高等数学三重积分计算方法总结

高等数学三重积分计算方法总结

1、利用直角坐标计算三重积分： （1）投影法（先一后二）：

1）外层(二重积分)：区域Ω在xoy面上的投影区域Dxy 2）内层(定积分)：

从区域Ω的底面上的z值，到区域Ω的顶面上的z值。

（2）截面法（先二后一）：

1)外层(定积分): 区域Ω在z 轴上的投影区间。 2)内层(二重积分):Ω垂直于z 轴的截面区域。

2、利用柱坐标计算三重积分 f(x,y,z)dvf(cos,sin,z)dddz

3、利用球面坐标计算三重积分

f(x,y,z)dxdydzf(rsincos,rsinsin,rcos)rsindrdd2定限方法: (1)转面定θ(2)转线定φ (3)线段定r

4、利用对称性化简三重积分计算 设积分区域Ω关于xoy平面对称，

(1)若被积函数 f(x,y,z) 是关于z 的奇函数，则三重积分为零。 (2)若被积函数 f(x,y,z) 是关于z 的偶函数，则三重积分等于：在xoy平面上方的半个Ω，区域上的三重积分的两倍.使用对称性时应注意：

1）积分区域关于坐标面的对称性； ２）被积函数关于变量的奇偶性。

2例 计算



x ( x



y



z )

dxdydz ，其中Ω是由曲面z = x2 + y2和x2 + y2 + z2 =2所围成的空间闭区域. 解： x(xyz)2 x(x2y2z2)2x2y2xyz2zx2 x(x2y2z2)2xyz

是关于x 的奇函数，且关于 yoz 面对称 故其积分为零。

2x2 y是关于y 的奇函数,且关于 zox 面对称

2x2ydv0,Ix(xyz)2dxdydz

202x2zdxdydz,222coszdddz0 d d 2coszdz222322dcos(2)d013224 245

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