初中数学概念课教学模式案例简析
潘志
数学概念教学是数学教学的重要组成部分，因为数学概念是进行判断、推理的基础，清晰的概念是正确思维的前提．笔者参加完成的浙江省教育科学规划2000年度立项课题“培养创新意识的初中数学课堂教学模式探索”，开始于1999年12月，至今已达2年多时间，历经在理论与实践上的反复探索，形成了以培养学生创新意识为目标的初中数学课堂教学模式．根据初中数学课堂教学的内容，数学概念课教学模式为：探究数学概念产生的实际背景→提出数学新概念→揭示新概念的内涵与外延，以及与旧概念的联系→运用新概念解决问题→小结反思新概念形成过程．本文将通过一则“教学案例”的简要分析谈谈我们的一些具体做法． 教学内容：代数式
教学目标：了解代数式的发生发展过程，揭示代数式概念与一次式的联系与区别，初步掌握与运用代数式的概念解决问题；了解式的扩充是从特殊到一般，再由一般到特殊的认识过程；用代数式概念作为载体，设计探究过程，发展学生的数学探究能力；在探究新概念“代数式”的学习过程中，渗透数学史的有关知识；使学生体验数学美以及数学来源于生活，服务于生活的真谛．
以下是教学过程．
1 探究数学概念产生的实际背景
教师活动：课前准备：（1）在生产、生活实际中，一切事物间的数量关系都能用一次式表示吗?（2）有关新概念“代数式”的发生、发展史料收集．
课前：（1）布置探究问题；（2）提供查询方向，将学生探索的结果进行引导、加工、组合．
学生活动：（1）学生课前根据教师的问题通过多渠道查询（如网络、图书馆、个人资料、小组讨论、请教他人等等），准备答案及素材；（2）亲身体验有趣而丰富的调查研究结果的过程，并形成一定的观点、看法；（3）学生之间交流、讨论并与教师交流所获得的信息，加工信息，写出结论．
简析：使学生通过收集和思考问题，尽快地投入到对新概念的探究中去．从而激发学生好奇、探究和创造欲望，将获得的材料、信息在自己的大脑中进行比较分类，分析概括，从而提高学生的心理品质与思维能力，使学生养成一种喜欢探究问题的良好习惯．
教学活动：学生举例收集（选择部分内容）：
（1）运动员经ｘ秒跑完400米，平均速度：400／ｘ米/秒；（2）一个三角形的底边长为ａ，高线长为ｂ＋1，它的面积：（1／2）ａ（ｂ＋1）；（3）棱长为ｘ的立方体，它的体积：ｘ；（4）大米单价是每千克3．20元，食油单价是每千克8．40元，买ａ千克大米和ｂ千克食油的总价：3．20ａ＋8．40ｂ（元）；（5）梯形高线长ｈ，上、下底分别为ａ和ｂ，梯形面积：（1／2）（ａ＋ｂ）ｈ．
简析：从实际问题出发，经过数学化，与学生共同从中提炼出上述问题的共性特征：用运算符号把数与字母连结而成的式子（称为代数式）．
2 提出数学新概念
教师活动（电脑展示“代数式”的有关数学史料）：卡片1：伟大的德国数学家莱布尼茨说过：“符号的巧妙和利用符号的艺术，是人们绝妙的助手，因为它们使思考工作得到节约，在这里它以惊人的形式节省了思维．”
教师组织学生共同欣赏、领悟、体验概念发生、发展的合理性与必要性；通过交流、对比，完善新知识的产生，打破传统的教师讲，学生听的整齐划一模式．
学生活动：资料获取的主人——学生有表情地朗读：经过联想、归纳等途径，形成对“代数式”发展史的一连串了解（卡片1：收获——代数式发明的意义）．
简析：使学生享受创造的快乐和成功的喜悦，形成课堂上探究式学习的一次高潮．
教师活动（电脑展示“代数式”的有关数学史料）：卡片2：俄国数学家罗巴切夫斯基也说过：“利用了符号，数学上的每一个论断，它所要描述的东西就可以更快地被别人所了解”（促进学生对数学概
３念情感认识以及对“代数式”发展的认识与思考）．卡片3：丢番图是最早自觉运用一套符号，以使代数式的思路和书写更加紧凑，更加有效的人．卡片4：代数式的真正创始人是法国数学家韦达，而笛卡儿、莱布尼茨等数学家发展和完善了代数式的表达方法（了解“代数式”表示的优越性；学生收获——数学家对代数式发展的贡献）．卡片5：关于运算符号，我国到了清朝末年，数学家李善兰在翻译西方数学书时有较多的引用．全面接受西方近现代的代数式，大约是20世纪最初十年内的事，从某种意义上说，这也影响了我国数学的发展（及时自然地对学生进行我国数学史知识的渗透）．
3 揭示新概念的内涵与外延，以及与旧概念的联系
教师活动：学生练习（请同学们利用代数式进行编题，看谁编得富于生活的气息，更有实用的意义）．
开放性思维训练：（1）通过学生的举例，结合Ｐ．68第3题的练习，思维的发散性、广阔性品质得以锻炼，同时暴露了数学方法思维和形成的过程；（2）让同学们了解形形色色不同含义的问题，它们的代数式却有可能一样，反映了事物间的一种本质的联系．
学生活动：学生甲：2008年奥运会400米中长跑比赛，我国奥运健儿与另一国家运动员的跑步速度分别为（400／ｘ）米/秒，（400／ｘ＋20）米/秒．学生乙：两地相距400千米，一学生骑车从甲地到乙地，每小时行ｘ千米，则所需时间为400／ｘ小时，如果速度每小时加快20千米，则从甲地到乙地需（400／ｘ＋20）小时．
简析：开放的思维形式使学生的想象力充分激发，列举的事例遍及了生活的方方面面；加深了对“代数式”的认识、理解，形成了技能；学生的想象力被充分激发，创意的气氛洋溢在整个教室．
教师活动：设问（代数式与一次式有何区别与联系），教师总结点拨：代数式的概念是代数式中最基本的概念，是一次式的扩展，是今后学习分式、根式等概念的基础．
学生活动：学生个别回答，相互补充、完善新概念的内涵、外延及其与一次式的区别、联系．
简析：通过揭示新概念内涵、外延及其与旧概念（一次式）的联系，使学生关注“代数式”获得的途径；这番阅历使学生所学知识变得生动、形象、感人．
教师活动：列举不符合新定义的反例，ｓ＝（1／2）ａｈ，－2，ｃ是代数式吗?单独的一个数或一个字母也是代数式．
完善代数式概念：说明为何要补充的理由（训练学生思维的缜密性）．
学生活动：学生抢答、发表见解，将概念扩展深入再探究．发现“代数式”的概念并非一步到位，有明显的阶段性和层次性．
4 运用新概念解决问题
教师活动：根据给定的各个数量之间的和、差、积、商、倍、分等数量关系列代数式．
例1 用代数式表示：
（1）ｘ的3倍与ｂ的差；（2）ａ除以ｃ、ｄ两数的和所得的商；（3）ｍ与－2两数的平方和．
题型变式：（1）ｘ与3ｂ的差；ｘ的平方与ｂ的差；ｘ与ｂ的平方的差；（2）ｖ１、ｖ２的和除ｓ所得的商；（3）ｍ与－2两数和的平方．
分析：（1）数字与字母相乘，省略乘号，数字写在字母前面；（2）除法结果用分数线表示；（3）理清运算顺序．
点评（深化学生的交流结果）：（1）列代数式要注意关键词．如：大、小、多、少、和、差、积、商、倍、分等的意义；（2）理清文字语言中体现的运算顺序，分清层次．
学生活动：学生交流探索，并回答各类变式问题，从而形成合乎逻辑的论点．
简析：引进“变式训练”教学：（1）不但将学生的练习巩固，化整为零，同时进行了整理分化以达到对“代数式”概念的明确、清晰的描述．（2）“变式”带来的“对比式”教学：通过对比教学，让学生认识到代数式表达的优越之处，在学生认知的最近发展区内，实施知识的迁移，领会蕴含其中的方法要点，熟练掌握代数式数学语言运用的两个方面：代数式的实际意义与列出代数式．
教师活动：根据小学已经学过的图形的周长和面积公式，时间、速度与距离，工作效率、工作总量与工作时间等数量关系列出代数式（所列周长ｌ＝2ａ＋2πｒ，面积ｓ＝2ａｒ＋πｒ是不是代数式）．
例2 有一个半径为ｒ的圆及一个长、宽分别为ａ与2ｒ的矩形，如果其中的圆可以剪截，请你利用这两块不同图案组合，设计出你认为最美丽而又易于计算周长与面积的花坛（图形可以叠合）．
设计分层启发式教学：（1）这些设计中，谁的花坛最美?（2）谁设计的花坛周长最短（意味着造价低）?（3）谁设计的花坛面积最大? 学生活动：展开浓烈的好奇的设计，热烈的小组讨论；作品展示．
简析：引进“开放式训练”教学：克服了学生常见的思维定势，凸现了“代数式”的优势；使学生自始至终参与教学活动的全过程，美育渗透与活泼的创造情趣紧紧地扣住了学生的心理；强烈的想象氛围，自然引出了学生强烈的探索欲望；思维的变式、发散、求异等优秀的思维品质在这一开放训练中落到了实处．
5 小结反思新概念形成过程
小结：重要概念——代数式内涵、外延与旧知识一次式的联系区别；猜测、类比、联想、探究、创造等思维活动的开展，以变式、开放训练为载体的对学生能力的全面培养．
作业：（略）
参考文献
1 岑申主编．九年义务教育初级中学课本（试用） 数学第二册．杭州：浙江教育出版社，1998 2 瑜文琪．要注重概念和知识的发展过程的教学．中学数学教学参考，2000，12 3 张维忠．周晓虹．培养学生创新意识的初中数学课堂教学案例简析．中学数学教学参考，2001，4
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