考研数学高数真题分类—中值定理

发布时间：2020-03-02 17:49:01 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

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第三章中值定理

综述：中值定理的证明一直是考研数学的难点.在考研数学一的考试中，这一部分的出题的频率比较稳定，一般两年出一道大题.从考试的情况来看，考生在这一部分普遍得分率不高.其主要原因是练习不够，不熟悉常见的思想方法，以及对证明题惯有的惧怕心理.其实这一部分的题目也是有一定套路的，只要掌握一些常见的证明思路，在大多数情况下就都可以轻松应对了.本章需要用到的主要知识点有：闭区间上连续函数的性质（有界性、最值定理，介质定理），费马引理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和积分中值定理.根据题目的形式，我们将这一部分的题目分为了3种类型：中值定理的简单应用（直接能作出辅助函数的），复杂的中值定理证明（需要对等式变形才能作出辅助函数的），证明存在两点,a,b使得它们满足某种等式.常考题型一：对中值定理内容的考查

1.【02—3 4分】设函数fx在闭区间a,b上有定义，在开区间a,b上可导，则（）

A当fafb0时，存在a,b，使得f0

fxfB对任何a,b，有lim0 xC对fafb时，存在a,b，使f\'0 D存在(a,b)，使f(b)f(a)f()(ba).中公考研，让考研变得简单！

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2.【04-3 4分】设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)0,f(b)0，则下列结论中错误的是()

(A) 至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)>f(a).(B) 至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)>f(b).(C) 至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)0.(D) 至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)= 0.3．【96-2 5分】求函数f(x)式.

1x在x0点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开1x4.【03-2 4分】y2x的麦克劳林公式中x项的系数是 .

n常考题型二：闭区间上连续函数性质

5.【02-3 6分】设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)0.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[a,b]，使

baf(x)g(x)dxf()g(x)dx.

ab常考题型三：罗尔定理的使用

6.【08-2 4分】设f(x)x2(x1)(x2)，求f(x)的零点个数() A0 B1

C2

D3 7.【07—123 11分】设函数f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)g(a),f(b)g(b)，证明：存在(a,b)，使得f()g().8.【00—123 6分】设函数fx在[0,]上连续，且fxdx0，

0fxcosxdx0.试证：在0,内至少存在两个不同的点、012，使得f1f20.9.【96—2 8

分】设fx在区间

a,b上具有二阶导数，且fafb0,fafb0试证明：存在a,b和a,b，使f0，中公考研，让考研变得简单！

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及f0.10.【03—3 8分】设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)f(1)f(2)3,f(3)1.试证：必存在(0,3)，使f()0.

11.【10—3 10分】设函数f(x)在0,3上连续,在0,3内存在二阶导数,且2f(0)f(x)dxf(2)f(3), 02(I) 证明存在(0,2),使f()f(0);; (II) 证明存在(0,3),使f()0．

12.【93—3 6分】假设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点A(0,f(0)),B(1,f(1))的直线与曲线yf(x)相交于点C(c,f(c))，其中0c1，证明：在(0,1)内至少存在一点，使f()0

【小结】：1.对命题为f(n)()0的证明，一般利用以下三种方法：

（1）验证为f(n1)(x)的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；

（2）验证f(n1)(x)在包含x于其内的区间上满足罗尔定理条件.（3）如果f(x)在某区间上存在n个不同的零点，则f(n)(x)在该区间内至少存在一个零点.2．证明零点唯一性的思路：利用单调性；反证法.4.证明函数在某区间上至少有两个零点的思路有：证明该函数的原函数在该区间上有三个零点；先证明至少有一个零点，再用反证法证明零点不是唯一的.（这些结论在证明题中不能直接应用，应用它们的时候需要写出证明过程，但记住它们对复杂一点的证明题是很好的思路提示.）

4.费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明过程都是需要掌握的，它们不但是直接的考点。所涉及的思想方法在中值定理的证明过程中也有重要应用。

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常考题型四：柯西中值定理的使用

13.【03—2 10分】设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，f(x)0.若极限limxaf(2xa)存在，证明：

xa(1)在(a,b)内f(x)0; (2)在(a,b)内存在点，使

b2a2baf(x)dx2； f()22(3)在(a,b)内存在与(2)中相异的点，使f()(ba)2bf(x)dx.aa

14.【08-2 10分】 (I) 证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点[a,b]，使得

baf(x)dxf()(ba)；

(II)若函数(x)具有二阶导数，且满足，(2)(1),(2)点(1,3)，使得()0.

(x)dx，则至少存在一

23常考题型五：辅助函数的构造

15.【09—123 11分】（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数fx在a,b上连续，在(a,b)可导，则存在a,b，使得fbfafba

fxA，（Ⅱ）证明：若函数fx在x0处连续，在0,0内可导，且limx0则f0存在，且f0A

16.【98-12 6分】设yf(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1) 试证存在x0(0,1),使得在区间0,x0上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间x0,1上以yf(x)为曲边的梯形面积.(2) 又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f(x)2f(x),证明(1)中的x0是唯一的.xx17.【13—3 10分】设函数f(x)在[0,]上可导，f(0)0且limf(x)2，证明

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（1）存在a0，使得f(a)1

（2）对（1）中的a，存在(0,a),使得f\'()1.a18.【95—1 8分】假设函数fx和gx在a,b上存在二阶导数，并且gx0，fafbgagb0，试证：

（1）在开区间a,b内，gx0；

ff（2）在开区间a,b内至少存在一点，使.gg19.【96—3 6分】设fx在区间0,1上可微，且满足条件f12试证：存在0,1，使f120xfxdx，

f0.20.【01—3 9分】设fx在区间0,1内可导，且满足上连续，在0,1f1kxe1xfxdxk1证明至少存在一点0,1，使得f\'11f

21.【99—3 7分】设函数fx在区间0,1内可导，且上连续，在0,11k01.试证： f0f10,f12（1）存在1,1，使f； 2（2）对任意实数，必存在0,，使得ff1.22.【13—12 10分】设奇函数f(x)在[1,1]上具有二阶导数，且f(1)1.证明：

（0,1）（I）存在，使得f()1；（II）存在1,1，使得f()f()1。

【小结】：

1.构造辅助函数的方法：1）.将待证明结论中的改为x；2）.通过初等变换将等式化为容易积分的形式；3）.积分求出原函数，积分常数取作0；4）.将等式两边移到一边，即中公考研，让考研变得简单！

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是所需辅助函数.

(n)2.如果要证明的等式为f()P()fn10，则令辅助函数为F(x)eP(x)dxf(n1)x。然后证明该函数满足罗尔定理，即可得到想要的结论。对命题为f(n)()0的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证为f(n1)(x)的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证f(n1)(x)在包含x于其内的区间上满足罗尔定理条件.

常考题型六：双中值问题

23.【05—12 12分】已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)0，f(1)1，证明：

（1）存在(0,1), 使得f()1；

（2）存在两个不同的点,(0,1)，使得f()f()1.

24.【10—2 10分】设函数f(x)在闭区间0,1上连续,在开区间0,1内可导,且111f(0)0,f(1),证明：存在(0,),(,1),使得f()f()=22.

32225.【98—3 6分】设函数fx在a,b上连续，在a,b内可导，且fx0.试

febea证存在,a,b，使得e.

fba【小结】：

1.等式中含有两个参数,的题目一般需要用两次柯西中值定理：由f(b)f(a)f()f(b)f(a)f()f()，得到f(b)f(a)g(b)g(a)，g(b)g(a)g()h(b)h(a)h()g()f(b)f(a)f()f()f()h(b)h(a)，从而有g(b)g(a)h(b)h(a)，h()g()h()再通过初等变换得到需要证明的等式.2．当要证明的等式关于,具有轮换对称性时或题目中明确要求,不相同时，通常的做法是：选取适当的点c(a,b)，在a,c和c,b上分中公考研，让考研变得简单！

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别应用中值定理，然后得到所需要证明的等式.常考题型七：泰勒中值定理的使用

26.【01-1 7分】设yf(x)在(1,1)内具有二阶连续导数且f\"(x)0,试证： (1) 对于(−1,1)内的任意x0, 存在唯一的(x)∈(0,1) ，使f()xf0()立；

(2) lim(x)x0xf\'()xx成1.227.【96-1 8分】设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件|f(x)|a,|f(x)|b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内任一点,证明|f(c)|ba2.228.【99-2 8分】设函数fx在闭区间1,1上具有三阶连续导数，且f10，f11，f00，证明：在开区间1,1内至少存在一点，使f3

29.【01-2 8分】设f(x)在区间[a,a](a0)上具有二阶连续导数,（f0）0, (1) 写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; (2) 证明在[a,a]上至少存在一点，使af()33aaf(x)dx.

参考答案：

1.【02—3 4分】

B 2.【04-3 4分】 D 3.【96-2 5分】

1x2xn12nnn1f(x)12x2x(1)2x(1)(01) n21x(1x)(ln2)n4.【03-2 4分】

n!5.【02-3 6分】略 6.【08-2 4分】 D

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