线 性 代 数(B)试 卷----A卷
一、单项选择题(每题3分,共15分)
2,,s(s2)线性无关,2,,s线性表示,1.向量组1,且可由向量组1,
则以下结论中不能成立的是
2,,s线性无关; (A) 向量组1,
2,,s线性相关; (B) 对任一个j(0js),向量组j,
2,,s线性无关; (C) 存在一个j(0js),向量组j,
2,,s与向量组1,2,,s等价。 (D) 向量组1,a
2.设三阶矩阵Ab
b
bab
b
b ,已知伴随矩阵A的秩为1,则必有a
(A) ab且a2b0;(B) ab且a2b0;(C) a=b或a2b0;(D) ab或a2b0。3.设是n维非零实列向量,矩阵AET,n3,则___________
(A) A至少有n-1个特征值为1;(B) A只有1个特征值为1;
(C) A恰有n1个特征值为1;(D) A没有1个特征值为1。 4.设A,B为n阶方阵,且r(A)r(B),则______________
(A) r(AB)0;(B) r(AB)2r(A); (C) r(A,B)2r(A);(D) r(A,B)r(A)r(B)。 5.设A为mn实矩阵,r(A)n,则
(A) ATA 必合同于n阶单位矩阵;(B) AAT 必等价于m阶单位矩阵;
(C) ATA 必相似于n阶单位矩阵; (D) AAT 是m阶单位矩阵。
二、填空题(每题3分,共15分)
1.已知A,B为n阶方阵,1不是B的特征值,且ABABE,
则A1
(A卷)
2.若三阶方阵A有特征值 1,1,2,则行列式A12A。 3.已知实二次型f(x1,x2,x3)x124x222x322ax1x22x2x3正定,则常数a的
取值范围为________________。
2,,n是A的列向量组,行列式|A|0,其伴随 4.已知A为n阶方阵,1,
矩阵A0,则齐次线性方程组Ax0的通解为。 5.设A为n阶实矩阵,且ATA1,|A|0,则行列式 |AE|。
三、计算题(每题9分,共54分)
x1x22x30
1.线性方程组为 2x1x2ax31,问a,b各取何值时,线性方程组无解,
3x2x4xb
231
有唯一解,有无穷多解?在有无穷多解时求出其通解。
2.设3阶方阵A,B,C满足方程 C(2AB)A,试求矩阵A,其中
1
B0
0
210
OB
312,C0
01
AO
210
4
2。 1
|B|3.计算行列式|A|,,其中
nx1
n0,B
n0
n0
0200
00n10
0
0 0n
11A
1
1x
222x2
n1(n1)x
n1n1
4.已知实二次型 f(x1,x2,x3)=2x1x22x2x32x3x1,求正交变换xQy, 化f(x1,x2,x3)为标准形,并写出正交变换xQy
TT
1,0),2(1,0,1),是 5.已知A为三阶实对称矩阵,秩r(A)2,1(0,
A
对应特征值123的特征向量,试求:
(1)A的另一个特征值3及其特征向量3;(2) 矩阵A,矩阵An。
6.设R3的两个基1
11,0
21,1
212;10,20
11
1,3101
(1) 求由基 1,2,3到1,2,3的过渡矩阵P;
(2) 已知向量123,求向量在基 1,2,3 下的坐标; (3)求在基1,2,3和1,2,3下有相同坐标的所有向量。
四、证明题(每题8分,共16分)
1.设A为mn矩阵,证明:存在ns非零矩阵B,使ABO的充分必要
条件为秩r(A)n。
2.设A,B是n阶实矩阵,A的特征值互异。证明:矩阵ABBA的充分必要条件为A的特征向量都是B的特征向量。
线性代数(B)(05-06-1)期末试卷(A)参考答案
一、选择题
1.(B)2.(B)3.(C)4.(D)5.(A)
二、填空题
1.(BE)(BE)1;2.
n1
1252
;3.|a|
7/2
;
4.
k
i
i1
ji
2,,,ji,i1,2,,n-1是1,
n
的极大线性无关组;
5.|AE|0
三、计算题
1
A1.2
3
112
2a4
0110
0b
110
24a2a
0
1 b1
当a2时,方程组有唯一解
当a2,b1时,方程组无解
当a2,b1时,r(A)r(A)=2
(1,1,0)Tk(0,2,1)T,k为任意常数。
2.(2CE)ACB,A(2CE)1(CB)
1
A0
0
410
841
1
1
00
010
3100
10
410
11
41
n(n1)
3.|A|(1)
OB
AO
(
n(n1)
n(n1)
x)x
n1
,|B|n!,
(1)
n
(
n(n1)2
x)n!x
n1
。
0
4.f的矩阵A1
1
101
1
1,有特征值 121,320
A对应的线性无关的特征向量与单位正交特征向量
111111
111
20,111,31;2 31,1,1
263101021111
xyyy3
121
263
111
y1y2y3于是正交变换xQy即x2263
21
x3y2y363
化二次型为标准形fy12y222y32。
5.(1) 因为r(A)2,|A|0,所以30;设A0,由与1, 2正交,得 =k(1,0,1)T(2) 设P(1,2,3),则
3
AP0
0
030
03110P0
203
060
3
03
An
3n
P0
0
03
n
3n0
11
0P0
2n
03
0230
n
n
3
0n3
。
6.(1) 设 A(1,2,3),B(1,2,3),(1,2,3)(1,2,3)P
0
PA1B1
1/2
100
0
01/2
(2)1233,坐标 x(1,1,3)T(3) 设(1,2,3)x(1,2,3)x
0
则 ((1,2,3)(1,2,3))x1
0
101
1
1x0 1
解得x(1,1,1)T,故123k(1,0,1)T。
四、证明题
2,s都是线性方程组Ax0的解。故 (1,2,,s)1.设B,则j,j1,
ABO
方程组Ax0有非零解r(A)n。
2.必要性: 设A,则当B0时,由A(B)B(A)(B),知,B都是A对应特征值的特征向量,是A的一重特征值,,B线性相关。因此,存在常数,使B,是B的对应特征值的特征向量。
当B0时,是对应B的特征值0的特征向量。故A的特征向量都是B的特征向量。
充分性:A的特征值互异,相似于对角阵,即存在可逆阵P(1,2,,n),
1
AP使
1
P。 n
1
P。 n
1
A的特征向量都是B的特征向量,故BP
因为
1
ABP
11
BAP
11PP
n
11
1PP
n
1
P, nn
1
P,
所以ABBA。
nn