垂直线的证法
垂直线的证法
论证两直线垂直常从如下几个方面考虑。
从角考虑：相交成直角的两直线垂直。相交得邻补角相等的两直线垂直。直径所张圆周角的两边垂直。
从线考虑：分别与两互相垂直的直线平行的两直线垂直。一条直线和两平行线中的一条垂直也和另一条垂直。同圆中夹弧和为半圆的两相交弦垂直。等腰三角形的顶角平分线和底边垂直。过三角形顶点和垂心的直线与顶点所对的边垂直。两圆相交的连心线与公共弦垂直。
从形考虑：与直角三角形相似对应于直角的角的两边垂直。
从有关结论考虑：满足勾股定理逆定理条件的三角形两短边垂直。一线段的两端到另一线段两端距离的平方差相等时此两线段垂直。
还可从其他方法方面考虑：如同一法、反证法、几何变换等。
一、证明两直线垂直常用的方法：
（1）等腰三角形的性质：等腰三角形顶角的平分线或底边的中线垂直于底边；
（2）直径所对的圆周角是直角；
（3）勾股定理的逆定理；
（4）全等和相似三角形的利用；
(5) 射影定理的逆定理。
二、例题
1、在ABC两边AB和AC上向外作正方形ABDE,ACFG，设H,K,M各为BE,CG,BC的中点。证明MHMK,MHMK。
F
BMC
初等几何研究
12、分别以ABC的边AB,BC,CA为斜边向外作等腰直角三角形DAB,EBC,FAE。求证：
（1）AEDF（2）AEDF。
E
3、延长圆内接四边形两组对边至相交，则其交角的平分线互相垂直。
A
NF
4、设四边形ABCD同时有外接圆和内接圆，证明两组对边上的切点的连线必互相垂直。
5、设H是等腰ABC的垂心，K为AH的中点，D是BC边中点，BH交AC于E，EFBC于F，并延长AD至G使DGEF，求证：BKBG。
6、如图，从等腰三角形ABC的底边AC的中点M作BC边的垂线MH，点P是MH的中点，证明：AHBP
M
7、如图，在ABC中，边BC等于其余两边之和的一半。求证：BAC的平分线垂直于连接内心、外心的线段。
8、如图，O经过ABC的顶点A,C分别与AB,AC相交于K,N，ABC和KBN的两个外接圆相交于点B,M，求证：OMMB.三、练习
1、如图,已知ABAD,ACAE,BADCAE90,BFEF,求证:AFCD.2、如图，O的弦AB和CD交于K，过各弦的两端作圆的切线分别交于P,Q，求证：OKPQ.
P
3、在矩形ABCD的两边AB和BC上向外作等边BCF,EA和FC的延长线交于M，求证：BMEF.
