新课程高中数学数列题型总结

高中数学数列复习题型总结

1.等差等比数列 (n1)S

12．Sn与an的关系：an ，已知Sn求an，应分n1时a1n

2SnSn1(n1)

时，an=两步，最后考虑a1是否满足后面的an.基础题型

题型一：求值类的计算题（多关于等差等比数列） A）根据基本量求解（方程的思想）

1、已知Sn为等差数列an的前n项和，a49,a96,Sn63，求n；

2、等差数列an中，a410且a3，a6，a10成比数列，求数列an前20项的和S20．

3、设an是公比为正数的等比数列，若a11,a516，求数列an前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.

B）根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知Sn为等差数列an的前n项和，a6100，则S11

2、设Sn、Tn分别是等差数列an、an的前n项和，

Sn7n2a

，则5.

Tnn3b

5a55S9

,则（）

3、设Sn是等差数列an的前n项和，若

a39S

5Sa2n

4、等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若n,则n=（）

Tn3n1bn

5、已知Sn为等差数列an的前n项和，Snm,Smn(nm)，则Smn题型二：求数列通项公式： A） 给出前几项，求通项公式

1,0,1,0,……

1,3,6,10,15,21,,

B）给出前n项和求通项公式

1、⑴Sn2n23n；⑵Sn3n1.2n-

12、设数列an满足a13a23a3…+3an

3，-33,333，-3333,33333……

n

(nN*)，求数列an的通项公式

3C）给出递推公式求通项公式

a、⑴已知关系式an1anf(n)，可利用迭加法或迭代法；

例：1.已知数列{an}满足a1

11,an1an2，求数列{an}的通项公式。 24n

12.已知数列{an}满足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。

3.已知数列{an}满足an1an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。 4.设数列{an}满足a12，an1an322n1，求数列{an}的通项公式

b、已知关系式an1anf(n)，可利用迭乘法.例：1.已知数列{an}满足an12(n1)5nan，a13，求数列{an}的通项公式。

2n

an，求an。 ，an1

3n13n

1an (n1)，求an。 3.已知a13，an1

3n

2c、构造新数列待定系数法适用于an1qanf(n)

2.已知数列an满足a1

解题基本步骤：

1、确定f(n)

2、设等比数列an1f(n)，公比为

3、列出关系式

an11f(n1)2[an2f(n)]

4、比较系数求1，

25、解得数列an1f(n)的通项公式

6、解得数列an的通项公式

例：1.已知数列{an}中，a11,an2an11(n2)，求数列an的通项公式。

2.（2006，重庆,文,14）在数列an中，若a11,an12an3(n1)，则该数列的通项

an______________

3.（2006.福建.理22.本小题满分14分）已知数列an满足a11,an12an1(nN*).求数列an的通项公式；

4.已知数列{an}满足an12an35n，a16，求数列an的通项公式。 解：设an1x5n12(anx5n)

5.已知数列{an}满足an13an52n4，a11，求数列{an}的通项公式。 解：设an1x2n1y3(anx2ny)

511n

1,an1an()，求an 6

327.已知数列{an}满足an12an3n24n5，a11，求数列{an}的通项公式。

6.已知数列an中，a1

解：设an1x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)

8.已知数列{an}满足an12an43n1，a11，求数列an的通项公式。 d、给出关于Sn和an的关系 解法：把Sn换为an

例

1、设数列an的前n项和为Sn，已知a1a,an1Sn3n(nN)，设bnSn3n， 求数列bn的通项公式．

例

2、设Sn是数列an的前n项和，a11，SnanSn

⑴求an的通项； ⑵设bn





1

(n2).2

Sn

，求数列bn的前n项和Tn.2n

1（6）根据条件找n1与n项关系

151

例1.已知数列{an}中，a11,an1C，若C,bn，求数列{bn}的通项公式

an2an

21n1

a11,an1(1)ann

{a}n2 2.（2009全国卷Ⅰ理）在数列n中，

abnn

n，求数列{bn}的通项公式 （I）设

（7）倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例：1.已知数列{an}满足an1

2an

,a11，求数列{an}的通项公式。 an2

（8）对无穷递推数列

消项得到第n1与n项的关系

例：1.（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{an}满足

a11，ana12a23a3(n1)an1(n2)，求{an}的通项公式。

题型三：证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差

例

1、已知Sn为等差数列an的前n项和，bn

Sn

(nN).求证：数列bn是等差数列.n

例

2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=数列；

B）证明数列等比

1

1.求证：{}是等差

Sn

21

例

1、设{an}是等差数列，bn＝，求证：数列{bn}是等比数列；

2

n

例

2、设Sn为数列an的前n项和，已知ban2b1Sn

n

1⑴证明：当b2时，ann2是等比数列；⑵求an的通项公式

an



例

3、已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN*).⑴证明：数列an1an是等比数列；⑵求数列an的通项公式；

⑶若数列bn满足4b114b21...4bn1(an1)bn(nN*),证明bn是等差数列.题型四：求数列的前n项和 基本方法： A）公式法，

na1(q1)

n(a1an)n(n1)Snna1dSna1(1qn) 公比含字母时一定要讨论

(q1)221q

例：1.已知等差数列{an}满足a11,a23，求前n项和{Sn}

2.等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（） A．9B．10C．11D．1

23.已知等比数列{an}满足a11,a23，求前n项和{Sn} B）拆解求和法.例

1、求数列{2n2n3}的前n项和Sn.

23，，(n例

2、求数列1，

1214181)，的前n项和Sn.2n

例

3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3） C）裂项相消法，数列的常见拆项有：

1111

1()；n1n；

n(nk)knnkn1

111例

1、求和：S=1+ 12123123n111

1例

2、求和：.213243n1nx

2例、设f(x)，求：

1x2⑴f()f()f()f(2)f(3)f(4)；

⑵f()f()f()f(2010).)f()f(2)f(2009

D）倒序相加法，

E）错位相减法，

例、若数列an的通项an(2n1)3n，求此数列的前n项和Sn 例：1．求和Sn12x3x2nxn

12.求和：Sn

123n23n aaaa

3.设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，

an

（Ⅱ）求数列的前n项和Sn． a5b313 （Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；

bn

F）对于数列等差和等比混合数列分组求和

例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n，求数列{|an|}的前n项和Tn.题型五：数列单调性最值问题

例

1、数列an中，an2n49，当数列an的前n项和Sn取得最小值时，n例

3、数列an中，an3n228n1，求an取最小值时n的值.例

4、数列an中，ann

例

2、已知Sn为等差数列an的前n项和，a125,a416.当n为何值时，Sn取得最大值；

n22，求数列an的最大项和最小项.*

例

5、设数列an的前n项和为Sn．已知a1a，an1Sn3n，nN*．

（Ⅰ）设bnSn3n，求数列bn的通项公式；（Ⅱ）若an1≥an，nN，求a的取值范围． 例

6、已知Sn为数列an的前n项和，a13，SnSn12an(n2).⑴求数列an的通项公式；

⑵数列an中是否存在正整数k，使得不等式akak1对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由.例

7、非等比数列{an}中，前n项和Sn(an1)2， （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn

有Tn

(nN*)，Tnb1b2bn，是否存在最大的整数m，使得对任意的n均

n(3an)

m

总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。 32

综合练习：

1.设数列{an}满足a10且（1）求{an}的通项公式 （2）设bn

2.等比数列{an}的各项均为正数，且2a13a21，a39a2a6 （1）求数列{an}的通项公式

a1a2

（2）设bnlog3log3...log3n，求数列{

a

11

1

1an11an

n

1an1

n

,记Snbk，证明：Sn1

k1

的前n项和 bn

3.已知等差数列{an}满足a20, a6a810.(1)求数列{an}的通项公式及Sn（2）求数列{

an

的前n项和 n12

4.已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33 （1）若a1,求数列{an}的通项公式 （2）若数列{an}唯一，求a的值

5.设数列{an}满足a12，an1an322n1 （1）求数列{an}的通项公式

（2）令bnnan，求数列{bn}的前n项和Sn

6.已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x+2x的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项； （3） 记bn=

112

，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.

anan23Tn1

7.已知等差数列{an}满足：a37,a5a726，{an}的前n项和Sn （1）求an及Sn （2）令bn

8．已知数列an中，a13，前n和Sn

1an1

（nN），求数列{bn}前n项和Tn



(n1)(an1)1 2

①求证：数列an是等差数列②求数列an的通项公式

③设数列



1

的前n项和为Tn，是否存在实数M，使得TnM对一切正整数n都成立？

anan1

若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由。

9.数列an满足a1=8，a42，且an22an1an0 （nN），



（Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）设bn

(nN*)，Snb1b2bn，是否存在最大的整数m，使得任意的

n(12an)

n均有Sn

6

m

总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由． 32

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