七大积分总结

发布时间：2020-03-03 05:54:25 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

七大积分总结

一．定积分

1.定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n－1个分点：a=x0

Sf(i)xi

i1n记λ=max{△x1, △x2, △x3„„, △xn},若不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[xi-1,xi]上点ξi怎样取法，只要当λ→0时，S的极限I总存在，这时我们称I为函数f(x)在区间[a,b]上定积分（简称积分），记做：

baf(x)dxIlimf(i)xi

0i1n其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，[a,b]称为积分区间，

f()xii0ni称为积分和。

如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积。关于定积分的定义，作以下几点说明：

（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母记法无关，即af(x)dxaf(t)dtaf(u)du。（2）定义中区间的分法与ξi的取法是任意的。

（3）定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限

bbb细分的过程，随λ→0必有n→∞，反之n→∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限：例：0f(x)dxlimf() （此特殊合式在计算中可以作为ni11ni1nn公式使用） 2.定积分的存在定理

定理一

若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定理二

若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3.定积分的几何意义

对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≣0时，定积分

baf(x)dx在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x)小于0时，围成的曲边梯形位于x轴下方，定积分af(x)dx在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x轴，曲线y=f(x),x=a,x=b之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质

线性性质（性质

一、性质二）

性质一

a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dx 和差的积分等于积分的和差；

性质二

akf(x)dxkaf(x)dx （k是常数）

性质三

对区间的可加性不管a,b,c相对位置如何，总有等式 bbbbbb baf(x)dxf(x)dxf(x)dx

accb性质四如果在区间[a,b]上，f(x)≡1，则af(x)dxba 性质五（保号性）如果在区间[a,b]上，f(x)≣0，则af(x)dx0 推论一

设f(x)≢g(x),x∈[a,b]，则af(x)dxag(x)dx 推论二 af(x)dxaf(x)dx (a

性质七（定积分中值定理）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少有一点ξ使得下式成立：

bbbbbbbbaf(x)dxf()(ba) （本性质可由性质六和介值定理一块证得）

5．积分上限函数及其导数

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若x为区间[a,b]上任意一点，则 f(x)在区间[a,x]上定积分为af(x)dx，此时x既表示积分变量又表示积分的上限，但两者的含义不同，因为定积分与积分变量的激发无关，故可改用其他符号，可用t表示积分变量，则上面的积分可写成

xxaf(t)dt，该积分会随着X的取定而唯一确定，随X的变化而变化。x所以积分af(t)dt是定义在区间[a,b]上关于x的一个函数，记做 Φ(x): Φ(x)=af(t)dt (a≢x≢b) 并称该函数为积分上限函数或积分变上限函数，它具有下面定理所指出的重要性质：

定理一如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数Φ(x)在区间[a,b]上可导，且导数为

xdxΦ(x)=af(t)dtf(x) （a≢x≢b）

dx‘定理二（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数Φ(x)就是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。

定理二肯定了连续函数的原函数是存在的，揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。

定理三

如果函数f(t)在区间I1上连续，a(x),b(x)在区间I2上都可导，并且f[a(x)],f[b(x)]构成I2上的复合函数，则 F(x)=a(x)f(t)dt在I2上可导，且 F‘(x)=db(x)’’f(t)dt=f[b(x)]·b(x)-f[a(x)]·a(x) a(x)dxb(x)6.牛顿-莱布尼茨公式

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数F(x)是f(x)的一个原函数，则有af(x)dx=F(b)-F(a),这个公式称为牛顿-莱布尼茨公式。次公式揭示了定积分与原函数之间的关系，它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量，而原函数的全体就是不定积分，故该公式将求定积分与不定积分联系起来了，又叫做微积分基本公式，在计算中常用到。 7.定积分的常见积分方法换元法

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且函数x=(t)满足下列条件：（1）(α)=a,(β)=b; (2)在区间[α,β]上(t)具有连续导数且其值域R[a,b]，则有af(x)dxf[(t)]\'(t)dt ，此公式称为定积分的换元公式。 bb注意：换元必换限，即用x=(t)把积分变量x换成t时，积分限一定要换成相应于新积分变量t的积分限；

另外此公司反过来也可以用：f(t)dtaf[(x)]\'(x)dx，其中

(a),(b)

b定积分中的对称奇偶性：

若f(x)在区间[-a,a]上连续，则：（1）当f(x)为奇函数时，af(x)dx=0 （2）当f(x)为偶函数时，af(x)dx20f(x)dx 三角函数的定积分公式：设f(x)在[0,1]上连续，则：

（1）f(sinx)dxf(cosx)dx;(2)0xf(sinx)dx周期函数的定积分公式：

如果T是连续函数f(x)的周期，则a分部积分法

若函数u=u(x)，v=v(x)在闭区间[a,b]上具有连续导数，则有 audvuvaavdu 重要结论：

设In=sinxdxcosnxdx，则 n20202020aaaf(sinx)dx 20aTf(x)dxf(x)dx（a为常数）

0Tbbbn1n331 nn2422n1n3421 （2）当n为大于1的正奇数时，In=

nn253（1）当n为正偶数时，In=常用到的不定积分的积分公式： tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx1xarctgCa2x2aadx1xalnx2a22axaCdx1axa2x22alnaxCdxxarcsinCa2x2a2ndx2cos2xsecxdxtgxCdx2csc2sinxxdxctgxCsecxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCaxadxlnaCxshxdxchxCchxdxshxCdxx2a2ln(xx2a2)C2Insinxdxcosnxdx00n1In2n

x2a22xadxxaln(xx2a2)C22x2a2222xadxxalnxx2a2C22x2a2x222axdxaxarcsinC22a22

三角函数的有理式积分：

2u1u2x2dusinx，　cosx，　utg，　dx 22221u1u1u一些初等函数：两个重要极限：

exex双曲正弦:shx2exex双曲余弦:chx2shxexex双曲正切:thxchxexexarshxln(xx21）archxln(xx21)11xarthxln21x

limsinx1x0x1lim(1)xe2.718281828459045...xx常见微分公式：

(tgx)sec2x(ctgx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna1(logax)xlna(arcsinx)11x21(arccosx)1x21(arctgx)1x21(arcctgx)1x28.无穷限的广义积分：

设函数f(x)在区间[a,+∞]上连续，取b>a，如果极限limbbaf(x)dx

存在，则此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞]上的广义积分，记做

af(x)dx，这时也称广义积分af(x)dx收敛，如果上述极限不存在，则称该广义积分发散。

同理也可得函数f(x)在无穷区间[-∞,b]上的广义积分。

对于广义积分：只有在收敛的条件下才可使用上述“定积分中的对称奇偶性”。几条结论：（1）广义积分a1dx，当p>1时收敛，当p≢1是发散。 xp（2）广义积分aepxdx当p>0时收敛，当p

设函数f(x)在区间（a,b]上连续，点a为函数f(x)的瑕点，取t>a，如果极限limtabtf(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义

b积分，记做af(x)dx，即af(x)dx=limtabbtf(x)dx。这时也称广义积分收敛，如果上述极限不存在，就称广义积分发散。同理，可得f(x)在区间[a,b）上的瑕积分,即

af(x)dx= limtbbtaf(x)dx

对于无界函数的瑕积分（就是广义积分）的计算，也可以利用牛顿-莱布尼茨公式，如对于f(x)在区间（a,b]上的瑕积分有：

af(x)dx=limtabbtf(x)dx=F(b)-limF(x)=F(x)-F(a+0)

xa小结论：广义积分011dx当p

一、定积分在几何上的应用：

（一）平面图形的面积 1.直角坐标情形: 对于有曲线x=a,x=b,y=f(x),y=g(x)围成的X型的曲边梯形，其面积的计算公式为：A=af(x)g(x)dx （a

对于由曲线y=c,y=d,x=f(y),x=g(y)所围成的Y型的曲边梯形的面积计算公式为：Acf(y)g(y)dy (c

当曲边梯形的曲边f(x)(f(x)≣0,x∈[a,b])由参数方程

x=(t),y=(t)给出时，若()a,()b，且在[a,b]上(t)具有连续导数，y=(t)连续，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可

db得曲边梯形的面积为：A=af(x)dx=(t)\'(t)dt 4.极坐标情形：

由曲线()及射线，围成的曲边扇形的面积计算公式为

12 A=()d

2b

（二）立体的体积 1.旋转体的体积

对于由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积计算公式为：V=a[f(x)]2dx

同理可得相似的绕Y轴和Z轴旋转所成的旋转体的体积计算公式。 2.平行截面面积已知的空间立体的体积

若一个立体位于平面x=a,x=b之间，且知道过x且垂直于x轴的平面截此物体的截面面积为A(x)，且A(x)为了连续函数，则此立体的体积计算公式是： V=aA(x)dx，同理可得相似的过Y（Z）且垂直于Y（Z）轴的平面截得的立体的体积的计算公式。

（三）平面曲线的弧长 1.参数方程情形

设曲线由参数方程x=(t),y=(t)给出，且(t)，(t)在[，]上具有一阶连续导数，则其弧长的计算公式为： S=\'2(t)\'2(t)dt 2.直角坐标情形

设曲线由直角坐标方程y=f(x) （a≢x≢b）给出，其中f(x)在[a,b]上有一阶连续导数，则此时函数的参数方程可写成：x=x,y=f(x)，故bb其弧长的计算公式为：s=a1y\'2dx 3.极坐标情形

设弧线由极坐标方程() () 给出，其中()在[,]上具有一阶连续导数，则其参数参数方程可以表示为x=()cos,y=()sin,故弧长为s=2()\'2()d

二、定积分在物理上的应用

（一）变力沿直线所做的功 W=aF(x)dx

（二）液体压力这个就题论题；

（三）引力这个在计算的时候适当建立直角坐标系，将力分解为X轴和Y州两个方向上分别计算，就题论题；

bb定积分到此结束，在计算的过程中要牢记常见的公式，特别是积分公式，这些都与不定积分有关，上边总结的一些积分公式可能不全，见谅。

二．二重积分

这里二重积分的引入（阐释了二重积分的几何意义：表示曲顶柱体的体积）和定义及概念就不再总结，只声明：

当被积函数为常数1的时候，二重积分的物理意义是被积函数所围区域的面积，当被积函数是关于积分变量的一个函数时，二重积分的意义有很多，这与二重积分的应用有关。 1.二重积分的性质

性质一(线性性质) 和差的积分等于积分的和差；

性质二（区域可加性）若区域D由n个不重合的有界闭区域Di(i=1,2,3,„„,n)组成，则f(x,y)df(x,y)d

Di1Din性质四（单调性）若在区域D上恒有f(x,y)≢g(x,y),则

f(x,y)d≢g(x,y)d，特别的有f(x,y)dDDDDf(x,y)d

性质五（估值定理）设M，m分别为f(x,y)在有界闭区域上D上最大、最小值，A为区域D的面积，则 mA≢f(x,y)d≢MA

D性质六（积分中值定理）设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，A为D的面积，则在D上至少存在一点(,)，使f(x,y)d=f(,)A

D2.二重积分的计算（基本思想：将二重积分转化为二次积分）

一、在直角坐标系下计算二重积分

（一）先对Y，后对X的二次积分

设二重积分f(x,y)d的积分区域D可以表示为

Da≢x≢b,(x)1y2(x)的形式，其中1(x)，2(x)在[a,b]上连续，这时程区域D为X型区域，这时二重积分的计算公式为

f(x,y)d=adx(x)f(x,y)dy

D1b2(x）

（二）先对X，后对Y的二次积分

类似上边，若二重积分f(x,y)d的积分区域D可以表示为

Dc≢y≢d,1(y)2(y)的形式，则称区域D为Y型区域，这时二重积分的计算公式为: f(x,y)d=Ddcdy2(y）1(y)f(x,y)dx

二、在极坐标系下计算二重积分

若积分区域D与圆域有关或者被积函数为f(x2y2)，f()，f(xy)等形式，用极坐标计算更简便。

极坐标下的面积微元可以表示为：drdrd ()

xrcos,yrsin,而两个坐标系的积直角坐标与极坐标有如下变换：

yx分区域的形状不变，，因此有

rf(x,y)df(rcos,rsin)rdrd==drdr

2DDr1()常用的计算技巧：

1.适当的拆分被积函数和积分区域（主要是利用分块积分和对称性） 2.对称性质

若区域D关于X轴对称：

（1）若f(x,y)是关于Y的偶函数，则：f(x,y)d=2f(x,y)d

DD1（2）若f(x,y)是关于Y的奇函数，则f(x,y)d=0；

D3.二重积分的一般换元法设变量变换 uu(x,y),v(x,y) ，将Oxy平面上的闭区域D一一对应地变到Ouv平面上的闭区域D‘，如果函数u,v在闭区域D内有连续

uu(u,v)xy偏导数，且≠0 则，(x,y)vvxy(u,v)f(x,y)d=f(x(u,v),y(u,v))dudv DD(x,y)

三、三重积分

三重积分的几何意义（涉及到四维空间，暂不讨论）略去。在特殊情况下，当被积函数恒等于1时，三重积分表示的为被积空间的体积大小。

1．三重积分的计算

（一）直角坐标系下三重积分的计算

方法一：投影法（又称先一后二法，先化三重积分为定积分，计算完定积分后就化为二重积分了）

设三重积分f(x,y,z)dxdydz的积分区域Ω可表示为：

Ω：z1(x,y)≢z≢z2(x,y), (x,y)∈Dxy

其中Dxy为Ω在Oxy平面上的投影区域，它是Oxy平面上的有界闭区域，z1(x,y)和z2(x,y)都在Oxy上连续，则计算三重积分时，先将x,y看做常数，然后可得：

z2(x,y)dxdyf(x,y,z)dzf(x,y,z)dxdydz= z1(x,y)Dxy=dxdyDxyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz先对Z积分，转化成关于X,Y的一个二重积分（事实上还是化为关于X,Y,Z的三次积分来计算了），然后在计算二重积分即可（下面不再叙述）。

若区域Dxy可以再极坐标系下表示，那么可以将上述公式化为先对Z，再对r，后对θ的三次积分。

方法二：截面法（又称先二后一法，事实上是先化三重积分为二重积分，计算完二重积分后就化为一个定积分了）

设空间区域Ω：c1≢z≢c2,(x,y)∈Dz,其中Dz是过点（0,0，z）且平行于Oxy平面的平面截Ω所得的平面区域，则

f(x,y,z)dxdydz=c2c1dzf(x,y,x)dxdy，然后可根据Dz

Dz是坐标系下的X型或Y型区域化X,Y的二重积分为二次积分，然后转化为Z的定积分。

若Dz可以用极坐标系表示，则还可以化为关于先计算r,θ的二重积分（化为二次积分计算），再计算Z的定积分。（由于这里公式繁杂，故不再详细书写，请谅解） 3.三重积分的换元法

设变量变换 xx(u,v,w),yy(u,v,w),zz(u,v,w),(u,v,w)\'

将Ouvw空间中的闭区域Ω‘一一对应地变换为Oxyz空间中的闭区域Ω，若函数x,y,z在Ω‘内具有连续的偏导数，且 xu(x,y,z)yJ(u,v,w)uzuxxvwyy≠0，则三重积分的换元公式为 vwzzvwf(x,y,z)dxdydz=f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))Jdudvdw

‘4.柱面坐标下三重积分的计算柱面坐标与直角坐标的变换关系为：

xrcos,yrsin,zz,则易得（代入上边的换元公式中可得）：J=r≠0,所以f(x,y,z)dxdydz=f(rcos,rsin,z)rdrddz，然后计算三重积分。

注：当被积函数含有zf(x2+y2),zf(xy),zf()的形式，或者积分区域由圆柱面（或一部分）锥面、抛物面所围成时，用柱面坐标系计算比较简便。

5.球面坐标下三重积分的计算。

直角坐标和球面坐标之间的转换关系如下：

yxxrsincos,yrsinsin,zrcos,

则代入上边的换元法的公式中可得J=r2sin≠0 故

f(x,y,z)dxdydz=2f(rsincos,rsinsin,rcos)rsindrdd ‘注：当积分区域是与球面有关的区域时或者被积函数中含有x2y2z2等形式时，用球面坐标系计算比较简便。

三重积分的对称奇偶性：

若Ω关于Oxy平面对称，则当f为关于z的奇函数时，f(x,y,z)dxdydz=0；当f为关于z的偶函数时，f(x,y,z)dxdydz=2f(x,y,z)dxdydz

16.重积分的应用

一．计算立体体积 V=dv

二．计算空间曲面面积

设∑：z=f(x,y)为空间可求面积的曲面，∑在Oxy平面的投影区域为Dxy,任取Dxy上的小区域d，则经过证明可得（证明过程略去，自己看书）：d=dS

11zxzy2222,故

221zzd1zzdS==xyxydxdy,故

S=Dxy1zxzydxdy，然后计算二重积分。 2

2三、求质心

这里只介绍公式，推导过程不再叙述，自个儿看书。

设有一个有界闭区域D，它的密度(x,y)在D上连续，下面给出这一平面区域的质心公式：（其中Mx,My分别为质点系对对X，Y轴的静距）。 xMyMx(x,y)dDDMxy，M(x,y)dy(x,y)dD (x,y)dD特别的，当区域D的面密度为常值时，其质心坐标计算公式为：

xMyMxdDdDxdDSD，yMxDMdDydydDSD

同理可得空间有界区域Ω的形心的坐标公式：

xx(x,y,z)dv(x,y,z)dv，yy(x,y,z)dv(x,y,z)dv，zz(x,y,z)dv

(x,y,z)dv特别的，当空间区域所代表的例题均匀为时，其形心坐标公式为：

xxdvdvxdvVyydvdvydvVzzdvdvzdvV

补充：

1.若积分区域关于直线y=x对称，则根据轮换对称性可得：

f(x,y)d=f(y,x)d

DD2.在计算重积分的时候，适当的交换积分顺序能帮助解题。 3.利用质心、重心公式计算（当且仅当积分区域所代表的图形是均匀的）：例如：xdxDdxS（此公式是由质心公式变形得到

DD的，使用此公式的前提是已知积分区域的质心坐标）

四、计算转动惯量（公式推导过程略去）

设一个平面区域D，面密度为(x,y)，下面给出其相对于X,Y,Z轴的转动惯量的计算的公式：

IxdIxy2(x,y)d，IydIyx2(x,y)d

DDDD同理也可得到空间区域Ω所代表的例题相对于X,Y,Z轴的转动惯量

222Idx(x,y,z)dv(yz)(x,y,z)dv 分别为：xIyd2y(x,y,z)dv(x2z2)(x,y,z)dv

Izd2z(x,y,z)dv(x2y2)(x,y,z)dv

其中dx,dy,dz分别为点(x,y,z)到x,y,z轴的距离。

五、计算引力（推导过程略去，自个儿看书）

某薄片在平面Oxy上所占区域为D，面密度为(x,y)，下面给出它对点（x0,y0,z0）处单位质点（单位质量的质点）的引力计算公式：（任取D上的小区域d，点M（x,y,z）为d上任意一点）

FxGD(x,y)(xx0)dr3，FyGD(x,y)(yy0)dr3

FzGD(x,y)(zz0)dr3

四、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）

引入对弧长的曲线积分的时候首先探讨了怎样求曲线构件的质量（此过程不再叙述）。

1.对弧长的曲线积分的定义

设函数f(x,y)在Oxy平面的光滑曲线弧L上有界，将L分成任意的n段，Δsi表示小狐段本身又表示它的长度，点(i,i)是Δsi上任取的一点，令λ=maxΔsi,则定义第一类曲线积分：

Lf(x,y)dslim0i0f(,)siinni，同时可定义在空间中的第一类曲线积分：f(x,y,z)dslim0i0f(,,)s

iiii2.对弧长的曲线积分的性质性质一 Ldsl，其中l为弧长。

性质二（线性性质）对弧长和差的积分等于积分的和差。性质三（可加性）将曲线弧分成n段补充和的小弧段，则

Lf(x,y)dsf(x,y)ds

i0Lin性质四（单调性）若在曲线弧L上，f(x,y)≢g(x,y),则

Lf(x,y)dsg(x,y)ds，特别LLf(x,y)dsf(x,y)ds

L3.对弧长的曲线积分的计算

对弧长的曲线积分的计算思路就是将其化为定积分。（变量参数化，小值做下限）

设函数f(x,y)在光滑曲线弧L上连续，L的参数方程为 x=(t),y=(t)，(t)，则对弧长的曲线积分在，且

Lf(x,y)ds存Lf(x,y)dsf((t),(t))\'2(t)\'2(t)dt （α

ab同理也可写出将Y看做参数的计算公式。

当曲线弧L有极坐标方程rr()()时，由极坐标与直角坐标的变换关系xr()cos,yr()sin,()，将θ看做参数，则

Lf(x,y)dsf(r()cos,r()sin)r2()r\'2()d以x(t),y(t),z(t),(t) 上公式都给可以推广到空间曲线弧：上，此时对弧长的曲线积分公式为：

f(x,y,z)dsf((t),(t),(t))\'2(t)\'2(t)\'2(t)dt

五、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）引例：变力沿曲线做功（在此不再叙述）

1.第二类曲线积分的定义（直接引入定义，不再阐述，实际上阐述过程和前边几种积分很相似）。

向量函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标X的曲线积分，记做P(x,y)dx，向量函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标Y的曲线积分，L记做：LQ(x,y)dy。若力F=（P(x,y),Q(x,y)）,则质点沿曲线弧从起点A到终点B是变力F做功可表示为：W=LP(x,y)dx+LQ(x,y)dy，同理可推广到空间中的光滑曲线弧，故 W=P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

LLL2.对坐标的曲线积分的性质

性质一（线性性质）

对坐标的曲线积分具有线性（和差的积分等于积分的和差）

性质二（可加性）对坐标的曲线积分具有积分曲线分段可加性。性质三（有向性）设L为有向光滑曲线弧，记L—为L的反向曲线弧，则L—P(x,y)dxQ(x,y)dyP(x,y)dxQ(x,y)dy，

L同理此结论也可推广到空间曲线弧的坐标积分。

3.对坐标的曲线积分的计算（变量参数化，起参值做下限）与对弧长的曲线积分的计算方法一样，对坐标的曲线积分的计算方法也是将其化为定积分。

设函数P(x,y),Q(x,y)在有向光滑曲线弧L上连续，L的参数方程为 x=(t),y=(t)，(t，或(t)，其中(t)，(t)具有连续的一阶导数，又有当t由α变到β时，L上的电从起点变到终点，则对坐标的曲线积分存在，且

P(x,y)dxQ(x,y)dyP((t),(t))\'(t)Q((t),(t))\'(t)dtL同理也可写出当X或Y作参数时的公式，还可写出曲线弧在极坐标系下时的公式（这里就不再叙述了），且以上公式都可以推广到空间曲线弧中。

注：在计算的时候，一定要特别注意曲线弧的方向和积分参变量的上下限。

3.两类曲线积分之间的联系

设L：x=(t),y=(t)，为从点A到点B的有向光滑曲线弧，其中点A处t=θ1,点B处t=θ2,又P(x,y),Q(x,y)在L上连续，令

\'(t)cos\'2(t)\'\'2(t)L，

cos\'(t)\'2(t)\'2(t)

P(x,y)dxQ(x,y)dyP((t),(t))\'(t)Q((t),(t))\'(t)dt12=21\'2(t)\'(t)P((t),(t)Q((t),(t)\'2(t)\'2(t)dt2222\'(t)\'(t)\'(t)\'(t)=LLP(x,y)cosQ(x,y)cosds 同理可得：

LLP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

=L(PcosQcosRcos)ds

4.格林公式及其应用格林公式的定义：

若平面有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x,y）,Q(x,y)在D上具有连续的一阶偏导数，则有

QP()dxdy。LPdxQdy（证明略） xyD5.平面上对坐标的曲线积分与路径无关的条件

设D是单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在D内具有连续的一阶偏导数，则下面四个命题等价：

（1）对D中任一分段光滑闭曲线C，有CPdxQdy0；

（2）对D中任一有向分段光滑曲线L，曲线积分LPdxQdy与路径无关，只与起点、终点有关；

（3） Pdx+Qdy在D内是某一函数u(x,y)的全微分，即在D内du(x,y)=Pdx+Qdy; （4）在D内恒有PQ。（证明略） yx6.第二类曲线积分小结：

（1）对封闭的第二类线积分，应首先考虑格林公式： ① 若D中无奇点（P,Q的骗到不存在的点），则：

QP()dxdy； LPdxQdyxyD② 若D内含有奇点（挖洞法，洞所在区域为D1），则取特殊l（逆时针）：

QP()dLPdxQdylPdxQdyxyD1PQ当时，LPdxQdylPdxQdy yx，特别的（2）对非封闭的第二类线积分，首先考虑积分与路径的关系； ① 若积分与路径无关，则取特殊路径l，（l与L方向一致）；故PdxQdyPdxQdy