蒙日圆定理(解析几何证法)

发布时间：2020-03-02 17:30:15 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

蒙日圆定理

（纯解析几何证法）

蒙日圆定理的内容：

椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。

x2y2如图，设椭圆的方程是221。两切线PM和PN互相垂直，交于点P。

ab求证：点P在圆xyab上。

证明：

若两条切线中有一条平行于x轴时，则另一条必定平行于y轴，显然前者通过短轴端点，而后者通过长轴端点，其交点P的坐标只能是：

它必定在圆xyab上。

现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。可设两条切线方程如下：

22222222Pspeciala,b

(1)

PM:ykxm

(2) (3)

1PN:yxn

knmknk2mP2,2

k1k1联立两切线方程(2)和(3)可求出交点P的坐标为：

(4) 从而P点距离椭圆中心O的距离的平方为：

nmknk2m2OP22k1k1

n2k2m2k2122(5) 现将PM的方程代入椭圆方程，消去y，化简整理得：

1k222kmm222x2x210

bbab(6) 由于PM是椭圆的切线，故以上关于x的一元二次方程，其判别式应等于0，化简后可得：

m2b212a2k21m2b

对于切线PN，代入椭圆方程后，消去y，令判别式等于0，同理可得：

n2b222a2k1nb2

为方便起见，令：

a2A,b2B,m2M,n2N,k2K

这样(7)和(8)就分别化为了关于M和N的一元一次方程，不难解出：

MBAK

NBAK 将(10)和(11)代入(5)，就得到： OG2NKMABa2b2K1

证毕。

(7)

(8)

(9)

(10) (11)

(12)

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