三角形全等的判定(二)
一、教学目的和要求
熟练掌握角边角公理,能正确找出公理的条件,从而证明两个三角形全等 ,进而由三角形全等还可以得出对应边相等和对应角相等。利用三角形全等解决证明边相等或角相等的问题。
二、教学重点和难点
重点:对于证明两个三角形全等条件的正确运用,可以由两角和夹边对应相等的条件证明三角形全等,在图形较复杂的情况下,对应关系应当找对,同时对角角边公理应加以重视。
难点:例题难度加强了,使学生能够经过几步推理逐渐找到解题最佳途径。证明两次全等,运用不同判定公理时,要思路清楚。
二、教学过程
(一)复习、引入
提问:
1.我们已经学习了角边角公理,“角、边、角”的含义是什么?
(两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等)。
2.已知两个三角形有两个角相等,能否推出第三个角也对应相等?为什么?由此可以得到哪个判定公理?
(第三个角也应相等,因为三角形内角和等于180,由此可以得到角角边公理)。
3.两个直角三角形中,斜边和一个锐角对应相等,这两个三角形全等吗?为什么?
(全等,由AAS公理可得出)
4.两个直角三角形中,有一条直角边和它的对角对应相等,这两个直角三角形全等吗?为什么?
(全等,由AAS公理可得出)
5.两个直角三角形中,有一条直角边和与它相邻的锐角对应相等,这两个直角三角形全等吗?为什么?
(全等,由AAS公理可得出)
(二)新课
刚才同学们能很快运用ASA和AAS公理证明三角形全等,但是有些题目的条件比较隐蔽,需经过分析方能找到解题的思路,这类题目能锻炼同学们的思维能力,请特别注意,下面我们看几个例题:
例1 已知:如图67,1=2,AD=AE
求证:OB=OC
A D 1 2 E O B C
分析:这题与书中例1图相同,但改变了已知条件,难度有所增加,所求线段OB和OC分别在BOD和COE中,但直接证这两个三角形全等,条件不够,需要从另两个三角形全等中创造条件。根据已知条件,可证明ABE ACD。
证明:
在ABE和ACD中 AA(公共角)
AEAD(已知)
21(已知) 图67
ABE ACD(ASA)
AB=AC(全等三角形对应边相等)
B=C(全等三角形对应边相等)
又∵AD=AE(已知)
BDCE
1=2
BDO=CEO
在BOD和COE中 BDO=CEO(已证)
BDCE(已证)
BC(已证)
BOD COE(ASA)
OB=OC(全等三角形对应边相等)
例2 已知:如图68,1=2,3=4
求证:ADC=BCD。
D C 3 4 1 2 A B 图68
分析:所要求证相等的两个角分别在两个三角形中,即ACD和BDC中,欲让此两三角形全等有已知3=4,这时可有两种思路:若用边角边公理,则应找到AD=BC,AC=BD,若用角边角公理则应证出AC=BD,ACD=BDC,经过分析,用第一种思路较好。
证明:∵1=2,3=4
1+3=2+4
即BAD=ABC
在ABD和BAC中 21(已知)
ABBA(公共边)
BADABC(已证)
ABD BAC(ASA)
AD=BC,BD=AC(全等三角形对应边相等)
在ADC和BCD中 ADBC(已知)
34(已证)
ACBD(已证)
ADC BCD(SAS)
ADC=BCD(全等三角形对应角相等)
例3 已知:如图69,AB//CD,AB=CD,AD、CB交于O点。
求证:OE=OF。
C E D O A E B 图69
分析:此题可以开发学生一题多解的思维,即COD与BOA全等既可以用“AAS”,又可以用“ASA”,进一步再证OCF OBE即可。
证明:∵AB//CD(已知)
C=B,D=A(两直线平行内错角相等)
在OCD和OBA中 CB(已证)
CDBA(已知)
DA(已证)
OCD OBA(ASA)
此时可提问学生:还有没有其他办法证这两个三角形全等?
OC=OB(全等三角形对应边相等)
在OCF和OBE中
CB(已证)
OCOB(已证)
FOCEOB(对顶角相等)
OCF OBE(ASA)
OF=OE(全等三角形对应边相等)
例4 已知:如图70,在ABC中,ADBC于D,CFAB于F,AD与CF相交于G,且CG=AB。
求证:BCA的度数。
A F G B D C 图70
分析:图形比较复杂,图中三角形较多,正确分析已知条件后可知应当证明AB和CG所在的三角形,即ABD和CGD全等,然后可知对应边AD=DC,则ADC为等腰直角三角形,BCA=45。
证明:∵ADBC,CFAB
B+BAD=B+DCG=90(直角三角形两个锐角互余)
BAD=DCG
在BAD和GCD中
BADDCG(已证)
ADBCDG(垂直定义)
ABCG(已知)
BAD GCD(AAS)
AD=CD(全等三角形对应边相等)
∵RtADC中
BCA=45 (三)巩固练习
1.已知:如图71,1=2,C=D
求证:AC=AD。
D A 1 B 2 C 图71
2.已知:如图72,点B、F、C、E同在一条直线上,FB=CE,AF=DC,AFB=DCE。
求证:AB=DE;AC=DF。
A B F C E D 图72
(四)小结
1.三角形全等公理2与推论有同等重要的地位,应牢记。只要两个三角形有两个角和一条边对应相等,就可以证出全等三角形,但对应关系应当找对,不能一个三角形是AAS,而另一个三角形是ASA。
2.在求边相等或角相等的题目中,应首先观察所要求证相等的边或角在哪两个三角形中,若直接用三角形全等,条件不够,则应当考虑先证其他三角形全等,得出所需的条件,因而可以解决问题,也就是要证两次全等的类型题目。
(五)作业
1.已知:如图73,ABC中,N是AB中点,BCMN是平行四边形
求证:AP=PC。
A N P M B C 图73
2.已知:如图74,ABC中,BDAC,CEAB
垂足分别是D、E。ABC=ACB,BD和CE相交于O。
求证:OD=OE。
A E D B C 图74
3.已知:如图75,点E、F在BC上,BE=CF。
AB=DC,B=C,AF和DE相交成60角,且AF、DE相交于O点,
求:DFE和AFE的度数。
A D O B E F C 图75
答案及揭示
巩固练习
1.证明:在ABD和ABC中 12(已知)
ABAB(公共边)
DC(已知)
ABD ABC(ASA)
AC=AD(全等三角形对应边相等)
2.证明:在ABF和DEC中 FBCE(已知)
AFBDCE(已知)
AFDC(已知)
ABF DEC(SAS)
ABDE(全等三角形对应边相等)
B=E(全等三角形对应角相等)
BF+FC=EC+FC(等量加等量和相等)
在ABC和CEF中
ABDE(已证)
BE(已证)
BCFE(已证)
ABC DEF(SAS)
AC=DF(全等三角形对应边相等)
作业:
1.证明:∵N是AB中点
AN=BN(中点定义)
∵BCMN是平行四边形
BN=CM=AN
∵AB//MC(平行四边形对边平行)
ANP=M(两直线平行内错角相等)
在ANP和CMP中
ANPM(已证)
ANCM(已证)
APNCPM(对顶角相等)
ANP CMP(AAS)
AP=PC(全等三角形对应边相等)
2.证明:∵BDAC,CEAB(已知)
BEC=CDB(直角定义)
在BCD和CBE中 BECCDB(已证)
ABCACB(已知)
BCBC(公共边)
BCD CBE(AAS)
BE=CD(全等三角形对应边相等)
在OBE和OCD中
BEOCDO(已证)
EOBDOC(对顶角相等)
BECD(已证)
OBE OCD(AAS)
OD=OE(全等三角形对应边相等)
3.解:∵BE=CF(已知)
BE+EF=FC+EF(等量加等量和相等)
即BF=CE
在ABF=DCE中 ABDC(已知)
BC(已知)
BFCE(已证)
ABF DCF(SAS) AFEDEC(全等三角形对应边相等)
EOF60(已知)AFEDEC120DEFAFE60