论文范文数列（精选多篇）

推荐第1篇：数列求和

《数列求和》教学设计

【课例解析】

1、教材的地位和作用

本节课是人教A版《数学(必修5)》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。通过本节课的教学让学生感受倒序相加、裂项相消、错位相减等求和法在数列求和中的魅力，并把培养学生的建构意识和合作、探究意识作为教学目标。

2、学情分析

在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时分别用到了倒序相加法、错位相减法，本节课在此基础上进一步对上述数列求和方法做深入的研究、应用。本节课的内容和方法正处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好地完成本节课的教学任务。

【方法阐释】

本节课的教学采用 学力课堂模式，分为自学、互学、展学、导学、练学五个教学环节，五个环节并不是简单的顺次递进，而是有机的相互融合。

本节课从学生回顾等差数列、等比数列求和公式推导过程中用到的倒序相加、错位相减求和法引入，从自主探究题组及问题探究入手展开教学，引导学生自主发现几种常见求和法，并很快进入深层次思维状态。接下来的课堂探究题组、课堂练学题组又更进一步加强几种求和法的应用。

【目标定位】

1、知识与技能目标

掌握几种解决数列求和问题的基本思路、方法和适用范围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。

2、过程与方法目标

经历数列几种求和法的探究过程、深化过程和应用过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。

3、情感与价值观目标

通过数列几种求和法的归纳应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。

【教学重、难点】

本节课的教学重点为倒序相加、裂项相消、错位相减求和的方法和形式。能将一些特殊数列的求和问题转化上述相应模型的求和问题。

本节课的教学难点为建构几种求和方法模型的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归的思想分析问题和解决问题。

五、归纳总结、整合升华(课堂小结，建构知识体系)

教师：本节课大家都学习、应用到了哪些数列求和方法?

预设学生情况：并项、分组、倒序相加、裂项相消、错位相减求和法

教师：通过本课的学习，在解决数列求和问题时有什么心得体会?

预设学生情况：1.求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用;3.建构意识、化归思想的运用;

六、课后练学(课外完成课后练学案和课外探究案)

设计意图：对所学内容进行巩固、强化。

【教有所思】

从课堂模式上讲，本节课采用学力课堂模式，力求坚持先学后教、以学定教，努力实现课堂由教堂到学堂的转变。课堂教学实质上就是依据教材内容和学生实际，师生重组旧知识，建构新知识的过程，课前自学环节有助于教师抓准学生认知水平和知识结构的最近发展区，不断发现问题﹑研究问题﹑解决问题，达到将学生的思路所隐藏的数学思想和方法挖掘出来，深化并完善它。学生互学、展学方式有利于培养学生的合作精神，数学表达能力，让学生获得对数学知识理解的同时也获得丰富的情感体验。教师的导学通过问题精导、设疑，让学生经历几种求和方法的建构过程,使学生的思维训练充分落实。练学环节设计与本课例具有强关联性的题组进行巩固、强化，让学生实现双基过手扎实。

从学生获得的数学素养上讲，本节内容设计突出了某些重要的数学思想方法，如：类比思想，归纳思想，特殊到一般的思想方法。充分注意了学生的观察，发现，归纳，总结等学习过程的体验，强化了归纳思想的具体应用。突出体现了特殊到一般的思想，突出了通过观察特殊数列的各项关系或者通项特征，将基本运算、性质的研究推广到一般数列相应问题研究的思想，体现了数学知识的内在关联，培养学生用已知去研究未知的化归能力。

推荐第2篇：数列教案

乐清体校 黄智莉

教学目标：

知识与技能：理解数列的有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的前几项甚至任意一项

过程与方法：通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力，观察能力和抽象概括能力。

情感、态度、价值观：在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

教学重点：数列及其有关概念，通项公式。 教学难点：通项公式的理解。 教学方法：启发引导式 教学手段：多媒体教学

数列

教学过程：

一、创设情景，在生活中认识数列

1.温州某皮鞋公司打算去非洲拓展皮鞋市场，派两个人去调查市场，发现那里的人都不穿鞋子，问去投资还是放弃呢? 适当的数填空

1，2，（），（），（）？

1，2，（），（），（）？ 1，2，（），（），（）？

2.台球桌中的数列 1，2，3，4，5 3.我国有十二生肖的习俗， 今年是2008年鼠年，请说出2008年之前最后一个鼠年，2008年之后最后一个鼠年？

1996，2008，2020，2032 4.象棋的传说

国际象棋有八行八列，64个格子。国王要奖励国际象棋的发明者问他有什么要求， 发明者说：在第1个格子里放1颗麦粒，在第2个格子里放2颗麦粒，在第3个格子里放4颗麦粒，在第4个格子里放8颗麦粒，在第5个格子里放16颗麦粒，依次类推。国王答应了。

问国王能满足满足上述要求吗？

1,21,22,23,...263

5.奥运金牌

北京奥运会上，中国拿了多少枚金牌？

我国从1984年倒2008年共开始参加了7届奥运会，金牌数依次为 15，6，16，16，28，32，51 6.小女孩荡秋千，从一边到另一边，唐老鸭从上到下，跳来跳去。

n (1) n=1,n=2,n=3,n=4,..时

-1，1，-1，1，-1，1，…

7.庄子曰：一尺之捶，日取其半，万世不竭。你能用一列数来表达这句话的含义吗？

1111 1 ， ， ， ， ， … 24816

二、讲授新课

(1)1,2,3,4,5

(2)1,21,22,23,...263

(3)15,5,16,16,28,32,51

(4)1996,2008,2020,2032,...

(5)1,1,1,1,1,1,...

1111 (6)1,,,,,...24816

1.函数的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列 2.数列的项：数列中的每个数叫做数列的项

各项分别叫数列的第一项，第二项，。。。第n项 3.数列的记法：

（1） a1,a2,a3,,an,（2） an思考一：是同一数列吗？

（3）15，5，16，16，28，32，51 (a ) 51，32，28，16，16，5，15

（5）-1，1，-1，1，-1，… （b）1，-1，1，-1，1，… 4.数列的分类

按项数的分为：有穷数列。无穷数列

5.探索与研究

（1）在生活中，找找数列的例子

（2）电子表格中的数列

6.数列的通项公式

思考2：

项a1

a3a4a5...an...a22序号1345...n......?...19962008202020321984121198412219841231984124198412nan198412n

通项公式的定义：如果数列{ an }中的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的通项公式。

项与序号的关系，n的范围 三．例题讲解 例

1、

根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：

nn(1)an(2)a1nn n1算法：依次用正整数1,2,3,..，去代替公式中n，就可求出数列中的第一项、第二项、第三项……

2.智力大冲浪 用适当的数填空

(1)1,3,(),7 222213151 (2),,(),235

111 (3),,(),122345

四、学生练习 观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出

每个数列的一个通项公式：12，4， ，16，32， ，128，2 ，4，9，16，25， ，49，3-1，41，1111， ，，，， ，24562， ，2，5， ，7，

五、小结

 数列的定义；  数列的通项公式。  本节课的能力要求是：  会由通项公式 求数列的特定项

六、作业

 书P110 第1题 第3题



做完第3题，如没有疑问，请思考第6题

推荐第3篇：数列极限

《数学分析》教案--第二章 数列极限

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第二章 数列极限

教学目的：

1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；

2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义 证明数列极限等有关命题。要求学生：逐步建立起数列极限的 数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的 并能运用

概念.深刻理解定义证明有关命题，语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性；

教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的 用.教学时数：16学时

定义及其应

§ 1 数列极限的定义

教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。

教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的N定义及其应用。 教学时数：4学时

一、引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入——

二、讲授新课：

（一）数列：

1.数列定义——整标函数.数列给出方法: 通项,递推公式.数列的几何意义.

- 《数学分析》教案--第二章 数列极限

xbl

2.特殊数列: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列.

（二） 数列极限: 以 为例.定义 ( 的 “

”定义 ) 定义 ( 数列 收敛的“

”定义 ) 注：1.关于 ：的正值性, 任意性与确定性,以小为贵; 2.关于：非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义.

（三）用定义验证数列极限： 讲清思路与方法.例1

例2

例3

例4

证

注意到对任何正整数

时有

就有

-

- 9- 10- 11- 12- 13- 14- 15- 16- 17- 18- 19 -

推荐第4篇：数列教案

数列教案

教材分析

1.地位作用

数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列的极限作了铺垫。最后，由于不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力。

2.教材编写特点

数列从知识上看较为简单易学，这样可借助于其知识联系面广的特点对初中所学内容起到复习和深化的作用；（如：解方程、一次函数、二次函数、等比性质等）

数列本身是一种特殊函数，让它紧接在第二章“函数”之后，有助于加深对函数概念的理解。

学情分析

数列这一章是学生初次进行全方面的学习，但学生们在之前的生活学习中对数列已经有了一定的认识与了解，所以如果从具体的事例入手，相信学生不会感到太过陌生或困惑，数列与函数也有着密切的联系，而学生对函数已经可以说非常熟练了，所以前期教学主要从这两方面进行，使学生更加容易理解与记忆。另外数列与我们的生活有着密切的联系，尤其是与自然界中的许多植物，从这些可以引发学生的兴趣与激情。

教学目标

1) 专业知识：引入数列这一概念，使学生初步认识数列的项、通项公式、递推公式及等差数列。

2) 情感思想：通过引入自然界的有趣的数字排列，增加学生对奇妙自然界的认识，从而激发学生对数字的兴趣。

教学重点及难点：

1) 重点：数列的项、通项公式、递推公式 2) 难点：通项公式、递推公式

3) 解决方法：首先通过引入生活中的数字排列激发学生对数列的兴趣和敏感，使学生认为数列很简单，就是找数字间的规律，从而很好的掌握通项公式、递推公式。

教学过程

1) 通过鲁滨逊漂流记的一段电影视频引入课题；（ppt） 问：从视频中有何发现与收获？ 2) 引入数列的定义（ppt）

3) 从斐波那契数列引入生活中的数列（ppt）

播放相关图片，通过自然界中的花卉、动植物来了解斐波那契数列 4) 具体事例（ppt）

问：发现何种规律或结论？ 答：„„„„„„„„ 总结：

5) 通过快寄编号引入数列项的概念（ppt） 6) 递推公式和通项公式（ppt） 7) 数列的简单分类（ppt）

板书设计

1) 数列定义 2) 数列的项的概念

3) 递推公式与通项公式的形式及推理过程

推荐第5篇：数列求

一， 数列求{an}

1,用sn求

sn=n2+n,求an

当n=1,a1=s1=2+1=2

当n≥2,an=sn-s(n-1)=2n

a1代入an，成立

∴an=2n

2,累差叠加 ， 给出递推关系，一边是可求和形式 a1=1,an-a(n-1)=n,求an

an=an-1 +n

an-1=an-2 +n-1

an-2=an-3 +n-2

.......

a3=a2+3

a2=a1+2

a1=1

∴左边相加等于a1+a2+...+an

右边相加等于a1+a2+...an-1 +1+2+3+...+n 两边消去重复得an=1+2+...+n=n(n+1)/2 3,累乘

a1=1,an/a（n-1）=n/(n+1),求an

an=n/(n+1)an-1

an-1=n-1 /n an-2

an-2=n-2 /n-1 an-3

......

a3=3/4 a2

a2=2/3 a1

a1=1

∴左边相乘等于a1a2a3...an

右边相乘等于a1a2a3...an-1 2/3.3/4.4/5.......n/(n+1) 两边消去重复得an= 2/3.3/4.4/5.......n/(n+1)=2/(n+1) 4,凑形

a1=2,an=2a(n-1) -1,求an

当n≥2,∵ an=2a(n-1) -1

∴an -1=2[a(n-1) -1]

当n=1,a1 -1=1

∴{an -1}是首项为1，公比为2的等比数列 an -1=2n-1

an=2n-1+1

推荐第6篇：数列复习

一、等差数列的判定

1、利用定义法进行判定：数列复习若数列an满足：anan1d,n2,nNan1and,nN*a为等差数列 nn*a为等差数列 例题

1、在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)．

(1)求a2，a3的值；

an＋3(2)设bn＝(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列．

2例题

2、设数列an的前n项和为Sn，a11,an

（1）、求证：数列 an为等差数列；

（2）、求数列an 的通项公式an和前n项和Sn.

Sn2n1,nN*, n

推荐第7篇：数列三

1、（2010北京）

已知|an|为等差数列，且a36，a60。 （Ⅰ）求|an|的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列|bn|满足b18，b2a1a2a3，求|bn|的前n项和公式

2、（2010山东理）

已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn． （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令b1n=a2

(nN*

)，求数列bn的前n项和Tn．

n

13、（2009全国卷Ⅱ文）

已知等差数列{an}中，a3a716,a4a60,求{an}前n项和sn.

4、（2009全国卷Ⅱ理）

设数列{an}的前n项和为Sn, 已知a11,Sn14an2 （I）设bnan12an，证明数列{bn}是等比数列（II）求数列{an}的通项公式。

5、（2009辽宁卷文）

等比数列{an}的前n 项和为sn，已知S1,S3,S2成等差数列 （1）求{an}的公比q； （2）求a1－a3＝3，求sn

数列三（大题）

推荐第8篇：数列.comjkj

数列

考试内容：数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式． 考试要求：

（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n际问题． 知识要点:

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①anan1d(n2,d为常数)

新课标第一网系列资料

②2anan1an1(n2) ③anknb(n,k为常数).⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①anan1q(n2,q为常数,且0)

2②anan1an1(n2，anan1an10)

①

注①：i.bac，是a、b、c成等比的双非条件，即bacii.bac（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.iii.bac→为a、b、c等比数列的必要不充分.iv.bac且ac0→为a、b、c等比数列的充要.

、b、c等比数列.注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0.③ancqn(c,q为非零常数).

④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x1.s1a1(n1)

ss(n2)n1n

.dn→可以为零也可不为零→为等差

2d不为零，则是等差数列的充分条件.

列，其公差为原公差的k2倍ndS

S奇

偶



anan

1；

n n1

1an，且S奇S偶an，S奇3.常用公式：①1+2+3 …+n =②122232n2

S偶

nn12n1

6nn1

③132333n3 2

[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…an10n1； 5，55，555，…an

5n

101.9



4.等比数列的前n项和公式的常见应用题：

⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1r.其中第n年产量为a(1r)n1，且过n年后总产量为：

n1

aa(1r)a(1r)...a(1r)

a[a(1r)n].

1(1r)

⑵银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1r)n元.1

211

10

a(1

r)a(1r)a(1r)

...a(1r)⑶分期付款应用题：a.

a1rx1r

m

m1

x1r

m2

......x1r5.数列常见的几种形式：

⑴an2pan1qan（p、q为二阶常数）.

具体步骤：①写出特征方程x2Pxq（2n对应an1），并设二根x1,x2②若x1x

2nn可设an.c1xn1c2x2，若x1x2可设(c12n)x1；③由初始值a1,a2确定c1,c2.⑵anPan1r（P、r用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an2Pan1qaan；④anc1c2Pn1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.

xP(anx)an1PanPxxxn1rP(Pan2r)ran(a1Pn2rPrr.

r

.P1

rr)Pn1(a1x)Pn1x P1P1

an1Panr

（P1）anPan1.an1anPanPan1an1相减，

anPan1r

④由选代法推导结果：c1

rrrr

.，c2a1，anc2Pn1c1（a1）Pn1

1PP1P11P

6.几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：

一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn

d2d

n(a1)n利用二次函数的性质求n22

的值.

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依

111

照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：1,3,...(2n1)n,...

242⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第

一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.

7.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2验证anan1(

an

)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式:an1

2an1anan2(an1anan2)nN都成立。

8.在等差数列｛an｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当a1>0,d

的项数m

m10

am0

使得sm取最大值.(2)当a10时，满足的项数sm取最小值。在解含绝

am10

0的等差数列，c为常数；部分无理

bn是各项不为0的等比数列。 .

2222

4） 123n

n(n1)(2n1)6

5）

1111111

()

n(n1)nn1n(n2)2nn2

推荐第9篇：数列证明题

1、已数列满足条件：（

*

）

（Ⅰ）令（Ⅱ）求数列（Ⅲ）令

，求证：数列的通项公式； ，求数列

是等比数列；

的前n项和

2、设关于x的一元二次方程anx-an1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3． (1)试用an表示an1；

2n13．设数列an满足a13a23a3…3ann*，aN． 3（Ⅰ）求数列an的通项； （Ⅱ）设bn

4、在数列{an}中，a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N﹡.(1)证明数列{an-n}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn； （3）证明不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N﹡皆成立.

n，求数列bn的前n项和Sn． an

5、已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1= (1)求证:

6、数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N﹡).

1.21（2）求an表达式.是等差数列；Sn(I)求数列{an}的通项an； （II）求数列{nan}的前n项和Tn .

7、在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝

8 .证明：数列{bn}是等差数列； 2n－1(2)求数列{an}的前n项和． an

推荐第10篇：数列证明题

1、已知数列an满足a1=1，an13an1.（Ⅰ）证明an1是等比数列，并求an的通项公式；

2

2数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.（1）设bn=an+1-an，证明{bn}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式.

an

3、数列an满足a11,nan1(n1)ann(n1),nN*.(Ⅰ)证明：数列是等差数列；

n

4、已知首项都是1的两个数列，求数列

的通项公式；

（），满足.（1）令

5、设各项为正数的数列an的前n和为Sn,且Sn满足.Sn2(n2n3)Sn3(n2n)0,nN*

（1）求a1的值;（2）求数列an的通项公式;

第11篇：数列证明

数列证明

1、数列{an}的前n项和记为Sn，已知a11,an1（Ⅰ）数列{

2、已知数列an的前n项和为Sn,Snn2Sn(n1,2,3).证明： nSn}是等比数列；

（Ⅱ）Sn14an.n1(an1)(nN).

3（Ⅰ）求a1,a2；

（Ⅱ）求证数列an是等比数列。

3、已知数列{an}的前项和为Sn，且满足an2SnSn10n2a11。21

○1 求证：是等差数列

；○2求an的表达式；

Sn

4、在数列an中，a12，an14an3n1，（n∈N*）。

（Ⅰ）证明数列ann是等比数列；

（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；

5、设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313。

（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）求数列

an的前n项和Sn bn 2

6、已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,),a11，

⑴设数列bnan12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列； ⑵设数列cnan,(n1,2,)，求证：数列cn是等差数列； n2⑶求数列an的通项公式及前n项和。

7、已知数列{an}的前n项和为Sn，且anSnSn1(n2,Sn0),a1

（Ⅰ）求证：数列{

2.91}为等差数列；Sn

8、已知数列{an}满足a11，an12an1

（1）求证：{an1}是等比数列

（2）求an的表达式和Sn的表达式

9、数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)． （Ⅰ）求数列an的通项an； （Ⅱ）求数列nan的前n项和Tn．

第12篇：数列题

k已知数列an中的相邻两项a2k1，a2k是关于x的方程x2(3k2k)x3k20的两个根，且

a2k1≤a2k(k1，2，3，)．

（I）求a1，a2，a3，a7；

（II）求数列an的前2n项和S2n； （Ⅲ）记f(n)1sinn3， 2sinn

(1)f(2)(1)f(3)(1)f(4)(1)f(n1)

， Tn…a1a2a3a4a5a6a2n1a2n

求证：

已知An(an，bn)（nN*）是曲线ye上的点，a1a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足22n2，3，4，…． Sn3n2anSn1，an0，x15≤Tn≤(nN*)． 624

（I）证明：数列bn2（n≤2）是常数数列；

bn

（II）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是单调递增数列； （III）证明：当aM时，弦AnAn1（nN*）的斜率随n单调递增

第13篇：数列基础训练

数列基础训练

1． 已知数列{an}为等差数列，

（1） 若公差d2,a1510,则a1___________,S15__________________。

（2） 若a11,an55,Sn405,则n_________,d_________________。

2． 已知数列{an}为等比数列

11,a6,则a1__________，S6________________。 216

121，则n________,an=_________________。 （2） 若a12,q,Sn216

3． 一个等差数列共有2n1项，其中项序数为奇数的项之和为319，项序数为偶数的项

之和为290，则这个数列的第n1项等于_________________。 （1） 若公比q

4． 一个等比数列共有7项，各项都是正数，它的前三项之和为2b，后三项之和为210b，

则这个数列的中间项等于__________________。

5． 已知数列{an}为等差数列，公差d1，且此数列的前100项之和S100145，则2

a1a3a5a97a99=__________________。

6． 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，al,am,ak是{an}的某三项,且al,am,ak成

等差数列，求证：l,m,k成等差数列。

证明：ala1(l1)d,ama1(m1)d,aka1(k1)d,又al,am,ak成等差数列

2amalak,则2[a1(m1)d]a1(l1)da1(k1)d

2a12(m1)d2a1(lk2)d,d0,2mlk,l,m,k成等差数列。请模仿上述证明过程，完成下列证明。

已知数列{an}是公比不为1的等比数列，al,am,ak是{an}某三项，且al,am,ak成等比数列，求证：l,m,k成等差数列。

证明：

7． 已知数列{an}为等差数列，且它的前n项和Sna,前2n项和S2nb,则前3n项和

S3n=__________________。

8． 已知数列{an}为等比数列，且它的前n项和Sna,前2n项和S2nb,则前3n项和

S3n=__________________。

9． 在数列{an}中，若Sn3n2,则an_________________； 若Snan2bnc(a0),则an_______________________； 若Sn32an,则其通项公式是__________________________。

11 ,bnan1an1

(1)求证数列{bn}为等差数列，并求出它的通项公式；(2)求an。 10．数列{an}和{bn}中，已知a12,an2

11．在数列{an}中a11,Sn14an2.(1)设bnan12an，求证数列{bn}为等比数列；(2)设cn

12.设等差数列{an}的首项是正数，且S20S30，问此数列前几项的和最大？

an，求证数列{cn}为等差数列；(3)求an及Sn。 n2

13.已知二次函数f(x)x22(103n)x9n261n100，其中nN

（1）设函数f(x)的图象顶点的横坐标构成数列{an}，求证数列{an}为等差数列；

（2）设函数f(x)图象顶点到y轴的距离构成数列{dn}，求数列{dn}的前n项和Sn。

14.数列{an}的前n项和为An，等差数列{bn}的首项为9，公差为2，前n项和为Bn，且满足bn

由。

15.已知数列{an}，a1An。（1）求数列{an}的通项公式；（2）试比较An与Bn的大小，并说明理n43an1111（1）若,an,(nN)。103an1a1a2

111m； （2）若Sn，求Sn的最大值。 a1a2an

155，求am

16．已知数列{an}的前前n项和Sn满足anSnSn1(n2),nN,a1

（1）求证：数列{

17．数列{an}的前n项和Snan2bn,(a,bR)

（1）求数列{an}的通项公式，并证明{an}为等差数列； 2 91为等差数列；（2）求数列{an}的通项公式。 Sn

（2

）若0a1,b8a

是自然数，试求Sn的最大值函数Sn(a)，并

求函数Sn(a)的最大值M。

(an1)218．已知正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn 4

（1） 求a1及an和an1满足的关系式；（2）求此数列的通项公式；

（3）设f(x)x2，设点A1(a1,f(a1)),A2(a2,f(a2)),A3(a3,f(a3)),，按下图相应的直角三角形（即阴影部分所示），记A1B1A2的面积为T1，A2B2A3面积为T2，

AnBnAn1的面积为Tn，求证数列{Tn}是一个等差数列。

第14篇：数列极限

若当n无限增大时数列能无限的接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限，不具有这种特性的数列不是收敛数列

收敛数列的特性是随着n的无限增大，数列无限接近一个常数a，这就是说，当n充分大时，数列的通项与常数a之差的绝对值可以任意小

第15篇：数列极限

§2.1 数列极限概念

第二章数列极限

§1 数列极限概念

Ⅰ.教学目的与要求

1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛.2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数.

Ⅱ.教学重点与难点:

重点: 数列极限概念.

难点: 数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数.

Ⅲ.讲授内容

若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称

f:NR或f(n), nN

为数列．因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f(n)也可写作

a1,a2,,an,,

或简单地记为{an}，其中an，称为该数列的通项．

关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子．

例1古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．

把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺)： 第一天截下111，第二天截下2，„„，第n天截下n，„„这样就得到一个数列 22

21111,2,,n,．或n.2222

不难看出，数列{11}的通项随着n的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数2n2n

列{an}，若当n无限增大时an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．

收敛数列的特性是“随着n的无限增大，an无限地接近某一常数a”．这就是说，当n充分大时，数列的通项an与常数a之差的绝对值可以任意小．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．

定义1设{an}为数列，a为定数．若对任给的正数，总存在正整数N，使得当，n>N

时有|ana|则称数列

n

{an收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作

limana，或ana(n).读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”．

若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}为发散数列．

定义1常称为数列极限的—N定义．下面举例说明如何根据N定义来验证数列极限．

例2证明lim证由于

|

0，这里为正数

nn

110|, nn



1故对任给的>0，只要取N=1



这就证明了lim



1，则当nN时，便有 

111|0|.即nNn

0.

nn

例3证明

3n2

3.lim2

nn

3分析由于

3n299

|2(n3).(1)|2

n3n3n

因此，对任给的>o，只要

9，便有 n

3n2

3|,(2)|2

n3

即当n

9



时，(2)式成立．又由于(1)式是在n≥3的条件下成立的，故应取

Nmax{3,

9



证任给0,取Nmax{3,据分析，当nN时有（2）式成立.于是本题得证.

9



注本例在求N的过程中，(1)式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便．但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E能确定出N．又(3)式给出的N不一定是正整

数．一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数即可．例4证明limq=0，这里|q|

n

n

证若q=0，则结果是显然的．现设0

|q0||q|

n

n

1，则h>0． |q|

, n

(1h)

并由(1h)n1+nh得到

11

.(4)

1nhnh1

,则当nN时，由（4）式得|qn0|.这对任给的0,只要取Nh

|q|

n

就证明了limq0.

n

n

注本例还可利用对数函数ylgx的严格增性来证明(见第一章§4例6的注及(2)式)，简述如下：

对任给的>0(不妨设

lg

（这里也假定0|q|1).lg|q|

于是，只要取N

lg

即可。 lg|q|

例5证明lima1=1，其中a>0．

n

证(ⅰ)当a1时，结论显然成立.

(ⅱ) 当a1时，记a1，则0.由

a(1)1n1n(a1)

1n

1n

n

1n

得a1

a1

(5) n.

1n

任给0，由(5)式可见，当n

a1



N时，就有a1，即|a1|.所以

1n

lima1.

n

(ⅲ) 当0a1时，,

1n

１

a

－１则0.由

11

(1)n1n1n1aa

a111a1

得1a（6）1

na1.1n1a1n1a

任给0，由（6）式可见，当n１所以lima1.

n

a11



N时，就有1a，即|a1|.

1n1n

关于数列极限的—N定义，应着重注意下面几点：

1．的任意性定义1中正数的作用在于衡量数列通项an与定数a的接近程度，愈小，表示接近得愈好；而正数可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度．然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又既时任意小的正数，那么



,3或2等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式



|ana|中的可用,3或2等来代替．同时，正由于是任意小正数，我们可限定

小于一个确定的正数(如在例4的注给出的证明方法中限定

|ana｜＜也可改写成|ana|.

2．N的相应性一般说，N随的变小而变大，由此常把N写作N()，来强调N是依赖于的；但这并不意味着N是由所唯一确定的，因为对给定的，比如当N=100时，能使得当•n>N时有|ana|，则N=101或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义1中的，n>N也可改写成nN．3．从几何意义上看，“当n>N时有|aa|”意味着：所有下标大于N的项aｎ都落在邻域U(a;)内；而在U(a;)之外，数列{an}中的项至多只有N个(有限个)．反之，任给>0，若在U(a;)之外数列{an}中

N，

n

则当n>N时有anU(a,)，即当n>N时有|ana|

定义1任给>0，若在U(a,)之外数列an中的项至多只有有限个，则称数列an

\'

收敛于极限a．

由定义1，可知，若存在某０0，使得数列{an}中有无穷多个项落在U(a,0)之外，则{an}一定不以a为极限．

例6证明{n2}和{(1)n}都是发散数列．

证对任何aR，取01，则数列{n}中所有满足na1的项(有无穷多个)显然

都落在U(a;0)之外，故知{n2}不以任何数a为极限，即{n2}为发散数列.

至于数列{(1)n}，当a1时取01，则在U(a;0)之外有{(1)n}中的所有奇数项；当a1时取0

|a1|,则在U（a;0)之外有{(1)n}中的所有偶数项．所以2

{(1)n}不以任何数a为极限，即{(1)n}为发散数列．例7设limxnlimyna，做数列{zn}如下：

n

n

{zn}:x1,y1,x2,y2,,xn,yn,.证明limzna.

n

证， 因limxnlimyna,故对任给的0，数列{xn}和{yn}中落在U(a;)之外

n

n

的项都至少只有有限个.所以数列{zn}中落在U(a;)之外的项也至多只有有限个．故由定义1\'，证得limzna．

n

例8设{an}为给定的数列，{bn}为对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列{bn}与{an}同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等．

\'

证设{an}为收敛数列，且limana．按定义1，对任给的>0，数列{an}中落在

n

U(a;)之外的项至多只有有限个．而数列{bn}是对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的，故从某一项开始，所以{bn}中落在U(a;)之{bn}中的每一项都是{an}中确定的一项，外的项也至多只有有限个．这就证得limbna．

n

现设{an}发散．倘若{bn}收敛，则因{an}可看成是对{bn}增加、减少或改变有限项之

后得到的数列，故由刚才所证，{an}收敛，矛盾．所以当{an}发散时，{bn}也发散．在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义2若liman0，则称{an}为无穷小数列．

n

由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：

定理2.1数列{an}收敛于a的充要条件是：{ana}为无穷小数列．

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出limana和liman不存在的“—N”定义.n

n

Ⅴ 课外作业: P２７

2、

3、

4、

6、

7、8.

第16篇：数列综合

1．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为().A．81B．120C．168D．19

22．设Sn是等差数列an的前n项和，若S735，则a4（D）

A．8B．7C．6D．

53．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若

A．1B．－1S5a5＝，则9＝()． S5a39C．2D．1 2

4.设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13（ ）

A．120B．105C．90D．75

5.有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，若

()

6512

721

3变式练习：37894Sn7n＋2a5＝，则＝Tnb5n＋3

a9＋a1011.等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则的值为2a7＋a8

()

A．1＋2B．12

C．3＋22D．3－22

2.已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于

A．24B．32C．48D．6

43.已知数列an满足3an1an0,a2

-10A．-61-3 4,则an的前10项和等于（） 3B．11-3-10 9-10C．31-3 -10D．31+3 

4.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2a3a418.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

6.若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和Sn最大的自然数n是

7.在数列{an}中，an

1nn1，且Sn9，则n8.如果等差数列an的前4项的和是2，前9项的和是-6，其前n项和9.若数列an满足：a11,an12an.n1，2，3….则a1a2an.10已知数列an的通项公式an=3n－50，则当n=___时，Sn的值最小，Sn的最小值是_______

11.数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝

是等比数列

12.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列,求{an}的通项公式

13.已知单调递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．

求数列{an}的通项公式；

14.设等差数列an的前n项和公式是Sn5n23n，求它的前3项，并求它的通项公式

等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10＝30，a20＝50，

(1)求通项an；

(2)若Sn＝242，求n.

31115.已知数列{an}中，a1＝an＝2－ (n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn(n∈N*)． 5an－1an－1n2SSn(n＝1，2，3…)求证：数列{n}nn

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由．

16.已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.

(1)求an及Sn；

1(2)令bn＝ (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.an－1

17.已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn.

18.已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．

(1)求数列{an}的通项；

(2)求数列{2an}的前n项和Sn.

19.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．求数列{an}与{bn}的通项公式；

20.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.

(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

21.设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．

(1)求数列{an}的通项；

(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.

22.已知等差数列{an}的公差d1,前n项和为Sn.

(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;

(2)若S5a1a9,求a1的取值范围.

23.设数列an满足:a11,an13an,nN.

(Ⅰ)求an的通项公式及前n项和Sn;

(Ⅱ)已知bn是等差数列,Tn为前n项和,且b1a2,b3a1a2a3,求T20

第17篇：数列理

2013辽宁（4）下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：D

p2:数列nan是递增数列； p1:数列an是递增数列；

ap4:数列an3nd是递增数列； p3:数列n是递增数列；n

其中的真命题为

（A）p1,p2（B）p3,p4（C）p2,p3（D）p1,p4 2013辽宁（14）已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和.若a1，a3是方程 x25x40的两个根，则S6

2013湖南15.设Sn为数列{an}的前n项和，Sn(1)an

（1）a3n1，nN，则 n2116

（2）S1S2S100111001 32

2013安徽文（7）设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3,a72，则a9=

（A）6（B）4（C）2（D）

2【答案】A

2013北京（10）若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q；前n项和Sn

解答：（1）由S4=4S2，a2n=2an+1，｛an｝为等差数列，可得，a11,d2

所以an2

n1

12013江西17.（本小题满分12分）

正项数列{an}的前项和{an}满足：sn(n2n1)sn(n2n)0

（1）求数列{an}的通项公式an； （2）令bn

5n1*

TnN，数列{b}的前项和为。证明：对于任意的，都有 Tnnnn22

64(n2)a

2013全国大纲17．（本小题满分10分）

等差数列an的前n项和为Sn.已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列，求an的通项式.2013四川16．(本小题满分12分) 在等差数列{an}中，a2a18，且a4为a2和a3的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和． 2013天津(19) (本小题满分14分) 已知首项为

的等比数列{an}不是递减数列, 其前n项和为Sn(nN*), 且S3 + a3, S5 + a5,

2S4 + a4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;(Ⅱ) 设TnSn

(nN*), 求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.Sn

2013陕西14.观察下列等式:12

112223 1222326

1222324210 …

（-1)n1

（-1）nn(n1).照此规律, 第n个等式可为1-23-

n-1

（-1)n1

（-1）nn(n1)【答案】1-23-

n-1

2013陕西17.(本小题满分12分)设{an}是公比为q的等比数列.(Ⅰ) 导{an}的前n项和公式;

(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列{an1}不是等比数列.

na1,

【答案】(Ⅰ) Sna1(1qn)

1q,

(q1)(q1)

; (Ⅱ)见下；

2013全国课标

7、设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm1＝－2，Sm＝0，Sm1＝3，则m＝ (C ) A、3B、4C、5D、6

2013全国课标

12、设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…

c＋ab＋a若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝2cn＋1＝2( B) A、{Sn}为递减数列B、{Sn}为递增数列 C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列

2013全国课标

14、若数列{an}的前n项和为Sn＝

21an，则数列{an}的通项公式是3

3an=__(2)n1.____.2013湖北1

4、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为

nn11

21nn。记第n个k边形数为222

Nn,kk3，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数Nn,3

121

nn 22

正方形数Nn,4n 五边形数Nn,5

321nn 22

六边形数Nn,62nn……

可以推测Nn,k的表达式，由此计算N10,24。

Nn,2411n210n，N10,241000

2013湖北1

8、已知等比数列an满足：a2a310，a1a2a3125。（I）求数列an的通项公式； （II）是否存在正整数m，使得

11

11？若存在，求m的最小值；若不存在，a1a2am

说明理由。

2013江苏14．在正项等比数列{an}中，a5

，a6a73，则满足

2a1a2ana1a2an的

最大正整数n的值为． 【答案】12 2013江苏19．（本小题满分16分）

设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前n项和．记bn

nSn

， 2

nc

nN*，其中c为实数．

*

（1）若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk（k,nN）；

（2）若{bn}是等差数列，证明：c0．

2013浙江18．（本小题满分14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列（Ⅰ）求d，an；

（Ⅱ）若d

121

−2n2+2n，n11，

|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=121

2−2+110，n12．



2013重庆（12）已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn为其前n项和，若a

1、a

2、

a5称等比数列，则S8

2013全国课标2（16）等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10=0，S15 =25，则nSn 的最小值为

________.

第18篇：数列7

数列7

1.等差数列an的前n项和为Sn，若a2a4a15的值为常数，则下列各数中也是常数的是（）A.S7B.S8C.S13D.S15

2.已知等差数列{an}和等比数列{bn}各项都是正数，且a1b1,a2n1b2n1，那么，一定有（） A.an1bn1

3.等差数列所有项的和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则项数为。

4.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列{an}是等和数列，且a12，公和为5，那么a18的值为______，这个数列的前n项 和Sn的计算公式为

5.三个实数6,3,1排成一行，在6和3之间插入两个实数，3和1之间插入一个实数，使得这六个数中的前三个、后三个分别成等差数列，且插入的三个数本身依次成等比数列，那么所插入的这三个数的和可能是：①

74

194

B.an1bn1C.an1bn1

D.an1bn1

；②3；③；④7。其中正确的序号是。

6.用数字0, 1, 2, 3, 5组成没有重复数字的五位偶数，把这些偶数从小到大排列起来，得到一个数列{an}，则a25。

7.已知等差数列{an}的公差d0，数列{bn}是等比数列，又a1b1,a2b2,a4b4。（1）求数列{an}及{bn}的通项公式；

（2）设cnanbn，求数列{cn}的前n项和Sn（写成关于n的表达式）。

8.设有数列{an}，a1

561

，若以a1,a2,,an为系数的一元二次方程an1x2anx10(nN*，且n2)都

有根,满足331。 （1）求证：数列{an是等比数列；

（2）求an；

（3）求{an}的前n项和Sn。

9.已知定义在R上的函数f(x)和数列an满足下列条件：a1a,anf(an1)n(

2,3,4a,..a.)，,1 2

f(an)f(an1)k(anan1)(n2,3,4,...), 其中a为常数，k为非零常数。

（1）令bnan1an(nN*)，证明数列{bn}是等比数列； （2）求数列an的通项公式。

第19篇：数列[推荐]

2课标文数17.D1[2011·浙江卷]若数列nn＋43中的最大项是第k项，则k＝________.

课标文数20.D2，A2[2011·北京卷]若数列An：a1，a2，…，an(n≥2)满足|ak＋1－ak|＝1(k＝1,2，…，n－1)，则称An为E数列．记S(An)＝a1＋a2＋…＋an.

(1)写出一个E数列A5满足a1＝a3＝0；

(2)若a1＝12，n＝2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an＝2011；

(3)在a1＝4的E数列An中，求使得S(An)＝0成立的n的最小值．

11大纲理数20.D2，D4[2011·全国卷]设数列{an}满足a1＝0且＝1.1－an＋11－an

(1)求{an}的通项公式；

n1an＋1(2)设bn＝，记Sn＝bk，证明：Sn＜1.nk＝1

课标理数19.D2[2011·浙江卷]已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)．设数列的前n项和为Sn，111且， a1a2a4

(1)求数列{an}的通项公式及Sn；

11111111(2)记An＝＋＋…＋Bn＝＋＋…＋.当n≥2时，试比较An与Bn的大小． S1S2S3Sna1a2a22a2n－1

课标文数21.D3，D4[2011·安徽卷]在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作Tn，再令an＝lgTn，n≥1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝tanan·tanan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.

课标理数19.B11，D4[2011·陕西卷]

哇

图1－11

如图1－11，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.现从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k＝1,2，…，n)．

(1)试求xk与xk－1的关系(2≤k≤n)；

(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|.

nban－1课标理数20.D5[2011·广东卷]设b>0，数列{an}满足a1＝b，an＝(n≥2)． an－1＋2n－2

(1)求数列{an}的通项公式；

＋bn1

(2)证明：对于一切正整数n，an≤＋1.2

122n－1n－1n*大纲理数20.D5[2011·四川卷]设d为非零实数，an1＋nCnnd＋2Cnd＋…＋(n－1)Cndnd](n∈N)． n

(1)写出a1，a2，a3并判断{an}是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；

(2)设bn＝ndan(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.

第20篇：数列练习题

温岭点学教育中小学专业1对1文化课程辅导

一切为了孩子，为了孩子的一切....已知数列满足a1=1，an＋1=2an＋1(n∈N*) 。(1) 求证数列{an＋1}是等比数列；

(2) 求{an}的通项公式．

设二次方程anx2an1x10(nN)有两个实根和，且满

6263．

27（1）求证：{an是等比数列；（2）当a1时，求数列{an}的通项公式． 36

在等比数列an中，a11,公比q0，设bnlog2an，且

b1b3b56,b1b3b50.

（1）求证：数列bn是等差数列；（2）求数列bn的前n项和Sn及数列an的通项公式；

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22Sn1

已知数列an中，a1，当n2时，其前n项和Sn满足an，

2Sn13

（1） 求Sn的表达式；（2）求数列an的通项公式；

数列an：满足a12,an1an6an6(nN).(Ⅰ) 设Cnlog5(an3)，求证

Cn是等比数列；(Ⅱ) 求数列an的通项公式;

在数列an中，a12，an14an3n1，nN*．（Ⅰ）证明数列ann是等比数列；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；

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．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且（1）求数列{an}的通项公式．（2）令a13，3a2，a34构成等差数列．求数列{bn}的前n项和T． bnlna3n1，n1，2，，

．设{an}是等差数列，且a1b11，{bn}是各项都为正数的等比数列，a3b521，

a

（Ⅱ）求数列n的前n项和Sn． a5b313（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；

bn

．数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)．（Ⅰ）求数列an的通项an；（Ⅱ）求数列nan的前n项和Tn．

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数列an的前n项和记为Sn,a11,an12Sn1n1 （Ⅰ）求an的通项公式；

（Ⅱ）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T315，又

a1b1,a2b,2aTn 3b成等比数列，求3

已知数列an满足a11,an12an1(nN*).

（I）求数列an的通项公式；（II）若数列bn满足4b11.4b21...4bn1(an1)bn(nN)，证明：bn是等差

数列；

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