第一轮复习教案之椭圆

圆锥曲线与方程椭圆

1．椭圆定义：一个动点P，平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数

（PF1PF2=2a（a为常数）2a＞F1F2）的点的轨迹叫做椭圆．

⑪若2a＞F1F2，则动点P的轨迹是椭圆

⑫若2a=F1F2，则动点P的轨迹是线段F1F2

⑬若2a＜F1F2，则动点P无轨迹 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。

常数叫做离心率。

第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e(0e1)的点的轨迹。 2．椭圆的标准方程： 焦点在x轴上时，方程为x2y2a2b21(ab0) 焦点F1(c,0)F2(c,0)

y2焦点在y轴上时，方程为a2x2b21(ab0) 焦点F注:c2a2b21(0,c)F2(0,c)

椭圆的一般方程：mx2ny21(m0,n0,mn)

参数方程 xacos(为参数) ybsin

3．椭圆x2y2a2b21(ab0)的性质：

(1)范围：axa，byb (2)对称性：关于x轴、y轴、原点对称 (3)顶点坐标、焦点坐标是(c，0)

(4)长轴长2a、短轴长2b、焦距2c、长半轴a、短半轴b、半焦距c 2(5)椭圆x2y2a2b21(ab0)的，准线方程是xac，准线到中心的距离为

a2c.

2b22通径的长是b2a，

通径的一半(半通径)：

ba，

焦准距（焦点到对应准线的距离）

c． 2(6)离心率ecac2a21ba2cosB2F2O，离心率越大，椭圆越扁

22(7)焦半径：若点P(x0,y0)是椭圆

xa2yb21(ab0)上一点，F

1、F2是其左、右焦点，

a2PFa2焦半径的长：PF1e(x0c)aex0和2e(x0c)aex0．

4．椭圆的的内外部：

（1）点P(xx22220,y0)在椭圆a2yb21(ab0)的内部x0y0a2b21 （2）点P(xx2220,y0)在椭圆a2yb21(ab0)的外部x0y20a2b21

5．椭圆系方程：

2222与椭圆xa2yb21(ab0)共焦点的椭圆系方程可设为：是

xa2yb21（b20）．22与椭圆xyx22y22a2b21(ab0)有相同离心率的椭圆系方程可设为：a2yb2或a2xb2.

补充性质：

1.若Px2y2x0xy0y0(x0,y0)在椭圆a2b21上，则过P0的椭圆的切线方程是

a2b21.

222.若P0(x0,y0)在椭圆xa2yPb21外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P

1、2，

则切点弦Px1P2的直线方程是0xa2y0yb21.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

225.椭圆xa2yb21 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S2F1PF2btan2.

26.AB是椭圆xy2a2b21的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，

22则kOMkb0ABa2，即KABbxa2y。

0

7.若P0(x0,y0)在椭圆

8.若P0(x0,y0)在椭圆xa22xa22yb221内，则被Po所平分的中点弦的方程是

x0xa2y0yb2x0a22y0b22.yb221内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

xa22yb22x0xa2y0yb2.

9.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

10.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，

除去长轴的两个端点.

11.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

12.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A

1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，

A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

13.已知椭圆（1）1|OP|2xa22yb1221（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.1a2xa22|OQ|yb2221b2;（2）|OP|+|OQ|的最大值为

2

24ab2222ab;（3）SOPQ的最小值是

ab2222ab.14.P为椭圆1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，

则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

3 例 题 分 析

例1 已知椭圆mx23y26m0的一个焦点为（0，2）求m的值．（故m5．）

例 2 （1）已知方程x2k5y23k1表示椭圆，求k的取值范围．

（2）已知x2siny2cos1(0)表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围．

(2,34解：（1）满足条件的k的取值范围是3k5，且k4．（2）

1)．

说明：(1)由椭圆的标准方程知sin201cosb20，

1，这是容易忽视的地方．

1cos，sin． (2)由焦点在y轴上，知

(3)求的取值范围时，应注意题目中的条件0

a

例3（1） 已知椭圆的中心在原点，且经过点P3，0，a3b，求椭圆的标准方程．

453253（2）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，

过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

（3）已知动圆P过定点A3，x3y264的内部与其相内切， 0，且在定圆B：2求动圆圆心P的轨迹方程．

（4）求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3,2)和B(23,1)两点的椭圆方程．

x215y251

（5）知圆x2y21，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹．4x2y21．

x2解：（1）故椭圆的方程为9y12y2 或 81x291x2 （2）所求椭圆方程为53y10213x或102y251

（3）分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．

解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点， 即定点即A3，0和定圆圆心B3，0距离之和恰好等于定圆半径，

．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点， PAPBPMPBBM8x半长轴为4，半短轴长为b2．

说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程． 这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

43227的椭圆的方程：16y271

4

例4 ABC的底边BC16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．

x分析：（1）由已知可得

2GCGB20，再利用椭圆定义求解．故其方程为100y2361y0

x2（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．A的轨迹方程为900y23241y0，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）．

2例5 已知椭圆xy21，（1）求过点P1，1且被2P平分的弦所在直线的方程； 22（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过A2，1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足k1OPkOQ2，

求线段PQ中点M的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法． 解：设弦两端点分别为Mx1，y1，Nx2，y2，线段MN的中点Rx，y，则

x212y212，①①－②得

x1x2x1x22y1y2y1y20．

x22y2222，②x2由题意知

x1x2，则上式两端同除以

x1，有x1x22x，③x1x22y1y2y1y2y1y22y，④x01x2，

x2yy1y2将③④代入得

xx012．⑤

x11y1y21（1）将2y，2代入⑤，得x1x22，故所求直线方程为：

2x4y30． ⑥

2y122036461将⑥代入椭圆方程x2y26y6得

4，

40符合题意，

2x4y30为所求．

y1y22（2）将x1x2代入⑤得所求轨迹方程为：

x4y0．（椭圆内部分）

y1y2xy122（3）将1x2x2代入⑤得所求轨迹方程为：

x2y2x2y0．（椭圆内部分）

5 x1x2（4）由①＋②得

：

21222222y1y2222，

⑦，

将③④平方并整理得

222xx4x2x1x2，

⑧，

y1y24y2y1y2，

⑨

4x2x1x2将⑧⑨代入⑦得：

244y2y1y222，

⑩

12xx1x24y2x1x22y1y2x1x222再将代入⑩式得：

，

即

122x2y2121．

此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

xy例6已知椭圆C：1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y4xm，椭圆C上有不同的两点4322关于该直线对称．

分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线ABl；(2)弦AB的中点M在l上．利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围．

解：(法1)设椭圆上A(x1,y1)，B(x2,y2)两点关于直线l对称，直线AB与l交于M(x0,y0)点．

1yxn,4221xy1,yxnk4y43∵l的斜率l，∴设直线AB的方程为．由方程组4消去得

13．于是213，413， 13x8nx16n480

①。∴4n12n4n13(,)n4mnmy4xm1313134MM即点的坐标为．∵点在直线上，∴．解得． ②

将式②代入式①得13x26mx169m480

③ 2222x1x28nx0x1x24ny01x0n12n(26m)413(169m48)0∵A，B是椭圆上的两点，∴．解得n(法2)同解法1得出

2221313m21313．

13414m，∴

x0134413(134m)m，

，即M点坐标为y014x0134m(m)m3m(m,3m)．

2(m)∵A，B为椭圆上的两点，∴M点在椭圆的内部，∴(法3)设

24(3m)31．解得

21313m21313．

A(x1,y1)，B(x2,y2)x12(x,y0)是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为0．

x2，42∵A，B在椭圆上，∴4y1321y2321．两式相减得

3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，

y1y2即32x0(x1x2)42y0(y1y2)0kABkl1．∴

x1x2413x04y0(x1x2)．

，∴

3x04y0又∵直线ABl，∴

，即

y03x0 ①。

6 又M点在直线l上，∴y04x0m

②。由①，②得M点的坐标为(m,3m)．以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式： (1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0，建立参数方程．

x0(2)利用弦AB的中点

2M(x0,y0)在椭圆内部，满足ay0b21，将

x0，

y0利用参数表示，建立参数不等式．

补充练习

1.求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点2，6；

x2222148y371或

y52x13x1．

2（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．

18y291

（3） 椭圆的一个顶点为A2，0，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

x2分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．4y2161x2或4y211

（4）

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线xy10交于A、B两点，M为AB中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

x24y1

2（5）求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3,2)和B(23,1)两点的椭圆方程．1

155

x2y22.一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．e135433

3.已知椭圆x2k8x22y29yb221的离心率e12，求k的值．k4或k．

4.已知椭圆4b1上一点P到右焦点F2的距离为b(b1)，求P到左准线的距离．23b．

分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．

5.已知椭圆 x29y251内有一点A(1,1)，F

1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点．

7 (1) 求PAPF1的最大值、最小值及对应的点P坐标 ；

6(2) 求PA22．62

32PF2的最小值及对应的点P的坐标．

P坐标(655,1)

6.(1)写出椭圆x9y241的参数方程；

2(2)求椭圆内接矩形的最大面积．S43cos2sin12sin212(0x2)

7.求椭圆3y1上的点到直线xy60的距离的最小值． 2分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．d最小值22

8.已知椭圆4x2y21及直线yxm．

5252（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？m

（2）若直线被椭圆截得的弦长为

2105，求直线的方程．方程为yx

9.以椭圆x212y231的焦点为焦点，过直线l：xy90上一点M作椭圆，要

使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．

x245y2361

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．

10.椭圆x225y9291上不同三点Ax1，y1，B4，，Cx2，y2与焦点F4，0的距离成等差数列．

5（1）求证x1x28；（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k． 证明：（1）由椭圆方程知a5，b3，c4． 由圆锥曲线的统一定义知：

AFa2ca，∴

AFaex1545x1．同理

CF545x2．

cx195∵

AFCF2BF，且BF，∴

5418，即

x1x28． x15x25554 8 （2）因为线段AC的中点为4，1yy2，所以它的垂直平分线方程为 2

yy1y22x1x2y1y2x4．

y1y222又∵点T在x轴上，设其坐标为x0，0，代入上式，得 x04又∵点Ax1，y1，Bx2，y2都在椭圆上， ∴ y129252x1x2

25x

21y2292525x∴

22y1y222925x1x2x1x2．

将此式代入①，并利用x1x28的结论得

x04362

5 ∴ kBT055．

4x04911.椭圆xa22yb221(ab0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使OPAP

(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围．

分析：∵O、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把OPAP，转化为P点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．

解：设椭圆的参数方程是xacosybsin(ab0)，

则椭圆上的点P(acos,bsin)，A(a,0)，

bsinacosbsinacosa∵OPAP，∴1，

即(ab)cosacosb0，解得cos1或cos22222b222ab，

∵1cos1 ∴cos1（舍去），1b222ab221，又bac

222∴0ac222，∴e22，又0e1，∴e1．

说明：若已知椭圆离心率范围(

22,1)，求证在椭圆上总存在点P使OPAP．如何证明？

9 12.已知椭圆x24y321，F

1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN

是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：假设M存在，设Mx1，y1，由已知条件得

a2，b3，∴c1，e12．

∵左准线l的方程是x4，∴MN4x1． 又由焦半径公式知：MF1aex12∵MN212x1，MF2aex1212x1．

1122MF1MF2，∴x142x12x1．整理得5x132x1480．

22125解之得x14或x1．

①

另一方面2x12．

② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在．

说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．

（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．

（3）本例也可设M2cos，3sin存在，推出矛盾结论（读者自己完成）． 13.已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为B两点，求弦AB的长． 3的直线交椭圆于A，分析：可以利用弦长公式AB1k2x1x2(1k)[(x1x2)4x1x2]求得，

22也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解． AB1k2x1x222(1k)[(x1x2)4x1x2]．因为a6，b3，所以c33．因为焦点在x轴上，

所以椭圆方程为x236y291，左焦点F(33,0)，从而直线方程为y3x9．

由直线方程与椭圆方程联立得：13x723x3680．设x1，x2为方程两根，所以x1x2x1x236813272313，，k3，

从而AB1k2x1x2(1k)[(x1x2)4x1x2]224813．

(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．

10 由题意可知椭圆方程为2x236y2921，设AF1m，BF1n，则AF212m，BF212n．

F1F22在AF1F2中，AF2所以m643AF12AF1F1F2cos3，即(12m)2m23632m636481312；

．同理在BF1F2中，用余弦定理得n43，所以ABmn．

(法3)利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程13x723x3680求出方程的两根x1，x2，它们分别是A，B的横坐标．再根据焦半径AF1aex1，BF1aex2，从而求出ABAF1BF1．

14.已知P(4,2)是直线l被椭圆

x2236y291所截得的线段的中点，求直线l的方程．

分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的值代入计算即得． 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．

解：方法一：设所求直线方程为y2k(x4)．代入椭圆方程，整理得

(4k1)x8k(4k2)x4(4k2)360 ①

222 设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x

1、x2是①的两根，∴x1x2∵P(4,2)为AB中点，∴4x1x224k(4k2)4k128k(4k2)4k12

，k12．∴所求直线方程为x2y80．

方法二：设直线与椭圆交点A(x1,y1)，B(x2,y2)．∵P(4,2)为AB中点，∴x1x28，y1y24． 又∵A，B在椭圆上，∴x14y136，x24y236两式相减得(x1x2)4(y1y2)0， 即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0．∴

y1y2x1x2(x1x2)4(y1y2)1222222222．∴直线方程为x2y80．

方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，另一个交点B(8x,4y)．

∵A、B在椭圆上，∴x4y36

①。

(8x)4(4y)36

②

B的直线只有一条，从而A，B在方程①－②的图形x2y80上，而过A、∴直线方程为x2y80． 2222说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．若已知焦点是(33,0)、(33,0)的椭圆截直线x2y80所得弦中点的横坐标是4，则

11 如何求椭圆方程？

xy15.已知椭圆C：221ab0，A、B是其长轴的两个端点．

ab22（1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP，求证：不论a、b如何变化，APB120． （2）如果椭圆上存在一个点Q，使AQB120，求C的离心率e的取值范围．

分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB和AQB的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：xa，yb，根据AQB120得到

2ayxya2223，将xa22ab22y代入，消去x，

2用a、b、c表示y，以便利用yb列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成． xcb2P解：（1）设Fc，0，Aa，0，Ba，0．

222222c，abxayab 于是kAPb2aca，kBPb2aca．

22b∵APB是AP到BP的角．∴tanAPBaca12b4aca22b2ac22

aca∵a2c2∴tanAPB2

故tanAPB3

∴APB120．

（2）设Qx，y，则kQAyxa，kQByxa．

由于对称性，不妨设y0，于是AQB是QA到QB的角．

yy2ayxa 2222yxya2∴tanAQBxa1xa2∵AQB120，

∴2ayxya2223

整理得3xya2222ay0∵xa22ab22y

2 12 ∴3a21b22y2ay0

2∵y0，

∴y2ab2

3c2∵yb，

∴2ab3c2b

2ab3c2，4a2a2c23c2

∴4c44a2c24a40，3e44e240∴e232或e22（舍），∴

63e1．

高三第一轮复习教案

高三第一轮复习之作文板块

化学第一轮复习教案6

高考第一轮专题复习教案

初三中考第一轮复习教案

九年级化学第一轮复习教案

届高考第一轮复习《现代文阅读》之《传记阅读》教案

“椭圆世界”教案

第一轮复习要求

届高考第一轮复习之语病练习题

《第一轮复习教案之椭圆.doc》

将本文的Word文档下载到电脑，方便编辑。

推荐度：

点击下载文档