考研数学：高数中的重要定理与公式及其证明(一)

高数中的重要定理与公式及其证明

（一）

文章来源：跨考教育

考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。

现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。

1）常用的极限

lim

ln(1x)

x

1，lim

e1x

x

x0x0

1，lim

a1x

x

x0

lna，lim

(1x)1

x

a

x0

lima，

1cosx

x

2

x0



12

【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想

过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1x)xe与

x0

lim

sinxx

x0

1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技

巧。 证明：

lim

ln(1x)

x

x0

1：由极限lim(1x)xe两边同时取对数即得lim

x0

ln(1x)

x

x0

1。

lim

e1x

x

x0

1：在等式lim

ln(1x)

x

x0

1中，令ln(1x)t

te1

t

，则xet1。由于极限

过程是x0，此时也有t0，因此有lim

t0

1。极限的值与取极限的符号

是无关的，因此我们可以吧式中的t换成x，再取倒数即得lim

lim

a1xe

x

e1x

x

x0

1。

x0

lna：利用对数恒等式得lim

a1x

x

x0

lim

e

xlna

1

x0

x

x

，再利用第二个极限可

xlna

得lim

1

x0

x

lnalim

e

xlna

1

x0

xlna

lna。因此有lim

a1x

x0

lna。

lim

(1x)1

x(1x)1

x

a

a

x0

a：利用对数恒等式得

lim

x0

lim

e

aln(1x)

1

x0

x

alim

e

aln(1x)

1ln(1x)

x

x0

aln(1x)

alim

e

aln(1x)

1

x0

aln(1x)

lim

ln(1x)

x

x0

a

上式中同时用到了第一个和第二个极限。

x

2sinsin

1cosx1cosx11limlimlim：利用倍角公式得lim222

x0x0x0x2xx2x0x

2

x

1

2

。

2）导数与微分的四则运算法则

(uv)uv,d(uv)dudv(uv)uvuv,d(uv)vduudv()

vu

\'\'

\'

\'

\'

\'

\'

vuuvv

\'\'

uvduudv

,d()(v0)2

vv

【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。

而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。 3）链式法则

设yf(u),u(x)，如果(x)在x处可导，且f(u)在对应的u(x)处可导，则复合函数yf((x))在x处可导可导，且有：

f((x))

【点评】：同上。 4）反函数求导法则

\'

f(u)(x)或

\'\'

dydx



dydududx

设函数yf(x)在点x的某领域内连续，在点x0处可导且f\'(x)0，并令其反函数为xg(y)，且x0所对应的y的值为y0，则有：

g(y0)

\'

1f(x0)

\'



1f(g(y0))

\'

或

dxdy



1dydx

【点评】：同上。

5）常见函数的导数

x



\'

x

\'

1

，

\'

sinxlnx

\'

cosx，cosxsinx， 1x

x



，logax

\'

\'

1xlna

，

e

x



\'

e

，axexlna

【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。 证明：

x



\'

x

1

：导数的定义是f\'(x)lim





f(xx)f(x)

x

，代入该公式得

)1

x

1



x0

x





\'

lim

(xx)x

x

(1x



x

x0

xx

)1

x

1

x0



(1lim

x

xxx

。最后一

步用到了极限lim

x0

(1x)1

x

a

x0

a。注意，这里的推导过程仅适用于x0的情形。

的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。

\'

sinxcosx：利用导数定义sinxlim

\'

sin(xx)sinx

x

，由和差化积公式得

x0

x0

lim

sin(xx)sinx

x

2cos(x

lim

x0

xx

)sin

x

cosx。cosx\'sinx的证明类

似。

lnx

\'



\'

1x

：利用导数定义lnxlim

1xlna

\'

ln(xx)lnx

x

lnxlna

ln(1

lim

x0

x)

1x

x0

x

。

logax

的证明类似（利用换底公式logax

）。

e

x

\'

e

x

：利用导数定义e

x



\'

lim

e

(xx)

e

x

x0

x

lime

x0

x

e

x

1

x

e。a

x

x



\'

elna

x

的

证明类似（利用对数恒等式axexlna）。

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