高等数学积分总结[推荐]

发布时间：2020-03-03 02:55:11 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

问题引例：曲边梯形的面积、变速直线运动的路程n积分定义：bfxdxlimfxiia0i1b计算方法:fxdxFbFaa一元定积分几何意义:连续曲线与x轴所围曲边梯形面积的代数和物理意义：变力沿直线做功应用几何：平面图形的面积直角坐标、极坐标、体积已知平行截面、旋转体体积平面曲线的弧长直角坐标、极坐标、参数方程、旋转曲面的面积应用物理：水压力、质量与引力、边际成本

一元不定积分：解决定积分的计算问题，将积分问题与求导问题联系起来

问题引例：曲顶柱体的体积、平面薄片的质量n积分定义：fx,ydlimf,iii0i1D计算方法:关键问题是定限，在直角坐标下d=dxdy，在极坐标下d=rdrd二重积分几何意义:以D为底，fx,y为曲顶柱体的体积的代数和物理意义：应用几何：求平面图形的面积dD应用物理问题引例：四维空间中曲顶柱体的体积问题n积分定义：fx,y,zdvlimf,,viiii0i1计算方法:直角坐标 dv=dxdydz柱面坐标xrcos,yrsin,zz,dv=rdrddz三重积分球面坐标xrsincos,yrsinsin,zrcos,dv=r2sindrdd定限的方法参考二重积分 几何意义、物理意义应用几何应用物理

问题引例：曲线形构件的质量nn积分定义：fx,ydslimf,s,fx,y,zdslimf,,siiiiiii00i1i1LL计算方法:用路径函数L化简fx,y,化为一元定积分弧长元素ds=dx2dy22ds=1+y\'xdx对弧长的曲线积分2ds=1+x\'ydy第一型曲线积分22ds=t+\'tdt22ds=r+r\'d几何意义、物理意义应用几何应用物理n问题引例:曲面不均匀薄片的质量n积分定义：fx,y,zdSlimf,,Siiii0i1对面积的曲面积分计算方法:

1、投影，

2、代入，

3、转换22第一型曲面积分fx,y,zdSfx,y,zx,y1zxzydxdyDxy应用几何：计算曲面面积应用物理

Pi,ixiQi,iyi问题引例：变力沿曲线作功Wlim0i1nn

1、定义：如果一阶微分方程Px,ydxQx,ydy0的左端恰好是某一个二元积分定义：Px,ydxlimP,x,Qx,ydylimQi,iyiiiiLL00i1i1函数u的全微分，此时方程的通解为u=C,因此全微分方程的关键就是求u积分的定义可推广到空间的情况，并可简写成Px,ydxQx,ydy

2、求解方法：L对坐标的曲线积分计算方法：本质是将其化为一元定积分用参数方程、将y化为x\'全微分方程uu第二型曲线积分①不定积分法：P,uPdxy,PdxyQxy两种曲线积分的关系：②凑微分法PdxQdyPcosQcosds③积分因子法：见笔记PdxQdyRdzPcosQcosRcosds 其中cos，cos，cos是曲线在一点的与有向曲线同向的切向量的方向余弦 问题引例：曲面的侧的定义指明了曲面是有方向的曲面的投影，流体力学中流量问题=vdSn积分定义：limPi,i,iSzyQi,i,iSxzRi,i,iSxyPcosQcosRcosdS0i1对坐标的曲面积分nlimPi,i,iSzyQi,i,iSxzRi,i,iSxyPdydzQdxdzRdxdy第二型曲面积分0i1第一式将定义以第一型曲面积分的形式给出；第二式是我们普遍用的第二型曲面积分两个式子反应的是一个东西，也就阐明了两类曲面积分的联系计算方法：投影、代入、转换应用：流量的计算

QP 格林定理：①曲线正向的定义；②dxdy,L为D的取正向的边界曲线LPdxQdyxyD QP应用格林公式应注意：1曲线L必须封闭；2、在D内每点具有一阶连续偏导；3L为正向曲线 xy

A格林公式曲线积分的路径无关性：概念，积分值只与初始点的坐标有关PdxQdy B 四个等价命题：在一个单连通区域内，函数Px,y、Qx,y在G内有一阶连续偏导 则下面四个命题等价：QP ①=；②PdxQdy0；③PdxQdy与路径无关；④存在函数ux,y,使duPdxQdyLL xy 高斯公式：是闭曲面围成的区域，函数P、Q、R在上具有一阶连续偏导，则PQRPdydzQdzdxRdxdy++dVxyzPQRPcosQcosRcosdS++dV高斯公式通量散度xyz其中是的外侧，cos、cos、cos是点出法向量的方向余弦PQR通量与散度：=AdS,divA++xyz

斯托克斯公式：设是以为边界的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则,P,Q,R具有一阶连续偏导  RQQPPRPdxQdyRdzdydzdzdxdxdyL yzzxxy斯托克斯公式环流量与旋度

环流量与旋度：向量场A沿有向闭曲线的曲线积分Ads称为A沿的环流量 RQPRQP旋度：rotA= ikjyzzxxy

积分应用归纳几何应用：

1、求曲边梯形的面积：用一元定积分可做

2、求曲顶柱体的体积：用二重积分可做，用三重积分可做

3、曲面的面积:1dSdS 柱面面积=fx,yds——牟合方盖的表面积Lfy,zds,fx,zdsLL该柱面以L为准线，母线平行于z轴，介于z0与曲面zfx,y之间的部分

4、平面的面积：其实就是曲面面积的特殊情况，用一元定积分可做，用二重积分可做

物理应用：

1、质量平面直线杆一元定积分线状质量线密度长度平面曲线杆对弧长的曲线积分这也就解释了为什么对弧长的积分化为定积分空间曲线杆被积函数为三元函数的对弧长的曲线积分平面面片二重积分面状质量面密度面积空间面片对曲面的面积积分立体快质量体密度体积三重积分解释了为什么对曲面的面积积分化为二重积分=fP;MfPd

2、质心物理重心——质心——几何中心——形心概念解释:物理重心——是在重力场中，物体处于任何方位时所有各组成质点的重力的合力都通过的那一点。规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。质心——质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。形心——面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的,而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。质心的计算：引入了静力矩的概念xx,ydyx,y薄片:xDx,yd,ydDx,yd平面DDxx,ydsyx,曲线杆:xLydsx,yds,yLx,ydsLL

3、转动惯量：定义：IMr2Ixy2x,ydDIyx2x,ydDI0x2y2x,yd D



块：xxdv,yydvdvdv空间面片:xxd,yyddd曲杆:xxds,yydsdsds