已知函数f(x)=x^2+2x+alnx
(1)若函数f(x)在区间【0,1】上恒为单调函数,求a范围
(2)当t≥1时不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求a的范围
(1) f\'(x)=2x+2+a/x=(2x^2+2x+a)/x
因为x>0,所以f\'(x)的符号由二次函数g(x)=x^2+x+a/2决定。
二次函数g(x)的对称轴为x=-1/2=0, g(x)在(0,1)上恒大于0,因此f(x)在(0,1)单调增加。
因此 若函数f(x)在区间(0,1)上恒为单调函数, a>=0或者a
(2) f(2t-1)>=2f(t)-3
2t^2-4t+2+aln(2t-1)=2lnt>=0
2(t-1)^2>+alm(2t-1)-2lnt>=0
设x=t-1, x>=0, 上面不等式等价于
2x^2+aln(2x+1)-2aln(x+1)>=0
ln(2x+1)
所以如果a
所以现在设a>0.
2x^2+aln[(2x+1)/(x^2+2x+1)]>=0
ln[(2x+1)/(x^2+2x+1)]=ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]>=-x^2/(x^2+2x+1)].
所以如果2x^2-ax^2/(x^2+2x+1)]>=0, 即2(x+1)^2-a>=0,那么原不等式自然成立。2(x+1)^2-a>=0恒成立对x>=0, 那么a
如果a>2, 因为当x--->0+时, 极限x^2/ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]=-1, 因此对充分小的正数x,2x^2+aln[1-x^2/(x^2+2x+1)]=ax^2*[2/a+ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]/x^2]
综上, a
《高考数学导数题.doc》
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