第一讲微分中值定理

发布时间：2020-03-02 17:54:06 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

第一讲微分中值定理

教学内容：

1.罗尔定理；

2.拉格朗日中值定理； 3.柯西中值定理.教学目的与要求：

1.深刻理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理；

2.熟练掌握用罗尔定理和拉格朗日中值定理证明等式或不等式解题方法.【教学重点】

拉格朗日中值定理.【教学难点】

与中值定理有关的证明.

§3.1 微分中值定理

一、罗尔定理（Rolle）

1.定理：

条件：（1）f(x)在闭区间[a,b]上连（3）f(a)f(b).结论：至少存在一点∈(a,b)，使f'()0（即方程f(x)0在

（2）f(x)在开区间(a,b) 内可导；

(a,b)内至少有一实根）.2、几何意义：在满足条件（1）（2）（3）的曲线弧上，至少有一点在该点处曲线的切线平行于x轴（如下图）

3.证明：分析：根据几何图形，预计值f(x)0的点可能是f(x) 在[a,b]上的最大值或最小值.证：由f(x)在[a,b]上连续存在M，m，使m≤f(x)≤M，x(a,b).

（1）若mM,则f(x)≡M, 从而f(x)0，此时，任取一点

∈(a,b)，都有f'()0.（2）若Mm, 则M、m至少有一个不等于f(a)和f(b)，不妨设即至少有一点∈(a,b)，Mf(a)f(b),则最大值M在[a,b]的内部达到，使Mf().下面证明f()0.由于Mf()为最大大值，所以, x(a,b)有f(x)f()0,于是

f(x)f()保号性 0， f'() f'()limxx可导另一方面，

f(x)f() f'() f()limxx可导'保号性0，

所以 0f'()0f()0.综上所述知，当条件成立时，至少有一点(a,b)，使f()0.

或者说f(x)0 在(a,b)内至少有一个实数根.例1 设a0aaa12n1an0，试证明方程 n1nn12a0xna1xn1an0

在0与1之间至少有一个实数根.证（关键是构造一个函数f(x)，确定闭区间，使之满足罗尔定理的条件，且所作的函数f(x)应该使

f(x)a0xna1xn1an. 作函数f(x)a0n1a1naxxn1x2anx，取闭区间为[0,1]，显然， n1n2f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，又

f(0)0f(1)a0a1an， n1n于是，由罗尔定理知，至少存在一点

(0,1)，使f()0.即a0na1n1an0.即方程a0xna1xn1an0在(0,1)内至少有一个实数根.

二、格朗日中值定理

1、定理：

条件：（1）f(x)在闭区间[a,b]上连续；

（2）f(x)在开区间(a,b) 内可导.结论：至少存在一点∈(a,b)，使f()f(b)f(a).

ba

2、几何意义：在满足（1）、（2）的曲线段AB上，至少有一点处的切线平行于弦AB.

3、证明：

方法1：作函数(x)f(x)f(a)f(b)f(a)(xa)（曲线与弦的

ba纵坐标之差），在[a,b]用罗尔定理即可证得结论.

方法2：分析：证明的关键是寻找一个满足罗尔定理条件的函数，寻找的方法是将结论式变形为f(b)f(a)(ba)f()0，令

F(x)f(b)f(a)(ba)f(x)，

由此可得F(x)(f(b)f(a))x(ba)f(x).

证：作函数F(x)(f(b)f(a))x(ba)f(x).显然F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b) 内可导，又

F(b)F(a)(f(b)f(a))x(ba)f(b)[(f(b)f(a))a(ba)f(a)]

(f(b)f(a))(ba)(ba)(f(b)f(a))0，

即F(b)F(a)0.所以由罗尔定理知，至少存在一点(a,b)，使F()C.即f(b)f(a)(ba)f()f()，或

'f(b)f(a).

ba注：当ba时，公式也成立.

4、拉格朗日结论式的另外几种形式

（1）f(b)f(a)f(a(ba))(ba)，01.（这是因为ab0aba0aba1，令

aba即可.）

（2）f(xx)f(x)f()x(f(xx)x)，(x,xx) （取bxx,ax即可）

（3）yf(xx)x， 01.注：（3）式是y的精确表达式，而dyf(x)x只是y的近似表达式.故拉格朗日中值定理也称为有限增量定理或微分中值定理.

5、有关定理

定理若x(a,b)，有f(x)0，则f(x)C.反之也真（显然）.即

f(x)0f(x)C.证：取一定点x0(a,b)，x(a,b)，只须证明f(x)f(x0)即可.因为f(x)在(a,b)内可导，所以f(x)在以x0和x为端点的闭区间上连续，开区间内可导，从而由拉格朗日中值定理知，存在在x0与x之间，使

f(x)f(x0)f()(xx0)0，

即f(x)f(x0).再由x0的固定性和

x的任意性知，x(a,b)，均有f(x)f(x0)，f(x)f(x0)（常数）.推论若x(a,b)，有f(x)g(x)，则f(x)g(x)C（作F(x)f(x)g(x)，用上面的定理即可得证）.例2 验证f(x)x在[0,1]上拉格朗日中值定理的正确性.解显然f(x)x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，故至少存在一点

22(0,1)，使f(1)f(0)f()(10)，下面求出具体的，由f(1)f(0)f()(10)

1102(0,1)，

2即确实存在(0,1)，使f(1)f(0)f()(10)成立.

三、柯西中值定理

定理：条件：

1.f(x),F(x)在闭区间[a,b]上连续， 2.在开区间(a,b) 内可导，且 F(x)0；

f(b)f(a)f()结论：至少存在一点(a,b)，使成立.F(b)F(a)F()几何意义和证明过程详见教材P70.

四、三个定理之间的关系

因为在柯西中值定理中，取F(x)x即变为拉格朗日中值定理，在拉格朗日中值定理中，加条件f(b)f(a)即可得罗尔定理，故它们之间的关系是罗尔定理特例f(a)f(b)推广拉格朗日中值定理

特例F(x)x推广柯西中值定理

小结

1.罗尔定理；