自己把数学当敌人，他们把数学当朋友，从他们的文字中，我更感受到了数学对他们精神上的熏陶，他们的科学素养让人佩服。

爱因斯坦曾说：“在学校里和生活中，工作的最重要动机是工作中的乐趣”。李老师通过提升我们学数学的兴趣来向我们推销他的这门课（虽然感受到课程还有点难，呵），打破了我对数学的恐惧，进而对数学有了兴趣，让自己有了战胜他的信心，两千年前的孔子大人曾言：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。这种境界面前，自己只有敬佩之心。

在学习这门《矩阵理论》课程的过程中，自己通过上网和其他途径，去了解数学的一些趣闻和源（渊）源历史，才知道历史上一些优秀的科技高手、大师人物都是对数学推崇至极，这让自己庆幸，能在研究生阶段有十几周的时间学习数学，认识数学是“敌”是“友”，呵呵！ 就这样吧，高深的见解也写不出，语文功底不容乐观，请见谅，最后，希望自己能在一伙的学习和生活中，用学到的一点数学思想指导自己的行为，特别是逻辑能力（至少写个文章不用东一句，西一句的），也希望祖国的数学事业蒸蒸日上，人才辈出！（估计和我关系不大）2010.6.5

生十一：（030090625） 对矩阵理论中分析思想的认识

从小学、中学的数学和几何的学习，一直到大学的高等数学的，数学一直是我的强项。数学学习到线性代数中的矩阵开始，矩阵成了我的恶（噩）梦。线性代数，矩阵理论成了学习生涯中最大的高山。现在还在担心刚过去的矩阵理论考试。虽然矩阵理论的知识没有学习好，但对矩阵理论中的分析思想有点认识和看法。

第一个感触是矩阵理论中的化简思想。天道酬勤，天道酬简，简单是我们一直追求的目标，把书读厚是过程，把书读薄了才算是掌握住了。在矩阵理论（中），有较多的标准型，这就是试图用最简单的标准来表达各种复杂现象。哲学是一切学科的科学，在概括和内涵上，数学和哲学存在着相似。一个复杂的物理现象，很多时候用一个公式就可以表达。爱因斯坦的E=mC2把核变能量（的表达问题）得以解决。矩阵也是在线性代数的基础（上）抽象出来的，矩阵的大熔炉里包罗万象。我们的社会，也可以看成一个矩阵，每个人或物是矩阵的点，在矩阵内或矩阵间进行各种运算和转换。所以矩阵是数学高度抽象后化简的结果。由于抽象，数学不在（再）讨论的是每个问题的解决办法，而是这些问题的统一办法。

第二个感触是融合的思想。学习数学十八年了，以前看数学都是一（以）章节进行划分的。我知道每个章节讲述的是什么内容，这些章节之间联系也较紧密，但自己没有建立自己的数学体系结构。对于从事数学相关工作的人来讲，没有自己的数学体系就好像没有自己的世界观体系。每次听李老师讲这个那个数学家的方法和理论，真是如数家珍。回去想想才明白这么多年的数学学习，我学习的不是数学，而是数学中的知识点。只有把这些知识点融合成了数学体系，才算是真正意义上的学习数学吧。

第三个感触是标准化规范化思想。标准规范是现代社会运行正常所必不可少的。标准规范思想在数学中得到了完全体现。现在大量的数学计算早已经不需要人工计算了，计算机在这方面把人类解放了，可是计算机只认识0和1，人所需要做的就是建立标准规范，让计算机按这些标准规范去做。比如线性方程组，复杂的方程组很难人工计算，我们引进矩阵，引进矩阵的LU分解，之后的计算完全就可以交给计算机了。

最后，我想谈谈对矩阵理论课及其他数学教育的看法。说实话，矩阵理论中的知识点对我研究生阶段的科研没有太大帮助，半年之后很快就忘记了。我也是为了学校学分的要求才选了这门课。知识点虽然忘记了，这学科中的思想却在脑海中牢记。如果能领悟这些运用的思想，一定受益匪浅。我想这也是李老师让我们完成这篇论文的原因之一吧。

生十二：（030090704） 我与矩阵论

选择矩阵论这门课程，说起来也是一种偶然。学期开始选课时，可以说有多种选择：组合最优化，神经网络和矩阵分析及其应用。最后在听信多位师兄组合最优化比较好考的言论下，我选择了《神经网络》这门课程，但三周的课下来，真真实实的感觉到这门课不是我想学的，关键是学不能致用。经过激烈的思想斗争，在内心还仅存的一点敢于接受挑战的勇气作用下，我选择了与我本科时就很头疼疯人线性代数关系较大的《矩阵分析及其应用》这门课，并在第三周改选成功。 我自己认为，作为一名工科学生，矩阵方法已成为科研领域不可或缺的一种研究工具。这学期所学的课程中，比如有限元分析及其应用等多门课程都与矩阵理论有关，这更加坚定了我学好这门课的信心。但我也知道，在大学里高等代数（高等数学）、线性代数、概率等数学课都没学得很好的我，要想在这种基础不扎实的情况下学好矩阵论是有一定难度的。所以一开始上这门课后，我赶紧从图书馆借来了《线性代数》，恶补了一下以前的知识。

一个学期下来，尽管自己努力了，但感自己脑海中对矩阵论的概念仍然模模忽忽（糊糊），不能说没学得东西，但感觉学到的知识点如线性空间及变换、内积空间、标准型、矩阵分解等都是一些强化记忆的概念和证明，并没有把这些知识点窜（串）联起来，真正把它理解了并形成一个知识网络，这就导致了我与矩阵论之间的这种像雾像雨又像风的感受。

学习的过程有经验也有教训，简单的概括一下。

1、学习矩阵论的每一个知识点时，应该弄清起（楚）这个知识点比如“内积”，有什么作用，及他的由来，然后才是证明，知道他有什么作用才是学习动力，在这种动力下的记忆，才更长久。

2、建议有条件老师可以布置几个作业，强迫同学们进行练习。我大学各门数学课没学好最大的体会就是题目基本没做过，没练过，眼高手低。

3、数学基础不是太好的同学，一定要从基础抓起，补习一下以前的线性代数知识。

作为一名委培生，本身已经工作了五年时间，数学的知识点在老汉子已经模糊到不可识别的地步。重拾以前的数学知识，学习这门最难的课程之一的矩阵论，对我来说应该是一个很大的挑战，上课听不懂，课下看书进度又很慢，内心的焦急可想而知了。这学期，我用在课程上70%的精力基本都花在了矩阵理论这门课上，但我自认为没能学好这门课。

纠节（结）的时候，无意中看到老师的博客，里面的《什么是范数》、《理解矩阵》、《矩阵理论》和《闲话矩阵》等博文我都一一拜读，感觉受益匪浅，自认为这种系统性、平民式的以普通人的视角出发，强调对数学概念和规则的直觉的理解思路，更容易理解一些。所以非常感谢老师贴出这么好的东西。或许这也可能成为我数学学习的转折点吧。 还有1个月的时间，我会更加努力复习的，因为我知道自己基础不好。希望我能成功，也希望大家都能取得好的成绩，虽然考试不是最终目的，呵呵！

生十三：（030090723） 我与矩阵论

对于即将结束的矩阵论这门课，我有很多想法要诉说。这是一门让我难忘，给我莫大收获的一门课，也许是最后一次课的原因，我们可以用座无虚席来形容那空前的盛况，后来的两位同学就没有了座位。 李老师是个极具人格魅力的老师，课堂上他用寓教于乐的方式向我们传道授业解惑。他操着一口不是特别标准的普通话，在课件与黑板之间来回穿梭着。为什么要这样呢,也许你要问，很多老师讲课不都是只对着课件一股脑的说下去么。这也就是我对这门课程最感兴趣的地方。在我看来，这种方式能很好的让学生参与进去，与老师共同思考，每次老师在黑板上推导一些定理的时候，大家的思绪也都很好地保持着与老师的步调一致。这不仅让学生可以跟得上老师，也让老师能更好的、更清楚的了解学生对知识的掌握程度。还有一点我要说的是，看得出来，生活中的李老师是个充满热情、时尚的达人。有别于传统印象中老师常是一副刻板不懂生活的形象。他竟然也有自己的博客，还会在上面谈论些对这门课的一些见解，也对课上的一些心得体会在博客中进行阐述，与学生沟通交流。这也让学生更全面、多角度的了解了我们的李老师。最让我记忆犹新的是博客中有的同学称呼老师为根哥。足见学生对老师的认可。可以说这门课开的非常成功。无论从知识的层面还是从做人的一些哲理性思考，这对于选修这门课的同学都是一笔宝贵的财富。

为了让这篇文章显得更具有专业水准，我还是谈一谈我对矩阵论的一些见解吧。

矩阵论概念和线性代数学科的引进和发展是源于研究线性方程组系数而产生的行列式的发展。莱布尼兹，微积分学的两个奠基人之一，在1693年使用了行列式，克莱姆于1750年提出了用行列式求解线性方程组的公式（即今天的克莱姆法则）。相对比地，行列式的隐含使用最早出现在18世纪晚期拉格朗日关于双线性的著作里，拉格朗日希望刻画多变量函数的极大值与极小值。

其实，对于理论知识，说的再多，也无非是一种班门弄斧的表演，李老师对于理论知识的了解是我倾尽毕生精力也难以与之抗衡的，所以就此收笔，最后说一声李老师辛苦了。期待有机会可以与李老师在矩阵论与人生哲学方面切磋。

生十四：（030090727） 我与矩阵论

从最初在本科学习线性代数到研究生阶段学习矩阵理论，对于矩阵也或多或少有了点认识。本科阶段而言，学习线性代数，目的仅仅是获得学分，也没想到在今后的学习、研究中可以将其作为一种工具。毕业后回顾4年来所学的学科，发现线性代数根本没有高等数学以及概率论用的多。进入研究生阶段，一个简单的问题引起了我对矩阵理论的兴趣。记得上学期学最优化这门课，书上出现了f(x)=xTAx+bTx+c,然后对其求偏导，即Θf(x)/Θx=2Ax+b,当时的我一头雾水，觉得bTx对x求导也应该是 bT，怎么会出现b这样的结果？当时也只是死记公式，没有去查明原因。到了研一上学期末，基于下学期有矩阵理论这门课，去图书馆借了两本参考书。在翻阅课本时，无意中见到了矩阵函数及函数矩阵这一章节，细看该节内容后，终于能解答上面那个令我困惑的问题了。

学习了矩阵论后，或多或少地有些感触。个人仅觉得矩阵论主要研究的是线性空间以及线性空间中的一些操作等，主要是线性变换。由于书中围绕有限维的情况展开讨论，从而使得我们可以用向量、矩阵来表示线性空间和线性变换。正如老师所说，我们不一定需要清楚地了解具体的一些计算究竟是怎么算的，但关键的是要知道各个概念和方法的实际意义，各个概念之间的关系。我的研究方向是图像处理，因此矩阵论的知识必不可少。下面结合自己最近所学的课程以及研究的课题来讨论矩阵论对我的帮助。记得在正交变换这一章里，老师还分别介绍了Givens变换、Householder变换等。映（印）象最深的莫过于Givens变换，因为在图像处理中，我们需要通过Givens变换对图像进行旋转以至于把图像的中心变成原点，这样做也可以使得图像旋转后的傅立叶变换是中心的一个亮点，这样我们可以扩大图像的范围以显示所有的图像，这对图像进行的后续工作很有帮助。此时用到的Givens公式为[x1,y1,1]T=G12(a) [x0,y0,1]T，x1与y1为旋转后的坐标,。由于数字图像中像素坐标只能为整数，旋转任意角度后由正向映射法求出的坐标值往往为小数，这样就会有未被赋值的“空”像素。为了避免这种情况发生，图像旋转中一般采用逆向映射法，即由变换后的映射图像的像素的坐标值推出在原图像中对应的坐标值。逆运算公式也就转化为：[x0,y0,1]T=G12( - a) [x1,y1,1]T。可见矩阵论中的许多变换在工程应用中有着很大的作用。

再拿最近所学的现代信号处理来说，今天所学的奇异值分解在信号处理中也有所运用。诸如ARMA模型中AR阶数的确定就使用了SVD方法。还有在Yule-Walker方程中，也使用了矩阵论中的知识来求解自相关矩阵等。

结合了自己的研究方向来认识矩阵理论，发现矩阵论确实是工程中必不可少的一件工具。虽然对于矩阵论中的知识不能做到全面了解，但是发现能将对研究起作用的那部分知识拿来运用就可以了。

最后谢谢老师上课的态度，让我接触到了一些其他课本上不涉及的针对工程应用中的知识。

生十五：（030090752） 矩阵论漫想

最初认识“矩阵”是在本科期间学习线性代数之一门数学类必须（修）课。其中印象最深的便是，矩阵这种形式看似简单、运算相对固定有规律，但是实际上，矩阵的运算、变换等，可以将很多在代数领域，微分、积分等领域的复杂问题求解变得如此简单。当时，学习也就这些体会觉得矩阵运算蛮神秘。

如今，读研期间，突然发现研究生课程中也有一门研究矩阵的学科----《矩阵理论》，而且它更是线性代数的更级与提升。于是，我亦怀着十分崇敬之心来学习它。

矩阵的诞生源于数学大家的思考与应用，并随着时间的推移，产生出更多更强的法则。研究生期间，学习《现代控制理论》，最先接触了线性空间变换，以及矩阵的分解等，这都是矩阵理论的应用。当李老师讲到矩阵理论中有关这些的更深层次的理解时，觉得自己的体会又加深了。似乎控制界研究到最后，就是在“玩矩阵”、“玩数字游戏”。事实上，的确是这样。数学的每一处细细的分支，都会与相关学科紧密结合，并产生出较大的实用价值。看来，数学课从小学讲到博士，是很有必要的，而矩阵分析、矩阵理论更是解决复杂现实问题的有力工具之一。

老实说，我每次上课都在听讲自己觉得讲得好的地方，特别是老师讲到一些能够能（用）来类比、类推、归纳、外扩的知识点时，我就感到原来矩阵可以这样理解，空间可以这样的无限扩张，第一次感觉到思想跟不上矩阵空间的外延与扩张的速度。这样的知识点，有其相似性，又有其不同之处，但是通过一种知识的理解，自己也可以像“数学大师”那样信手一粘，便可以按照自己的构想来扩展一种属于自己的“空间”，真是觉得数学奇妙而无限。

在老师讲到空间变换的时候，更是觉得我对矩阵的理解再次在空间上有了飞跃。虽然一些名词第一次听说，但是觉得只要有了一些基础的知识作为铺垫，那么矩阵的上层理论又是在一层一层的搭建，并且，让人会觉得，“就该这么搭建”，“就是朝这个方向发展”。正交变换也许是比较熟悉的，但是，当老师讲到“复数空间”也可以来一个相似的“酉变换”的时候，我感觉，线性代数讲得真是太基础了，矩阵分析、矩阵理论，这才是值得分析、值得研究的地方，因为它能够衍生出很多相关理论，能够再次搭建高楼！这些理论成果，一旦与具体专业领域问题相结合，便会有更多更大的成就。

最后，课堂上又开始讲起了分解，对的，矩阵的分解。这些分解方法，如LU分解，QR分解，其实便是算成矩阵的应用了，是在大楼的框架里玩起了游戏。这些，可能会更具体，最有利于矩阵求解运算，是对理论大厦的一种细细雕刻。

参考了找来的资料，我还了解到矩阵及矩阵分析的历史、产生原因等，以及矩阵到底会带来些什么。我感触很深，因为数学工具（当然，矩阵分析也是一种数学处理工具）的运用是十分必要的，而能够在老师的课堂上快速理解并消化，这更是学习矩阵理论的一种乐趣，必（毕）竟，能在课堂上与老师产生共鸣，这是激发学习动力的来源，更是坚定自己学习好矩阵理论这一信念的重要力量。非常感谢老师的辛勤付出！

生十六：（030090757） 矩阵论漫想

这个学期，我接触了这门线性代数上深化的课程----矩阵理论。说实在的，我是带着一份期待进入课程的（本人觉得线性代数难度不致（至）于很大，也有一定的兴趣，进而对矩阵理论产生兴趣，大有爱屋及乌之感）。可是经过一系列的学习之后，我发现矩阵理论的确是一座阻碍前进的大山，（但）极强的自信心让我觉得这绝对是可以跨过的坎。

“蜀道难，难于上青天”，当然矩阵论肯定是到达不了那种令人畏惧的境界。即使拥有那份畏惧，也只得硬着头皮迎难而上，究其原因，不仅是因为研究生期末考试制度中将补考的权力（利）给无情地剥夺了，更因为矩阵理论应用之广，为以后可能有们非一般的作用，特别对我这种学习控制科学与工程的学生来说，与其说其是对自己的一种知识储备，不如说是对自己学习本专业知识必备的一种数学工具。 为了更好地学习矩阵论的知识，同时为了了解这门神秘学科与实际应用的某些联系，进而肯定其存在，本人通过百度、谷歌，无所不用其极，寻找身边的矩阵理论。果不其然，矩阵论在众多领域和学科中发挥着不可替代的作用，如数学分析中多元函数的一阶近似、隐函数存在定理与矩阵理论密切相关；常微分方程中的一阶线性方程组和高阶线性方程理论的建立及其求解方法完全建立在矩阵理论的基础上；几何上对于二次曲线、二次曲面的分类和研究，也必须用到矩阵理论„„仓促的时间使我不得不放弃列举矩阵理论的丰功伟绩，转而畅谈我们控制科学与工程专业与矩阵理论那厮的“爱（暧）昧关系”。我们控制问题中的鲁棒控制、非线性控制、H∞控制等，都涉及了矩阵理论的知识，或言矩阵理论使其问题简单化，比如说线性矩阵理论在处理鲁棒性能问题上的表现，我们可以用线性矩阵不等式的线性特性，把与各目标相对应的线性矩阵不等式像搭积木一样搭成统一的约束框架，这样将鲁棒问题进行多目标综合，将其性能指标与线性矩阵不等式可解条件一一对应，从而对鲁棒系统进行多目标分析和综合。同样的，应用于非线性系统线性矩阵不等式技术在线性系统中的成功应用，使得这一应用进而在非线性系统的稳定性、性能指标等问题上发挥其巨大的功效。

科学的力量是伟大的，而数学便是其一个巨大的幕后推手。其中自然有着矩阵理论的功劳，特别对于我的控制专业，其功不可没。前面的路还很坎坷，但我憧憬坎坷后的阳光，矩阵论不是问题，问题在于征服它，用移动的一句话：我能

09级矩阵理论小结（17-33） 生十七：（030090757） 李老师之矩阵论----杂谈

很久没写过作文，思维堵塞，文笔卓（拙）劣，„„

逝者如斯夫，转眼一个学期接近尾声，每次上课，惛惛（昏昏）沉沉，对矩阵论的印象已经模糊。但我想说说昨晚到现在近10多个小时间我的所遇和所想吧。也许，从中可以略知我对矩阵论这门课程的感受。 ① 昨晚，我在怠慢地修改简历。疯狂找实习时，师兄突然问我:矩阵论复习了吗？-----没有。-----你想不及格啊！------不想。

② 打印店偶遇同班同学林某，我只道开心打招呼：林美眉，你来做啥？----打印论文。-----什么论文啊，只有一页。----就是上课论文。----噢。（其实随声附和）早上才恍然大悟，原来同学们为此次小测验准备素材。 ③ 今早突破自己的吉尼斯计（记）录，起了个大早。其中原因是可恶的梦：梦见自己醒来的时候，寝室人全起床不见，看了下表居然九点半，心一下就恍（慌？）了，测验啊，测验啊。猛一下窜醒，才6点，却无法再入眠，索幸（性）起了个早„„

不知讲这些，老师是否以（已）然把我当作差生，其实，我就是老师博客中所述之堕落型。其实，我本不是黑天鹅，是从好学生型上升到留学生型再坠落到半堕落型。众所周知，是社会性因素、教育制度、自身因素铸成了现在的“我们”。

对这门课的感受就写到这吧。以上观点并不代表，矩阵理论不重要，相反，非常重要，尤其利于我们这些搞算法研究的，值得认真学习。 下面，讲讲我对矩阵理论微薄认识。数学伴随我们整个学习生涯，甚至整个人生。大学之前，我们学习一次函数、二次函数、三角函数、对数函数，到大学，我们学微积分、复变函数、实变函数、泛函（评：这个也学过？）、线性代数等。现在，我们学习矩阵理论，它本是线性代数的一个分支，由于科技发展，陆续在图论、代数、组合数学和统计上得到应用，逐渐发展成为一门独立学科。矩阵理论，它只是一个工具，一个知识基础，就像新生婴儿需要哺乳才能长大，所以，它并没有那么难学，那么高深莫测，拒人于千里之外。至于矩阵论历史、简介，百科全书上很多，大家可以随便google下。

再讲讲对这门课几点意见：①老师授课不如老师文笔那么简洁独到，口才、表达方式可以换一下口味。②上课板书不够，我喜欢老师用粉笔讲解那种柳暗花明又一村那种感觉。③假话不全讲，真话不全讲。（指的是课堂纪律。）

生十八：（030090785） 矩阵论随想

上大四的时候，认识一个研一的学长。当时他正在准备矩阵理论的期末考试。我看他准备了厚厚一叠复习资料，便问道：“这门课难不难？”他自信满满的说，“不难，其实很简单，都是线性代数的东西。”从此我便天真地认为，对于一个曾经线性代数可以答满分的人来说，这门课已不是问题----不就是当时学过的东西再学一遍吗 这一美梦不久就被打碎了，矩阵理论快要开课了，寝室四人同去图书馆借书。一路无话（图书馆内禁止喧哗），峰回路转，我们到了相应的书架前，随便打开一本，我才知道绝没有我想的那么简单，根本就没有类似行列式、线性方程组这样的章节，取而代之的是内积空间、矩阵分解、向量范数等陌生的字眼。对于范数的感性认识是，它与长度有关，有些人有时候很装，装学识渊博，就不说长度，说范数，感觉与众不同，时髦一点。

第一节课，其实课前还预习了一下，因为知道到时肯定会被像砖块一起排版有型的定理、性质砸晕，我只是想预览一下这砖块这（长）什么样。谁知不是砖块，是铺天盖地的砖块，让我想起了电影《英雄》里的一些场景。

当我还在原地捡砖块的时候，老师已经在帅（率）领大军，打着矩阵理论的大旗开进了。

整个学期，我只是牢牢的抓住老师的这一句话---矩阵就是变换，并死死的抓住这一根稻草。数学真奇怪，自然界中，比方说人的变换，简单点衣着，化妆品，更有甚者美容整形，都很好理解。但对于矩阵，左乘（右乘）一个矩阵，就相当于作了一次变换。利用知识迁移方法，我想到了线性代数中初等行（列）变换，左乘行变换，右乘列变换。而各式各样的变换都是为了能使得求解方程组这个终极关怀而努力。 后来又学了一个新名词，量度。在不同的量度下看东西，解决问题，出发点是不同的。这像如同维纳斯周围有一圈照相机，同时按一下快门，每个照相机拍出的图像肯定不会（完全相同），但举世闻名的塑像维纳斯就这一个。也就是事物的本质是一样的，只是表现的形式不一样。选择合理的表现形式在解决特殊问题时会带来方便。

最后以《线性代数五讲》上的一段话作结：线性代数所研究的是，线性空间；模是线性空间的扩充；作用在线性空间上的线性变换，大致上说，线性变换就是将一个线性空间映射到另一个线性空间，且保持线性空间中运算的映射；定义在线性空间上的线性泛函及其推广双线性形式，而二次型不过是双线性形式的特例。因此，可以说“线性”是线性代数的灵魂，线性代数只考虑“线性”的问题，而“非线性”的问题不在讨论之列。

2010.6.

5生十九：（030090793） 矩阵·人生

大千世界，芸芸众生。万物的起源、发展都有其独特的背景、渊源，且独特之间又有规律性的联系，一种剪不断理还乱的联系。一个偶然而又必然的机会让我触及到了矩阵论这门自然科学（学科），其历程可谓酸甜苦辣。酸的是内心不是很情愿的去深究它却又不得不深究。甜的是这种不情愿的学习却让我有了意外的感受。苦的是我只能领会矩阵论皮毛的思想却不懂得如何解题。辣的是只懂思想而不会解题会让我进入万劫不覆（复）的境地。而如今，愿用这小小篇幅谈论下矩阵与人生。

何谓矩阵，“矩阵是运动的描述”，“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。而这表明矩阵并非单调的一潭死水，而是对万物变化的精练抽象，提取其富有内涵的信息并将其融合。人生又何尝不是如此。人生在世变化无常，却又有一条贯穿的主线。有的人可以准确提练（炼），精准定位，并在运动之中寻找发展的机会。矩阵的提出是为了得到某些想要的结果。这也是万物千丝万缕联系的结果。人生的发展是一个横向和纵向的过程，在发展中认识自己，修正自己，完善自己。这个完善的过程也是解决自身矛盾的过程。矩阵论又何尝不是如此。从一个线性空间中定义的基开始，有了自己的度量。正如人与人之间需要沟通交流一样（人的标准不同），度量之间需要过渡矩阵的转换。正如人与人需要弄清各自性格关系一样，矩阵论中需要线性变换对实际对象之间的关系去研究。这就有了“年年岁岁人相似，岁岁年年人不同”的境界。

正所谓“知己知彼，百战不殆”，要完善自己就要去了解这个和自己相似的群体。而矩阵论中就需要明确空间的结构性，空间内结构的特性，以致（至）于空间的组成部分子空间的理解，用运算符号完成各自子空间的沟通与磨合，并且通过一个共同的特征----特征值将其紧密联系。正如“人之初，性本善”，人生中有了这些共同的准则才让我们手牵手，心连心。这就像对人生的各个层面进行剖析一样。着重去研究它们的特质与属性，将这些得到的理论分析去生活中实践。矩阵论也是这样。认识空间结构，并结合特定的物理空间与几何意义去做处理。人之所以取得成功，在于他将视野拓宽，将领域拓展。正如我们探索月球，放眼世界一样，矩阵论在此亦有惊人相似之处。它的拓扑变换、仿射变换、内积空间、度量矩阵的提出是一个飞跃，可与人类登上月球等量齐观。可喜的是矩阵论的发展与人生、人类的发展同步。当人类进入火星探索时，矩阵论中有了矩阵函数，完成了矩阵----数学的融合，是一种“百川东入海”的气势与欣慰。

人类在不断的发展，人生也进入更加辉煌的时期。矩阵论的发展也借助于computer这些技术与万物发展同步。这与人生发展“不谋而合”：“君子性（生）非异也！善假于物也！”

生二十：（030090798） 我与矩阵论

矩阵理论作为一门理工科学生所必学的数学课程，无论是在学习、生活和科研中，都发挥着巨大的作用。可以说，能否学好矩阵理论这门学科关系到工科学生的未来，尤其对于我们控制论与控制工程专业这种对对数学要求极高的专业，更是我们开展科研的重要途径和工具。因而，矩阵理论中的一些数学思想一直指导着我的学习和研究。 因我的硕士研究方向为直升飞机的鲁棒稳定性控制，在研究过程中用到了很多的矩阵理论思想和方法。现列举

一、二如下。首先，线性变换的思想在我建立数学模型中具有至关重要的地位。通过对直升机飞行控制的研究，得到了有关偏转角、上升角和旋转角的一系列非线性微分方程组。经过线性化处理和拉普拉斯变换得到一组线性方程组。在模型中选取我所需要观察的状态变量，得到有关输入和输出的矩阵方程。此时，数学模型已基本建立，要得到我所需要的数学模型，须（需）对已建立方程组进行一系列线性变换，使得方程组具备某些特征，方便研究和求解。

再者，范数的思想在求解直升机飞行控制的最优解时发挥了极大的作用。控制领域中所说的鲁棒性控制与H∞范数密不可分。没有H∞范数的鲁棒控制都不是真正的鲁棒控制。在已发表（的）论文中，很多都只停留在仿真阶段或伪造了控制曲线。

范数是把一个事物映射到非负实数，且满足非负性、齐次性、三角不等式，因而范数有多种。在直升机鲁棒飞行控制中，我用到了H2范数和H∞范数。对已建立直升机飞行数学模型中，提取最优性能指标J，对J进行范数求极值，就可以得到所需要的最优控制输入u。在H2控制中，得到的是由0时刻到某一具体时刻的最优控制，使直升机能够稳定的飞行。而对H2鲁棒控制进行推广，把时间上限换为∞，就得到了H∞控制。H∞鲁棒控制能使直升机在任意时刻稳定性处于最优状态，并能抵抗各种干扰。因而，范数的思想已经促进了控制领域一个重要方向的发展。

综上，矩阵理论这一学科对我的研究起了至关重要的作用。另外，一些思想还对我的生活提供了帮助。 最后，发表一些对于矩阵理论这门课的感想和建议：

1、矩阵理论李老师比较幽默，上课比较有吸引力；

2、矩阵理论比较实用；

3、希望老师能布置少许作业，以让学生练习掌握情况；

4、祝老师工作顺利。生二十一：（030090806） 我与矩阵论

首先，为什么要学习矩阵？我是学控制的一名工科生，但是，为什么必须要学习数学中的矩阵论呢？随着学习的深入，我对这一问题逐渐有了一些自己的解答。

传统的数学一般都是一些低维的、少量的方程组成的，如控制中的经典控制理论，它用传递函数从整体上描述系统的性能。但是，随着控制科学的发展，我们要求能够明白系统内部的变量对控制的影响，因此引入了大量的变量，使得控制函数变成了一个由很多个方程构成的方程组。这时，传统的方法已经不能高效的解决我们的问题了。由此，我们引入矩阵，得到了明白系统内部特性的状态方程，使得控制理论由此进入了一个新的发展阶段。

其次，矩阵论主要研究什么？初学矩阵时，觉得这门学科很是麻烦，但当把握住一个要点之后，这一切看上去就清晰明了许多。

矩阵论主要是研究线性空间，以及在线性空间中的一些线性变换操作。为什么是线性空间的变换操作呢？第一，线性空间有许多的优点，便于我们研究问题。例如，线性空间中的任一个向量都可以由基线性表示。基作为一种“计量标准”，会存在多种形式，因而可以解决不同矩阵间的一些转换。这为矩阵变换提供了前提。第二，线性变换作用巨大。线性变换主要是完成类似于旋转和尺度变换的操作，在一些特定的基下，可以保持与空间的一致性。看似简单的变换在工程计算及应用中却有着巨大的作用。例如，在控制科学中，我们通过对状态矩阵的Jordan变换，可以很容易的观察到系统中的哪些变量是不可控的，哪些变量是不可观的。这不仅方便于我们对受控系统的进一步认识，更有利于我们对系统进行优化计算。此外，矩阵的变换对于数学研究也是很有益的。比如，通过变换成对角阵后，可利用过渡阵方便地解决高维的问题。

总之，矩阵本身所具有许多特性，使得其在变换过程中产生很多有意思的定理，而这些特性与定理使得我们在研究数学问题和解决工程问题中，受益很多。

生二十二：（030090810） 个人对矩阵论的认识

我以前是学数学的，考研的时候是跨专业考入控制科学与工程专业的，当然专业课还是高等代数。学习高等代数是我对矩阵最初的认识，首先学的是行列式，然后由行列式转入矩阵，向量是我最早接受的东西，后来才知道向量是一种特殊的矩阵，海曙为1，列数为n。 时至今日，学高等代数应（已经）好多年了，但是我依然记得矩阵最早是由一个名叫关孝和的日本人提出的，他是在别人的基础上提炼和总结除出来（的），但那时人们对矩阵的认识和理解是很肤深（浅）的，有很多理论还不成熟，这也正好符合人们对事物的认识，由浅入深，由感性到理性，矩阵论这门课程也在人们的不断探索中成熟和发展。

记得上大二时，我们开了一门叫“数学实验”的课，用到了一个名为MATLAB的数学软件，当然数学软件有很多，如MAPLE、Mathethica（Mathematica）等。但MATLAB很独特，全称是Matrix Labary(Laboratory)，中文称矩阵实验室。学了MATLAB我才意识到原来矩阵的功能如此之强大，事物之所以强大而不衰正是由于不断有新的元素加入其中，MATLAB的不断增强的各种工具包就是最高的例证。现在MathType已成为越来越多科研工作者必须掌握的科研工具，当然由于涉及到版权问题，MATLAB的使用范围受到了一定限制。

现在李老师开设的矩阵理论这门课，我也没有接触过，如矩阵的微分和积分，在《自动控制原理》中，这东西应用和计算很多，在判定一个线性系统的可控性和可观性中会用到矩阵的秩等概念。今天老师介绍的SVD，我觉得很有意思，对clown.mat图像的压缩是一个很好的例子，上课之前我也亲自运行过，可惜好像没有彻底理解SVD。 我觉得矩阵论中的定理证明很枯燥，很多证明不断（但）很长而且方法很独特，让人难以想到，矩阵范数中对方程组中解的误差扰动的分析就是例证。我相信矩阵论中的很多东西虽然没有完全理解，很多思想还没领会，（但是）矩阵理论的学习（会）对我今后的科研会受益匪浅。

生二十三：（030090821） 我与矩阵论

刚入大学，在没有学高数的前提下，学校莫名其妙地开了大学物理，对于连积分符号都不知道是什么的大一新生来说，一开始就对数学产生了抵触情绪。学完高数，略微懂了一些时，又开始来了线性代数，第二章就是矩阵。我们又开始了抱怨，都是些什么莫名其妙的东西。线代上完，只总结出一条经验：套公式。记住各类解题步骤，千万不要文太多为什么，否则越问越糊涂。

考研时，看线性代数，就是一堆公式加解题步骤，而真正面对考试时又做不出题目。到了研究生，又有了矩阵论，天知道我现在多么痛恨矩阵。

我是学计算机的，别人说计算机到了高处就是数学，我现在虽不能证明这句话，却总结了另一句：矩阵在计算机领域占有绝对的主导地位。很多复杂的对象及其运算，只有用矩阵才能表示。矩阵是一种方便的计算工具，可以以简单的形式表示复杂的公式，比如数字图象处理、计算机图形学、人工智能、网络通信以及一般的算法设计和分析等。以前学这些课程的时候会觉得矩阵是拦路虎，却从来没想过它是解决问题的主人。

从上第一节矩阵论开始，李老师风趣而形象的讲解，忽然让我这个在矩阵论路上迷失已久的人看到了指引方向的光亮。我才知道它不是莫名其妙，每个定义、公式及推理都有其深厚的背景，它也不是刻板无趣，每一种解题都闪耀着智慧的光芒；公式定理的运算也不是巧合与孤立，而是严密与紧密联系。自此，我逐渐改变了对矩阵，对数学的看法。

李老师为我开启了一扇门，让我发现了数学的神奇。尤其在将数学与人工智能、仿生学等联系到一起的时候，我会觉得世界原来是这副奇妙、耐人追寻的样子，然后我更能理解尼古拉斯凯奇在他电影中表现出的观点，一切都可以用数学解释，未知的也可以用数字推算，世界有它的数学密码。当我看到简单图形经过反复迭代，形成树、雪花等的形状时，我才发现数学是如此神奇。

通过李老师的课，我不仅学习到了数学中那严谨的态度和周密的思维，更重要的是发现了兴趣所在，之后矩阵不再是拦路虎，我也不再是它的奴隶，而是让其为我服务的主人。同时在专业上，也将进入另一个层次，今后也将更加重视，并带有无限的兴趣去学习、发掘。

生二十四：（030090827） 我与矩阵论

作为一名理工科研究生一年级的学生，自小就接触数学，至今已经与数学同行20余年。从简单的加减乘除、九九乘法表开始，到后面的斐波那契数列、四色猜想、费马定理等，让我对数学产生了浓厚的兴趣。曾经一边拨着向日葵的花瓣在数数，一边验证是否符合斐波那契数列。也曾经对着地图研究整个晚上，直到凌晨3点，试图找出一种情况推翻四色猜想。虽然好多试图到最后证明是徒劳的，但我认为这些尝试培养了我内心对学好数学的渴望，更增强了我学习数学的兴趣。我想这也是我高中数学竞赛获得全国一等奖的基石（在这拿出来给李老师晒一下，不知能否多加分，哈~~）

以不好不差的成绩跨入大学校门，我选择的是计算机专业，这是一门与数学密不可分的专业，“密”到计算机的本性就是数学的，计算机行业就是由数学发展而来的。说数学是万科之母，那些文科生可能会骂，但说数学是计算机之母，那是理所当然，确定、一定以及肯定的，如果谁不同意，李老师不骂他，我也骂，偷偷的骂^_^。矩阵论的学习从大一就开始了，记得当时教我们这门课的高老师，已经年过六旬，头上白发多于黑发，讲课堂风很幽默。看着他的粉笔在飞舞，我想到了一个词，仙风道骨；感受着他灵动的智慧，我想到了一句话：当知识积累到一定程度，灵感的火花会自然迸发。于是乎，学矩阵的热情自然无比高涨。虽然当时还感觉不到矩阵跟计算机到底能有什么关系，但无所谓啊。千金难买我乐意，喜欢学就是了！

我对矩阵论（评：应该是线性代数）的感触，最深的就一个字：秩！学习中感觉不管是线性变换、矩阵相乘、矩阵的反置、逆等等，都关乎到秩，而且可以由秩将这些知识连接起来。有点像宇宙大爆炸开始前的那个奇点，又有点像武功高手身体上的丹田之处，全身内力的来源。秩的活学活用和对秩的深刻理解，有助于更好的理解矩阵论这门课的精髓所在。

除了秩，还有一个论调，是我学习初期的感受。我记得学了一年有余的时间，我觉得这门课的全部意义在于一个很单纯的目的：解线性方程组，而且一直死抱着这个论调不放。自以为掌握了人间奥妙，奇（其）乐无穷，直到研究生的矩阵论学习。我遇到了矩阵学习生涯的第二位导师：李老师。他以他特有的堂风将矩阵为我们展开。感觉不同与以往，我在这不长不短的时间内对矩阵也有了些新的体会。从实向量空间的理论推广，到广义逆矩阵和范数的应用，我想以前的理解是不全面的。矩阵论不止于线性方程组，它必将成为学好计算机专业的有力工具，倚天剑，屠龙刀。

时间有限，我很欣赏李老师这种考试的方式，新颖，独到。说实话，平生头一次写关于数学的论文。感触良多。在此我保证，所有文字都是当堂所想所写以确保“感情真挚”的要求，无任何资料借助。笔止于此，谢谢！

生二十五：（030090836） 我与矩阵论

这学期之所以选择矩阵论这门课，出发点还是很简单的。首先，矩阵论的相关知识点在自己的研究学习中能派上用场，自己的主要研究方向是隐写与隐写分析，其中涉及较多的矩阵知识，为了做好研究生的课题，是有学习的必要；其次，就是学分的问题了，只有选择矩阵论，才能“凑”满这类课程的分数。这样，我就选择了矩阵理论这门课。 因为自己本科阶段也做过不少和现在研究课题相关的事件，认为隐写和隐写分析就是对图形图像的矩阵做变换做处理（图像在Matlab中是以矩阵的形式表示的）。

在真正学矩阵论的时候，自己一下子就糊涂了，矩阵理论中很多知识点完全不理解，感觉其太过于抽像（象），很难和实际相结合，而且有关线性代数的知识点也浅忘了，只是留下概念和术语。为了研究学习，为了成绩，不得不重新回故（顾）线性代数，回故那些忘却的知识。后来，逐渐对其有所了解掌握。从开始的听不懂，开始变得似懂非懂，也开始明白矩阵论中一些方法的奥妙。

就拿自己做的东西来说吧，做图像的隐写分析，关键是有效的提取出图像的特征。用什么方法最方便？还是矩阵的方法。从开始读入图像，到把图像切割成一个个小矩阵，再进行矩阵的变换。如果提取出的特征维过多，还要进行矩阵的分解、压缩。每一步都离不开了矩阵的方法和理论。这样才对矩阵理论有了一个形象化的认识。

目前，学习矩阵才开始上路，可以这么说：矩阵论这门课起了一个很好的入门引导，虽然还有很多很多东西不理解，不明白，只是“知其然，不知其所以然”。

对于矩阵理论的学习，个人认识在课堂之上应该多与实际相结合，把高深的理论落到朴实的现实中去，实现抽象和实际相结合。因为并不是每个人的研究课题都和矩阵相关，有的东西在学习中并不一定有实际的应用，这样最后就变成纯粹的应试学习了。

我记得材料中举的那个说明“线性变换”和“线性变换的一个描述”的例子就很生动形象，通过一个给猪拍照片就讲解得很明白，再通过相似矩阵的知识，来描述多个照片之间的关系。虽然这些例子很俗，不抽象，没有理论深度，但对于学习和理解却有很大的帮助。 矩阵理论的发展经历数百年的时间，经历了不断的抽象和变换，变得太过于理论化，这和实际应用的原则相维（违）背。当然作为研究生确实应该具有理论学习和理解的能力，但却缺少这样的理解能力，从某种程度上讲，是应试学习的结果。希望老师在今后的教学中把理论和实际相结合，让大家理解学习矩阵的乐趣，带大家进入矩阵的世界中去。

一学期的时间过得很快，矩阵论的学习就要结束，自己不得不承认李老师在课堂上讲课声音洪亮，态度认真严谨，对矩阵的理解很透彻，这是很值得学习的。在这里表示对李老师的敬佩之情和感谢之意。 矩阵的学习还有很多路要走。（最后用）“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！”来不断鼓励自己。

生二十六：（030090836） 我与矩阵不得不说的事

作为一个数学专业的本科生，可以说与数学打了4年交道。在数学的各个分支中，高等代数一直是我颇感兴趣的方向。代数的精髓在于不断的抽象，从数到向量，再到矩阵，为了一个个完美的结论很多数学家甘愿奉献一生。

升入研究生以后，虽然转到了计算机方向，但工科是离不开数学的，我的专业尤其如此。尤其在学习图像处理时，我第一次认识到原来数学知识是可以这样用的。图像说白了在计算机中就是一个矩阵，然后附和一些额外信息，图像处理其实就是处理矩阵，矩阵的转置、求逆、特征值及矩阵SVD分解在图像处理中都有了更加明确更加清晰的含义。更令我惊讶的是矩阵之间离散的微分竟可以用于寻找图像的边缘。

带着对矩阵知识的期待我选修了这门课，虽说前几章知识大学都有接触，但在李老师讲解下对这些抽象的东西有了更真切的认识，觉得自己对代数的抽象等级提高了许多。看李老师的PPT更像是在读一篇文章，最亮眼的就是每章的开头，总是有一些优美的古文气质，在我们这些理科生的头脑中也种下的文科的种子。虽然说这是门较抽象的学科，但它的魅力也恰恰在于此，看似十四分付得矩阵却也可以演变为绚丽多彩。

在接下来的专业学习中，我相信我还是离不开矩阵的。我的方向SVM，需要将特征映射到高维空间进行模式识别，这种映射无疑又要靠矩阵来实现。所以虽然这门课结束了，相信我与矩阵的故事还要继续！

生二十七：（030090842） 我与矩阵论

数学是一门博大精深的学科，也没有哪一门学科能够像数学这样贯穿一个人的整个学习阶段甚至人的一生。进大学后相继学习了高等数学、离散数学、概率论、线性代数等课程，再到现在的矩阵理论课，课程难度也随着增加。矩阵理论真的是一门理论和实践性要求都很高的课程。

回顾自己的学习历程，经历了高考，却没有参加研究生考试，现在总觉得是一种缺憾，是少了一种历炼（练）的过程。确切地说，是少了对数学这门学科的重温的过程，以前所学的东西都在记忆的很深很深处。实话说，学习矩阵论对于我来说确实很有难度和挑战性。 从学习线性代数开始，就与矩阵结下了不解之缘。什么线性空间、线性变换、正交变换、矩阵分解，还有向量之类的，都是很抽象的东西。如把齐次线性方程组的解空间理解为一个矩阵就很难想象。对于数学的学习，我有自己的方法，我喜欢搞清楚定理成立的原因，也就是搞懂怎么推导出某种定理。把定理的证明搞懂，再通过该定理推导出另一定理，这样可以使我轻松记忆起更多的定理，并且在我记不起来某定理的时候，我可以自己推导出来。

我不是那种靠死记硬背或者考前临时抱佛脚就能搞定数学考试的学生，所以学习数学都会花去我大量的时间。我必须得弄清定理的原理，甚至深究它的来历，这是相当耗时的工作。这门课我感觉我花了差不多一个月的时间来准备和复习，还不知有没有好的结果。回想以前自己努力学习数学，才得以考得一个比较好的成绩，在数学的路上我还真走得比别人辛苦。笨鸟先飞，我妈常对我这样说。

最后，对教材提一点建议，希望一些对定理和例题的证明过程可以再详细一点，使我们自己看书的时候更容易理解和再一次演算推导的过程。针对老师您给出的复习要点和不考的范围来复习，相信我能取得一个比较好的成绩。感谢李老师一学期来辛勤和激情的教学！

生二十八：（030090843） 我与矩阵论

经过了半个多学期的学习，我完整的（地）学完了《矩阵分析及其应用》这本书，并从中学到了很多矩阵的思想及解决问题的方式，这将对我以后的论文学习及研究问题方面带来很大的帮助。所以在此我要感谢老师生动的讲解。这些知识将使我终身受益。 刚进入研究生时，倒是要给我们每周一次的开会，当时我们开会的主题就是我研二师兄给我们讲解图形的压缩与变换。因为我们的论文方向都是图形学方面的知识。刚开始对我来说就如同听天书一般，因为里面的好多知识我以前都从未接触过，其中用到最多的就是矩阵的变换，因为它是图形变换与解决失真问题的关键知识。由于只是大学期间接触到的线性代数里讲解了一些矩阵方面的知识，但那些在图形学方面是远远不够用的。为了能够尽快融入到群体中，我从师兄那里了解到这些知识都将在开设的矩阵理论课中学到，于是从那时起，我就对矩阵理论这门课充满了极大的好奇心。研一的下（半）学期终于迎来了我期盼已久的矩阵理论。刚开始时老师给推荐了吴华安等人编著的《矩阵分析及其应用》这本书，于是我马上去书店买了这本书。从（而）提前看了这本书的知识结构。本书内容分为七章，可分为两个阶段的学习,第一阶段介绍线性空间及线性变换、内积空间、矩阵的标准型，这些都是线性（代数）内容的衔接与延伸；第二阶段介绍向量范数与矩阵范数及其应用、矩阵的分解、矩阵函数及其应用、特征值的估计等。看完了这些知识点我对矩阵理论有了进一步的认识和了解。老师的讲解顺序与书上的不同，他进行了更加系统的规划，是知识点更加系统，我们学习起来也省力不少。因此我很认真的听完了老师课堂风趣的讲解。其中对老师讲解的正交变换印象深刻，它是欧氏空间讨论的一种特别的线性变换。

如今我再也不怕每周一次的开会了，对师兄的论文讲解我也能提出自己的意见和建议。于是对今后我自己的论文也有了很明确的方向，对图形的压缩变换并尽（可能）最小化失真有了一些自己的认识，这些都是矩阵理论给我带来的收获。在以后的道路上，我会用更多的矩阵知识来武装自己。

生二十九：（030090844） 我与矩阵论

矩阵论作为我研究生期间所学的最后一门数学课，因此在正式上课之前，我就给她赋予了特别的意义，也很本能地对具有特别意义的矩阵论课给予很大的重视以及浓厚的兴趣。正如人们在老生常谈的一个话题----有了兴趣，什么都不是问题。于我而言，对于矩阵的学习的确不是个问题，也许是我天生的数学底子，也许是本科时线性代数掌握得不错（当时考试成绩为满分）。然而，我却不明白学习矩阵论的意义所在。虽然老师从第一次上课到本节课，除了讲解书上的理论知识，也时不时地附带老师几十年学习数学的体悟和感想（其实光听这些就知道老师的厉害所在，我也知道老师想的很深刻），可我还是对学习矩阵论的意义存在着疑惑，此后，在我的生活和工作中，希望能逐渐领悟老师所说的感想。

我总觉得自己谈对矩阵论或是线性代数的看法或感悟，在老师这位高手眼里什么都会原形毕露，不过既然此文是本课堂的一个考核内容，即使浅显，我也对此说几点。首先，单从本科所学的线性代数过渡到现在的矩阵论，是一个从简单到复杂的过程。其次，从课本所涉及的内容，线性空间、向量空间以及矩阵空间等几空间的关系，我看到了一种分析问题、解决问题的思维，那就是对问题进行分析，找出特殊的答案（特解），再将特解一般化即成为最后解。最后为了严谨，必须对解进行证明。其实，日常的学习和工作中会遇到很多问题，而这些问题一般都不会很简单，我们就很需要对这些问题进行详细地解读，冷静地分析，最后将问题细化、简单化，再一个个将这些小问题解决掉。

学习矩阵论给我们学生带来的不仅仅是掌握书中前人积淀下来的理论成果，而更多的是希望给我们带来一种解决问题的思路，这些在未来的学习、生活、工作中将起到巨大的作用。这是我的感想，也希望老师能赞同此观点。

生三十：（030090847） 我与矩阵论

这个学期学习了矩阵理论这门课程，通过对《矩阵分析及其应用》这本书的详细阅读和老师的详细讲解，我对这门课程有了一个初步的了解，对于今后在自己的专业领域的研究打下了一定的基础。

矩阵理论是一种基本的数学理论，在经济和信息的高度发展中，数学知识是很重要的一门学科，是研究其他理工科项目的基础。数学分析具有推理性、精确性等特点，这些特点对于精密的科学研究是非常重要的。而矩阵理论是数学领域中的一个重要分支，其将数字二维化，从空间的逻辑角度去分析各种模型和思想。随着现代科学技术的发展，各个科学领域都用到了矩阵理论，计算机的研究也不例外，它在很多方面的研究都是基于矩阵理论的，如在算法设计中数组的使用，网络安全方面量化分析等。 在矩阵理论这门课程中，在老师的带领下，我学习了线性空间、线性变换、欧氏空间、酉空间、Jordan标准型等内容。在我的研究方向中，对矩阵理论的应用是非常广泛的，因此学习好矩阵理论这门课程是十分重要的。我的研究方向是计算机网络安全中的入侵容忍技术，该技术涉及到很多的数据分析、数据模型问题，其中马尔可夫模型和半马尔可夫模型就是对矩阵理论的一个很好的应用。刚开学时，导师先给我们看了研三师兄的论文，其论文内容主要是对入侵容忍技术的量化分析，刚拿到这篇论文后，看到其中一大片一大片的矩阵数据，我感到一头雾水，看了好几遍没能理解其中的意思和推导过程，恰好这学期选择了矩阵理论这门课，经过半个对学期的学习，我对矩阵理论在实际研究领域中的应用有了逐步的了解，结合理论再看实际应用，相对理解起来容易多了。但我现在还仅限于能够看懂，如果要进行实际的推导和应用还要进一步的研究和学习。

虽然矩阵理论这门课就要上完了，但是我感觉今后需要学习的内容还有很多，在今后还要继续学习，不仅仅是为了考试，这门学科对我的研究哈发展是非常有用的。最后还要感谢矩阵理论的授课老师李老师，他打破传统的灌输式的授课思路，从由来到原理仔细讲解，使原本枯燥贬（乏）味的定义定理变得生动起来，在该门课程的学习中我学到了很多知识，受益匪浅。

生三十一：（030090855） 我与矩阵论

选课的时候就听师兄师姐说矩阵理论是门很难搞的课程，而一位师兄更是以其挂科的现身说法来向我证明这门课的难度。寝室同学更是“过分”，为了避开这门课竟然宁愿选另外三门数学课（数理统计，最优化方法以及随机过程）来凑足学分也不愿尝试一下学分最高的矩阵理论。然而本姑娘就是有些牛脾气，别人越劝我越要上，我就不信拿不下它。也就是因为当初的一股冲劲，让我完全体会了矩阵理论的“高深莫测”的同时，也感受到了数学之美及其博大精深的内涵。 本科大一下学的线性代数，老师是华东师大的硕士研究生，也许是由于没有上课经验，一堂课下来索然无味，但总算在题海战术下也取得了不错的成绩。当时对于定义定理这些东西完全靠背，问道证明则一概不知。现在想来这真不是真正意义上的学数学，而完全是以文科的方式在应付考试。记得李老师在一开始的课程中就对我们反复强调：矩阵理论这门课非常重视推导过程，也就是说知道结果的同时也要了解推导过程。现在我完全同意这个观点，一些难记的的定理往往在清楚了其来由之后变得异常好记，而这样去学习才是真正意义上的学习。我们往往说在国内没有学术氛围，出不了被世界认可的学术成果，我认为究其原因是因为我们的心态太浮躁，不愿意花时间与精力做学问做研究的人太多了，大多数人急功近利。放在这里的表现就是在学习时只记结果而不愿花时间去刨根问底，探寻其过程。我牢记李老师这句话，学习的时间越久越能体味这句话的深意，我相信这对我以后的学术生涯都能起到积极的作用。

有点扯远了，现在来谈谈我对矩阵理论的一些认识。我们都知道矩阵理论主要研究的是线性空间以及在线性空间中的一些操作，主要是线性变换。书中主要是针对有限维的情况来讨论，这样的话就可以用向量和矩阵来表示线性空间和线性变换。记得一开始还有这种感觉，矩阵谁没学过，有啥难度呀，接着听课时就开始迷糊，到最终自己看书加上老师博客的文章渐渐地才真正入了门。之后的听课才从先前的迷糊变得津津有味。课程上到现在，我对线性空间与线性变换、内积空间、矩阵的Jordan标准型、向量范数与矩阵范数以及矩阵的分解都有了一定的认识，并且我也知道这些理论也有着广泛的应用，比如矩阵的标准型问题在力学、控制理论、系统分析等领域有着广泛的应用。对于量子力学有着浓厚兴趣的我也非常理解“矩阵表示运动”的这一概念。当然，我对于矩阵理论的认识毕竟也不能像专家一样深。暂且就谈到这里，看了李老师的博客对《重温微积分》充满了兴趣，有时间可以拜读一下。

总之来说，矩阵理论这门课还是让我收获颇丰的，希望以后也能选到如此内涵的课及如此内涵且幽默的老师。

生三十二：（030091182） 矩阵理论与生物化工

上研究生后，初次见到了矩阵不是在《矩阵理论》课上，而是在一次专业课中。一位年近70的老教授、老工程师在一个简单的生物反应系统中列出近三十个反应平衡方程式，同学们顿时震惊。生物反应过程与一般机械、信息过程不太一样，因为其反应过程是活的生物体细胞中进行，总结果受各种因素变量的影响，而各种因素又可相互影响，对某一因素进行控制后，不能很快很有效的得到信号，过程高度非线

推荐第9篇：矩阵解题总结

矩阵解题总结

迄今，我们都做了不少的矩阵习题，我们常常以刷题来满足自己的做题欲望，并以此方法来让自己对矩阵这个新概念有更好的了解，那么，在我们无限刷题时，是否想过，出题，都是万变不离其宗，如果我们尝试去整理一些题型的做法，那么不久可以做到了举一反三的功效了吗？也让自己腾出了更多的时间去从事其他事物，如此事半功倍，岂不妙哉？因此，解题总结很有必要。

以下，我们来介绍一些常用而较为普遍的经验方法： ① 对称矩阵：A=A’，这个概念我们见过此类题型——当A为非零实对称矩阵时，有A’=A*，求证lAl≠0。这种题，我们通法就是先设出A，再写出A’，然后矩阵乘法，得到的矩阵中对角线处元素为Σαij²，并且再用已知条件可得到前面的累和式子都等于lAl。因为A为非零实对称矩阵，因此存在一元素不为零，从而证得lAl≠0。 ② 题干中给出某等式，求某个问题。如：设A,B均为n阶方阵且AB=A+B，则证明AB=BA。此题思路就是从条件出发，一般都是移项、提公因式，所以得到（A-E）B-A=0，记住，一旦看到等号右边有零，我们常常会加E，变成（A-E）B-A+E=E，然后再次提公因式，得到（A-E）（B-E）=E，所以（A-E）（B-E）=（B-E）（A-E），然后展开即可。总结：移项→提公因式→整理。

关于②留一道练习题——设n阶方阵A和B满足A+B=AB，证明A-E可逆。

③ 正交阵概念：满足AA’=A’A=E

反对称矩阵概念：A=-A’ ④ l(A*)l=lAl^n-1，（A*）^-1=A/lAl， ⑤ A为n阶方阵，若R(A)=n,则R(A*)=n；若R(A)=n-1，则R(A*)=1；若R(A)＜n-1，则R(A*)=0 ⑥ A、B均为n阶方阵，则有tr（AB）=tr（BA），其中tr为对角线元素因此AB-BA的对角线元素为零，即tr（AB-BA）=零。 ⑦ 结论：任何一个n阶方阵均可表为一个对称阵与一个反对称阵之和。证明：A=1/2A+1/2A-1/2A*+1/2A*=1/2（A+A’）+1/2（A-A’）=B+C。B’=（1/2（A+A’））’=1/2(A’+A)=B,C’=(1/2(A-A’))’=1/2(A’-A)=-C’，证明完毕。 ⑧ 秩的一种常见题型：A,B为n阶方阵，AB=0，B为非零方阵，求lAl。思路：因为AB=0，所以R(A)+R(B)≤n，又因为B≠0，所以R（B）≥1，因此R（A）≤n-1，因此A不满秩，故行列式为零。 ⑨ 对于AB=AC时，如何才可以有B=C？一种情况就是A为满秩。接下来，我们进行计算证明——由原式可得到：A(B-C)=0。运用一个结论：AX=0，A满秩时，解唯一，即X=0，所以得到B-C=0，因此B=C 证明完毕。特殊的，如果A可逆（因此显然A是方阵），显然证得B=C。 ⑩ A为n阶方阵，则R(A)≤1的充要条件是存在两个nx1矩阵U,V使A=UV’。证明过程可见考研P45。

推荐第10篇：矩阵与变换

2014 年高考数学理科分类汇编

——矩阵与变换

解答题

1、（2014 福建理）选修 4—2：矩阵与变换 已知矩阵A的逆矩阵A11

（I ）求矩阵A；

（II ）求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.11解析 ：( Ⅰ)因为矩阵A是矩阵A的逆矩阵, 且A221130,。。。。2 分21 21

12...12...133 所以A31...21...23

3( Ⅱ)矩阵A的特征多项式为f()12...

11243(1)(3)令...2

f()0, 得矩阵A1的特征值为11或23,

所以11是矩阵A的属于特征值11的一个特征向量,11

11A是矩阵的属于特征值23的一个特征向量.21

2、（2014 江苏卷）已知矩阵A

求x ,y 的值

解：由已知， 得A12112B21yx,y是实数，若AB,1x12222y1122y ,B1xy2xy21y4y

122y2y22y2yxAB，所以故解得 22xy4y2xy4yy4

所以xy7



第11篇：抗震救灾责任矩阵

抗震救灾项目的责任分配矩阵

责任矩阵分配（RAM）是一种讲所分解的工作落实到项目有关部门或个人，并明确表示他们在组织工作中的关系，责任和地位的方法和工具，它是在工作分解结构的基础上建立的，以表格形式完成工作分解结构中每项活动或工作所需要的人员。责任矩阵的作用是：

1）将地震应急救援后勤保障项目的具体任务分配、落实到相关部门和人员，使项目的人员分工一目了然，每个成员都能明确各自的责任。

2）清楚地显示出项目执行组织各部门或个人之间的角色、职责和相互关系，避免责任不清而出现的推诿、扯皮现象。

3）结合项目成员的工作经验、知识结构、兴趣爱好，年龄性别等特征进行分工，确保适最适当的人去做最适合的事，从而提高项目管理的效率。

4）确保项目因岗设人，机构精炼。

1.通信与信息保障

负责任务的完成：信息产业部

参与协助：电信运营企业

负责验收、检查：抗震救灾指挥部

2.地震救援和工程抢险装备保障

负责任务的完成：中国地震局

参与协助：地震救援和工程抢险设备的生产公司

负责验收、检查：抗震救灾指挥部

3.交通运输保障

负责任务的完成：铁道部、交通部、民航部

参与协助：私家车车主

负责验收、检查：抗震救灾指挥部

4.电力保障

负责任务的完成：电力部

参与协助：国务院发展改革委员会

负责验收、检查：抗震救灾指挥部

5.城市基础设施抢险与应急恢复

负责任务的完成：建设部

参与协助：？

负责验收、检查：抗震救灾指挥部

6.医疗卫生保障

负责任务的完成：卫生部

参与协助：国务院发展改革委员会

负责验收、检查：抗震救灾指挥部

7.治安保障

负责任务的完成：武警、公安部

参与协助：志愿者

负责验收、检查：抗震救灾指挥部

8.物资保障

负责任务的完成：商务部

参与协助：民政部、国务院发展改革委员会

负责验收、检查：抗震救灾指挥部

9.经费保障

负责任务的完成：财政部

参与协助：民政部

负责验收、检查：抗震救灾指挥部

10.社会动员保障

负责任务的完成：地方人民政府

参与协助：各种媒体单位

负责验收、检查：抗震救灾指挥部

11.紧急避难场所保障

负责任务的完成：地方人民政府

参与协助：各种媒体单位

负责验收、检查：抗震救灾指挥部

12.呼吁与接受外援

负责任务的完成：外交部

参与协助：民政部、商务部、中国地震局、中国红十字会

负责验收、检查：抗震救灾指挥部

13.抗震救灾技术储备与保障

负责任务的完成：中国地震局

参与协助：中国建筑设计研究院（建筑的防震措施）

负责验收、检查：抗震救灾指挥部

14.宣传、募捐、培训和演习

负责任务的完成：各级人民政府

参与协助：科技、教育、文化、出版、广播、电视、新闻等相关部门

第12篇：可逆矩阵教案

§1.4 可逆矩阵

★ 教学内容：

1.2.3.4.

★ 教学课时：100分钟/2课时。

★ 教学目的：

通过本节的学习，使学生

1. 理解可逆矩阵的概念；

2. 掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法；3. 熟悉可逆矩阵的有关性质。

★ 教学重点和难点：

本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。 可逆矩阵的概念； 可逆矩阵的判定；

利用转置伴随矩阵求矩阵的逆； 可逆矩阵的性质。

★ 教学设计：

一

可逆矩阵的概念。

1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。

2.定义1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得ABBAE则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，或A的逆，记为A。

3.可逆矩阵的例子：

（1）例1 单位矩阵是可逆矩阵； （2）例2 A11010，B，则A可逆； 1111100（3）例3 对角矩阵A020可逆；

003111110（4）例4 A011，B011，则A可逆。

0010014.可逆矩阵的特点：

（1）可逆矩阵A都是方阵；

（2）可逆矩阵A的逆唯一，且A和A是同阶方阵；

1（3）可逆矩阵A的逆A也是可逆矩阵，并且A和A互为逆矩阵； （4）若A、B为方阵，则ABEAB。 二

可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆

1.方阵不可逆的例子：

11111

例5 A不可逆；

00

例6 A12不可逆； 242.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法： （1）说明利用定义判定及求逆的方法， （2）说明这种方法的缺陷； 3.转置伴随矩阵求逆

（1）引入转置伴随矩阵

1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论

ai1As1ai2As2D,is

(i1,2,n,，) ainAsn0,isD,jt (j1,2,anjAnt0,jtA21A22A2nAn1AAn20Ann00A0,n)； a1jA1ta2jA2t

2）写成矩阵乘法的形式有：

a11a21an1a12a22an2a1nA11a2nA12annA1n00AE A

3）定义1.4.2（转置伴随矩阵）设Aij式是A(aij)nn的行列式中aij的代数余子式，则

A11A*A12A1n称为A的转置伴随矩阵。

（2）转置伴随矩阵求逆：

1）AAAE； *A21A22A2nAn1An2 Ann

2）定理1.4.1 A可逆的充分必要条件是A0（或A非奇异），且

A11*A； A

3）例7 判断矩阵A12是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。 35223

4）例8 设A110，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。

121三

可逆矩阵的性质

1.性质1 (A1)1A；

2.性质2 (AB)1B1A1；

3.性质3 (A)1(A1)；

4.性质4 (kA)

5.性质5 A1111A； k1； An1

6.性质6 AA

7.(AB)1*；

A1B1。

11，B3，求(2BA)。 2

例9 设A，B均为三阶方阵，且A四

可逆的应用——解矩阵方程

例10 设方程AA2EO，证明：A2E可逆，并求其逆。

2

第13篇：矩阵教学设计

矩阵复习课 教学设计

江苏省海州高级中学 申磊

一、教学内容分析

《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修4-2）》（苏教版）。本节课程不是大学教材中矩阵内容的简单下放，而是通过平面图形的几何变换来讲解常见的简单二阶矩阵，把矩阵作为一个研究平面图形变换的基本工具，作为广泛意义上的一种“代数”来学习和介绍。

二、设计思想

《标准》强调数学文化的重要作用，体现数学的文化的价值。数学教育不仅应该帮助学生学习和掌握数学知识和技能，还应该有助于学生了解数学的价值。让学生逐步了解数学的思想方法、理性精神，体会数学家的创新精神，以及数学文明的深刻内涵。

三、教学目标

通过几何变换讨论二阶方阵的乘法及性质、矩阵的逆和矩阵的特征向量，矩阵的简单应用。

四、教学重点和难点

重点：通过几何图形变换，学习二阶矩阵的基本概念、性质和思想； 难点：切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向量。

五、教学过程设计

【课堂准备】

1．选题：由教师根据本章教学目标及重难点选择适当的题目制成导学案，印刷成导学案并提前一天发给学生；

2．做题：提前一天每位同学独立完成导学案，然后学习小组内部根据各自的做题情况展开讨论；

3．精彩展示：课前教师把任务分配到各个小组，由组长确定每人的具体任务，上台来展示；

4．点评：最后又其他组的成员给出点评，不足之处再有教师补充。 【教学过程】

1．出示课题：教师简明叙述本章内容及重难点

2．交流、分享：（由教师主持。小组推荐发言人；以下记录均为发言概述） 基础训练（学生在原位回答问题，回答问题方式：本题考查点是什么，答案是什么，怎么做？教师点评）

112012（1） 学生1：函数小史计算：（1）

（2） 011101（2）教师点评：掌握二阶矩阵与平面列向量在乘法规则是解题的关键 （3）学生2： 曲线xy=1绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线方程是__________，变换对应的矩阵是_________.（4）教师带头鼓掌并简单评价

0210（5）学生3：已知A=,B=则AB=___________,BA=___________ 2132（6）教师带头鼓掌并简单评价

3（7）学生4：设矩阵M21212的逆矩阵是M1ab，则ac的值为

cd32（8）教师带头鼓掌并简单评价

002xyx（9）学生5：已知A，若A=B，求x，y.,B2y00x2y（10）教师点评：两个矩阵相等的充要条件是它们的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等.

xx2x5y（11）学生6：已知变换，试将它写成矩阵的乘法形式.yyx2y（12）教师点评：一般地，对于平面向量变换T，如果变换规则为T：xxaxbyyy=cxdy，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为xxabxT：=的矩阵形式.yycdy能力测试（学生上黑板展示，再有其他组同学给予点评）

（13）学生7：已知在矩阵M的作用下点A（1，2）变成了点A′（11，5），点B（3，-1）变成了点B′（5，1），点C（x，0）变成了点C′（y，2），求（1）矩阵M；求（2）x、y值.（14）学生8点评：求变换矩阵通常用待定系数法．

（15）学生9：求关于直线y=3x的反射变换对应的矩阵A．

（16）学生10点评：一般地若过原点的直线m的倾斜角为，则关于直线m

cos2的反射变换矩阵为： A=sin2sin2 cos2x（17）学生11：已知矩阵Af(x)，Bx1x，C，若A=BC，

2a求函数f(x)在[1,2] 上的最小值.（18）学生12点评：（本题运用了行矩阵与列矩阵的乘法规则及两个矩阵相等的充要条件；求含参数的二次函数在闭区间上的最值问题，通常需要分类讨论.（19）学生最值。

cossin(R)，试求f(x)x22x3的13：若xsincos12153MM16，求 （20）学生14：已知矩阵，向量32abk0（21）学生15：记A，其中kR，作矩阵乘法SA，AS， ,Scd0kS与单位矩阵、零矩阵的关系？

当k>0时，矩阵S对应的变换TS有何几何意义？ 研究TS与伸压变换的关系？

（22）学生16点评：仔细体会两个二阶矩阵乘法可交换的条件；从矩阵乘法的代数运算和几何意义两个不同的方面理解矩阵乘法和变换复合之间的内在联系；复杂的变换都可以通过简单的初等变换复合而成。 3．课堂小结：

第14篇：矩阵键盘实验报告

自主学习用实验 矩阵键盘识别实验

一、实验目的

1、掌握 4×4 矩阵键盘的工作原理和键盘的扫描方式。

2、掌握键盘的去抖方法和键盘应用程序的设计。

二、实验设备

1、PC 机一台；

2、开放式模块化单片机教学实验箱一台；

3、USB 下载线一根。

三、实验内容

自行编制程序，用 51 单片机实现 4×4 矩阵键盘扫描，采用线反转法；并实现当 S11按下时在数码管上显值“0” ，当S12按下时在数码管上显值“1”……，即依次将 S11 至S26按下，在数码管上依次显示十六进制数“0-F” ，矩阵键盘原理图如图 1-1 所示。单片机与数码管接口电路原理图如图 1-2 所示。

图 1-1 矩阵键盘接口电路

图 1-2 数码管接口电路原理图

四、思考题

1．画出所编程序的流程图；

开始Y判断是否第一行有键按下N判断是否第二行有键按下N判断是否第三行有键按下N判断是否第四行有键按下Y判断是第几个按键按下数码管显示对应的数字Y判断是第几个按键按下数码管显示对应的数字Y判断是第几个按键按下数码管显示对应的数字判断是第几个按键按下数码管显示对应的数字结束

2．若要实现2×4 矩阵键盘，软硬件作如何修改。

答：将行线P2^3, P2^4接线去掉。程序对应部分P2=0xfd; P2=0xfe;删掉。 3．实验中有何故障、问题出现，是否得到解决？如何解决的？ 问题：显示值对应出错。

原来是共阳段码和共阴段码弄相反了。

第15篇：矩阵培训工作总结

年度培训工作总结

年度>培训>工作总结

（一）

一、思想上高度重视，组织上细致周密

1、加强领导，落实责任

街道党工委非常重视干部的培训工作，健全了干部教育培训统筹协调机构。一是形成了由党工委书记亲自抓、分管副书记具体抓，有专人负责的层层抓落实的工作运行机制，为干部培训的顺利开展提供了可靠的组织保障；二是街道党工委将干部的培训教育工作作为加强队伍建设、提高干部素质的一项基础性、长期性工作纳入重要议事日程，工委会每季度专题研究一次干部教育培训问题；三是建立学习机制，领导干部带头学习，引导和鞭策干部主动学习，严格按照学习计划定期组织干部学习，并交流学习心得，以促进学习的推进；四是严格考勤，将干部学习培训作为职务晋升和年终考核的依据，实行奖惩逗硬；五是确保学习经费的投入，健全培训设施、文化设施和学习场地等硬件设施，今年，机关增设了电脑，为干部创造了良好的学习条件。

2、建立健全学习制度 健全了中心组学习制度、干部培训制度、干部学习制度、党、团组织支部学习制度、工会学习制度等，并将这些学习制度经常化，常抓不懈，持之以恒，以不断提高干部自身素质，为创建学习型机关奠定基础。

二、学习形式灵活多样、学习内容丰富实用

根据区委组织部、区人事局总体要求，街道坚持理论联系实际、按需施教、注重实效的原则，以加强公务员能力建设为核心，做好初任培训、任职培训、更新知识培训及专门业务培训，采取专题讲座、集中学习、自学、参加上级培训等多种形式，促使干部职工在学习中工作、在工作中学习。今年重点开展了以下一些学习培训：

一是开展深入学习实践>科学发展观学习。在区委学习实践科学发展观第三指导检查组的关心指导下，我街道于20**年9月27日召开动员会，全面启动了学习实践活动，组织广大党员开展了深入的学习实践科学发展观学习。进入集中学习阶段后，我街道始终坚持以深入学习实践科学发展观活动统领工作全局，高标准、严要求，既注意把握学习阶段的内容和要求，不折不扣地落实好“规定动作”；又注意突出街道工作特色，实现了学习实践活动的良好开局。

二是开展党校主体班培训。按照《金牛区20**年干部培训>工作计划》要求，参加区委党校举办局级领导干部培训班、青年干部培训班，完成学习任务。 三是组织由街道党政主要领导讲授的>政治理论、时事热点、党风廉政学习。

四是组织重点工作培训，组织培训对象围绕各类重点工作，参加专题班培训，扩大干部受训覆盖面。

五是继续做好“三标”体系培训。深入了解iso14000环境管理体系、iso9001质量管理体系、ohsas18001职业健康安全管理体系标准，熟悉体系文件，能够紧密结合本单位业务工作，保持体系正常运行和持续改进，确保通过“三标”体系年度审核。 六是开展由党校主体班培训、街道组织学习讨论、自学与知识竞赛相结合的关于《成都市行政机关公务员行政过错行为处分规定》的学习培训。

七是组织干部履职能力培训：选调相关干部和青年骨干，参加区级部门举办的各类业务培训班，加强干部岗位知识、岗位技能和新知识、新技能的学习培训。另外，由各科室，按照公务员专业化要求和实际工作需要，组织全体干部开展各项业务知识培训，不断提高干部业务能力和水平。

八是积极参加上级各部门组织的各种培训教育活动：7名局级领导干部参加坚持“四位一体”科学发展总体战略，继续稳步推进统筹城乡培训班；1名干部参加区委组织部举办的为期1个月的局级干部培训；2人参加了区城管局举办的数字化城管终端及四大系统操作的培训；3人参加区财政局举办的成都市罚没财产管理规定业务的培训；3人参加了档案局举办的档案工作培训；4人参加区审计局举办的内审人员业务的培训；3人参加了区国资局组织的国资管理的培训。

九是开展iso14000环境管理体系、iso9001质量管理体系、ohsas18001职业健康安全管理体系培训。培训覆盖了街办全体工作人员，使全体工作人员深入了解体系标准，熟悉体系文件，有效保证了街办“三标”体系通过年度审核。

三、培训教育效果明显，机关风貌再度提升

一年来，街道党工委不断创新学习方法，在教育培训的形式上力求灵活多样，不仅仅限于开专题、作报告，而是将讲座、座谈、演讲、竞赛、讨论等形式有机结合，将定时学习与不定时相结合，集中学习与个人自学相结合，短期培训与学历教育相结合，在职学习与脱产进修相结合，专题辅导与讨论交流相结合，干部培训取得了较好效果，一是对马列主义、毛泽东思想、>邓小平理论、“科学发展观”重要思想以及党的路线方针政策有了新的深刻的认识，坚定了全面建设社会主义小康社会的信心，坚定了执行党的方针政策的自觉性，增强了“立党为公、执政为民”和深入实施科学发展观的自觉性和主动性。二是丰富了执政为民的知识，增强了为民执政的本领，为加强执政能力建设，提高执政水平打下了较好的基础。三是营造了浓厚的学习氛围，健全了机关学习的制度和机制，注入了机关工作人员爱学习、好读书、喜钻研的动力。四是对机关工作作风的改善、工作效率的提高起到了促进作用。机关干部职工的工作风进一步扎实，工作积极性进一步提高，廉洁从政的意识进一步增强，工作效率明显提升。

今后，我们要进一步总结干部培训教育工作经验，完善机关学习制度和激励机制，使学习活动经常化、制度化，树立良好的街道干部形象，更好地为辖区群众服务，为加强党的的执政能力建设创造更坚实的基础。

年度培训工作总结

（二）

教育要上去，师资是关键，师资队伍是教育事业发展的根本。在当今深化教育改革，实施>素质教育的过程中，我们更深刻地体会到：教育的改革与发展，关键在于建设一支高素质现代化的教师队伍，因此师资队伍建设是我们永恒的主题。

本期我们资队伍建设以《幼儿园指导纲要》精神为指导，坚持“以幼儿园教育质量为本，以教师和幼儿发展为本”的思想，以建设一支的师讲>师德、钻业务、愿奉献的高素质的教师队伍为目标。从我园实际情况出发，充分发挥教研工作职能，开展多向互动研究，扎实有效地深入贯彻《纲要》。坚持把提高保教质量放在第一位，通过各种教研活动的开展，积极地促进幼教事业向前发展，培养一支有较强专业化能力的教师队伍，让保育教育质量更上一个新的台阶。

随着幼教改革的不断深入，教师们都已掌握了一些正确的教育观念。但是，由于本园的多数教师都是从小学转岗而来，本期我园又有11名教师从小学转岗而来，他们的到来为幼儿园注入新的活力和生机，但是也为幼儿园教师的专业化成长带来新的问题和困难。本期我们的33名教师中，只有6名毕业于幼师，近三年从小学转岗而来的教师有27人。而且幼儿园现在是一园两点，一共11个班级，现在的教师既要从事教师工作，又要从事保育工作，不象原来的单纯教师和保育员，因此这给幼儿园教师队伍的发展带来了机遇与困惑。我们只有抓住机遇，重视教师队伍的建设，才能让全园保教质量越来越高。

一、利用园本教研组活动，促进教师的专业化成长

面对今天我园教师队伍的现状，我们利用园本教研组活动、园本培训等各种活动的开展，促进教师的专业化成长。根据教师的需要，我们确立了教师培训的五个方面的内容，即：师德培训、理论培训、教学实践能力培训、教育科研能力能力培训、现代信息技术的培训。在教研组的设置上，将以前的幼教中心组、园本教研组改为分语言、科学等五个领域的学科教研组，由教务员和骨干教师担任组长，使教研组的设置更加科学合理，并更好地发挥了骨干教师的专业引领作用。教研活动形式也更加丰富，将理论和实际问题结合起来，使教师真正进入培训的主体角色，较好地激发了教师主动参与的热情，让教师们成长于学习之中，发展于工作之中。通过各种培训活动，许多教职工明白了幼儿园的工作需要团结协助精神，需要强烈的责任心，工作中合作意识增强了，大家互相尊重，而不斤斤计较。大家在思想上达成了共识，进一步体会到：人无远虑，必有近忧。如果没有忧患意识，满足已有的成绩，只能走向失败，所以教师们都以积极的态度去面对一切，以乐观的心态迎接挑战。

二、利用帮带活动，提高教师专业成长的速度

为了建设一支有奉献精神、高素质的骨干队伍，实现“抓骨干，骨干带整体”的奋目标斗。我们加强了对骨干教师和后备骨干教师的培养和使用，坚持搞好我园的帮带活动，发扬老师们各自的优点，在互帮互助中国共产党同提高，以缩短老师们专业成长的路程。不仅骨干教师起到了较好的模范作用，使新教师在思想、业务等各方面迅速成长， 更增进了幼儿园人与人之间的友好协作与交往。参加名师工作室学习的欧德娟老师也积极主动地将学到的新理念带到幼儿园，带动一大部分教师迅速地成长起来。为了进一步促进教师的专业化成长，我们提供机会让她们参加各级各类的公开教学活动、竞赛，使她们在教学活动中经历锤炼，迅速成长，成为充满创造力，富有开拓进取精神的一支队伍。本期两位从朝阳幼儿园来支教的老师也很好地起到了传帮带的作用，她们带来了先进的教育理念和教学方法，我园的教师也很积极主动地向两位教师学习，办公室里、走廊上、绿树下，到处可听见她们在一起讨论的声音。本期的全员赛课活动，大家都积极认真地参与，许多年轻教师脱颖而出，我们为他们的迅速成长而欣喜。

三、重视教职工的思想素质的提高。

面对今天我园幼儿教师队伍的现状，师德培训是我们培训教师的重要内容之一，通过学习，许多教职工都明白了，干工作不能马虎了事，不能为完成任务而干事。在工作中关注幼儿园的每个孩子，不因个人的喜好去对待孩子，而是用心去爱每一个孩子，并让孩子和家长感受到了我们浓浓的爱意，用行动让我们的工作得到了家长的信任。

四、搞好教师和保育员两条线的常规工作，规范优化一日保教常规。 本学期的教学常规制度和常规检查制度仍按照学期初制定的实行。首先，我们利用业务学习时间对教师或保育员进行相关的理论学习，明确教师职责与保育员职责，使大家做到分工明确而又相互配合。开展现场研讨，思考怎样做才是优良的一日保教常规。第二，每位教师将常规制度融入到幼儿园的保教工作中，研读《纲要》上所讲的各领域的教学目标、要求与指导要点，同时注重幼儿一日活动各环节的具体内容、要求，根据幼儿生长发育规律、年龄特点来安排活动，做到动静交替，并以游戏为主。对幼儿的要求做到细致、具体，督促幼儿，规范幼儿的行为。教师和保育员在工作中注重保教并重，共同配合，协调组织好幼儿的一日学习、生活。

计划的制定是执行常规的一个重点，本学期，大家认真及时制定各种计划，并按时上交或贴于规定的地方。各班的班长重视幼儿园全园性工作与本班工作的结合，重视本班保教的衔接工作，教师与教师之间的交接工作，对幼儿的情况三位教师经常沟通交流，注重教育的一致性。

五、抓好园本培训工作

园本培训是教师专业成长的途径之一，本学期，园本培训按照计划认真组织教师学习，同时，我们在园本培训的基础上增加培训内容，由支教的两名教师组织学习，充分发挥支教教师的专业引领作用，使大家接触更多的幼教信息，有机会得到更进一步的成长。

六、存在的不足 经过大家的努力，我们在教师教育工作方面取得了一些成绩，但还有许多工作有待改进和提高。

1、教师的专业水平和教师的思想素质有待进一步提高。

2、常规管理制度在实效性上还有待进一步研究，还应该使其更具可操作性，并更好地注重在管理中的人文性与制度性相结合，使老师们能做到自己管理自己，使教学常规检查达到其真正的目的：优化一日活动，促进幼儿发展。

本学期，是很不平常的一学期，这学期从小学转岗而来的教师多，教师担任的角色更复杂，即要担任教师工作，又要担任保育工作，这学期教研组的建设和活动的开展都迈向了一个新的的台阶。在各级主管部门的领导下，老师们积极努力地工作，取得了一些成绩，但还存在着一些不足，我们清醒地认识到：要使办园水平真正适应新形势发展的需要，能够在激烈的竞争中站稳脚跟，必须不断努力，我们将进一步“以人为本，科学管理”，努力形成自身的办园特色，将幼儿园建成家长放心、孩子喜欢、社会信赖的和谐乐园！ 年度培训工作总结

（三）

我校教师继续教育工作，在县教育局和继续教育中心的直接领导下，在各级各类培训单位的大力支持下，取得了较好成绩，为提高我校办学初期水平和素质教育实施水平，深化教育改革和提高教育教学质量，造就一支高素质的师资队伍，作了有力的保障。根据《武陟县小学教师新一轮全员培训的学分登记方法》及《武陟县继续教育中心关于对20**年度全县中小学教师校本培训工作检查评比的通知》的要求，结合我校教师培训实际情况，学校对一年来工作情况进行认真总结、深入反思，为我校的工作打下坚定的基础，争取把下一年的教师培训工作做得更好。现将今年的工作情况总结如下：

一、进一步提高思想认识，调动各方面开展教师继续教育工作的积极性。虽然我校的教师继续教育工程及时启动，但规模小、进度慢，取得成绩不够显着。我们认为：要全面推进本校教师继教工程，首先还是要下大力气宣传关于教师继续教育工作的方针政策、意义和作用，组织学习新课程标准及六认真规范要求，开展讨论，使大家转变观念，端正认识，加大继教工作的力度，提高教师参加继续教育的自觉性。在这方面，我们主要做了以下几件工作：

1、加强>政治学习，深入理解江总书记>三个代表思想的内涵，提高对基本国情的认识，增强教师的工作责任感，树立为人的可持续发展进行教育的观念，加强师德建设，发扬奉献精神，推进教育教学的健康有序发展。

2、通过文件，会议等，大力宣传，深入发动，使得教师继续教育的理念，政策逐步深入人心，促使行政工作者和教师转变了观念，接受了终身教育的思想，提高了对继教工作的认识，加大了继教工作的力度，增强了参加继续教育的紧迫感和自觉性。

3、加强素质教育基本理论学习。素质教育与应试教育在内容规定上的不同，使部分教师对教学感到无所适从，加强教师对素质教育的认识，在教学上给其具体的引导，成为教育管理的当务之急。为此，结合教育部出版的素质教育培训教程，我校组织了系统细致的培训，培训工作分期进行，规定了量化要求，并且按照上级计划进行严密的考核。篇2：培训工作总结

培训工作总结(供电所) 培训工作是一项重要而又长期性的工作，是保证一个企业员工整体素质和企业生命力是否长久的必不可少的措施。一年来，高桥供电所在公司领导的关心支持和指导下，采取各种形式对全所职工进行了技术业务和安全知识培训，进一步使职工的工作能力得到了提高，为全面完成我所的各项工作任务打下了坚实的基础。现就我所2007年度培训工作情况总结如下：

一、2007年度培训工作计划；

1、每月进行不少于四次以上的安全知识培训。

2、每月进行不少于一次以上的技术业务知识培训。

二、2007年度培训工作完成情况；

1、安全知识培训情况；根据公司制定的月培训工作计划，我所每月进行了四次以上的安全知识培训。组织职工对《农村低压电气安全工作规程》进行了全面系统的学习，从而使职工把握了基本的安全工作知识。并针对本系统中出现的一些安全事故事例组织职工进行了深入的学习讨论，在总结经验教训的同时，结合我所的日常运行维护工作情况进行查缺补漏。在进行书面安全知识培训的同时，我所还组织了多次的现场安全工作培训，使职工把握了各种安全工器具的性能和使用方法，了解安全工作必须采取的措施和熟悉保证工作安全的方法。 通过安全知识培训学习，逐步杜绝了职工习惯性违章工作现象，至今未发生一起安全事故。

2、技术业务知识培训情况；我所在技术业务知识培训工作上采取灵活多样的方法，根据本所在工作中的需要，进行了微机操作、公文写作、用电检查、电力法规等多种技术业务知识培训。同时，在日常运行维护中，我所积极开展现场技能培训，逐步使职工把握了各种电气设备的安装技术要求，今年在公司组织的技术大比武中获得了第一名的好成绩。

三、对今年的培训工作总结；

我所今年的培训工作，仍然存在许多不足之处，由于受场地和培训设备以及培训员技术水平的限制，许多培训仍然只流于形式，没有完全地使职工能“学而知之”和学而能用之。 一个具有强生命力的企业，就是一个企业职工能不断学习的企业，已就是我们现在推行和提倡的“学习型企业”。随着电力科学的不断发展和电力企业越来越高的要求，要使职工能适应新形式的电力生产要求，就必须要使我们广大职工能不断认真的学习，紧跟时代潮流不断把握各种新的技术知识。但是，要使广大职工能真正地学而致用，我们在结合工作实际的同时还应具备适合的学习场地和培训设备，同时也要求我们的培训员具有更高的知识水平。

四、今后的培训工作打算；

对于今后的培训工作，我所打算以现场培训和书面培训相结合，但更着重以现场培训为主。在继续加强对职工安全工作知识培训的同时，结合我所今后在工作中的实际情况有针对性地进行技术业务培训，同时在今后的培训工作中，我们希望公司能对供电所的培训工作提供更加良好的学习环境和提供更多更好的培训学习设备，并且能更多地组织职工外出参观学习交流。篇3：年度培训工作总结 2015年职工培训工作总结 2015年度职工培训工作，紧紧围绕公司“标准化工作落实年活动”，从确保水质达标、安全稳定生产、提升营销管理、重点项目建设、设备工艺改造、降低产销差等主要任务出发，直面时间紧、任务重的挑战，在公司领导亲自指导和基层单位的大力支持下，以提升公司全员整体素质和创新能力、推进公司各项工作有效落实为宗旨，全面完成本年度培训计划。现就培训工作总结如下：

一、培训开展情况：

本年度开展培训21大类，112项，累计培训8867人次，1128课时，培训覆盖率100%。主要培训内容包括：

1、思想政治素质培训

围绕公司“标准化工作落实年”活动，结合唐山市精神文明建设要求，紧跟党的步伐，提倡奉献精神，全员思想政治素质得到提升。同时，我处开展“每周一题”模式，由宣传部等专业处室提供时事新闻和专业评论，作为辅助培训材料发放给各单位，目前已发放18期，得到基层单位和专业处室的普遍欢迎。全年共培训1588人次，256.5课时。

2、标准化培训

标准化培训是培训工作的重点之一，与公司“标准化工作落实年活动”及“社会管理和公共服务综合标准化试点创建工作”保持同步。本年度进一步对体系文件和管理手册深入宣贯学习，细化“国标

试点创建工作”培训计划，强化了“标准化”培训工作的督导与考核。尤其是在基层考核方面，自国标试点创建工作开展以来，每月进行笔试抽查考试，结合口头考核锻炼口语表述能力，要求达到工作标准“懂得透、记得牢、说得清、用得对”的水平。全年共培训1425人次，88课时。

3、设备改造项目培训 针对公司本年度设备改造项目，充分发挥相关处室服务基层职能，结合“请进来”的培训模式，多角度、全方位的开展培训，为新设备投产扫清技术障碍。尤其是次氯酸钠投加系统项目，设备厂家人员、安监处从各水厂实际情况出发，因地制宜的对加氯新工艺、新设备进行了全面讲解，提高了水厂干部职工对于新设备的适应能力，为平稳过渡打好了基础。目前各项改造共培训67人次，19课时。

4、培智引智工程

“走出去”与“请进来”相结合，从生产单位设备维修保养，到原水水质的保护，涵盖生产经营全方位。为公司整体发展定向提供了有力辅助，为解决各项突出困难与问题开拓了思路。共培训268人次，69课时。

5、工程师讲堂

发挥公司中高级职称人员专业技术优势，结合公司生产经营实际，开展专业技术培训。强化专业处室服务基层职能，就本部门或基层单位具体要求进行随时性灵活讲授。形成了公司内部的专业技术网络，为解决很多生产经营实际问题营造了专业化氛围，基层职工的专

业理论层次进一步提高。共培训939人次，247.5课时。

6、师徒传帮带

经过多年的学习与实践，徒弟们的职业技能有了长足的进步，已经有足够的信心和实力成为师傅们的合格接班人。在活动开展三年之际，对16位师傅的23名徒弟，进行了2015年阶段性考核，成绩全部合格。本年度共培训92人次，44课时。

7、安全知识培训

安全知识培训，是公司一直坚持不懈的重点培训之一。本年度以贯彻落实《新安全生产法》为总纲，组织了安全生产知识竞赛等大型活动，进行了消防安保、司机及兼职司机安全生产等培训课程，各生产单位分别开展了“百日安全供水考核”、“安全生产双想培训”等活动，在强化安全意识，提高安全素养的同时，着重细节的安全管理知识培训，为安全生产保驾护航。共培训1289人次，26课时。

8、突发事故和应急处理培训

各生产单位高度重视，根据以往工作经验和公司现阶段生产环境，紧密结合生产实际，针对季节性事故隐患，在全年安排了突然停电、高浊度水进厂和防汛等多项应急演练。提升了生产单位全体干部职工的应急处置能力。共培训109人次，16课时。

9、特殊工种培训

本年度完成了148人的《特种作业操作证》培训与考核工作。并为各生产单位的维修电工、焊工两个岗位职工申报办理了《国家职业资格证书》。进一步加强职工队伍建设，规范了特殊工种职业技能管

理。外培148人次，20课时。

10、岗位练兵和技能比武

本年度公司工会开展了水泵工技能比武，增进了各生产单位间的技能交流，活跃了职工磨练技能的学习气氛。各生产单位也在开展安全生产知识培训、标准化培训等其他培训活动的同时，以各种灵活形式进行了技能比赛，统计时未重复计算。共培训76人次，5课时。

11、水厂混岗培训 进一步强化职工在水泵、配电两岗位上的综合能力，结合水厂设备实际运行的具体操作步骤，讲求细节，并在处理突发情况时，捋顺操作逻辑。共培训67人次，13课时。

12、生产岗位技能培训

由各单位根据培训计划安排，从知识水平、技术能力和熟练程度入手，进行针对性培训。结合公司考核评价机制，确保了培训效果。因加氯设备工艺改造，较侧重于加氯岗位技能培训。共培训319人次，46课时。

13、水质检验工培训

主要针对二级化验室加强水质检测能力的培训。因目前水质问题比较突出，该项培训进一步加强。在考核方面，采用笔试与盲样检验相结合的方式。通过培训，将本年度各水厂的水质检测经验共享，从实际出发，提升化验员技能水平。共培训15人次，9课时。

14、水厂主要设备知识培训

为加强水厂设备管理提供了技术保障，同时为设备档案建设工作

服务。直面水厂设备新老不一，图纸参数资料不全，各水厂管理程序各异等困难，从专门负责人员入手进行培训，努力提升管理水平。共培训61人次，7课时。

15、职能处室管理培训

各职能处室结合实际工作情况，制定学习计划，开展业务知识、自身建设等方面培训，并在此基础上发挥专业知识优势，深入基层、主动服务，开展应对各种生产经营实际情况的专项培训。在这种多层次培训工作中，处室人员业务能力不断提升。共培训1469人次，224.5课时。

16、新职工培训

新职工和转岗职工的岗前培训及考核。通过培训，使新职工和转岗职工迅速进入状态，达到岗位技能标准要求。共培训25人次，25课时。

17、办公自动化技能培训

主要针对办公软件在日常生产中的应用方法进行培训，提高工作效率。同时为公司未来发展过程中可能涉及的办公程序进行培训，提升全体干部职工对于新技术的理解能力。共培训21人次，2课时。

18、供水宣传工作专项培训

随着新闻媒体的快速发展，自媒体等宣传模式的进步，如何正确的应对媒体，尤其是在突发事件中如何抢占宣传高地，正确的引导社会舆论，已成为摆在我们面前的现实问题。本年度，宣传部开展了“媒体应对与突发事件”专项培训，用大量实例讲解了正确的工作方法。篇4：年度培训总结范文

培训工作总结范文

回顾××年培训工作，我们xxxxx持之以恒贯彻落实建设学习型公司、培育学习型员工的精神，牢固树立“培训是公司的长效投入，是发展的最大后劲，是员工的最大福利”，推动公司产品向更高目标发展作出了积极贡献。一年来，做了以下培训工作总结：

一、培训工作情况

××年共举行内训24项，分别质量管理意识培训占46%，专业技能培训占50%，规章制度与职业道德培训占4%，共计57：85课时，参训27人次。 培训课程主要集中为以下几类：

1、员工必修类：企业文化培训、职业道德规范、管理制度；

2、重点培训：软件测试、开发及管理、cmmi3；

3、新员工岗前培训

二、培训费用

××年培训费用总计为522397.50元，费用均为下半年，因上半年没有做培训成本这一项。

三、培训工作分析 (一)取得的成绩：

1、××年度的培训工作与2004年度相比，从培训项目数、举办培训课程次数、接受训练的人次等方面，取得了一定的增长。

2、建立制度性培训体系。以往，公司培训工作缺乏系统性制度，培训管理幅度和力度很弱，培训资金无保证，员工培训意识差，培训工作开展十分困难。今年质量管理部投入大量精力,在总结了以往公司培训经验的基础上，优化培训管理流程，完善教育培训制度。重点加强了培训需求分析和培训项目审批流程，在多次征求各单位意见后，全面提升公司培训工作的制度化管理。

3、在××年公司通过iso9001：2000标准认证和cmm认证的基础上，引入iso100

15、gb/t19025-2001和mqms体系知识，逐步掌握与国际接轨的培训管理制度和工作程序，建立和完善职工培训教育的质量保证和效果评价体系。

4、不断改进培训方式，积极探索新的培训模式。 (二)存在的问题和不足

1、培训工作考核少，造成培训“参加与不参加一个样，学好学孬一个样”的消极局面，导致培训工作的被动。

2、培训形式缺乏创新。只是一味的采用“上面讲、下面听”的形式，呆板、枯燥，提不起学员的兴趣，导致学员注意力不集中，影响了培训效果。

3、原则性不强。不能严格执行培训纪律和有关规定，对违反者睁一只眼闭一只眼，不能按章办事，这是导致培训纪律松懈、秩序较乱的主要原因。

4、在年中所做培训中我们还不难发现，一部分人员感觉培训过于频繁，另外一部分员工则反应得不到相应培训，这是一个不容回避的问题，作为致力于学习型组织的企业，首要的培训任务是要使全员树立培训意识，为企业发展和自我发展充电。而培训层面的不均衡，更是需要××年去大力改善。

5、内部讲师授课技巧普遍不高，有待提高，制作课件水平不足，自主研发课程能力有所欠缺，所以，以上需要改善，进一步规范内部讲师管理，提升内部讲师授课水平，推行内部讲师认证，真正打造一支合格称职的内训师队伍。

三、改进措施 (一)有利条件

1、公司改制后，改制企业的机构、人员做完调整后，改制企业员工的综合素质和工作 技能的提高，以及企业文化的再建，必然是下一阶段的工作重点，培训工作的任务必将增加，良好的培训效果和质量也会越来越得到公司领导的重视。

2、随着mqms体系《培训管理程序文件》的发布，公司教育培训体系正在初步建立，培训工作有了制度的指导和约束，将大大的有利于以后工作的展开。 (二)具体措施

1、作好培训基础工作

《培训管理程序文件》虽已发布，在具体执行过程中一定还会遇到各种困难，还需要我们的不断总结和及时调整。在具体工作流程上还需要进一步理顺，在管理制度上还需要多方面补充。还要进一步加强培训资料的收集和培训器材的配置，加强相关工作人员的专业素质培训。

2、建立培训资源网络，进一步丰富企业培训资源。

公司业务的广泛性也决定了公司各部门培训需求的广泛性。为了较好的满足公司成员的培训需求，选择合适的培训课程，培训讲师，配置合适的培训资源，我们必须要取得大量及时、准确的培训信息，扩大培训业务联系，建立起自己有效的培训资源网络。特别是要积极与比较强势的专业机构保持好战略性的合作伙伴关系，及时掌握前沿的动态信息，并横向了解到业界相关的热门需求，调整思路，并就某些具体项目达成合作协议。

3、重点建立一支富有实践经验，熟悉现实情形的内部讲师团队 培训需求的多元性和企业内培训资源的有限性的矛盾，已经越来越突出。建立一支富有实践经验，熟悉现实情形的内部讲师团队就变的越来越重要了。培养起自己的内部讲师团队，首先大大节约了公司有限的培训经费，其次，为公司培养了一批各个领域内的专家，再次，也可以在员工中树立起学习的榜样，培养员工的自主学习思想。以往的实践表明，听过公司内部领导讲课的员工都能觉出，企业高级主管对企业经营认识之深刻、解释之透彻更容易让大家接受和理解，应该积极倡导高级主管都为培训工作做出良好的表率。在具体措施上，重点加强对管理人员各项培训的同时，也从制度上明确、选拔优秀管理人员作为企业内部讲师。并建立起一套企业内部讲师的日常管理、激励、考核制度。篇5：2011年培训年中工作总结 xxxxxxx2011年培训年中工作总结 2011年上半年xxxxxxx培训工作仍以技术讲课、现场培训、岗位练兵等培训方式为基准，针对电网运行情况和分部员工的需求及特点，结合“五大”体系改革、“忠诚”20

11、迎峰度夏、百日安全活动、红旗线路整治等重点工作，工学相结合制定出针对性强、实用性强的培训计划，打造交流互动为主、体会感悟为主的培训新模式，收到良好效果。

一、上半年培训工作情况 1.灵活调研，掌控培训方向。今年上半年“五大”体系改革全面启动，xxxxxxx的成立， 220kv输电电设备交接至我分部运维，在年初制定的培训计划已无法满足分部员工的诉求，为使员工尽快适应新的工作职责，增强岗位适应能力，提高专业技术分部立即展开了以需求为导向的培训调研工作，深入了解员工喜欢，易于接受的培训方式，改进现有培训方式，根据调研结果，调研培训重点，先后开展了“比技术 强能力 夯基础 促提升”线路运维汇报竞赛，“大家来找茬”反违章安全教育活动，“平稳度夏 坚强电网”应急演练等形式多样、内容丰富的教育培训项目，极大的提升了员工的热情和参与意识，在参与中体验、在参与中总结。 2.注重安全培训，提高员工安全意识。之所以把安全培训单独列出来，是因为安全培训的重要性。安全培训是培训工作的重中之重，是必须常抓不懈的。按公司要求 xxxxxxx各班组站每月坚持开展安全教育课，分部领导、专责均到场参加，组织员工对安全工作规程，相关安全文件进行全面系统的学习，从而使员工掌握安全工作基本知识。在安全课上，还针对系统中出现的一些安全事故案例组织员工进行深入的学习讨论，在总结经验教训的同时，结合分部的日常维护工作情况查漏补缺。此外，在开展书面安全知识培训的同时，分部还组织多次的现场培训，使员工熟悉掌握各项安全工器具的性能和使用方法，了解生产工作必须采取的标准化作业流程和安全措施。 3.立足岗位勤练兵，技能培训促提升。为更好地适应电网的高速发展和掌握先进技术，在开展定期培训的同时，分部根据电网设备运行情况、季节特性等情况，坚持每月开展岗位练兵、技术讲课2-3次，有效提升员工的技能技术水平，此外，为适应“五大”改革新形势下电网发展的需要，分部致力于开展“一专多能”培训，根据个人工作中需要，还开展了计算机操作、公文写作、电力法规、office操作等培训，同时在日常的运维工作中，分部有意识的加大生产工器具的使用程度，创造员工练手机会，以工促训，在工作中体现培训价值。此外，对于一些必学的、必须掌握的技术技能，分部采取，多次、反复培训的方法以加深员工印象，便于员工掌握。

与此同时，2011年上半年分部员工职业技能鉴定工作也 稳步提升，分部积极响应“二次创业”、“光耀渝州”等活动内容号召，扎实有效的开展职鉴工作，为积极推进技能人才队伍建设，动员员工参与职鉴申报工作，申报人数同比去年有了大幅度提升。为使员工顺利通过职鉴考试，分部采取外聘教师、内请专家等形式，开展了针对性的理论、实做培训，在线路专业初、中级工考试中，参考员工均全员通过。 4.促进思考，提升培训效果。分部在开展培训时坚持增加在培训前测试和培训后考试两个环节。培训前测试，让员工了解自身知识结构及储备的不足，提升学习欲望；培训后考试，增加压力，提升主动学习意愿，并检验培训效果，并根据员工兴趣适当安排学员总结培训效果，促进思考，更加深体悟。

二、存在问题及建议 1.培训经费紧张、周期短。目前分部开展培训工作陷于经费的不足，往往都会让内部技术骨干开展讲课，但是因为缺乏讲课技巧或知其然不知其所以然，在一些技术含量较强、知识较深的培训中往往不能使参培人员完全、深入理解。培训效果收效甚微。 2.注重实践方面培训，适当增加理论知识培训。电力专业是逻辑性较强的一门专业，首先应具备非常深厚的理论知识，才能在实践中快速提高，同时在实践中加深对理论知识的理解，这样才能使理论知识与实践知识达到良性的结合。 3.新进员工工作经验略显不足，一些工作流程还不够熟悉，对于应急事件的处理还不能够做到胸有成竹、处乱不惊，存在着诸多疑虑。

三、下半年计划 1.提高线路巡视人员的实际操作水平以及就地判断线路缺陷以及就地协调处理突发外力破坏能力。

2.加强应急演练，提高分部人员事故处理应变能力和各工种处理事故时的相互协调、协作能力。

3.建立目标培训新模式，加强培训学习定目标的力度，对于达到培训目标给予奖励、强化员工培训欲望，提高员工参培积极性，强化培训效果。

第16篇：《矩阵论》教学大纲

《矩阵论》课程教学大纲

一、课程性质与目标

（一）课程性质

《矩阵论》是数学专业的选修课，是学习经典数学的基础，又是一门最具有实用价值的数学理论。它不仅是数学的一个重要的分支，而且业已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。

（二）课程目标

通过本课程的学习，使学生掌握矩阵论的基本概念，基本理论和基本运算，全面了解若干特殊矩阵的标准形及其基本性质，了解近代矩阵论中十分活跃的若干分支，为今后在应用数学，计算数学专业的进一步学习和研究打下扎实的基础。

二、课程内容与教学

（一）课程内容

1、课程内容选编的基本原则

把握理论、技能相结合的基本原则。

2、课程基本内容

本课程主要介绍了线性空间、线性映射、酉空间、欧氏空间、若当标准型、矩阵的分解、矩阵的分析、矩阵函数和广义逆矩阵等基本内容。

（二）课程教学

通过本课程中基本概念和基本定理的阐述和论证，培养高年级本科生的抽象思维与逻辑推理能力，提高高年级本科生的数学素养。

三、课程实施与评价

（一）学时、学分

本课程总学时为54学时。学生修完本课程全部内容，成绩合格，可获3学分。

（二）教学基本条件

1、教师

教师应具有良好的师德和较高的专业素质与教学水平，一般应具备讲师以上职称或本专业硕士以上学位。

2、教学设备

配置与教学内容相关的图书、期刊、音像资料等。

（三）课程评价

1、对学生能力的评价

逻辑推理能力，包括逻辑思维的合理性和严密性。

2、采取教师评价为主的评价方法。

3、课程学习成绩由期末考试成绩（70%）和平时成绩（30%）构成。课程结束时评出成绩，成绩评定可分为优、良、中、及格和不及格五个等级，也可采用百分制。

四、课程基本要求

第一章线性空间和线性变换

基本内容：线性空间 线性变换

基本要求：

（1）理解线性空间有关内容。

（2）掌握线性变换及其矩阵表示。 第二章内积空间 基本内容：欧氏空间、酉空间、正交基、正交变换 基本要求：

理解内积空间的有关性质 掌握正交投影 了解酉变换

第三章矩阵的对角化、若当标准型

基本内容：矩阵对角化、埃尔米特二次型、若当标准型 基本要求： 掌握矩阵对角化 了解埃尔米特二次型 理解若当标准型 第四章矩阵的分解

基本内容：矩阵的分解、矩阵的谱分解矩阵奇异值分解

基本要求：

（1）掌握矩阵的三角分解与满秩分解。

（2）掌握可对角化矩阵的谱分解。

（3）掌握奇异值分解。

第五章向量与矩阵的重要数字特征

基本内容：向量范数与矩阵范数、相容性

基本要求：了解向量范数与矩阵范数及相容性 第六章矩阵分析

基本内容：向量、矩阵序列的极限、矩阵的微分 基本要求：

理解向量、矩阵的极限 了解矩阵的微分 第七章矩阵函数

基本内容：矩阵多项式 基本要求：了解矩阵多项式 第八章矩阵的广义逆

基本内容：M-P逆、广义逆与线性方程组 基本要求： 掌握M-P逆

了解广义逆与线性方程组

五、学时分配 : 章节

授课学时

线性空间和线性变换

6 内积空间

6

矩阵的对角化、若当标准型

6

矩阵的分解

12

向量与矩阵的重要数字特征

矩阵分析

矩阵函数

6

矩阵的广义逆

6

合计

54

六、教材和主要参考书：

教材：卜长江主编《矩阵论》哈尔滨工程大学出版社 参考书：矩阵论引论陈祖明编北京航空航天大学出版社 矩阵分析王朝瑞编国防工业出版社

大纲编写时间：2012.06 教学大纲编写教师：薛丽红 教学大纲审查教师：沙仁格日乐 教务处审查人：

第17篇：矩阵论教学大纲

课程编号： 课程中文名称：矩阵论B 32学时/ 2学分

英文译名：Matrix Theory 适用领域：工科各专业

任课教师：林锰，王锋，李斌，张文颖，王淑娟，吴红梅 教学目的：

矩阵理论是高等学校理、工科研究生的一门重要的基础课程，作为一门基础工具，矩阵论在数学学科与其它科学技术领域都有广泛的应用。矩阵理论是在线性代数的基础上，进一步介绍线性空间与线性变换、欧氏空间与酉空间以及在此空间上的线性变换，深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。为了拓展高等数学的分析领域，通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。

本课程要求学生掌握多项式矩阵的Smith标准型、一般方阵的Jordan标准型的化简；了解Eclide空间与Hermite二次型的有关理论与方法；理解向量与矩阵的范数概念，掌握矩阵的幂级数与方阵函数的概念与理论及其相关运算；掌握矩阵的分解等。通过对本课程的学习，使学生进一步掌握数学的基本思想方法，从而提高分析问题与解决实际问题的能力。

从应用的角度，矩阵代数是数值分析的重要基础，矩阵分析是研究线性动力系统的重要工具。为了矩阵理论的实用性，对于矩阵代数与分析的计算问题，利用Matlab计算软件实现快捷的计算分析。

矩阵论的教学方式由教师授课，教师授课学时为32学时。 教学主要内容及对学生的要求：

一、线性空间与线性变换 8学时

理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义；理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示。

二、内积空间 6学时

理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系；了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定方法；理解酋空间的概念，会判定一个空间是否为酋空间的方法，掌握酋空间与实内积空间的异同；掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质，

三、矩阵的对角化与若当标准形 6学时

掌握矩阵相似对角化的判别方法；理解厄米特二次型的含义。会求矩阵的约当标准形；会求史密斯

准形；会求若当标准型

四、矩阵分解 4学时

会求矩阵的三角分解和UR分解；满秩分解和单纯矩阵的谱分解；了解矩阵的奇异值和极分解。

五、向量与矩阵的重要数字特征 4学时

理解向量范数、矩阵范数；有限维线性空间上向量范数的等价性；向量范数与矩阵范数的相容性。

六、矩阵分析 4学时

理解向量和矩阵的极限的概念；掌握矩阵幂级数收敛的判定方法；理解矩阵的克罗内克积；会求矩阵的微分与积分； 对学生的要求： 通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。本课程还要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。 考核方式：闭卷；笔试

主要参考书目：

[1] 林锰，杨丽红。矩阵论教程，北京，国防工业出版社，2012 [2] 程云鹏． 矩阵论(第二版)[M]．西安：西北工业大学出版社，2002年。

第18篇：企业文化评估矩阵

企业文化评估矩阵

企业文化评估矩阵概述

企业文化评估矩阵又称为企业文化诊断与评估系统（Corporate-Culture Measurement and Aement System，CMAS），我国大部分企业文化研究者和企业文化咨询师在企业文化的诊断与评估上一般只是直接应用国外现有的企业文化测量工具，由于大部分企业文化从业人员来自文科背景，往往缺乏用数据模型解释企业文化现象和本质的能力。

实际上，在国外经过多年研究开发出来的企业文化诊断工具，在直接应用于中国文化背景下的企业时，往往会发生解释上的困难。

北京仁达方略管理咨询公司较早地认识到了这个问题，从1995年起，在10多年的企业文化研究与咨询实践中，积累了大量的企业文化案例，跨度达电力、石油、煤炭、金属和矿产、房地产、金融、航空航天、制造、旅游、IT等多个行业领域，并于2001年投入大量资金组建了面向中国企业的企业文化诊断评估工具研发团队，并开发出了中国第一套企业文化综合诊断评估系统(Corporate-CultureMeasurementandAementSystem， CMAS)。

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企业文化评估矩阵分析

企业文化评估矩阵包含12个维度(Dimensionality)，33个要素(Factor)。利用CMAS系统所测定的企业文化的12个维度，包括工作环境、组织制度、管理方式、内部沟通、员工激励、领导和决策、培训与员工发展、员工工作动机、员工满意度、员工忠诚度、文化建设以及理念与价值观，这12个维度涵盖了企业文化的理念层、制度层和行为层三个层次的内容，同时与现代企业管理的主要职能和要素有着很好的对接，该评估结果将比较全面和准确的反映我国企业文化的综合竞争力状况。

通过数据的计算，中国企业文化现状的综合评分为3.50分（采用5点计分法）。该得分总体上比较高，这与我国近几年来企业文化建设的大环境有着重要的关系。

从各维度的具体数据中我们就可以看得出来，理念与价值观（3.69）、文化建设（3.66）、员工工作动机（3.69）以及组织制度（3.62）这四个维度评分最高，领导和决策（3.51）略高于平均分。而其他七个维度得分则略为偏低，其中管理方式（3.22）、内部沟通（3.22）和员工忠诚度（3.25）分数最低，其次是员工满意度（3.45）、工作环境（3.47）、员工激励（3.46）、培训与员工发展（3.40）。

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企业文化评估矩阵的应用

企业文化评估矩阵可以广泛运用于各种企业、团队、以及个人。通过对在国内多家机构的应用来看，该矩阵的调查问卷具有良好的信度和效度，问卷的信度系数（Alpha）在0.72至0.93之间，能够全面反映被测试机构的文化现状，从而为企业文化的提升和完善提供量化的依据。一般的企业运用该模型可以达到以下目的。

1.了解并熟悉企业当前的组织氛围、员工态度与企业文化现状，对目前企业文化优势 和不足做出基本评价。

2.与行业平均企业文化水平或者其他经营业绩好的企业文化进行比较分析，根据企业所期望的业绩确定文化变革的目标。

3.明确企业文化变革的短期、中期和长期目标和任务。

4.提高领导者个人对企业文化的认识，进一步引导他们积极发挥企业文化的作用。

5.提供个人和企业双方都可以使用的企业文化诊断评估报告，形成共同认可的企业文化建设思路，建设科学的、合理的企业文化体系。

第19篇：矩阵学习心得体会

矩阵学习心得体会

在线性代数的基本知识基础上，我通过矩阵的学习，系统地掌握了矩阵的基本理论和基本方法，进一步深化和提高矩阵的理论知识，掌握各种矩阵分解的计算方法，了解矩阵的各种应用，其主要内容包括矩阵的基本理论，矩阵特征值和特征向量的计算,矩阵分解及其应用，矩阵的概念，了解单位阵、对角距阵、三角矩阵、零矩阵、数量矩阵、对角距阵等。这些内容与方法是许多应用学科的重要工具。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。

我通过学习得知，矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的，而矩阵本身所具有的性质是依赖于元素的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。

矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。

矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。

矩阵这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（有深圳网域提出）等等。

矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1801年德国数学家高斯把一个线性变换的全部系数作为一个整体。1844年，德国数学家爱森斯坦讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家西尔维斯特首先使用矩阵一词。1858年，英国数学家凯莱发表《关于矩阵理论的研究报告》。他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、两矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等。并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的，但一般不可交换，且m*n矩阵只能用n*k矩阵去右乘。1854年，法国数学家埃米尔特使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由德国数学家费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。

至此，矩阵的体系基本上建立起来了。

第20篇：几何证明选讲第一讲：相似三角形

几何证明选讲

>知识框图

第一讲 相似三角形的判定及有关性质

一．考纲要求

掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理。

二．知识梳理

1.平行线等分线段定理

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

2.平分线分线段成比例定理

平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

3.相似三角形的判定及性质

(1)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。

判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。AA

判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。SAS

判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。SSS

(2)直角三角形相似的判定：

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；

（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比

1例，那么这两个直角三角形相似。

(3)相似三角形的性质：

相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比；

相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。 4.直角三角形的射影定理 射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。 三．诊断练习

1．如图1，ΔABC中，∠1=∠B，则Δ∽Δ．此时若AD=3，BD=2，则AC=． 2.如图2，CD是RtΔABC的斜边上的高．

（1）若AD=9，CD=6，则BD=；（2）若AB=25，BC=15，则BD=．

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B

C图1 图

23．两个三角形相似，它们的周长分别是12和18，周长较小的三角形的最短边长为3，则另

一个三角形的最短边长为． 4.在平行四边形ABCD中，

点E在边AB上，且AE：EB=1：2，DE与AC交于点F，

B 若△AEF的面积为6cm2，则△ABC的面积为cm2． E

5.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC

DBF

于F，则=.FCF四．范例导析

1.如图， △ABC中，AB＝AC，AD是边BC的中线，P是AD上一点，CF//AB，BP的延长线分别交AC、CF于点E、F，求证：BP2＝PE·PF

D

C

2．在ABC中，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F,求证：CEF∽CBA

五．练习巩固

1.（2011安徽）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2.E,F分别为

B

AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABCD与梯形EFCD的面积比为

2.(2011年高考陕西卷理科15)（几何证明选做题）如图BD,AEBC,

ACD90,且AB6,AC4,AD12,则BE0

3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，ABb,CDa,E为AD边上的任意一点，

EF

∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：

DEAEDEAEDE

1时，有EF2时，有EF3时，有EF

ab2a2b3a3b

①当②当③当

； ； ．

4AE

DE当k时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示EF的一般结论是____.AE

4.已知：

AD垂直于BC交于D，AB-BD=AC-CD求证：三角形ABC为等腰三角形

《证明矩阵相似.doc》

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