二元函数的极限
二元极限存在常用夹逼准则证明
例1 lim(3x2y)14
x2y1211xsinysin,xy0,
例2 函数f(x,y)在原点(0,0)的极限是0.yx
xy0.0二元极限不存在常取路径
x2y例3
证明:函数f(x,y)4在原点(0,0)不存在极限.((x,y)(0,0))4xy与一元函数极限类似,二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等.证明方法与一元函数极限证法相同,从略.上述二元函数极限limf(x,y)是两个自变量x与y分别独立以任意方式无限趋近于xx0yy0x0与y0.这是个二重极限.二元函数还有一种极限:
累次极限
定义
若当xa时(y看做常数),函数f(x,y)存在极限,设当yb时,(y)也存在极限,设
lim(y)limlimf(x,y)B,
ybybxa则称B是函数f(x,y)在点P(a,b)的累次极限.同样,可定义另一个不同次序的累次极限,即
limlimf(x,y)C.xayb那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢?一般来说,它们之间没有蕴含关系.例如: 1)两个累次极限都存在,且相等,但是二重极限可能不存在.如上述例3.2)二重极限存在,但是两个累次极限可能都不存在.如上述的例2.多重极限与累次极限之间的关系
定理
若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)的二重极限与累次极限(首先y0,其次x0)都存在,则
limlimf(x,y).
limf(x,y)xx0yy0xx0yy0
二元函数的连续性
定理
若二元函数f(P)与gP在点P0连续,则函数f(P)g(P),f(P)g(P),(g(P0)0)都在点P0连续
f(P)
g(P)
定理
若二元函数u(x,y),v(x,y)在点P0(x0,y0)连续,并且二元函数f(u,v)在点(u0,v0)(x0,,y0),(x0,y0)连续,则复合函数f(x0,,y0),(x0,y0) 在点P0(x0,y0)连续.
1.用极限定义证明下列极限:
1)lim(4x3y)19;
2)lim(xy)sinx2y12x0y011sin0; xyx2y2xy03)lim2.(提示:应用1.) 22x0xy2xyy02.证明:若f(x,y)xy,(xy0),则 xyy0x0
limlimf(x,y)1
与
limlimf(x,y)1.x0y0x4y43.设函数f(x,y)4,证明:当点(x,y)沿通过原点的任意直线 (ymx)趋23(xy)于(0,0)时,函数f(x,y)存在极限,且极限相等.但是,此函数在原点不存在极限.(提示:在抛物线yx上讨论.) 2x2y22D(x,y)yx4.若将函数f(x,y)2限制在区域,则函数f(x,y)在原点2xy(0,0)存在极限(关于D).5.求下列极限: 1)limxysinxy;
2); limx1x2xyy2x0xy2y422x0y03)lim(xy)In(xy);
(提示:设xrcos,yrsin)
4)limx0y0(14x2)(16y2)12x23y2.