数列教案模板（精选多篇）

推荐第1篇：数列教案

乐清体校 黄智莉

教学目标：

知识与技能：理解数列的有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的前几项甚至任意一项

过程与方法：通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力，观察能力和抽象概括能力。

情感、态度、价值观：在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

教学重点：数列及其有关概念，通项公式。 教学难点：通项公式的理解。 教学方法：启发引导式 教学手段：多媒体教学

数列

教学过程：

一、创设情景，在生活中认识数列

1.温州某皮鞋公司打算去非洲拓展皮鞋市场，派两个人去调查市场，发现那里的人都不穿鞋子，问去投资还是放弃呢? 适当的数填空

1，2，（），（），（）？

1，2，（），（），（）？ 1，2，（），（），（）？

2.台球桌中的数列 1，2，3，4，5 3.我国有十二生肖的习俗， 今年是2008年鼠年，请说出2008年之前最后一个鼠年，2008年之后最后一个鼠年？

1996，2008，2020，2032 4.象棋的传说

国际象棋有八行八列，64个格子。国王要奖励国际象棋的发明者问他有什么要求， 发明者说：在第1个格子里放1颗麦粒，在第2个格子里放2颗麦粒，在第3个格子里放4颗麦粒，在第4个格子里放8颗麦粒，在第5个格子里放16颗麦粒，依次类推。国王答应了。

问国王能满足满足上述要求吗？

1,21,22,23,...263

5.奥运金牌

北京奥运会上，中国拿了多少枚金牌？

我国从1984年倒2008年共开始参加了7届奥运会，金牌数依次为 15，6，16，16，28，32，51 6.小女孩荡秋千，从一边到另一边，唐老鸭从上到下，跳来跳去。

n (1) n=1,n=2,n=3,n=4,..时

-1，1，-1，1，-1，1，…

7.庄子曰：一尺之捶，日取其半，万世不竭。你能用一列数来表达这句话的含义吗？

1111 1 ， ， ， ， ， … 24816

二、讲授新课

(1)1,2,3,4,5

(2)1,21,22,23,...263

(3)15,5,16,16,28,32,51

(4)1996,2008,2020,2032,...

(5)1,1,1,1,1,1,...

1111 (6)1,,,,,...24816

1.函数的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列 2.数列的项：数列中的每个数叫做数列的项

各项分别叫数列的第一项，第二项，。。。第n项 3.数列的记法：

（1） a1,a2,a3,,an,（2） an思考一：是同一数列吗？

（3）15，5，16，16，28，32，51 (a ) 51，32，28，16，16，5，15

（5）-1，1，-1，1，-1，… （b）1，-1，1，-1，1，… 4.数列的分类

按项数的分为：有穷数列。无穷数列

5.探索与研究

（1）在生活中，找找数列的例子

（2）电子表格中的数列

6.数列的通项公式

思考2：

项a1

a3a4a5...an...a22序号1345...n......?...19962008202020321984121198412219841231984124198412nan198412n

通项公式的定义：如果数列{ an }中的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的通项公式。

项与序号的关系，n的范围 三．例题讲解 例

1、

根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：

nn(1)an(2)a1nn n1算法：依次用正整数1,2,3,..，去代替公式中n，就可求出数列中的第一项、第二项、第三项……

2.智力大冲浪 用适当的数填空

(1)1,3,(),7 222213151 (2),,(),235

111 (3),,(),122345

四、学生练习 观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出

每个数列的一个通项公式：12，4， ，16，32， ，128，2 ，4，9，16，25， ，49，3-1，41，1111， ，，，， ，24562， ，2，5， ，7，

五、小结

 数列的定义；  数列的通项公式。  本节课的能力要求是：  会由通项公式 求数列的特定项

六、作业

 书P110 第1题 第3题



做完第3题，如没有疑问，请思考第6题

推荐第2篇：数列教案

数列教案

教材分析

1.地位作用

数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列的极限作了铺垫。最后，由于不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力。

2.教材编写特点

数列从知识上看较为简单易学，这样可借助于其知识联系面广的特点对初中所学内容起到复习和深化的作用；（如：解方程、一次函数、二次函数、等比性质等）

数列本身是一种特殊函数，让它紧接在第二章“函数”之后，有助于加深对函数概念的理解。

学情分析

数列这一章是学生初次进行全方面的学习，但学生们在之前的生活学习中对数列已经有了一定的认识与了解，所以如果从具体的事例入手，相信学生不会感到太过陌生或困惑，数列与函数也有着密切的联系，而学生对函数已经可以说非常熟练了，所以前期教学主要从这两方面进行，使学生更加容易理解与记忆。另外数列与我们的生活有着密切的联系，尤其是与自然界中的许多植物，从这些可以引发学生的兴趣与激情。

教学目标

1) 专业知识：引入数列这一概念，使学生初步认识数列的项、通项公式、递推公式及等差数列。

2) 情感思想：通过引入自然界的有趣的数字排列，增加学生对奇妙自然界的认识，从而激发学生对数字的兴趣。

教学重点及难点：

1) 重点：数列的项、通项公式、递推公式 2) 难点：通项公式、递推公式

3) 解决方法：首先通过引入生活中的数字排列激发学生对数列的兴趣和敏感，使学生认为数列很简单，就是找数字间的规律，从而很好的掌握通项公式、递推公式。

教学过程

1) 通过鲁滨逊漂流记的一段电影视频引入课题；（ppt） 问：从视频中有何发现与收获？ 2) 引入数列的定义（ppt）

3) 从斐波那契数列引入生活中的数列（ppt）

播放相关图片，通过自然界中的花卉、动植物来了解斐波那契数列 4) 具体事例（ppt）

问：发现何种规律或结论？ 答：„„„„„„„„ 总结：

5) 通过快寄编号引入数列项的概念（ppt） 6) 递推公式和通项公式（ppt） 7) 数列的简单分类（ppt）

板书设计

1) 数列定义 2) 数列的项的概念

3) 递推公式与通项公式的形式及推理过程

推荐第3篇：数列求和教案

数列求和

数列求和常见的几种方法： （1） 公式法：①等差（比）数列的前n项和公式；

1n(n1) 21222n2nn(

123......6② 自然数的乘方和公式：123......n（2） 拆项重组：适用于数列

1n)(2 1)an的通项公式anbncn，其中bn、cn为等差数列或者等比数列或者自然数的乘方；

（3） 错位相减：适用于数列an的通项公式anbncn，其中bn为等差数列，cn为等比数列；

（4） 裂项相消：适用于数列a的通项公式：aknnn(n1),a1nn(nk)（其中k为常数）型；

（5） 倒序相加：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的.（6）

分段求和：数列an的通项公式为分段形式

二、例题讲解

例

1、（拆项重组）求和：311254718......[(2n1)12n]

练习1：求和Sn122334......n(n1)

例

2、（裂项相消）求数列11113,35,57,179,...,1(2n1)(2n1)的前n项和

练习2：求S11n11212311234...1123...n

1

例

3、（错位相减）求和：1473n222223...2n

练习3：求Sn12x3x24x3...nxn1(x0)

例

4、（倒序相加）设f(x)4x4x2，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求：f(11001)f(21001)f(31001)...f(10001001)的值

a3n2(n4)例

5、已知数列n的通项公式为an2n3(n5)(nN*) 求数列an的前n项和Sn

检测题

1.设f(n)22427210...23n10(nN)，则f(n)等于（

）

2n222n4(81)

B.(8n11)

C.(8n31)

D.(81) 777712.数列{an}的前n项和为Sn，若an，则S5等于（

）

n(n1)511A．1

B．

C．

D．

66303.设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且a13， 3a2，a34构成等差数列． A.（1）求数列{an}的通项公式． （2）令banln3n1，n1，2...，，求数列{bn}的前n项和Tn。

4.设数列a2nn满足a13a23a3…3n1a

3，aN*n． （Ⅰ）求数列an的通项；

（Ⅱ）设bnna，求数列bn的前n项和Sn n

5.求数列22,462n22,23,,2n,前n项的和.6：求数列112,123,,1nn1,的前n项和.

7：数列{an}的前n项和Sn2an1，数列{bn}满b13,bn1anbn(nN) .（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。

8：

求数列21，41，6114816，，2n2n1，...的前n项和Sn．

．

3

9、已知数列an的前n项和Sn123456...1n1n，求S100.

10：在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.

11：求数列的前n项和：11,1a4,11a27,,an13n2，…

12：求S12223242...(1)n1n2（nN）

13：已知函数fx2x2x2 （1）证明：fxf1x1；

（2）求f1f10210f810f910的值。 .

推荐第4篇：数列求和教案

课题：数列求和

教学目标

（一） 知识与技能目标

数列求和方法．

（二） 过程与能力目标

数列求和方法及其获取思路．

教学重点：数列求和方法及其获取思路． 教学难点：数列求和方法及其获取思路．

教学过程

1．倒序相加法：等差数列前n项和公式的推导方法： （1）Sna1a2an2Snn(a1an)

Snanan1a112223210222 例1．求和：2110222923282101分析：数列的第k项与倒数第k项和为1，故宜采用倒序相加法．

小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前n项和.2．错位相减法：等比数列前n项和公式的推导方法：

（2）Sna1a2a3an(1q)Sna1an1 qSaaaa23nn1n23n例2．求和：x3x5x(2n1)x(x0)

3．分组法求和

1的前n项和； 161例4．设正项等比数列an的首项a1，前n项和为Sn，且210S30(2101)S20S100

2例3求数列1,2,3,4（Ⅰ）求an的通项； （Ⅱ）求nSn的前n项和Tn。 例5．求数列 1, 1a, 1aa,,1aaa121418,的前n项和Sn.

n(n1)解:若a1,则an111n, 于是Sn12n;2 n1a1 若a1,则an1aan1 (1an)1a1a1a1a21an11a(1an)2n于是Sn [n(aaa)][n]

1a1a1a1a1a1a111 1212312n22n14．裂项法求和 例6．求和：12112(),

n(n1)nn11111112n Sna1a2an2[(1)()()]2(1)223nn1n1n1解：设数列的通项为an，则an例7．求数列112,1231,,1nn1,的前n项和.解：设annn11n1n

（裂项）

1nn1则 Sn12312

（裂项求和）

＝(21)(32)(n1n)

＝n11

三、课堂小结：

1．常用数列求和方法有：

(1) 公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式; (2) 化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题； (3) 倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和；

(4) 错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和； (5) 并项求和法: 将相邻n项合并为一项求和； (6) 分部求和法：将一个数列分成n部分求和；

(7) 裂项相消法：将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相消为零的项的求和方法.

四、课外作业： 1．《学案》P62面《单元检测题》 2．思考题

11146前n项的和.481612n2（2）．在数列{an}中，an，又bn，求数列{bn}的前n项的和.n1n1n1anan12（1).求数列：（3）．在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.解：设Snlog3a1log3a2log3a10

由等比数列的性质 mnpqamanapaq

（找特殊性质项） 和对数的运算性质 logaMlogaNlogaMN

得

Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6)

（合并求和）

＝(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6)

＝log39log39log39

＝10

推荐第5篇：简单数列教案

北外附校小学部2010-2011学年度第一学期 二年级数学思维训练试题（认识简单数列教案） 我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列.

在这一讲里，我们要认识一些重要的简单数列，还要学习找出数列的生成规律；学会把数列中缺少的数写出来，最后还要学习解答一些生活中涉及数列知识的实际问题。

1、找出下面各数列的规律，并填空。（1） 1，2，3，4，5，□，□，8，9，10.（2） 1，3，5，7，9，□，□，15，17，19.（3） 2，4，6，8，10，□，□，16，18，20.（4） 1，4，7，10，□，□，19，22，25.（5） 5，10，15，20，□，□，35，40，45.注意：自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列.

2、找出下面的数列的规律并填空。

1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89.解：这叫斐波那契数列（兔子数列），从第三个数起，每个数都是它前面的两个数之和.这是个有重要用途的数列.8+13=21，13+21=34.所以：

空处依次填：

3、找出下面数列的生成规律并填空。1，2，4，8，16，□，□，128，256. 解：它叫等比数列，它的后一个数是前一个数的2倍.16×2=32，32×2=64，所以空处依次填：

4、找出下面数列的规律，并填空。1，2，4，7，11，□，□，29，37.解：这数列规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，这些差是个自然数列：

5、找出下面数列的生成规律，并填空.1，4，9，16，25，□，□，64，81，100.解：这是自然数平方数列，它的每一个数都是自然数的自乘积.如：1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，

，64=8×8，81=9×9，100=10×10.

若写成下面对应起来的形式，就看得更清楚.

自然数列： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

自然数平方数列：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

6、从1开始，每隔两个数写出一个自然数，共写出十个数来.解：可以先写出从1开始的自然数列，再按题目要求删去那些不应该出现的数，就得到答案了：

即1，4，7，10，13，16，19，22，25，28

可以看出，这是一个等差数列，后面一个数比前面一个数大3.

7、从1开始，每隔六个数写出一个自然数，共写出十个数来.解：仿习题1，先写前面的几个数如下：

可以看出，1，8，15，22，„„也是一个等差数列，后面的一个数比前面的一个数大7.按照这个规律，可以写出所有的10个数：

1，8，15，22，29，36，43，50，57，64.

8、在习题6和习题7中，按题目要求写出的两个数列中，除1以外出现的最小的相同的数是几？

解：观察习题6和习题7两个数列：习题6的数列是：1,8,15,（22），„„

习题7的数列是:1,4,7,10,13,16,19,（22）,25,28,„„ 可见两个数列中最小的相同数是22.

9、一辆公共汽车有78个座位，空车出发.第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，车上坐满乘客？

（假定在坐满以前，无乘客下车，见表四（1））

方法2：由上表可知，车上的人数是自1开始的连续自然数相加之和，到第几站后，就加到几，所以只要加到出现78时，就可知道是到多少站了，

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人）

可见第12站以后，车上坐满乘客.

10、如图所示是一串“黑”、“白”两色的珠子，其中有一些珠子在盒子里，问

（1）盒子里有多少珠子？ （2）这串珠子共有多少个？

解：仔细观察可知，这串珠子的排列规律是：

白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白

1, 1,1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 1, 7, 1,

①在盒子里有：

4+1+4=9（个）.

②这一串珠子总数是：

1+1+1+2+1+3+1+4+1+5+1+6+1+7+1

=1+2+3+4+5+6+7+（1+1+1+1+1+1+1+1）

=28+8=36（个）.

推荐第6篇：数列极限教案

数列的极限教案

授课人：###

一、教材分析

极限思想是高等数学的重要思想。极限概念是从初等数学向高等数学过渡所必须牢固掌握的内容。

二、教学重点和难点

教学重点：数列极限概念的理解及数列极限N语言的刻画。

教学难点：数列极限概念的理解及数列极限N语言的刻画，简单数列的极限进行证明。

三、教学目标

1、通过学习数列以及数列极限的概念，明白极限的思想。

2、通过学习概念，发现不同学科知识的融会贯通，从哲学的量变到质变的思想的角度来看待数列极限概念。

四、授课过程

1、概念引入

例子一：(割圆术)刘徽的割圆术来计算圆的面积。

.........内接正六边形的面积为A1，内接正十二边形的面积为A2......

内接正62n1形的面积为An.

A1,A2,A3......An......圆的面积S.

用圆的内接正六n边形来趋近，随着n的不断增加，内接正六n边形的面积不断

1接近圆的面积。

例子二：庄子曰“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。

第一天的长度1

1 第二天的剩余长度

21 第二天的剩余长度

41 第四天的剩余长度 8

.....

1 第n天的剩余长度n1.......2

随着天数的增加，木杆剩余的长度越来越短，越来越接近0。

这里蕴含的就是极限的概念。

总结：极限是变量变化趋势结果的预测。例一中，内接正六n边形的边数不断增加，多边形的面积无限接近圆面积；例二中，随着天数的不断增加，木杆的剩余长度无限接近0.

在介绍概念之前看几个具体的数列：

1111（1）: 1,,,......； 23nn

1n1111:1,,,,,......； （2）n2345

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）1:1,1,1,1,......,1,......； nn

我们接下来讨论一种数列xn，在它的变化过程中，当n趋近于时，xn不断接近于某一个常数a。如随着n的增大，（1），（2）中的数列越来越接近0；（3）

（4）中的数列却没有这样的特征。

此处“n趋近于时”，“xn无限接近于数a”主要强调的是“一个过程”和一种“接近”程度。

可是只凭定性的描述和观察很难做到准确无误，所以需要精确的，定量的数学语言来刻画数列的概念。本节课的重点就是将数列的这样一个特征用数学语言刻画出来，并引入数列极限的概念。

2、内容讲授

（定义板书）设xn是一个数列，a是实数。如果对于任意给定的数0，总存在一个正整数N，当nN时，都有xna，我们称a是数列x

n的极限，

或者说数列xn收敛且收敛于数a。

写作：limxna或xnan。

n

如果数列没有极限，就说数列是发散的。

注意：（1）理解定义中的“任意给定”：是代表某一个正数，但是这个数在选取时是任意的，选定以后就是固定的。不等式xna是表示xn与a的接近程度，所以可以任意的小。

（2）N的选取是与任意给定的有关的。 11以数列为例，欲若取，则存在N100，当nNxna； 100n

若取1，则存在N1000，当nN时，xna。 1000

数列极限的N语言：

limx

nna0,N,nNxna.数列极限的几何解释：

3、例题讲解

n211。 例题1用数列极限的定义证明limnnn

n21证明：设xn，因为 nn

n21212xn1nnnnn

0，欲使xn，只要22即n， n

2我们取N1，当nN时， 

n2122.nnNn

n21所以lim1.nnn

2注：N的取法不是唯一的，在此题中，也可取N10等。 

例题2 设xnC（C为常数），证明limxnC。 n

证明：任给的0，对于一切正整数n，

xnCCC0，

所以limxnC。 n

小结：用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.五、课后作业

推荐第7篇：第六章数列一章教案

第六章 数 列

6.1 数列的概念

教学目标：1.了解数列的概念和通项公式的意义，会求常见数列的通项公式. 2.培养学生观察、分析、归纳、判断问题的能力. 3.对学生进行由特殊到一般和由一般到特殊的认识规律的教育. 教学重点：数列的概念及求一些数列的通项公式. 教学难点：已知数列前几项求数列的通项公式. 教学方法：讲授法、启发式教学法等. 学习方法： 观察法、练习法. 教具：投影仪. 教学过程：

一、导入新课

(1)师语：同学们，“队列”一词我们非常熟悉，谁能描述一下“队列”的含义？ (2)教师选一两名学生对队列进行描述(可能不准确，不完整). (3)教师对学生的描述加以规范，并参照数列的定义给出队列的描述；按一定的次序排列的一列人叫队列.显然，构成队列的元素是人.每一个人在队列中都有固定的次序号，只要我们指定次序号就能找到与之对应的唯一的人，反之亦然. 那么，如果有一列数，像人排成队列一样，按照一定的次序排成一列，这就是我们今天要学习的“数列”.

(4)教师板书课题(黑板左上角). (5)师语：构成“队列”的元素是人，而构成“数列”的元素是数，为了研究“数列”的问题，必须给出“数列”及有关概念的科学的定义.

二、讲授数列的定义 (1)教师板书数列的定义

1 按一定次序排列的一列数，叫做数列，例如：

4，5，6，7，8，9，10； (1)

1，，，，„； (2) 的精确到1，0.1，0.01，0.001，„的不足近似值列成一列：

1，1.4，1.41，1.414，„ (3)

－1，1，－1，1，－1，„ (4)

2，2，2，2，„ (5)

等都是数列

(2)师语：构成数列的元素是数，一个数列中包含很多数，每一个数在数列中所处的位置是不同的，(即，每一项都有自己的次序号).在数列中的每一个数都叫做这个数列的项.(教师将项的定义板书在数列定义下)，显然，一个数列中有很多项.根据项在数列中所处的次序不同，我们依次将各项称为第1项，第2项，第3项，„„.(提问学生所给出的数列的各项的值.)显然数列中的每一项都对应一个次序号，反之亦然.所有次序号按从小到大的顺序排列在一起就是正整数的一个子集1，2，3，4，„„.

数列中每一项所对应的次序号叫做该项的项数.(将项数的定义板书于项定义下.) 不难发现对于一个已知数列来说“项数一经确定，项就被唯一确定了”.

(提问几名同学，分别举出一个或几个具体的数列，并选择规律明显的板书于黑板右侧.)

三、讲授数列的通项公式

(1)师语：前面的几名同学分别举出了几个数列的实例，虽然这些数列是不同的，但是它们的共同特征为按一定次序排列的一列数.数列的一般形式可以写成： ，，，，„

，„其中

代表数列的第项，在这种表示方法中

是项，是

}的形项数.为了更简洁地表示数列还可以将数列表示成{式很简单. 对于不同的数列来说

}的形式.显然，将数列表示成{

是不同的.例如，数列

2 1，，，„，，„， 记作. 我们看这个数列的第项为通项公式. (2)板书通项公式的定义：

＝，它是用项数来表示该数列相应项的式子，一般称其 用项数来表示该数列的相应项公式，叫做数列的通项公式.例如，前面数列(1)的通项公式是

. (3)数列与函数的关系. 由数列通项公式的定义可知，数列的通项是以正整数的子集为其定义域的函数，因此通项可以记作：

. (4)看数列(2)的各项同通项公式＝之间的关系：在＝中，如果用5代替公式中的，就得到第5项的各项.

四、数列的分类 如果依次用正整数1，2，3，„去代替公式中的就可求出数列中 项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.例如，数列(1)是有穷数列；数列(2)，(3)，(4)是无穷数列.

五、例题和练习

例1 (用投影仪或小黑板给出.) 根据通项公式，求出上面数列{

}的前5项. 3 (1)；(2)＝(－1)·. 解：(1)在通项公式中依次取＝1，2，3，4，5，得到数列的前5项为：

；

(2)在通项公式中依次取＝1，2，3，4，5，得到数列前5项为：

―1，―2，―3，4，―5.练习：用投影仪订正答案. 教材第136页练习第1(1)，2(3)题

例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下面各列数： (1)1，3，5，7；

(2)；

(3)―，，―，；

解：(1)分析：序号 1 2 3 4 项 1 3 5 7 由上表可以看出，数列的前4项1，3，5，7，都是序号的2倍数减1，所以通项公式为

. (2)数列前4项的平方减去1，所以通项公式是

的分母都等于序号加1，分子都等于分母

4 . (3)数列的前4项

的绝对值都等于序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是

. 练习：用投影仪给标准答案. 教材第136页 练习第3题. 例3 已知数列{}的第1项是1，以下各项由公式

.给出，写出这个数列的前5项. 解：

练习：教材第136页 练习

第2(2)题.

5

六、课堂小结

由学生讨论或教师总结，然后用投影仪或小黑板给出. (1)本节课学习了数列的定义及其有关概念； (2)用函数的观点研究、分析数列的通项公式.

(3)要求会解已知数列通项公式求指定项的习题，以及给出数列的前4项，写出其一个通项公式的简单问题，

七、课外作业

教材136页 练习第1(2)，2(4)题

练习第2(1)题；

教材146页习题5-1第1(2)、(4)、(5)题.

常见错误分析

本节中常见错误主要集中在两个地方：一个是求数列的通项公式；另一个是第136页练习B第2题的解答. 前者的原因主要有两点，一是学生对通项公式的理解不深刻，在分析、判断中，脱离项数(序号)而仅仅注意项手无策. 后者的主要原因在于对递推公式的理解上，他们会使用递推公式

＝

＋3，却不会使

；二是没有掌握求通项公式的一些方法，当面对复杂的数列时束用＝＋3.在教学中，对例3应当强调中的与－1的作用仅仅是代表项的序号，该递推公式用自然语言来叙述就是：从第2项起，该数列的任意一项等于它的前一项 6 的倒数与1的和.而二项与前一项的差.＝－用自然语言叙述就是：从第3项起，每一项都等于它的前

习题分析

一、例题分析

（一）

大于3且小于11的自然数排成一列：

4，5，6，7，8，9，10； (1) 自然数1，2，3，4，5，„的倒数排列成一列数：

1，，，，，„； (2) 的精确到1，0.1，0.01，0.001，„的不足近似值排列成一列数：

1，1.4，1.14，1.414，„ ；(3) －1的一次幂，2次幂，3次幂，4次幂，„排成一列：

－1，1，－1，1，－1，„ ；(4) 无穷多个2排成一列：

2，2，2，2，„ (5) 等都是数列. 作用：

1.数列(1)、(2)、(3)、(4)、(5)是用来说明数列定义的，把概念具体化，加深学生对概念的理解. 2.这5个数列很有代表性.即包含了无穷数列(2)(3)(4)(5)又包含了有穷数列(1)，既有可以写出通项公式的(1)(2)(4)(5)，又有写不出通项公式的(3)，而(5)则是常数数列. 3.这5个数列的构成简单，便于巩固概念，不会因为理解例题本身而干扰它所起的作用. 例1 根据通项公式，求出下列各数列的前5项：

7 (1)＝； (2)＝(－1)·. 解：解题思路是根据通项公式的定义，第项，就是＝()中的＝时的值. (1)在通项公式中依次取＝1，2，3，4，5，得到数列{}的前5项为：

，，，，；

(2)在通项公式中依次取＝1，2，3，4，5，得到数列{

－1，2，－3，4，－5. 作用：1.巩固通项公式的概念. 2.说明如何使用通项公式求数列的指定项.

}的前5项为：

例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，3，5，7；

(2)，，，；

(3)－，，－，. 解：((1)对此题的解法，重点放在分析的过程上，即如何找项与序号的关系，以及由各项的特点，如何找出各项的共同的构成规律.这是解题的关键.) (1)数列的前4项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以通项公式是

＝2－1；

(此题数列的前4项是自然数中的前4个奇数，从这个角度考虑也可得＝2－1.但本题的解答是要突出解决已知数列前4项求通项公式的一般方法是找各项与序号之间的关系.)

8 (2)数列的前4项，，，的分母都等于序号加上1，分子都等于分母的平方减去1，所以通项公式是；

(当数列的项构成比较复杂时，解决写通项公式的问题，可以把项分成几个部分来考虑，分别找其与序号的关系，然后合成.) (3)数列的前4项－，，－，的绝对值都等于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是. (此题也可这样来分析：它的项正负相间，且奇数项为负，偶数项为正，因此可用(－1)解决符号问题，又各项分子均为1，分母为序号乘以序号与1的和，所以通项公式可得.) 作用：1.巩固通项公式的概念. 2.说明如何解决已知数列前几项，求出其一个通项公式的问题. 3.给学生作出如何分析项的构成与序号的关系，找出各项构成的规律，培养观察分析、归纳、总结问题的能力. 例3 已知数列{5项. 解：}的第1项是1，以的各项由公式给出，写出这个数列的前＝1，

9 作用：1.此题是用递推公式给出的数列，一般称其为递推数列，也叫递归数列，用来说明由递推公式也是给出数列的一种方法. 2.说明如何求递推公式给出的数列的前几项，让学生了解一点递推数列的知识. 3.学生对第项、第+1项、第－1项之间的顺序关系容易弄错，要给学生指出它们之间的相邻关系.

二、习题分析(二)：

第146页习题5－1

2.已知无穷数列1×2，2×3，3×4，4×5，„，(+1)„； (1)求这个数列的第10项、第31项及第48项； (2)420是这个数列中的第几项？

此题中的(2)是课文例题所没有涉及以的题型.反映了数列通项公式的另一个作用.即在某些情况下，可以由已知项

的来求未知的项数.解这种题的思路是设第项的值为该项的值，由通项公式，得到关于的方程，解这个方程，所得方程的正整数解就是该项的项数(序号).如果是判断某个数是不是该数列的项，也是设第项的值为该数，看所得方程有无正整数解，有则是项数(序号)，否则就不是数列的项.

6.2等差数列的概念(一) 教学目标：

1.理解等差数列的概念. 2.初步掌握等差数列的通项公式，并会简单应用.理解等差中项的概念，并会求两个数的等差中项. 3.在等差数列定义的引入和通项公式的推导中培养学生观察、分析、归纳、概括的思维能力和思想方法. 4.渗透由特殊到一般和由一般到特殊的辩证唯物主义思想，进行辩证唯物主义思想教育. 教学重点：等差数列的定义、通项公式. 教学难点：通项公式的理解和应用. 教学方法：讲授法、启发式教学法等. 学习方法： 观察法、练习法. 教学过程：

一、复习提问、新课导入

求下列数列的通项公式：

1.(1) ；(2)3，6，9，12，15，„.

师生共同解答(或学生先做，教师总结). 注 一般来说，两题的结果应是，＝3. 教师总结时，应着重对(2)进行分析，并指出如下几点：

第(2)题的每一项都是3的倍数，因此可以成如下形式：3·1，3·2，3·3，3·4，3·5，„.于是有 ＝3·.

11 对于第(2)题我们再从任意相邻两项之间差的关系入手观察分析一次.

二、讲授新课

请不同的同学来回答，可能有两种不完整的结论：1.前项减后项的值相等，2.后项减前项的值相等. 教师在评说中要对结论进行规范，得出结论：

该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于3. 再请同学观察一例：1，2，3，4，5„„.然后让一些学生举出几个具体的例子. 随后，教师给出关键的一例：

，

＋，

＋2，

＋3，

＋4，„.(3)

让学生回答它的第项是什么？得出有关概念.

＝＋(－1)，同时，教师可以给出等差数列 如果一个数列从它的第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，则这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示. 例如，数列：3，6，9，12，„的公差是3； 1，2，3，4，„的公差是＝1. 数列(3)，＋，＋2，＋3，„的公差是，这个数列可以表示任何等差数

和公差，则等差数列{

}的通项列.我们刚才找出它的一个通项公式，即如果已知首项公式是 ＝＋(－1). 例如，数列(2)3，6，9，12，„的通项公式为

＝3＋(－1)·3＝3＋3(－1)＝3；

12 数列1，2，3，4，„的通项公式为＝1＋(－1). 例1 求等差数列8，5，2，„，的通项公式与第20项. 分析：等差数列通项公式只须一项. 解：因为a1＝8，d＝5－8＝－3，所以这个等差数列的通项公式是

an＝8＋(－1)×(－3)，

即an＝－3＋11. 所以a20＝－3×20＋11＝－49. 例2 等数数列－5，－9，－13，„第几项是－401？

分析：已知首项为－5，公差为－9－(－5)＝－4，第项可反求项数. 解：因为＝－5，＝－9－(－5)＝－4，

＝－401，代入通项公式，得

＝－401，利用通项公式，

和已知就可确定.有了通项公式，便可求该数列的任意 －401＝－5＋(－1)×(－4) 解得＝100，

即这个数列的第100项为－401.

三、课堂练习

教材 第140页 练习

四、课堂小结

1.等差数列的定义：注意公差是“后项减前项”.

2.等差数列的通项公式：＝所决定.

＋(－1)①是求指定项的关键；②通项公式，由和

13

五、课外作业

1.复习作业：复习课文6.2等差数列的概念. 2.书面作业：第140页 练习A第2(2)，3(2)题

练习第1，3题，

教材第146页习题第4题. 3.预习作业：预习课文6.2等差数列前项和.

6.3等差数列的前项和

教学目标：

1.理解等差数列的前项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列的前项和公式，并会用公式解决简单问题. 3.培养学生观察、分析、归纳、概括的思维能力. 教学重点：等差数列的前项和的公式. 教学难点：等差数列的前项和公式的推导.教学方法：启发式讲授法.学习方法： 观察法、练习法. 教具：投影仪. 教学过程：

一、复习提问

1.什么叫等差数列？它的通项公式是什么？ 2.等差数列－2，„，，＋，

＋2，„，

＋(－1)＝

，能否表示成

，

－，－(－1). 3.2和10的等差中项是多少？

二、引入新课

上节课我们学习了等差数列的通项公式，知道了一个数列的通项公式，想求它的哪一项，都只需将该项的序号代入公式就可求出该项.并且知道

＝

＋(－1)中，四个量

，，和，只要知道其中的3个就能求出第4个.但是如果要求数列1，2，3，4，5，„的前100项和这样的问题，通项公式解决不了，今天我们就来学习等差数列的前项和的问题.

三、讲授新课

15 1.已知等差数列，，，„，，„的前项的和记作，即

＝＋＋„＋. 例如，正整数数列1，2，3，„，，„的前100项的和，记作 2.怎样求等差数列前项和？ 看例子. 求＝1＋2＋3＋„＋100.

＝1＋2＋3＋„＋100. 对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果.你知道这个故事吗？他是如何计算的呢？

高斯的算法是：

首项与末项的和：1＋100＝101，

第2项与倒数第2项的和2＋99＝101，

第3项与倒数第3项的和3＋98＝101，

„

第50项和倒数第50项的和：50＋51＝101，

于是所求的和是. 这个问题是求等差数列1，2，3，„，，„的前100项的和的问题.在上面的求解中，我们发现所求和可用首项、末项及项数来表示，且任意的第

项与倒数第

项之和都等于首项与末项的和，这就启发我们怎样去求一般等差数列的前项的和. 设等差数列{}的前项和为

，即

＝＋＋„＋. 根据通项公式上式可写成

16 ＝＋(＋)＋„＋[＋(－1)].①

由于＝－，＝－2，„，＝－(－1)，

所以 ＝＋(＋)＋„＋[＋(－1)].②

(提问学生怎样想到的.) 把①、②两边分别相加，得

由此得到等差数列{}的前项和公式

. 用语言叙述就是：等差数列的前项和等于首末项的和与项数乘积的一半. 如果高斯的同学都知道这个公式，高斯的计算就不会最快了，你说是吗？用公式可得

1＋2＋3＋„＋100＝＝5 050. 用这个公式需要已知等差数列的首项和末项(第项)以及项数.如果知道首项、公差和项数可以用下面的公式：

把通项公式 得 ＝＋(－1)代入，

.

17 这也是等差数列前项和的公式.显然当知道项，公差和项数时，用后一个公式最直接. 3.例题. 例7 如图10－1所示，一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放多少支铅笔？

分析：由“往上每一层都比它下面一层多放1支”，得每一层所放铅笔的支数为等差数列，且公差＝1，＝1，

＝120，＝120，是求

的问题. 解：由题意可知这120层铅笔数或等差数列，且公差＝1，＝1，＝120.代入前项和公式得

，

即V形架上共放着7 260支铅笔. 例8 在小于100的正整数集合中，有多少个数是7的倍数？并求它们的和. 分析：100以内是7的倍数最小的一个是7，依次排出成等差数列，公差是7，最大的那一个可以通过作除法求得，即100÷7＝7×14＋2.所以最大那一个7的倍数是98，即由此也可知＝14. 解：在小于100的正整数中，7是7的倍数中最小的一个.由于100÷7＝7×14＋2，可知最大的那一个是14×7＝8.将这些数由小到大排列，成等差数列公差为7，个数为14.

＝7，

＝98，＝98.18 ，

即在小于100的正整数和集合中，有14个数是7的倍数，它们的和等于735.

四、课堂练习

练习：教材第 页

五、课堂小结

1.等差数列前n项和的公式

(1)；

(2).2.思考在什么情况下用两个公式中的哪一个为好？(这一点让学生总结分析.)

六、课外作业

1.复习作业：复习课文6.2.2等差数列的前项和. 2.书面作业：第142练习

第1(2)、(3)题，习题5－

1第2，3(1)，1题. 3.预习作业：预习课文6.3等比数列中5.3.1等比数列的概念.

6.4等比数列的概念

教学目标：

1.通过教学使学生理解等比数列的概念，理解其通项公式的推导过程. 2.掌握等比数列的通项公式，并会用公式解简单的问题. 3.理解等比中项的概念. 4.培养学生观察、分析、归纳、概括的思维能力.教学重点：等比数列的定义和通项公式.教学难点：通项公式的应用. 教学方法：启发讲授法. 教学过程：

一、复习提问

什么样的数列叫等差数列？等差数列{

二、引入新课

判断下面两个数列是不是等差数列，并说明理由，

2、

4、

6、

8、

10、

12、„ (1)

2、

4、

8、

16、

32、6

4、„ (2)

让学生观察、分析、归纳、判断. 可以得出数列(1)是等差数列，理由是数列(1)从第2项起每一项与它的前一项之差都等于2，即等于同一个常数，根据定义，它是等差数列，且公差＝2. 数列(2)不是等差数列.理由是它不符合等差数列的定义，例如，第2项减第1项得2，但第3项减第2项则差是4，不相等. 再引导学生观察数列(2)，从第2项起每一项与它前一项的差不等于同一常数，再看一看与它前一项的比有什么特点？(让学生试验、探索)学生会发现，这个数列从第2项起每一项

}的通项公式是什么？指出公式中各字母的含义.与它前面一项的比都等于同一个常数2，教师指出这样的数列就是我们今天要研究的等比数列.

三、讲授新课

1.等比数列的定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示，例如上面所说的公式(2)就是等比数列，公比＝2.2.通项公式： 我们知道等差数列{那么等比数列呢？

设等比数列{

}，公差为，则它的通项公式为＝＋(－1)，}，公比为，则根据定义有

＝q，即a1＝a2q， ＝，a3＝＝()＝，

＝＝()＝. (要注意引导学生观察项的序号与的指数的关系，让学生往下推想学生填数，然后总结出通项公式.) „„

由此可知，等比数列{

}的通项公式是

( )内由 ＝. 大家看，这个公式是从这个公式对∈

开始推导的，当＝1时，左边为

与均不为０.

，右边为·＝.说明时都成立，这 里 21 例如，数列(2)的通项公式为，(＝2，＝2).可见只要知道和就能写出等比数列的通项公式，有了通项公式就可求它的任一个指定项.例如我们求数列(2)的第5项，. 3.例题

例1 求等比数列的第10项. 分析：用通项公式即可求出第10项，有和公比就可求出通项公式，需先求公比.

例2 一个等比数比数列的第3项与第4项分别是12和18，求它的第1项与第2项. 分析：已知解得＝12，

＝18，设

和公比，用

和

可得关于

和的二元方程组，和便可求该数列的任一指定项. 解：设这个数列的第1项是，公比是，则

得代入(1)得

22 ∴这个数列的第1项是，第2项是8. 解法2：根据定义÷＝，，根据通项公式＝，所以＝，将8.，＝12代入，得.即这个数列的第1项是，第2项是 这两种解法各有特点，但用第一种方法更具普遍性，它对已知等比数列的任意两项都可用，方法2则用了和是相邻两项的特点. 4.在等差数列里学过等差中项，和的等差中项等于什么？

提问学生，并可用和的算术平均数一起作对比复习.、的等差中项是，即在、中间插入一个数，使、、成等差数列，则叫、的等差中项.对于等比数列如何呢？

如果在2与8中间插入一个数4，那么这三个数成等比数列. 一般地，如果在与中间插入一个数

，使，

，成等比数列，则

叫做与的等比中项.例如上面例子中，4叫2和8的等比中项. 如果是与的等比中项，那么，即

和等差数列类似，一个等比数列从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)是它的前一项与后一项的等比中项.

23 例3 求(1)与 解：(1)由定义 (2) 的等比中项. ； (2) . 注意：两个数的等差中项只有一个；而两个数的等比中项有两个，这两个数互为相反数，且两数必须同号才有等比中项.

四、课堂练习

练习第144页，

五、课堂小结

1.等比数列的定义与等差数列定义的区别是什么？

2.等比数列的通项公式反映的是几个量之间的关系？要确定一个等比数列的通项公式，关键是哪两个量？

3.等比中项是怎样定义的？两个数的等比中项有几个？

六、课外作业

1.复习作业：复习课文5.3.1等比数列的概念. 2.书面作业：

3.预习作业：预习课文5.3.2等比数列的前项和.

24

6．5等比数列的前项和. 教学目标：

1.初步理解等比数列前项和公式的推导过程，学习“错位相消法”. 2.初步掌握等比数列前项和公式，会应用公式解简单的问题. 3.培养学生观察、分析、归纳、概括的思维能力. 教学重点：等比数列前项和的公式. 教学难点：等比数列前项和公式的推导. 教学方法：问题解决教学法. 教学过程：

一、复习提问

1.叙述等比数列的定义，它的通项公式是什么？解释公式中各字母代表的是数列的什么？

2.等差数列前项和的公式是什么？推导它的过程用了什么方法？

二、引入新课

我们知道等差数列有通项公式、等差中项、前项和的公式，我们学习等比数列已经学习了它的通项公式和等比中项，今天我们来研究它的前项和它的公式.引入课题，板书5.3.2等比数列的前项和.

三、讲授新课

现在我们来推导等比数列前项和的公式，也就是要用＋.

，和来表示

＝

＋

＋„ 可以写成：＝＋＋＋„＋.(1) 25 为了找出求的方法，我们先看一个具体的等比数列；

1、

2、

4、

8、„、、„，它的公比＝，我们先来求它前10项的和试一试. ＝1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＋256＋512，①

如果用公比2乘以上式的两端，得 2＝2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＋256＋512＋1 024.②

为了便于比较，我们将①、②列在一起， ＝1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＋256＋512，①

2＝2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＋256＋512＋1 024，②

可以发现－2的右边只剩1－1 024，中间那些项全消去了，得

(1－2)＝1－1 024.则：

一般地情况如何呢？ 我们用同样的方法来推导：

＝

＋

＋

＋„＋＋，(1) (1)的两边同乘以，得：＝＋＋＋„＋＋.(2) (1)的两边分别减去(2)的两边，得 (１－)＝－. 26 当≠1时，得 ＝. 当＝１时，等比数列的各项都等于，因此 ＝. 这就是我们所求的等比数列前项和的公式. 当≠1时，将＝代入＝，公式还可写成

＝. 和等差数列一样，等比数列的前项和公式也有两个，大家想一想，两个公式分别在什么情况下使用的好？(让学生可以前后，左右议论这个问题)然后教师总结：

在求等比数列前项和时，如果已知

、、、用前一个公式；当已知

、、

时，用后一个公式.这两个公式都涉及四个量之间的关系.只要知道其中任意三个，就可求出第四个. 例1 (教材中例2)求等比数列„的前8项的和.

例2 某工厂去年的产值是138万元，计划在今后5年内每一年比上一年产值增长10%，这5年的总产值是多少(精确到万元)？

27 分析：每一年比上一年增长10%，那么第二年与第一年的比值为110%，以后每一年与上一年的比值都是110%，所以这5年的产值数按年序排列是一个等比数列，公比＝110%，今后5年，加上去年一共6年，去年的产值是不包括去年. 解：＝138(万元)，＝1＋10%＝101，

＝138，但要求的是今后5年的总产值，所应该 今后5年的总产值为

即这今后5年的总产值是927万元，

四、课堂练习

五、课堂小结

1.等比数列前项和的公式 ＝， ＝.(≠1)

可以和等比差数列前项和公式作对比以加深记忆，

等差数列的前项和公式为

2.要灵活运用等比数列前项和公式的两种形式.

.3.对于应用问题，首先分析它是不是可用等比数列知识，即转化成等比数列问题，然后才能决定用有关知识解决.

六、课外作业

1.复习作业：复习课文5.3.2等比数列的前项和.

28 6．6等差数列与等比数列的应用.教学目标：1.使学生了解等差数列和等比数列在社会生活中有广泛的应用，并能解有关简 单应用题.2.复习巩固等差数列、等比数列的有关知识，加深对等差数列、等比数列概念的理解.3.培养学生分析问题，解决问题的能力，应用数学的意识和理论与实际关系的科学观点.

教学重点：等差数列与等比数列的应用.教学难点：将实际问题化归为等差、等比数列的问题.教学方法：启发式讲解法.教学过程：

一、复习提问

1.等差数列的定义，通项公式，前项和公式？ 2.等比数列的定义，通项公式，前项和公式？

二、新课导入： 我们学习了等差数列和等比数列这两个重要数列，它们在社会生产生活中有广泛应用，今天我们就以举例的形式来说明它们的应用.

三、新课教学

下面我们来看几个例子. 例1 (教材中的例2)某林场计划造林5后林场共造林多少公顷？

例2 某林场计划第1年造林80

，以后每一年比前一年多造林20%，第5年造要多少

，以后每年比上一年多造林

3，问20年公顷？（将例1，例2同时并排列在黑板上，引起学生对比思考.） 分析：先看例1，由“每年比上一年多造林3

”可以得出第2年造林减去第1年造林数与第3年造林数减去第2年造林数，„都等于3，也就是这20年各年的造林数依次排出来，成一个公差为3的等差数列，于是

＝5，＝3，＝20，求20年后共造林，则为求

. 29 再看例2，由“每一年比前一年多造林20%，可以得出第2年比前一年多造林数为80，第2年实际造林数为80(1＋ )，第3年又比第2年多 ，

即多80(1＋ )· ，第3年实际为80(1＋ )，由此可知，将每年造林数依此排出来是一个公比为1＋的等比数列，求的是第5年造林数，显然是求第5项. 下面我们在练习本上自己写出解题过程.然后教师出示正确答案：

例1： 解：依题意，林场每年造林的公顷数成等差数列｛

｝，

其中＝5，＝3，＝20.∴ ＝20×5＋＝670. 答：20年后林场造林670.

例2： 解：依题意，林场每年造林的公顷数成等比数列｛｝，

其中＝80，＝1＋ ，＝5. ∴ ＝80×(1＋ )4 ＝80×1.24＝165.888. 答：第5年造林165.888. 大家对比这两道例题，思考：1.如何确定一道题是应用等差数列还是等比数列？ 2.怎样判定是求 还是?

30 ( 积累一下经验.出示例

3、例

4、方式同例

1、例2.)：

例3 某种电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的174元降低到58元，这种产品平均每次降价的百分率大约是多少？

例4 某种细菌在培养过程中，每30 菌可繁殖多少个？

分裂一次(一个分裂为两个)，经过4 h，这种细 分析：看例3，“三次降价，原来单价为174，后来为58”将这几次的价钱排出来为178，，，58.才是三次降价.因而

＝58，

＝178，由求“平均每次降价的百分率”知是比

为178－178＝178(1－)，同样

＝58，又

又是＝178(1例问题，设其为，则有比178少178，即的(１－)倍，可见“后项比前项”为(１－)，即此题为等比数列.－). 看例4，由“一个分列为两个”知原来的那个细菌已不存在，若将一次次分裂后的细菌数排出来，则为

原 30 30

30

„ 30

„

1 2 4 8 4 h有多少个30

„

，4×60＝240 240÷30＝8. 下面同学们在练习本上作出这两题，教师给出正确解答：

例3： 解：设平均每次降价的百分率是，则每次降价后的单价是降价前的(1－)倍.这样，将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个等比数列，记为｛

｝，其中

＝174，＝58，＝4，＝1－， 0＝. 由等比数列的通项公式，得 58＝174(1－). 整理，得

， (1－)＝≈0.693.

31 因此， ≈1－0.693≈31%. 答：即上述电子产品平均每次降价的百分率大约是31%.

例4：解：细菌分裂一次，一个分裂成两个，即公比＝2，4h＝8×30 次，将每次分裂后的细菌数依次排成数列为等比数列，＝2，为，＝9， 所以

＝

＝

＝256(个)

，所以分裂8

＝1，分裂8次后的细菌数 答：经过4 h，这种细菌可繁殖256个.由这个两个例子的分析和解答，思考： 1.怎样确定? 2.怎样确定是求殖成多少个？那么是求

四、课堂小结：

今天我们学习了等差数列、等比数列的一些应用，它们的应用远不仅如此，仅就今天研究的4个例题，可以在应用等差数列、等比数列知识解题时应注意： 1.判断它是否是等差数列、等比数列. 2.若是等差数列、它的公差是多少？一般地“增加”或“减少”的具体数量. 3.若是等比数列，它的公比一般是(1＋增长率)或(1－降低率). 4.对项数n要弄清楚，拿不准时不妨实地排一下. 5.分清是求

五、课后作业

1.复习作业：阅读课文5.4等差数列与等比数列的应用.重点看懂例1和例4，对例4若有不明白的地方可以和同学讨论或问老师. 2.书面作业：教材第149页习题5－2

第1～4题.还是.切忌不加分析，盲目套用公式.还是

？如果例4换成一只兔子一个月可繁殖2个，经过半年地繁

? ，还是求 32

推荐第8篇：数列的应用教案

第十四教时

教材：数列的应用

目的：引导学生接触生活中的实例，用数列的有关知识解决具体问题，同时了解处

理“共项” 问题。

过程：

一、例题：

1．《教学与测试》P93 例一）大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设

在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等） 解：设相邻两层楼梯长为a，则

Sa(12k1)0[12(nk)]

a[k(n1)kn2n

2]

当n为奇数时，取kn

1S达到最小值

当n为偶数时，取kn2或n

2S达到最大值

2．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？

解：不妨设an3n,bm4m1(m,nN*)，

则{cp}为{ an }与{ bn }的公共项构成的等差数列 (1000≤cp≤2000)

∵an = bm ,即：3n=4m+1令n=3 , 则m=2∴c1=9且有上式可知：d=12 ∴cp=9+12(p1)( pN*)

由1000≤cn≤2000解得：83

712p1661112

∴p取8

4、8

5、„„、166共83项。

3．某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人

口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01) 解：1991年、1992年、„„2000年住房面积总数成AP

a1 = 6×500 = 3000万m2，d = 30万m2，a10 = 3000 + 9×30 = 3270

1990年、1991年、„„2000年人口数成GP

b1 = 500 , q = 1% ,b9105001.015001.0937546.8

∴2000年底该城市人均住房面积为：

3270

.8

5.98m2546 4．（精编P175例3）从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1

kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加入1 kg水，

问：1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？

2.经6次倒出后，一共倒出多少k盐？此时加1 kg水后容器内盐水的

盐的质量分数为多少？

解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：

a1= 0.2 kg ,a2=1×0.2 kg ,a3= (1

)222×0.2 kg

由此可见：an= (12)n1×0.2 kg ,a5= (11

2)51×0.2= (2

)4×0.2=0.0125 kg

2.由1.得{an}是等比数列a1=0.2 ,q=

1Sa(1q6

)0.2(11

616)1q

0.3937kg11

50.40.393750.00625

0.0062520.003125

二、作业：《教学与测试》P94练习

3、

4、

5、

6、7

《精编》P177

5、6

推荐第9篇：数列教案第三课时

第三教时

教材：等差数列

（一）

目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公式，并能用来解决有关问题。 过程：

一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，„„

3，0，3，6，„„

12，23410，10，10，„„

an123(n1) 12，9，6，3，„„

特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”

二、得出等差数列的定义： （见P115）

注意：从．第二项．．．起．，后一项减去前一项的差等于同一个常数．．．．．

。 1．名称：AP 首项 (a1) 公差 (d) 2．若d0 则该数列为常数列 3．寻求等差数列的通项公式：

a2a1d

a3a2d(a1d)da12dad(a

4a312d)da13d 由此归纳为 ana1(n1)d 当n1时 a1a1 （成立）

注意: 1 等差数列的通项公式是关于n的一次函数

2 如果通项公式是关于n的一次函数，则该数列成AP 证明：若anAnBA(n1)AB(AB)(n1)A

它是以AB为首项，A为公差的AP。

3 公式中若 d0 则数列递增，d0 则数列递减

4 图象： 一条直线上的一群孤立点

三、例题： 注意在ana1(n1)d中n，an，a1，d四数中已知三个可以求

出另一个。

例一 （P115例一）

例二 （P116例二） 注意：该题用方程组求参数 例三 （P116例三） 此题可以看成应用题

四、关于等差中项： 如果a,A,b成AP 则Aab

2 证明：设公差为d，则Aad ba2d

∴

ab2aa2d2adA

例四 《教学与测试》P77 例一：在1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成AP，求此数列。

解一：∵1,a,b,c,7成AP ∴b是-1与7 的等差中项

∴ b1723 a又是-1与3的等差中项 ∴a132

1c又是1与7的等差中项 ∴c372

5解二：设a11 a57 ∴71(51)d d2

∴所求的数列为-1，1，3，5，7

五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项

六、作业： P118习题3．2 1-9

推荐第10篇：(教案)数列综合应用

专题三：数列的综合应用

备课人：陈燕东 时间： 备课组长

[考点分析]

高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；

（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。 （2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。 （3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。

试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

【例题精讲】

【题型1】求和，求通项

例1．设数列an的前n项和Sn=2n+1-2，数列bn满足bn（1）求数列an的通项公式； （2）求数列bn的前n项和Tn．

1．

(n1)log2an变式训练1：已知数列an是公差不为0的等差数列，a12，且a2，a3，a41成等比数列． （1）求数列an的通项公式； （2）设bn

2，求数列bn的前n项和Sn．

nan2变式训练2．已知数列{an}的各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项和，且4Snan2an3． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）已知bn2n,求Tna1b1a2b2anbn的值．

2备选例题1．已知数列an的前n项和为Sn，且2Snnn.

2（1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn12an1,(nN*)求数列{bn}的前n项和Sn.anan

1备选例题2．已知数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。． （1）求数列错误！未找到引用源。的通项错误！未找到引用源。； （2）求数列错误！未找到引用源。的通项错误！未找到引用源。；

（3）若错误！未找到引用源。，求数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。．

【题型2】证明题

例2.已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数，

（I）证明：an2an；

（II）是否存在，使得an为等差数列？并说明理由.

变式训练．已知函数fx123xx，数列an的前n项和为Sn，点n,SnnN均在函数22yfx的图象上.

（1）求数列an的通项公式an； （2）令cn

【题型3】创新题型

例

3、设正项等比数列an的首项a11anan1，证明：2nc1c2cn2n.2an1an1，前n项和为Sn，且210S30(2101)S20S100。2 （Ⅰ）求an的通项； （Ⅱ）求nSn的前n项和Tn。

备选例题： 1.在等差数列{an}中，公差d0,a2是a1与a4的等比中项.

已知数列a1,a3,ak1,ak2,,akn,成等比数列，求数列{kn}的通项kn.【题型4】数列与不等式的综合题

例

4、已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1＝2．设该数列的前n项和为Sn，且an1＝，其中常数a＞1． (a1)Sn＋2（n＝1，2，┅，2k－1）（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若a＝22，┅，2k），求数列{bn}的通项公式； （3）若（2）中的数列{bn}满足不等式|b1－

【题型5】数列与函数的综合题

例

5、设数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(nN)均在函数y＝3x－2的图像上。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn有nN都成立的最小正整数m。

本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。 22k1，数列{bn}满足bn＝

1log2(a1a2an)（n＝1，n3333|＋|b2－|＋┅＋|b2k1－|＋|b2k－|≤4，求k的值． 2222m3，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn对所

20anan1

第11篇：数列求和优秀教案

题组教学：“探索—研究—综合运用”模式

——“数列的裂差消项求和法解题课”教学设计

【课例解析】

1 教材的地位和作用

本节课是人教A版《数学（必修5）》第2章 数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。通过本节课的教学让学生感受裂差消项求和法在数列求和中的魅力，体会裂项相消的作用，达到提高学生运用裂项相消求和的能力，并把培养学生的建构意识和合作，探索意识作为教学目标。

2 学情分析

在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时用到了错位相减法、倒序相加法和裂差消项求和法，本节课在此基础上进一步对裂差消项求和法做深入的研究。本节课的内容和方法正处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好的完成本节课的教学任务。

【方法阐释】

本节课的教学采用心智数学教育方式之“题组教学”模式，分为“创设情景、导入新课，题组探索、自主探究，题组研究、汇报交流，题组综合、巩固提高，归纳总结、提升拓展”五个教学环节．

本节课从学生在等比数列求和公式推导过程中用到的裂差消项求和法引入，从课本习题的探究入手展开教学，学生能自主发现裂差消项求和法，并很快进入深层次思维状态。接下来的研究性题组和综合性题组又从更深更广的层面加强裂差消项求和法的应用。

【目标定位】

1 知识与技能目标

掌握裂项相消法解决数列求和问题的基本思路、方法和适用范围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标

经历数列裂差消项求和法的探究过程、深化过程和推广过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。 3 情感与价值观目标

通过数列裂差消项求和法的推广应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。 4教学的重点和难点

本节课的教学重点为裂项相消求和的方法和形式。能将一些特殊数列的求和问题转化为裂项相消求和问题。

本节课的教学难点为用裂项相消的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问题。

【课堂设计】

一、创设情景、导入新课

教师：请同学们回忆一下，我们在推导数列求和公式时，先后发现了哪几种数列求和的方法？

学生1：在等差数列求和公式的推导时我们用到了倒序相加法。在等比数列求和公式的推导中我们发现了错位相减法、裂差消项求和法。

学生2：在学习求和过程中，我们还发现了分组求和法和通项转换法。

我的思考：在推导等比数列求和公式时，有的小组根据等比数列求和公式的形式，想到用裂差消项求和法。这节课就是从学生的这种想法开始，使学生体会到自己的一个想法，再继续下去就能解决一类问题。

等比数列求和公式用裂差消项求和法证明如下：

q1.

a1a1qa1qa1q2a1q2a1q3a1qn1a1qnSn()()()()

1q1q1q1q1q1q1q1qa1a1qna1(1qn) = 1q1q1q

二、题组探索、自主探究

教师：请同学们思考下列探索性题组中问题解法： 出示探索性题组(多媒体投影) 求和: 1．sn(1)()()（2．sn121213131411) nn111111 12233445nn111111 13355779(2n1)2n11111 2558811(3n1)3n23．sn4．sn

学生独立思考后，各小组讨论交流各自的想法，各小组选派代表在全班交流。

学生3；第一题去掉括号后，除第一项和最后一项外，其余各项都能消去。sn11n n1n1111,

nn1nn11111111n1 122334nn1n1n1学生4：第2题的每一项与第一题相同，每一项都可裂成两项， 数列通项an所以，sn1教师：用an111对吗？为什么？

nn2nn2学生5：不行了，很明显，左右是不相等的关系。 教师：怎样改变呢？

学生5：待定系数法，配平系数，达到平衡。应该乘以

1！ 2和第2题相似，每一项也可裂成两项实现裂差消项求和。 数列的项1111(),

mm22mm2111111111111 2222323422n12n1所以，sn=11n(1), 22n12n1学生6：第4题的变形与第3题类似

an1111 3n13n233n13n2111111111111sn325358381133n13n2111n 323n22(3n2)

变式问题：求和sn1111 1(1k)(1k)(12k)(12k)(13k)(1(n1)k)(1nk)学生7：每一项同样可裂成两项，通过裂差消项求和法求和：

sn111111111k1kk1k12kk1(n1)k1nk11111111(n1)k1nkk1k1k12k11n (1)k1nk1nk教师：通过以上探索性题组我们发现什么结论呢？ （学生表述，教师点评，补充。） 结论：一般地，{an}是公差为d的等差数列， 则：Sn111 a1a2a2a3anan1111111111 da1a2da2a3danan1111naa daan11n11教师小结：分母为等差数列的某相邻两项之积，而分子为常量的分式型数列的求和，将它的每一项分解为两项差的形式，前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项互相抵消，这种数列求和的方法就是裂差消项求和法。

三、题组研究、汇报交流 出示研究性题组 1． 求数列1的前n项和。

n(n2)2．求数列1111,,,,,的前n项和？ 153759(2n1)(2n3)2242(2n)23．求和：Sn 1335(2n1)(2n1)（学生分组讨论解题思路，教师巡回，对个别学生问题进行指导，师生共同讨论。）

教师：观察研究性题1和探索性问题的解法有何不同呢？

学生8：有所不同，消去的项不一样了。前面和后面各有两项没有消去，前面是两正项，后面是两负项。

解：数列的通项公式可变形为：an1111

nn22nn2所以：sn111111111111232242352nn2111111111232435nn21111132n3122n1n222n1n2n(3n5)4(n1)(n2)学生9：方法与第1题类似 解：通项an

1111()

(2n1)(2n3)42n12n31111111111Sn[(1)()()()()4537592n32n12n12n3

1111n(4n5)(1)432n12n33(2n1)(2n3)教师分析：研究性题3中数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积；从上面的经验看：该数列求和使用“裂项相消法”的可能性较大，那就看分子能否化为常数。注意到该数列的通项公式的特征：分子、分母同次且没有一次项；

考虑到(2n)(2n)11(2n1)(2n1)1

所以使用处理分式函数的常用手段，分离常数法即可把分子化为常数。变形如下： 22(2n)2(2n)2111学生10：解：an 1(2n1)(2n1)(2n1)(2n1)(2n1)(2n1)1111()

22n12n1∴Snn11111n=n(1 )n1335(2n1)(2n1)22n12n1（学生说题，锻炼学生的表述能力，思维能力）

教师：以上裂项求和类型大家掌握的比较好了，我们一起看下面的问题：

四、题组综合、巩固提高 1．求数列lg(11)前n项的和。 n12．求数列的前n项和

n1n3．已知数列an，an1求数列的前项和sn

nn1n2（分组讨论解题思路，教师做适当点拨和引导，学生展示解题过程。）

n1lg(n1)lgn n1111所以，Snlg(1)lg(1)lg(1)lg(1)

123n234n

1 lg()lg()lg()lg()

123n学生11：lg(1)lg1n(lg2lg1)(lg3lg2)(lg4lg3)(lg(n1)lgn) lg1lg(n1)lg(n1)

学生12：也可不裂项变为各项相乘约项。 解：Snlg(1)lg(1)lg(1)lg(113234n1lg()lg()lg()lg()

123n234n1lg()lg(n1)

123n11121) n教师：很好，这又是一个好想法，课后同学们可探究一下有哪些数列求和适用这种方法。 教师：对于第2题，很明显，我们没法进行合并，分母也不是两个积的乘积形式，不太符合以上方法。我们搜寻一下，以前我们见过这种式子吗？对它有什么变形方法？

学生13：以前我们处理过这种无理式，可以分母有理化。对(大部分学生也发现了这种方法)，有理化后就变成两项之差的形式，同样可用裂差消项求和法。

（学生板演解题过程）

解：分母有理化， ∵

1n1n1n1n

∴121132n1nn1n

2132n11

，且sn9，则n＝_____ 学生开始兴奋起来，课堂上气氛达到了空前高涨。 小试牛刀：在数列an中，an1nn1学生说明答案。

教师：对于第3题，我们又遇到新问题。分母变成三项积的形式，如何变形? （学生纷纷试验各种裂项的方案。） 学生：还是应该考虑裂项的方法。我最先试验的是能否像探索性题组那样分裂成

11、、nn111的和差形式。我发现an不能直接化为它们的差，即使化为它们的差

nn1n2n2也解决不了相消的问题。

教师：你们希望什么样的变形？

学生：我希望也像探索性问题一样，每一项分裂成两项的差，并且要能消项才行。 教师：对，“两项、能消项”，你们有想法就要设法按照自己的思路试一下。

学生14：我有了一个想法，按照“两项、能消项”的要求，

1就不能考虑

nn1n21

11、、的和差形式。两项又必须相对对称的，我们先考虑最简单的两项的nn1n211变形，中，第一项和第二项都有2出现，是否可考虑让作差的两个式子123234变成中都出现2哪？

（在教师、学生的启发下，学生纷纷试验着裂项方法）

111学生14：我试验过了an[]，这也符合“对称、和谐”的美

2n(n1)(n1)(n2)学原理。

解：sn1111 123234345nn1n21111111 212232334nn1n1n2111 22n1n2nn3 4n1n2

五、归纳总结、提升拓展

教师：应该注意什么问题？

学生：裂差消项求和法多用于分母为等差数列的某相邻k项之积，而分子为常量的分式型数列的求和，对裂项相消法求和，其裂项可采用待定系数法确定，并注意能否正负抵消。

师生共同小结： (学生叙述,教师进行补充和整理) 教师板演要点：

1裂项抵消法多用于分母为等差数列的某相邻项之积，而分子为常数的分式型数列的求和。

2裂项有困难时，可采用待定系数法来确定。

3在消项时一定注意消去了哪些项,还剩下哪些项，有困难时可多写几项,然后仔细观察消项规律，一般地剩下的正项与负项一样多。

4对于分母是两个二次根式的和，且被开方数是等差数列，利用分母有理化，使分母上的和变成了分子上的差，从而因中间项相消而可求Sn。

5裂项相消法适用于 c其中an是各项不为0的等差数列，c为常数；部分

aann1无理数列、含阶乘的数列等。

教师：若求数列14,25,36,,nn3,前n项和sn呢?还能用裂项相消法吗？为什么？请同学们课下探究以下。（为后面数列的分组求和的教学做铺垫）

教师：今天这节课我们主要研究了一些非等差(比)的特殊数列求和方法。同学们回忆一下这些数列求和的指导思想是什么? 学生：将部分数列求和通过变形转化为裂项求和。

教师：对，解决这些数列求和问题的思路是将它们转化基本的裂差消项求和，从而解决问题。这种思想也是我们数学解题中经常用到的一种思想——化归思想。

(给学生时间回顾以上内容及方法。) 教师：能否总结一下裂项相消法所应用的具体公式？ 学生：我们所用的裂项公式有： （1） 1111111，

nn1nn1nnkknnk1111 2n12n122n12n11111 nn1n22nn1n1n2（2）

（3）

（4） 1n1nn1n

（5） n11 n1!n!n1!教师课堂总结：裂差消项求和法：若一个数列的每一项都可以化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项互相抵消。以上题目虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。

此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意：余下的项前后的位置前后是对称的，余下的项前后的正负性是相反的。

教师：最后，留几个问题供大家课后继续研究，希望大家能给出解答。大家仔细观察，和习题中的题目具有哪些相似之处，联系在哪里？又有哪些不同，可以类比的方法是哪些？

1．求和：1111 12123123n8n2．求数列an2n12n122的前n项和？

（an222n12n1222n12n12n122n128n12n1212n12）

3．求和：sn1111

123423453456nn1n2(n3)【教有所思】

本节课心智教育方式之题组教学法。充分体现学生是主体，问题是中心，探索是主线。课堂是师生共同参与课堂活动的舞台。“问题”是解决人类思维的一种普遍的表现形式，也是心理学家们热衷的重要研究课题之一。在数学教学中，从课堂提问到新概念的形成与确立，新知识的巩固与应用和学生思维方法的训练与提高，以及实际应用能力和创新能力的增强。无不从“问题”开始，在研究问题﹑解决问题的过程中努力实现。因此，课堂教学实质上就是依据教材内容和学生实际，师生重组旧知识，不断发现问题﹑研究问题﹑解决问题的活动。老师的作用是如何将学生的思路所隐藏的数学思想和方法挖掘出来，深化并完善它。小组讨论的方式有利于培养学生的合作精神，互相启迪，互相促进。从而在活动的过程中不断培养学生的科学素养和创新思维习惯。

本节课通过逐步引导，层层设疑，让学生经历裂差消项求和的过程，使教材更生动，更具亲和力。在裂差消项求和法的教学设计中，设置了恰当的教学情境，引导学生合作与交流，强化学生的合作意识、协作精神，收到了很好的效果，学生学会了如何转化。

新课程的编排特点和学习方式的变化，使课堂教学方法发生了重大变化。新课程提倡教学目标综合化、多元化和均衡性，知识生活化，使学生获得对数学知识理解的同时，在思维能力、观察能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。

本节内容设计突出了某些重要的数学思想方法，如：类比思想，归纳思想，特殊到一般的思想方法。充分注意了学生的观察，猜想，发现，归纳，总结等学习过程的体验，强化了归纳思想的具体应用。突出体现了特殊到一般的思想，突出了通过对特殊数列的各项关系，运算，性质的研究推广到一般数列相应问题研究的思想。借助函数的背景和研究方法研究有关数列的问题，体现了数学知识的内在关联，培养学生用已知去研究未知的能力。

最后的小结要进一步使学生明白：裂差消项求和法，如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻相邻项分裂后相关联，常选用裂项相消法求和，体现了知识的连贯性，有助于学生构建知识网络。

第12篇：数列极限的定义教案

第十七教时

教材：数列极限的定义（N）

目的：要求学生掌握数列极限的N定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。 过程：

一、复习：数列极限的感性概念

二、数列极限的N定义

n

1．以数列(1)n为例

a111n:1,,,,234

1 0

1 观察：随n的增大，点越来越接近

2只要n充分大，表示点a(1)n即：n与原点的距离an0n01n可以充分小 进而：就是可以小于预先给定的任意小的正数 n

2．具体分析：(1) 如果预先给定的正数是

1(1)10，要使an0n01n

(2) 同理：如果预先给定的正数是1103，同理可得只要n103即可 (3) 如果预先给定的正数是

110k(kN*)，同理可得：只要n10k即可

3．小结：对于预先给定的任意小正数，都存在一个正整数N，使得只要nN

就有an0

4．抽象出定义：设an是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数，总存在正整数N，使得只要正整数nN，就有ana

记为：limnana 读法：“”趋向于

“n” n无限增大时

注意：①关于：不是常量，是任意给定的小正数

②由于的任意性，才体现了极限的本质

③关于N：N是相对的，是相对于确定的，我们只要证明其存在

④ana：形象地说是“距离”，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋近于

a，也可以摆动趋近于a

三、处理课本 例

二、例

三、例四

例三：结论：常数数列的极限是这个常数本身

例四 这是一个很重要的结论

四、用定义证明下列数列的极限：

1．lim2n1n2

2．lim3n1n1

n2n132 证明1：设是任意给定的小正数

2n12n111n12n要使2n 即：2

两边取对数 nlog1

取 N12log2

„„„„介绍取整函数 2n12n当nN时，

2n1恒成立

∴lim1n2n1

证明2：设是任意给定的小正数

要使

3n11512n132 只要

2n15

n42 取N513n1342

当nN时，2n12恒成立

∴lim3n1n2n132

第13篇：第三章 数列教案 新课标 人教版

第三章 数列教案

一、数列的概念

1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）

2、通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示。（通项公式不唯一）

3、数列的表示: (1) 列举法:如1,3,5,7,9„„; (2) 图解法:由(n,an)点构成; (3) 解析法:用通项公式表示,如an=2n+1 (4) 递推法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a1=1,an=1+2an-1

4、数列分类：有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列，有界数列，无界数列

5、任意数列{an}的前n项和的性质 Sn= a1+ a2+ a3+ „„+ an anSnSn1n2S1n1

anan1anan

16、求数列中最大最小项的方法：最大 最小 考虑数列的单调性

aaaan1n1nn

二、数列通项的求法

1、由等差，等比定义，写出通项公式

2、利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代

3、一阶递推an1panq,我们通常将其化为an1ApanA

4、利用换元思想

5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明

6、对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题

三、等 差 数 列

1．定义：an1and(常数)(nN)

2．通项：ana1(n1)d，推广：anam(nm)d 3．前n项的和：Sn看成{bn}的等比数列

n(a1an)n(n1)na1d 224．中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c 5．性质: 1amanmnd,daman

mn2在等差数列中,若pqmn,则apaqaman,若2mpq,则2amapaq

用心 爱心 专心

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1

3若an,bn均为等差数列,且公差分别为d1,d2,则数列pan,anq,anbn也为等差数列,且公差分别为pd1,d1,d1d2.（4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,an+m,an+2m,„,为等差数列，公差为md。

2(5)等差数列的前n项和也构成一个等差数列，即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,„为等差数列，公差为nd。 (6)若等差数列的项数为2n，则有S偶S奇nd,S奇S偶an。 an1S奇S偶n1。 n1（7）等差数列的项数为奇数n，则SnS奇S偶且an中间项S奇S偶，（8）an为等差数列，S2n12n1an。

（9）通项公式是an=An+BA0是一次函数的形式；前n项和公式SnAn2BnA0是不含常数项的二次函数的形式。（注当d=0时，S n=na1, a n=a1）

a0（10）若a1>0，d

an10若a10，Sn有最小值，可由不等式组6．等差数列的判定方法

(1)定义法: an1and(常数)(nN) (2)中项法:2an1anan2 (3)通项法:ana1(n1)d (4)前n项和法:SnAn2Bn 7．知三求二(a1,d,n,an,Sn),要求选用公式要恰当.3．设元技巧: 三数:ad,a,ad 四数a3d,ad,ad,a3d

四、等 比 数 列

1．定义与定义式：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数 列.an0来确定。

a0n1an1q(q为不等于零的常数) annm2．通项公式：ana1qn1,推广形式:anamq

,变式qnman(nm,m,nN)

am3．前n项和：Sa(1qn)aaq

11nn(q0且q1)1q1q用心 爱心 专心

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2 na1(q1)

注:应用前n项和公式时,一定要区分q1与q1的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.4．等比中项:若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比中项,且bac

5．等比数列性质: 1amanqmn,qmnaman

2在等比数列中,若pqmn,则apaqaman,若2mpq,则amapaq。

23若an,bn均为等比数列man(m0),,且公分别为p.q,则数列也为等比数列,且公差分别为pq,1p,pq,,q.qq1a,n,an,anbnanbn（4）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an+m,an+2m,„,为等比数列，m公比为q。

n(5)等比数列的前n项和也构成一个等比数列，即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,„为等比数列，公比为q。 6．证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若an1q(nN)数列an为等比数列 an2(2)等比中项法:若anan为等比数列 1anan2(nN且anan1an20)数列(3)通项法:若ancqn(c,q均是不为0的常数，nN)数列an为等比数列 (4)前n项和法:若SnAqnA(A,q为常数，且q0,q1)数列an为等比数列 7．解决等比数列有关问题的常见思维方法 (1)方程的思想(“知三求二”问题) (2)分类的思想

①运用等比数列的求和公式时,需要对q1和q1讨论 ②当

a10,q1或a10,0q1时,等an为比 递数(an1ana1qn1(q1))

an为递减数列 a10,q1或a10,0q1时,等比数列

六．数列的求和

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

用心 爱心 专心

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3

na1(q1)n(a1an)n(n1)Snna1d Sna1(1qn) 公比含字母时一定要讨论

221q(q1)2．错位相减法求和：如：an等差,bn等比,求a1b1a2b2anbn的和.

3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 4．合并求和：如：求10029929829722212的和。

5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项：1n(n1)1n1n1

1(2n1)(2n1)12(12n112n1)

111n(n1)(n2)2[n(n1)1(n1)(n2)]

6．公式法求和 1222n2n(n1)(2n1)6

1323n3[n(n1)2]2 7．倒序相加法求和

8．其它求和法：如：归纳猜想法，奇偶法等

用心 爱心 专心

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第14篇：高一数学 数列求和教案

湖南师范大学附属中学高一数学教案：数列求和

教材：数列求和

目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列。

过程：

一、提出课题：数列求和——特殊数列求和

常用数列的前n项和：123nn(n1) 2135(2n1)n2

n(n1)(2n1)

6n(n1)2132333n3[]

2122232n2

二、拆项法：

例

一、（《教学与测试》P91 例二）

11114,27,310,,n1(3n2),的前n项和。 aaaa1 解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则 ann1(3n2)

a111Sn(12n1)[147(3n2)]

aaa求数列11,(13n2)n3n2n当a1时，Snn

221n(13n2)nan1(3n1)na

当a1时，Sn nn1122aa1a1

三、裂项法：

例

二、求数列6666,,,,,前n项和 122334n(n1)116()

n(n1)nn1解：设数列的通项为bn，则bn

11111Snb1b2bn6[(1)()()]223nn16(116n)n1n1 例

三、求数列111,,,,前n项和 1212312(n1)12112()

12(n1)(n1)(n2)n1n211111111n)()()]2() 2334n1n22n2n2 解：an Sn2[(

四、错位法：

1}前n项和 n21111 解：Sn123nn ①

2482111111Sn123(n1)nnn1 ② 248162211(1n)1111112n 两式相减：Snnnn1212248222n1121n1nSn2(1nn1)2n1n

2222例

四、求数列{n例

五、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn(求数列{an}的前n项和

解：取n =1，则a1(an12)(nN*)， 2a112)a11 2又： Snn(a1an)n(a1an)a12(n)

可得：222an1(nN*)an2n1

Sn135(2n1)n2

五、作业：《教学与测试》P91—92 第44课 练习3，4，5，6，7 补充：1.求数列1,4,7,10,,(1)(3n2),前n项和

n3n1n为奇数2 (Sn)

3nn为偶数22n32n1 2.求数列{n3}前n项和 (8n3)

22 3.求和：(1002992)(982972)(2212) (5050) 4.求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n×(n + 1) ( 5.求数列1，(1+a)，(1+a+a)，……，(1+a+a+……+a

22n(n1)(n5))

3n

1)，……前n项和

a0时，Snn a1时，Snn(n1)2

n(n1)aan1a

1、0时，Sn(1a)2

第15篇：数列的递推公式教案

数列的递推公式教案

普兰店市第六中学

陈娜

一、教学目标

1、知识与技能：了解数列递推公式定义，能根据数列递推公式求项，通过数列递推公式求数列的通项公式。

2、过程与方法：通过实例“观察、分析、类比、试验、归纳”得出递推公式概念，体会数列递推公式与通项公式的不同，探索研究过程中培养学生的观察归纳、猜想等能力。

3、情感态度与价值观：培养学生积极参与，大胆探索精神，体验探究乐趣，感受成功快乐，增强学习数学的兴趣，培养学生一切从实际出发，认识并感受数学的应用价值。

二、教学重点、难点和关键点

重点：数列的递推定义以及应用数列的递推公式求出通项公式。 难点：数列的递推公式求通项公式。 关键：同本节难点。

三、教学方法

通过创设问题的情境，在熟悉与未知的认知冲突中激发学生的探索欲望；引导学生通过自主探究和合作交流相结合的方式进行研究；引导学生积极思考，运用观察、试验、联想、类比、归纳、猜想等方法不断地提出问题、解决问题，再提出问题，解决问题…… 经历知识的发生和发展过程，并注意总结规律和知识的巩固与深化。

四、教学过程

环节1：新课引入

一老汉为感激梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送给梁山好汉，见过宋江以后，宋江吧老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他，老汉又去见卢俊义，把 1

现有的马匹全送给了他，卢俊义也把老汉送来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了老汉……… 一直送到108名好汉的最后一名段景住都是这样的，老汉下山回家时还剩下两匹马，问老汉上山时一共带了多少匹千里马？

通过这个小故事让学生感受到数学来源于生活同时又为生活所服务。同时也能引起学生的兴趣和好奇心。 环节2：引例探究

(1）1 2

16………

(2) 1

cos1

coscos1

cos[cocsos1]

…….(3)0 1

4 7 10 13 …….通过设置问题的情境，让学生分析找出这些数列从第二项（或后几项）后一项与前一项的关系，从而引出数列的递推公式的定义，便于学生对于数列递推公式的理解、记忆和应用。 递推公式定义：

如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任意一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式是数列一种的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可． 环节3：应用举例及练习

例1：已知数列｛an｝的第1项是1，以后的各项由公式

a n

(n≥2)给出，写出这个给出，写出这个数列的前5项. = 1+an-11解：据题意可知：a1=1, a3=1+

a2=1+1a1=1+1a311=2,23531a21=1+=1+12=35=32,.a4=1+=1+=,a5=1+85a42

an的前五项是3581，2，，，235

练习：已知一个数列的首项a1=1, a3=2, an= an-1+ an-2(n≥3)求这个数列的前五项。 这个例题和习题是为了让学生进一步体会通过数列的的递推公式来求数列中的项，同时也能让学生感受到如果要是中间有一个环节做错了就会关联到其他的结果也是错误的，因此要培养学生认真的品质。

例2：已知数列{ an}满足a1 =1， an+1 =an +（2n-1）

(1) (2) 写出其数列的前五项，归纳出数列的一个通项公式。 利用数列的递推公式求其通项公式。

a2a1(2*11)112a3a2(2*21)235解（1）a11， a4a3(2*31)5510，a5a4(2*41)10717 猜想：an=（n-1）2+1 （2）a2a12*11

a3a22*21

a4a32*31

…………………

an =an-1 +（2n-3）

an =a1 +2[1+2+3+…+(n-1)]—（n-1） an=1+2*（n1)[1(n1)]2_(n-1), 即an=（n-1）2+1 当n=1时也满足上式。

所设问题中的（1）是起着承上启下的作用，同时也引出了（2）的结论引起学生的兴趣，让学生感受到如何能在数列的递推公式得出数列的通项公式，体会到事物之间的互相转化的思想。

跟踪练习：已知数列{ an }中，a1 =1，an+1= an +

1n(n1)，求数列的{ an }的通项公式。

在例2解题过程中从等差数列的通项公式的累和法进行引导，让学生体会到同类问题的知识的迁移过程。同时也引导学生认识到an+1—an=f(n)这样形式的都可以用累和法来求解。

环节4：归纳总结 ① 定义

② 累加法：an+1—an= f(n) 环节5：作业：必做与选作

五、板书设计

第16篇：《数列概念》(第一课时)教案

数列概念学案

学习目标：

设计人：李九根

了解数列的概念和数列几种常见表示方法（列表、图像、通项公式）并能根据一定条件求数列的通项公式。 学习重点：数列概念

学习难点：根据条件求数列的通项公式 学习过程：

一、课前准备：阅读P3—4

二、新课导入：

①什么是数列数： ②数列项是： ③按项分类数列分为： 和 ④数列通项公式： 自主测评

1、判断下列是否有通项公式若有，写出其通项公式。①3，3，3，3……

②2，4，6，8，10…… ③1，3，5，7，9……

④0，1，0，1，0，1…… ⑤0，1，-2，4，-7，6，10，5，9……

2、数列{an}中，an=log2(n2+3)-2,写出数列前五项，log32是这个数列的第几项 探究：（1）是不是所有数列都有通项公式，能否举例说明

（2）若数列有通项公式，通项公式是不是唯一的，若不是能否举例说明

三、巩固应用

例1.P5 试一试：P6 T1-2 例2.P5 试一试：P6 T3、写出下列数列的一个通项公式 ①-2，-2，-2，-2……

②7，77，777，7777…… ③0.7，0.77，0.777，0.7777……

④3，5，9，17，33……

⑤0，-1，0，1，0，-1，0，1……

⑥11126,3,2,3……

四、总结提升

1、探究新知：

2、数列通项公式an与函数有何联系

五、知识拓展

数列前几项和Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an 且

aa1(n1)nsnsn1(n≥2)

六、能力拓展

1、数列1g2101×2,1g2102×3,……1g210n(n+1),……中首次出现负值的项是第几项≥≤

2、已知数例{a2n}的通项公式an=n-5n+4 （1）数列{an}中有多少项是负项？

（2）当n为何值时，an有最小值，最小值是多少？

3、已知数列{an}的前n项和sn=2n2+n+1，求数列{an}的通项公式？

自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？

作业：P9

A：T4

T6

B：T1

第17篇：数列综合复习课教案

数列综合复习课教案2007.12.6文卫星

例1 填空题

(1)在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3a4a5=___ ；

(2) 设Sn是等差数列an的前n项和，已知S636,Sn324,Sn6144(n6),则n=__；

(3) Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2n

an

4n12n

1，则S2n=。

Sn

例2 已知由正数组成的等比数列{an}，若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{an}的通项公式.1

an

2

a1n

4n为偶数

例3设数列an的首项a1a≠

14

，且an1

,

n为奇数

记bna2n1

14

，n＝l，2，3，…·

（1）求a2,a3（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； （3）求lim(b1b2b3bn).

n



例4设向量a=(x,2)，b=(x+n,2x-1)（n为正整数），函数y=ab在0,1上的

9

最大值与最小值的和为an，又数列bn满足：b1+2b2++(n-1)bn-1+nbn= 10（1）求an和bn的表达式;

n-1

.

（2）若cn=-nanbn，试问数列cn中，是否存在正整数k,使得对于任意的正整数

n，都有cnck成立？证明你的结论.

作业 1.填空题



(1) 已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若OB＝a1OA＋a200OC，且A、B、C三点共

线（该直线不过原点O），则S200＝______；

(2) 已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a

1、b1，且a1b15，

**

，则数列{cn}的前10项和等于______； a1,b1N．设cnabn（nN）

(3)在数列{an}中, a1=1, a2=2,且an2an1(1)n(nN)，则S100=_____.2.已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN*).（1）证明：数列an1an是等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）若数列bn满足

43.已知点的序列An(xn，0)，nN，其中x1＝0，x2＝a（a0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，……，An是线段An2An1，…… （1）写出xn与xn1，xn2之间的关系式（n3）； （2）设anxn1－xn，求数列an的通项公式； （3）求limxn。

n

b1

1b21

...4

bn1

(an1)n(nN),证明bn是等差数列。

b

*

4．在平面直角坐标系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n1,0)(nN*)，满足向量AnAn1与向量BnCn共线，且点Bn(n,bn)(nN)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a1,b1与n来表示an；

(2)设a1a,b1a,且12a15，求数列{an}中的最小项.

5．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是((1) 求y=f(x)的表达式，并求出f(1),f(2)的值；

(2) 数列{an}，{bn}，若对任意的实数x都满足f(x)g(x)+anx+bn=xn+1, nN，其中g(x)是定义在实数集R上的一个函数，求数列{an},{bn}的通项公式；

(3)设圆Cn:(x－an)+(y－bn)=rn，若圆Cn与圆Cn+1外切，{rn}是各项都是正数的等比数列.记Sn是前n个圆的面积之和，求lim

答案：

1.(1)100,(2)85,(3)2600.

n*

2.（1）公比为2；（2）an21(nN)：（3）bn22bn1bn0.

32

,

14

),且f(3)=2.

Snrn

n

(nN).

3．（1）xn＝

12

(xn1＋xn2）；(2) an=(

12

)

n1

a；(3) limxn＝

n

a11(

12)



23

a。

4．（1）an=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2)；（2）当n=4时，a4取最小值，最小值为18-2a.5.（1）f(1)=0,f(2)=0；（2）an=2n+1－1,bn=2－2n+1；（3）

43

.

第18篇：数列求和

《数列求和》教学设计

【课例解析】

1、教材的地位和作用

本节课是人教A版《数学(必修5)》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。通过本节课的教学让学生感受倒序相加、裂项相消、错位相减等求和法在数列求和中的魅力，并把培养学生的建构意识和合作、探究意识作为教学目标。

2、学情分析

在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时分别用到了倒序相加法、错位相减法，本节课在此基础上进一步对上述数列求和方法做深入的研究、应用。本节课的内容和方法正处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好地完成本节课的教学任务。

【方法阐释】

本节课的教学采用 学力课堂模式，分为自学、互学、展学、导学、练学五个教学环节，五个环节并不是简单的顺次递进，而是有机的相互融合。

本节课从学生回顾等差数列、等比数列求和公式推导过程中用到的倒序相加、错位相减求和法引入，从自主探究题组及问题探究入手展开教学，引导学生自主发现几种常见求和法，并很快进入深层次思维状态。接下来的课堂探究题组、课堂练学题组又更进一步加强几种求和法的应用。

【目标定位】

1、知识与技能目标

掌握几种解决数列求和问题的基本思路、方法和适用范围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。

2、过程与方法目标

经历数列几种求和法的探究过程、深化过程和应用过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。

3、情感与价值观目标

通过数列几种求和法的归纳应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。

【教学重、难点】

本节课的教学重点为倒序相加、裂项相消、错位相减求和的方法和形式。能将一些特殊数列的求和问题转化上述相应模型的求和问题。

本节课的教学难点为建构几种求和方法模型的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归的思想分析问题和解决问题。

五、归纳总结、整合升华(课堂小结，建构知识体系)

教师：本节课大家都学习、应用到了哪些数列求和方法?

预设学生情况：并项、分组、倒序相加、裂项相消、错位相减求和法

教师：通过本课的学习，在解决数列求和问题时有什么心得体会?

预设学生情况：1.求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用;3.建构意识、化归思想的运用;

六、课后练学(课外完成课后练学案和课外探究案)

设计意图：对所学内容进行巩固、强化。

【教有所思】

从课堂模式上讲，本节课采用学力课堂模式，力求坚持先学后教、以学定教，努力实现课堂由教堂到学堂的转变。课堂教学实质上就是依据教材内容和学生实际，师生重组旧知识，建构新知识的过程，课前自学环节有助于教师抓准学生认知水平和知识结构的最近发展区，不断发现问题﹑研究问题﹑解决问题，达到将学生的思路所隐藏的数学思想和方法挖掘出来，深化并完善它。学生互学、展学方式有利于培养学生的合作精神，数学表达能力，让学生获得对数学知识理解的同时也获得丰富的情感体验。教师的导学通过问题精导、设疑，让学生经历几种求和方法的建构过程,使学生的思维训练充分落实。练学环节设计与本课例具有强关联性的题组进行巩固、强化，让学生实现双基过手扎实。

从学生获得的数学素养上讲，本节内容设计突出了某些重要的数学思想方法，如：类比思想，归纳思想，特殊到一般的思想方法。充分注意了学生的观察，发现，归纳，总结等学习过程的体验，强化了归纳思想的具体应用。突出体现了特殊到一般的思想，突出了通过观察特殊数列的各项关系或者通项特征，将基本运算、性质的研究推广到一般数列相应问题研究的思想，体现了数学知识的内在关联，培养学生用已知去研究未知的化归能力。

第19篇：数列极限

《数学分析》教案--第二章 数列极限

xbl

第二章 数列极限

教学目的：

1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；

2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义 证明数列极限等有关命题。要求学生：逐步建立起数列极限的 数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的 并能运用

概念.深刻理解定义证明有关命题，语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性；

教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的 用.教学时数：16学时

定义及其应

§ 1 数列极限的定义

教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。

教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的N定义及其应用。 教学时数：4学时

一、引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入——

二、讲授新课：

（一）数列：

1.数列定义——整标函数.数列给出方法: 通项,递推公式.数列的几何意义.

- 《数学分析》教案--第二章 数列极限

xbl

2.特殊数列: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列.

（二） 数列极限: 以 为例.定义 ( 的 “

”定义 ) 定义 ( 数列 收敛的“

”定义 ) 注：1.关于 ：的正值性, 任意性与确定性,以小为贵; 2.关于：非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义.

（三）用定义验证数列极限： 讲清思路与方法.例1

例2

例3

例4

证

注意到对任何正整数

时有

就有

-

- 9- 10- 11- 12- 13- 14- 15- 16- 17- 18- 19 -

第20篇：数列求

一， 数列求{an}

1,用sn求

sn=n2+n,求an

当n=1,a1=s1=2+1=2

当n≥2,an=sn-s(n-1)=2n

a1代入an，成立

∴an=2n

2,累差叠加 ， 给出递推关系，一边是可求和形式 a1=1,an-a(n-1)=n,求an

an=an-1 +n

an-1=an-2 +n-1

an-2=an-3 +n-2

.......

a3=a2+3

a2=a1+2

a1=1

∴左边相加等于a1+a2+...+an

右边相加等于a1+a2+...an-1 +1+2+3+...+n 两边消去重复得an=1+2+...+n=n(n+1)/2 3,累乘

a1=1,an/a（n-1）=n/(n+1),求an

an=n/(n+1)an-1

an-1=n-1 /n an-2

an-2=n-2 /n-1 an-3

......

a3=3/4 a2

a2=2/3 a1

a1=1

∴左边相乘等于a1a2a3...an

右边相乘等于a1a2a3...an-1 2/3.3/4.4/5.......n/(n+1) 两边消去重复得an= 2/3.3/4.4/5.......n/(n+1)=2/(n+1) 4,凑形

a1=2,an=2a(n-1) -1,求an

当n≥2,∵ an=2a(n-1) -1

∴an -1=2[a(n-1) -1]

当n=1,a1 -1=1

∴{an -1}是首项为1，公比为2的等比数列 an -1=2n-1

an=2n-1+1

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