正弦定理的多种证法

发布时间：2020-03-01 23:15:00 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

正弦定理的几何意义

在⊿ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，则abc,这就是正弦定sinAsinBsinC理．

在这个定理的证明过程中蕴涵着丰富的几何意义．为了简单,仅以锐角三角形为例作简要说明．直角三角形的情形非常简单, 钝角三角形的情形与锐角三角形类似．

1、三角形高法：

asinB,bsinA是⊿ABC的c边上的高；asinC,csinA是⊿ABC的b边上的高；bsinC,csinB是⊿ABC的a边上的高．根据这个几何意义，定理证明如下：作锐角三角形ABC的高CD，则CD=asinBbsinA． bcab ，同理． sinBsinCsinAsinB

abc因此.sinAsinBsinC所以

2、三角形外接圆法：

abc是⊿ABC的外接圆直径．根据这个几何意义，定理证明如下： ,,sinAsinBsinC

作锐角三角形ABC的外接圆直径CD，连结DB．根据同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角得，∠A=∠D, ∠DBC=90°,CD2R（R为⊿ABC的外接圆半径）． CBaa，所以2R． CD2RsinA

bc同理2R,2R． sinBsinC

abc因此2R． sinAsinBsinC所以sinAsinD

3、三角形面积法：

111absinC,bcsinA,acsinB是三角形ABC的面积．根据这个几何意义,定理证明如22

2下：

作锐角三角形ABC的高CD，则CD=asinB．所以三角形ABC的面积11ABCDacsinB． 22

11111同理SabsinC, SbcsinA,所以bcsinAacsinBabsinC,22222

abc1同除以abc,再取倒数有． sinAsinBsinC2S

4、向量的数量积法：

B),bcos(A)．则在锐角三角形ABC中,作高CD,则2

2aCDcos(B),bCDcos(A)分别是向量CB,CA与向量CD的数量积．利用这个几何22

意义，定理证明如下：

作锐角三角形ABC的高CD．把asinB,bsinA变形为acos(

因为AB=CBCA,所以0=ABCD=(CBCA)CD,

所以CBCDCACD，所以aCDcos(B)bCDcos(A), 22

即asinBbsinA.所以

同理ab． sinAsinBbc． sinBsinC

abc因此． sinAsinBsinC

５、如果想避开分类讨论,可以把三角形放在平面直角坐标系中,利用坐标法．

证明如下：

以C为原点,以射线CA为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,且使点 B落在x轴的上方,则AC边上的高即为B点的纵坐标.根据三角函数的定义, B点的纵坐标hasinC．

所以三角形ABC的面积SbhabsinC．同理SacsinB, SbcsinA． 12121

212

abc1 同除以abc,再取倒数有． sinAsinBsinC2所以bcsinAacsinBabsinC,

这种证法之所以避开分类讨论,是因为利用了一般三角函数的定义,前面的四种几何证法都需要分类讨论,因为它们的证明中仅仅利用了锐角三角函数的定义．这个方法是证明正弦定理最简单的方法,体现了坐标法的优越性.

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