国培总结
作者： 杨普照 (初中数学
资阳市初中数学505班 ) 评论数/浏览数： 0 / 129 发表日期：
2012-12-04 11:34:05
国培总结
四川省安岳县周礼镇初级中学 杨普照
2012年的国培从9月至12月，为期三月时间我的收获很大，通过专家们的讲解，和观看视频与拓展资源，不管是知识的系统学习还是业务水平都得到了不小的收获，现从下做一小结。
一、对标准的理解更完善。
“实验稿”提出了三维目标，关注学生通过数学学习过程有更大的收获，在教学中引导教师们关注学生的学习，关注学生自主、合作、探究的学习方式的形成，十年来，中小学的数学课堂发生了巨大的变化。
但是，任何认识都需要过程，作为对我国传统数学教育做了重大变革的数学“实验稿”，仍然存在一定问题，比如，实验稿标准的结构与表述方面存在着严谨性和准确性的问题，尽管提出了过程性目标，但是由于对数学的教育价值的认识的全面性与清晰性不足，因此一些目标的表述存在不够清晰之处，同时，在选择实现目标的数学内容方面，也始终存在着争议，因此，自2005年起，教育部就启动了数学课程标准的修订工作，历时6年之久，义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简称“修订版”）终于浮出水面，但是需要我们注意的是，本次修订是改良而非改革，也就是使得对“实验稿”课标的总体理念继承的基础上的完善和修订，下面我们就一起来交流探讨下本次修订的具体内容。 (一)．增强了结构与表述的严谨性和准确性
一个最明显的变化是“修订版”将课程目标中的关键术语的解释和所有比较完整的案例统一放在附录中，案例进行统一编号，这样结构显得更加清晰，也便于查找和使用。
这种结构的调整在各对应部分也存在，比如，与“实验稿”想比，“修订版”的前言部分增加了“课程性质”部分，将“实验稿”隐含在的意思专门提炼出来，作为设计数学课程的逻辑起点。再比如，课程内容部分，将三个学段统一按照数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践设计，体现了整体性和系统性。
除了结构的调整外，“修订版”在措辞表述上也更加具有逻辑性，比如，前言中，实验稿为“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。”，修订稿为：“数学是研究数量关系和空间形式的科学”，这种表述比较符合对一个学科的刻画——指明学科的研究对象、研究范畴（需要注意的是，这种表述也同样存在争议，它虽然尽管经典，但是许多数学家都认为这种表述不能代表现代数学的特征），而数学教学要注重过程，但数学是科学，不是过程，而注重过程，在“修订版”的基本理念、课程目标、内容标准、实施建议等部分进行充分强调。 另一个令人关注的地方是“实验稿”中的：“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”在修订稿中改为“人人都能获得良好的数学教育；不同的人在数学上得到不同的发展”，这两句话前者说得是“平等”，后者强调的是“差异”，而义务教育数学课程的特征在于“基础性”，即让未来公民获得所需要的基本数学素养。 (二)．更加明确地提出了一些课程目标 1.从“双基”到“四基”
对学生培养目标作了修改。在原来“双基”的基础上，提出了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。
“基本思想”是我国数学教育一直以来都重视的，修订版课标更加强调诸如公理化推理（演绎、归纳 、类比）、转化 、数形结合 、模型思想等，力图将我国数学教育的优秀传动进一步发扬光大。
“基本活动经验”的提出意味着数学教学重视过程，事实上，数学自身具有经验本性，一方面，正如康德所说：一切知识始于经验，另一方面，人类认识世界也必然需要经历“感性-理性-感性”的过程，其中感性认识及时对经验的重视。值得重视的是，数学活动经验的特点总是与探究活动联系在一起，重视基本活动经验意味着我们重视给学生更完整的数学过程：发现现象-提出问题-猜想-验证（论证）-分析-解决-一般化…… 数学活动可以分为如下类型： 真实的实践活动（例如调查身高；测量建筑物高度；制作足球模型等），还包括虚拟情境下的问题解决活动（例如：巨人的手；设计满足条件的花坛；研究任意三根棒能否构成三角形；牙签压线概率；摔坏的玻璃板…），..数学内部问题解决的探究活动：例如怎样计算分数加法？怎样计算有理数加法？尺规作图；给一个三角形，你能画出一个和全等的三角形吗？ 1 从“双能”到“四能”
既要重视分析和解决问题的能力，还要培养学生发现和提出问题的能力，这一点在“实验稿”中已经作出要求，而在“修订版”课本中的要求更为明确。 问题的来源可以来自现实生活、其他学科，也可以来自数学内部，重要的是教师要有一双善于发现问题的眼睛，有意识地留给学生提出问题的机会、并且教给学生一些提出问题的方法，例如情境要素分析法特殊化、一般化、类比等。 (三)．课程内容 1.课程内容关键词
“实验稿”课标的课程内容的设计围绕着六个关键词设计：数感 、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力，而“修订版”课标则提出了10个关键词：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。这些关键词有的没有变化例如数感、推理能力、应用能力，有的表述变化，但是本质没有变化，比如符号感与符号意识、统计观念与数据分析意识，而修改过的表达更加通俗、准确，有的则是新增的，这其中运算能力尽管“实验稿”课标尽管未提及但是实践中，没有一位数学教师能够忽视，因为“算”和“证”是数学的两件最有利的工具。
下面具体解释几何直观、模型思想和创新意识。
几何直观：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。应该说，几何直观脱胎于“实验稿”中的 “空间观念”，但是又不同于“空间观念”，而是更加强调图形作为一种思维工具的作用。 模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。
创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。 每个关键词都是数学课程中的核心概念，核心概念往往是一类课程内容的核心或聚焦点，它有利于我们把握课程内容的线索和层次，抓住教学中的关键。
数学课程核心概念不是数学概念，也许不需要明确告诉学生，但是这些概念是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中，课程内容紧密结合的，并在数学内容的教学中有机地去发展学生的数学素养。 2.具体课程内容的调整 （1）数与代数
这一学习领域中，1-3学段和4-6学段都没有变化，7-9学段则对代数式的运算提出了一些新要求，包括：
数与式：知道｜a｜的含义（这里表示有理数）；增加了最简二次根式、最简分式的要求。
方程不等式：*解简单的三元一次方程组（选学，不做考试要求）； 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。*了解一元二次方程的根与系数的关系（选学，不做考试要求）
函数：实验稿 “会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题”调整为修订版：“ 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a（x-h）2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。” 增加了：*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。(选学，不做考试要求） 2.图形与几何
1-3学段中图形与几何的要求总体上有所降低：
“图形的运动（原为图形与变换）中，实验稿中““能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。 ”调整为修订版：“能辨认简单图形平移后的图形。 ”
图形与位置中，实验稿：从“在东、南、西、北和东北、西北、东南、西南中，给定一个方向（东、南、西或北）辨认其余七个方向，并能用这些词语描绘物体所在的方向；会看简单的路线图。”改为修订版：“给定东、南、西、北四个方向中的一个方向，能辨认其余三个方向，知道东北、西北、东南、西南四个方向，会用这些词语描绘物体所在的方向 。 4—6学段 图形的认识：
实验稿：从“能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置”
修订版：“能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图 ”
图形的性质 点、线、面、角 相交线与平行线 三角形 四边形 圆 尺规作图
定义、命题、定理
测量中，增加了“知道面积单位千米
2、公顷”，图形的运动（原为图形与变换）中，在“能利用方格纸等形式按一定比例将简单图形放大或缩小”后，不再要求“体会图形的相似”。 7-9学段“图形与几何”的变化较大。
首先从这一学习领域的结构上，“实验稿”分为“图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明”，而“修订版”则重新设计了结构，“图形的性质、图形的变化、图形与坐标”组织，如下图所示：
图形的认识 点线面 角
平行线与相交线 三角形 四边形 圆 尺规作图 视图与投影 图形与证明 了解证明的含义
作为证明依据的基本事实 需要利用基本事实证明的命题
另外，在具体内容的选取上，也做了一些调整： 删掉的：梯形的要求；圆锥的侧面积、全面积； 增加的：
圆的理论：垂径定理（选学，不做考试要求）；圆内接四边形；切线长定理（选学，不做考试要求） ；三角形的内心与外心；
尺规作图：过一点做已知直线的垂线；已知一直角边和斜边做直角三角形；做三角形的内接圆、外接圆；做圆的内接正方形和正六边形。 （3）概率与统计
在1—3学段，概率内容不再出现，统计内容则没有明确的知识点的要求（如条形统计图、平均数），而是通过具体活动体验诸如最大、最小、极差、众数等概念在描述一组数据中的作用。 在4-6学段，概率仅做可能性大小的定性描述的要求，不做定量的计算概率的要求； 统计则删去了统计量中的中位数、众数 概念的要求，仅保留了平均数；
在7-9学段的概率无变化，而统计去掉了极差概念。 （4）综合与实践
7-9学段原为“课题学习”，改为“综合与实践”后， 重视学生自主发现问题、提出问题的过程；还 提出了：反思总结、形成论文或研究报告的要求。
二、对教学的设计更完美
（一）单元教学设计 1.单元教学设计的意义
教学设计是我们教学中非常重要的环节。大家都知道做任何事情都需要做一个设计，有一个设计就会使我们做的更加主动。
单元设计，首先什么是单元，比如说一章，比如说一个模块，比如一个模块里的一块面，比如说一元二次方程这章，我们可以把它当作一个完整的内容来进行设计。当然，也可以做跨章节的内容的教学设计。比如说一次函数，我们可以把一次函数这章分为三块，一块是平面直角坐标系，函数知识初步，一块是一次函数的知识，第三块是反比例函数的内容。函数知识是初中的一个重点，怎么样对这些进行教学设计，我们有一个整体的思考非常重要。 另外，老师应该能够关注关于方法和能力方面的单元教学设计。比如计算，我们就可以考虑一下，作为一个计算能力，在初
一、二年级里，怎么样进行设计。使得我们的学生从小学的水平，能够有一个明显的提升。我们可以分析一下，支持计算能力的，在课程中有哪些载体。然后在这些载体中，应该如何帮助学生提升他的计算能力。所以我想这样的一些思考，都是单元教学的设计的很重要的内容，与我们传统单元的教学设计的内容，需要开拓一点，视野开拓一点。在单元教学设计，有一个，或者有两个核心的主题词，第一个是整体，第二个是效率。
我觉得做好单元教学设计，会使你知道在什么时候，我讲到什么程度，我后面还会对这件事情有所解释的。当然现在对单元教学设计的思考范围还是更大一些。比如对有一些概念，比如说弧度的概念，我们也可以对他有一个单元的思考。因为绝不是说讲弧度的定义的时候，才会涉及到弧度。只能这样就无法向学生解释清楚为什么加人弧度概念等等，所以我们应该以一个整体的观点来思考我们整体的教学。这样会提高教学效率。 2.单元教学设计的含义
单元教学设计：对教材中的章或单元等相对完整、综合的教学内容进行教学设计。
一课时教学设计：对适合在一节课内实施的教学内容进行教学设计。
教学内容 课时安排
单元教学设计 单元/章 多节课
一课时教学设计 节/知识点 一节课 教学形式 多种 一种
3.单元教学设计的原则与注意事项
(1)以单元或章为单位，体现各个知识点之间的逻辑关系 (2)体现单元学习的完整性 (3)体现单元学习的层次性
(4)多种教学形式相结合，教师主导、学生探究相结合 (5)注重单元内容的综合运用 (6)提供评价方法及模板…… 4.如何进行单元教学设计 （1）基本结构框架
(2)新课程标准指出：数学课程的设计，要充分考虑本学段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心里特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。
以下以“实数和二次根式”的单元教学设计为案例： 1.内容定位：“实数和二次根式”在初中数学课程定位 本章内容是学生学习勾股定理、一元二次方程、函数等重要内容的基础 2.目标：“实数和二次根式”在实现目标的作用
（1）认识数的概念是从实践中产生和发展起来的，学生对数系的发生、发展有一个较系统和辩证的认识，进而提升学生对数学知识的规律性的认识；
（2）数学语言：自然语言、符号语言、图形语言等；
（3）提高“数学表达和交流的能力”，培养学生的数感和估算能力； （4）“实数和二次根式”体现了“数形结合、类比的思想方法”。 3.在课程中基本脉络
（1）与“实数和二次根式”有联系学过的内容：有理数、数轴、有理数的计算、相反数和绝对值的概念等
（2）与“实数和二次根式”有联系的将要学习的内容：
本单元内容属于“数与代数”领域中较基础的内容，尤其是二次根式的加、减、乘、除运算是后续学习锐角三角函数、一元二次方程和二次函数的重要基础。例如：锐角三角函数中会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到将二次根式化成最简二次根式以及二次根式的加减运算。 另外，本章内容与“整式”“勾股定理”等联系紧密，在加强练习的过程中，要注意强调知识的相互联系，进一步加深对整式和勾股定理等内容的理解，使学生养成以联系和发展的观点学习数学的习惯。 4.学生分析：习惯、态度、对学过内容的掌握 5.教材分析
（1）教材分了17个学时讲授，2个学时复习，写出具体课时安排 （2）可能遇到问题 6.教学设计的一些问题 （1）什么内容以教授为主 （2）如何利用学过的知识
（3）如何组织学生自主学习：利用符号语言梳理学过内容 （4）让学生总结一些好的案例：比较不同语言表述同一对象 （5）如何提示学生“实数和二次根式”在后面学习中的作用
（6）“实数和二次根式”将伴随学生经历从初中到高中学习的过渡，在教学设计中关注以下问题：①学生的学习习惯；②学生学好数学的信心；③帮助学生梳理学习过的内容 7.教学反思、总结 （1）收集一些教学案例 （2）与自己教学比较 （3）完成一个总结 （4）修订自己的教学设计
上节课谈到了单元教学设计，这节课我们来谈谈
（二）课程目标在教学设计中的体现
新课程改革推出了新的课程目标，而要把课程目标转化为老师的日常教学行为是很不容易的，这是推进新课程的一个重要环节。在课程目标与教学设计之间，我们既要考虑“新课程目标的内涵” ，又要考虑“ 如何围绕课程目标进行教学设计” 以及“怎样的教学设计才是有效的” 等问题。所以只有首先弄清楚这些问题，我们才能说走进了新课程。 1.如何理解初中数学新课程目标
（1）课程目标的内涵：
课程目标分为总目标和学段目标，从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面加以阐述。
数学课程目标包括结果目标和过程目标。结果目标使用了“了解”“理解” “掌握”“运用”等行为动词表述，过程目标使用了“经历”“体验”“探索”等行为动词表述。
（2）新老课标的对比变化
在总体目标中突出了“培养学生创新精神和实践能力”的改革方向和目标价值取向。
“双基”变“四基”是此次修订后最引人注目的课程目标的变化。 课标实验稿：“双基”：基础知识、基本技能；
2011版课标：“四基”：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。并把“四基”与数学素养的培养进行整合：掌握数学基础知识，训练数学基本技能，领悟数学基本思想， 积累数学基本活动经验。 课程目标提法上的一些变化：
明确了使学生获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（数学“四基）。提出了培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力。
目标具体从“知识技能”“数学思考”“问题解决”“情感态度”四个方面阐述。 学段目标的表述方式有所改变。
以前强调的双基是指基础知识、基本技能，双基教学重视基础知识、基本技能的传授，讲究精讲多练，主张“练中学”，相信“熟能生巧”，追求基础知识的记忆和掌握、基本技能的操演和熟练，以使学生获得扎实的基础知识、熟练的基本技能和较高的学科能力为其主要的教学目标。现在提出的四基不但包括了基础知识、基本技能，还增加了基本思想、基本活动经验。
史宁中教授指出：“„基本思想‟主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想。”要求数学教师必须为儿童的学习和个人发展提供了最基本的数学基础、数学准备和发展方向，促进儿童的健康成长，使人人获得良好的数学素养，不同的人在数学得到不同的发展。“双基”变“四基”，任重而道远。
“双能”变“四能”： 2011版课标明确提出增强学生“发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”，由原来倡导的“双能”（分析和解决问题的能力），增加了发现和提出问题的能力，有利于学生创新意识的培养。 2.围绕新课程目标的教学设计如何进行？
宏观的课程目标和微观的教学设计是教学目标落实的一个问题。课程目标实际上规定了一个底线，教学中我们要把握这个底线，从这个底线出发，根据具体的学生和具体的情况来具体处理。
课时设计在教学设计中是很重要的，如何进行课时设计呢？首先，必须考虑这堂课从何处着手？这就要求教师要先了解学生已经达到的水平，包括知识技能水平、数学思考的水平、解决问题的水平以及情感、态度、价值观等方面的水平。第
二、应该为学生的多样性发展做好准备。因为在一个班级中，学生的发展程度是不同的，水平参次不齐，所以教师在考虑教学方法的时候要充分考虑到多样性的问题。例如，可以补充相关的教学资源，针对不同水平的学生，提供有层次的思考题。第
三、教师在设计单元教学目标的时候，要充分考虑四个方面的要素：①学习的主体 —— 学生；②行为 —— 学生学习的行为；③条件 —— 教师的活动，教师为学生的学习提供哪些资源，做了哪些准备工作；④程度 —— 这堂课要达到的标准。
3.体现多元化教学目标
教学目标应明确，符合课程要求，切合不同水平的学生实际，能够导教、导学、导测量。
案例：课题“火车的第六次提速” 教学目标： 知识目标:
1.通过对例题的探究进一步提高学生列一元一次方程解决行程问题的能力，绝大部分学生能够运用列一元一次方程解应用题的方法来解决相关的行程问题。
2.通过经历从列车时刻表和材料中获取信息解决问题的过程，提高学生的观察能力和收集分析数据信息并用于解决实际问题的能力。 3.通过运用方程的思想解决实际问题培养学生要善于从生活中的实际问题中建立数学模型，并用数学的方法解决实际问题的能力。
（制定出了经历运算与建模过程、在实际问题中处理数据的方法的过程中，掌握应用题中行程问题的基本知识和技能，有助于形成解决简单问题的数学活动经验的目标） 能力目标：
通过对实际问题的探究，能够发现、提出日常生活或生产中可以利用方程的思想来解决的较简单的实际问题，并正确地表述问题及其解决过程 创设情景--建立数学模型--用数学的方法解决实际问题---开放问题探究 （制定出了可操作性很强的能力目标，通过课程体会数学的基本思想和思维方式） 情感目标:
1.体验生活中的数学无处不在，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，达到人人学有价值的数学的目的。
2、通过本节课的教学，力求让学生从感官上了解了我国科学技术飞速发展的成果，激发学生的爱国意识，为祖国的强大和飞速发展而感到自豪。
（数学教师要改变传统数学课堂教学的枯燥、无味，力求设计出可激发学生学习数学的热情和兴趣的课程内容，尽量降低学生的厌学情绪） 4.围绕课程目标设计学习活动
围绕目标进行学习活动设计，有利于学生思维品质和学习能力的培养。
【案例】三角形的性质--角的性质的教学设计 ①用学生的眼睛发现问题的设计
活动1：一块三角形玻璃板，有一个角被打碎，现在知道没有被打碎的两角分别是60°和50°，则被打碎的角是多少度？
1.和情境导入中的拼图法相呼应。以学生熟悉的拼图游戏入手，领悟游戏中的数学思维，调动学生的积极性，培养动手能力、归纳能力。 2.明确添加辅助线的目的：构造平角、构造平行线间的同旁内角；通过添加辅助线的方法，渗透转化、归
一、构造的数学思想方法。
这个设计的特点是：后面设计的问题在前面是有铺垫的，如果没有前面 “ 一 ” 和 “ 二 ” 的铺垫，直接把问题 “ 三 ” 摆出来，学生的思维就没有距离，没有空间，就断裂了，那就完全是老师在想，而非学生在想。 通过刚才的活动1的过程，学生会想：知道了又如何？这个时候就需要老师引导他们思考这里面的深层含义 ④用学生的学习经验发展问题的设计 活动4：探究多边形内角和 类比四边形内角和的探索方法，探究五边形、六边形内角和……，得到多边形内角和为：（n-2）1800 【设计意图】通过探究多边形的内角和，体验数学知识的趣味性和关联性。明确辅助线在几何证明中的重要作用。再次体验转化的数学思想。获得解决问题和分析问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。
其实在教学设计中，问题的设计是很有讲究的，那么问题的设计需要注意哪些问题呢？
首先，设计问题的目的是什么？我认为设计问题有两个立足点，第一个是课标；第二个是学生。要从学生生活和已有知识、经验基础的角度，然后来引进，这两个引进之间有一定的距离。课程目标的要求很高，学生的生活可能和它离得很远，那么这个中间就需要很多问题来做铺垫。比如刚才案例里面设计的问题，就是一个逐步提高、由浅入深的过程。问题的设计要符合学生的认知习惯。问题的设计要由浅入深、逐步推进，这样学生就更容易理解、把握。
教学设计中一定要思考怎样使学生真正弄懂这节课内容，怎样使学生在这节课中发展其思维能力。教学过程的设计，最终还是落实在学生的学，学生学的效果如何才是最本质的问题。这就要求老师在设计中时时体现课程目标。
（三）学生的主体地位在教学设计中的体现 新课标提出：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。
我将从以下几个方面谈谈学生的主体地位在教学设计中的体现： 1.问题讨论，引发探索兴趣
有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，应体现“以人为本”的理念，促进学生的全面发展。学生是数学学习的主体，在积极参与与学习活动的过程中不断得到发展。
学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上，可以通过接受学习的方式，也可以通过自主探索等方式；学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践；学生在获得知识技能的过程中，只有亲身参与教师的精心设计的教学活动，才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展。 【案例】 估计方程x2+2x-10=0的解
【设计意图】 估计方程的解，不仅仅在于求解，也有利于学生直观地探究方程的性质，初步感悟，通过代入数值进行计算也是求方程解的有效途径。一般来说，如果把一个数代入方程左边得到的值为负，把另一个数代入得到的值为正，则在这两个数之间可能有方程的解。根据这个原理，用二分法可以估计方程的解。 分析这个一元二次方程，当x的绝对值较大时，方程的左边必然为正，如-5和3；当x的绝对值较小时，方程的左边必然为负，如2。那么，在-5和2之间，以及在2和3之间方程可能有解。进一步，用同样的道理可以将解的范围缩小，使我们估计的解尽可能精确，如选-5和2的中间值-1.5代入方程的左边进行计算，如果得到的值为正，则在-1.5和2之间有解，否则在-5和-1.5之间有解。可以借助计算器来完成上述的计算过程。 进一步，教师引导学生用公式法解出方程的解，然后借助计算器求解的近似值，并将得出的近似值与前面的估计值进行比较。 2.设计出生活中的数学
无论是设计、实施课堂教学设计，还是组织各类教学活动，不仅要重视学生获得知识的讲授，而且要获得用数学知识解决生活中的问题的基本技能，引导学生在参与数学活动的过程中积累基本经验，培养学生在生活中主动探索意识。
【案例】在火车的第六次提速的教学设计中
这节课以新闻联播的视频为起始点，可以既让学生平时多关注国家大事又可以促使学生思考数学和这个生活问题有什么联系，他会期待要学习什么数学知识，如何用数学知识来解决这个问题，那么很自然地调动了他的学习兴趣和注意力。 紧接着老师又抛出了距离之最；时间之最；意义之最；中国第一列开动的动力车组；去北戴河游玩的方案设计一系列生活中的问题，提供信息的方法还多样化，有上网查的，有表格，有图形的，通过这一系列解决生活中的问题，使学生不由自主地进入到数学学习中，把一节行程问题的应用题课上的有声有色。不仅极大地调动学习积极性，而且引发了学生的数学思考，使学生掌握了恰当的数学学习方法，获得了一些生活经验，如：根据时刻表计算时间的方法，如何看火车时刻表等。 【案例】在勾股定理教学设计中
活动：探究直角三角形三边上的正方形面积之间的关系
（1）据说古希腊数学家毕达哥拉斯在一次赴晚宴时，看着由正方形木板铺成的地面，如下图所示。他发现了一个很有趣的规律，你也来看看？ 【设计意图】
通过地板问题的引入，激发学生的探究欲望，以实际问题作为切入点导入新课，学生从中体会“数学来源于生活”
（2）在图2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
（3）你能发现图1-2中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ 【设计意图】 （1）如何表示图形C的面积是难点。学生不能够直接数出C中的网格，又没办法计算出正方形的边长，这时引导学生，我们学过表示一个图形的面积，除了直接表示法，还可以用间接表示法。在此可以采用割补法求出C的面积，突破了难点。
（2）采用点→线→面的处理方法，给学生充分时间与空间让学生参加发现，探索，解决问题的情境中，使思维得到了很好的训练。达到了在师生平等交流的气氛中，共同学习的目的。为接下来的勾股定理的证明做铺垫。 3.设计出探索型的数学
好的教学活动设计，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。一方面，学生主体地位的真正落实，依赖于教师主导作用的有效发挥；另一方面，有效发挥教师主导作用的标志，是学生能够真正成为学习的主体，得到全面的发展。
实行启发式教学有助于落实学生的主体地位和发挥教师的主导作用。教师富有启发性的创设情境、设计问题，引导学生自主探索、合作交流；组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，都能有效地启发学生的思考，使学生成为学习的主体，逐步学会学习。 【案例】在勾股定理教学设计时 活动2：将规律由面积转向边长
（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ （直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方） （3）上述规律对任意直角三角形仍然成立吗？ 【设计意图】
由特殊到一般，通过设置问题链，引导学生观察、发现、探索、总结规律。感受数学知识的形成过程。 活动3：证明勾股定理
（1）用4个全等的直角三角形，两条直角边分别为a、b，斜边为c。你能拼出以c为边的正方形来吗？
如何求所得大正方形的面积？你能得出什么结论？
还有根据课程目标，教师要把落实学生情感态度的目标作为己任，努力把情感态度目标有机地融合在数学教学过程之中。设计教学方案、进行课堂教学活动时，应当经常考虑如下问题：
如何引导学生积极参与教学过程？ 如何组织学生探索，鼓励学生创新？ 如何引导学生感受数学的价值？
如何使他们愿意学，喜欢学，对数学感兴趣？ 如何让学生体验成功的喜悦，从而增强自信心？
如何引导学生善于与同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意见，又能独立思考、大胆质疑？
如何让学生做自己能做的事，并对自己做的事情负责？ 如何帮助学生锻炼克服困难的意志？
（四）因材施教在教学设计中的实施 1.因材施教的基本含义
所谓因材施教，是指在教学过程中，教育者应该尊重和承认学生的个性差异，从学生的实际出发，使教学设计的深度、广度、进度适合学生的知识水平和接受能力，同时考虑学生的个性特点和个性差异，使每个学生的才能品行都得到发展。因材施教是教学中一项重要的教学方法，在教学中根据不同学生的认知水平，学习能力以及自身素质，教师选择适合每个学生特点的学习方法来有针对性的教学，发挥学生的长处，弥补学生的不足，激发学生学习的兴趣，树立学生学习的信心，从而促进学生全面发展。 其实因材施教是一种教学模式,也是一种教学方法,在学校教学中,学生的个体差异尤其明显,所以学校教育应以人为本，尊重学生个性差异，促进学生个性发展。通过对学生需要的引导，兴趣的培养，积极发展学生个性的独立性、创造性，教学应视学生具体情况予以个别对待、因材施教。 2.因材施教的当代内涵 学生生理及认知、情感、意志、个性等差异,这是“材”的核心内容,是因材施教的着眼点和依据。但我认为“ 因材施教 ” 的 “ 材 ” ，要考虑两方面的情况：
一、学习对象即学生的情况，要根据学生的认知水平和心理特征来进行有效的教学；
二、教材的情况，要依据课程标准，根据不同的教材内容要进行不同的教学设计。
由于教师在教学过程中起主导作用。学生的身心发展主要靠教师的引导，而教师之间也是存在身心差异的，所以每位教师要根据自身条件，寻找学生、教材与自我三者之间的结合点，使课堂教学成为促进学生个体发展的最佳实践场所。比如，很多教师在对学生进行知识教学时，可以把“情感激发”作为一个重要的结合点，先根据教材内容的需要调整自己的喜怒、哀、乐，然后引导学生对教材内容进行理解，同时外化自己的情绪、情感，引起师生共鸣，再让学生在充满情感的状况下去自我理解自我感化，实现特定情感下的最大化发展。无疑这也是因材施教的另一种表现形式。 3.标题设计趣味化
在教学设计时通过分析教材、学生，根据教学内容，设计一些趣味化的小标题，激发学生的学习兴趣，探索欲望，也可以让学生的思维有条理，便于学生积累数学活动经验。
案例：在“火车第六次提速”的教学设计中老师分别设计了这样一些小标题 材料1：距离之最 材料2：时间之最 材料3：意义之最 材料4：中国第一列开动的动车车组 4.教学目标弹性化
教学目标是指通过教学使学生得到何种发展，以及发展到何种程度的指向性标准。教学目标是教学的出发点，也是教学的归宿，它对教学的实施具有诱发、导向、调控和激励的功能。教学目标的弹性，反映在教学要求方面，就是对不同层次的学生，应有不同的学习目标要求。例如，教科书的正文和练习、习题中的基础题是要求全体学生都会的内容，而灵活运用和探索研究是为学有余力的学生设置的。同一高度的教学目标，不可能适合所有的学生，教学目标的弹性，应是在把握学生基本状况和数学素质教育基础要求的大前提下，既体现《数学课程标准》对全体学生的基本要求，又体现部分优等生能够达到的更高层次要求，变全班同一的教学目标，为保底不封顶的分层教学目标。围绕弹性化的教学目标，为不同基础的学生设置不同的学习目标，并据此来进行课堂教学。这样的做法有利于每个学生都能获得成功的体验，因此有助于诱发学生积极的自我评价，并有利于促使学生自我激励心理的产生。弹性化的教学目标也有助于教师灵活把握课堂教学，调控教学进程，把“不同的人在数学上得到不同的发展”的理念真正落到实处。 5.问题设计层次化
教学设计中的问题设计要设计一些有层次的问题，要符合学生的认知习惯，要由浅入深、逐步推进，这样学生就更容易理解、把握。另外，问题设计还要考虑怎样调动学生的思维，激发学生学习的积极性。此外，问题的设计，还应该注意到问题否真是学生的问题。 【案例】“一元一次方程的应用---学会选择”的教学设计
例
1、某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同.随身听和书包单价之和是462元，随身听的单价比书包单价的4倍少8元.
（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？ 引导学生审题并思考： （1）第一问是一道常规应用题
（2）审题明确题中的未知量：随身听的单价，书包的单价.（3）分析等量关系：
①随身听的单价+书包的单价=462 ②随身听的单价=4 书包的单价-8.（4）设未知数 （5）列方程 （6）解与答 （2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 【设问】1.选择的标准
2.“打折”的含义： 3.完成选择的“关键词” 例
2、请你决策：
某中学准备在甲、乙两家公司为毕业班学生制作一批纪念册.甲公司提出：每册收材料费5元，另收设计费1500元；乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费.如果学校派你去甲、乙两家公司订做纪念册，你会选择哪家公司？ 【设问】
（1）选择哪家公司的标准是什么？ （2）制作费用由哪个量决定？ （3）你会做出怎样的选择？为什么？ 【设计意图】层层设问，层层分析，帮助学生明晰题意，将实际问题转化为数学问题，初步体验数学模型的建构过程，领悟“未知”转化为“已知”的辩证思想。 6.作业布置多样化
课后布置作业的一个重要目的,就在于帮助学生巩固所学知识内容,提高他们应用所学知识解决问题的能力。在普通教学实践中,老师会根据中等学生的水平，给全体学生布置相同的作业。这样的作业对于成绩中等的学生来说,能够起到较好的促进作用,对于学习优秀的学生则显得过于简单,只能是浪费时间,相反对于基础比较差的学生,则可能难以独立完成而只能抄袭,当然起不到应有的作用。因此,为更好地促进全体学生的发展,针对不同学生的实际情况,教师可多样化布置给不同类型的课后作业。例如对于学习有困难的学生，教师可布置只要求学生简单应用所学知识即可解决的基础型题目。而对于学习中等的学生,教师可布置一些需较复杂地应用所学知识解决的练习型作业。对于学有余力的优秀学生，教师则要布置一些应综合应用所学知识解决的拓展型或创造型习题。当然，根据学生不同的学习情况来多样化布置作业,确实需要教师付出更大的精力去选择题目和批改作业,但教学效果是十分明显的，的确能促进每个学生更好地发展。 【案例】
作业:针对自己的情况1.必做，
2、3选作 1.《课本》P127：
1、2 2．某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队员能否进入三楼灭火？
3.一个梯子长2.5m，顶端A靠在AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5m，梯子滑动后固定在DE位置，测得BD长0.5m，求梯子的顶端下落了多少米？
样化等方法，激发学生的学习兴趣，探索欲望，便于学生积累数学活动经验，设计要面向全体学生，使得：人人都能获得良好的数学学习，不同的人在数学上得到不同的发展。
通过国培的学学习，我收获很多，以后如果有机会还想参加一次，用以提高自己的综合能力。
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