垂径定理及其推论doc

发布时间：2020-03-03 19:20:11 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

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初三数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系知识精讲

一.本周教学内容：

垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系

［学习目标］

1.理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。

2.深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。（M点是两点重合的一点，代表两层意义）

C O M A B D

3.应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。

4.弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。

5.圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。

(1)(2)(3)(4)

O A M B\' M\' A\' B

6.应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7.圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。

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二.重点、难点：

垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。

【典型例题】

例1.已知：在⊙O中，弦AB＝12cm，O点到AB的距离等于AB的一半，求：∠AOB的度数和圆的半径。

点悟：本例的关键在于正确理解什么是O点到AB的距离。

解：作OE⊥AB，垂足为E，则OE的长为O点到AB的距离，如图所示：

O A E B

OE11AB126(cm) 22 由垂径定理知：AEBE6cm

∴△AOE、△BOE为等腰直角三角形

∴∠AOB＝90°

由△AOE是等腰直角三角形

OA62，AE6

即⊙O的半径为62cm

点拨：作出弦（AB）的弦心距（OE），构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。

例2.如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a，b。

求证：AD·BDa2b2

A C E D B O

证明：作OE⊥AB，垂足为E，连OA、OC 则OAa，OCb

在RtAOE中，AEOAOE

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在RtCOE中，CEOCOE

222222 AECEOAOEOCOE 222 OA2OC2ab22

即AECEAECEa2b2

CEED,ACBD AECEAEEDAD AECEACBD

即ADBDab

点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。

例3.⊙O的直径为12cm，弦AB垂直平分半径OC，那么弦AB的长为（） A.33cm B.6cm

C.63cm

D.123cm

（2001年辽宁）

解：圆的半径为6cm，半径OC的一半为3cm，故弦的长度为 263232163(cm)

故选C。

例4.如图所示，以O为圆心，∠AOB＝120°，弓形高ND＝4cm，矩形EFGH的两顶点E、F在弦AB上，H、222222G在AB上，且EF＝4HE，求HE的长。

D H M G A B E N F O

解：连结AD、OG AOD11AOB12060 22 OA＝OD ∴△AOD为等边三角形

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∵OD⊥AN ∴NO＝ND＝4cm ∵OD＝OG＝8cm 设HEx，则MG2x，MOx4cm

在RtOMG中，由MGOMOG得：

x42x8 2222212，x24（舍去） 512 ∴HE的长为cm 5 解得：x1 点拨：借助几何图形的性质，找出等量关系，列出方程求解，这是解决几何计算题的常用方法。

例5.已知，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB8cm，OC5cm，则DC的长为（） A.3cm B.2.5cm

C.2cm

D.1cm

（2001年北京东城区）

解：OD5242

3DC532(cm)

故选C。

常见错误：将DC错算为OD，即算出OD就不再计算DC了，从而错选A。这种错误十分常见，一定要注意慎重的计算完全。

 例6.在⊙O中，AB2AC，那么（）

A.ABAC

B.AB2AC C.AB2AC

D.AB2AC

解：如图所示，连结BC。

C A B O

 AB2AC  ACBC

ACBC

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在△ABC中，AB＜AC＋BC ∴AB＜2AC 故选D。

点拨：本题考察弦、弧、圆心角之间的关系，要正确理解三者之间的关系定理。

例7.已知⊙O的半径是10cm，AB是120°，那么弦AB的弦心距是（） A.5cm B.53cm

C.103cm

53cm 2 A C B O

解：如图所示，OA10cm，∠AOB＝120°

AOC1AOB60 215(cm) 2 在Rt△ACO中，

COAO·cosAOC10 故选A。

点拨：本题考察弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系，要正确构造三角形，灵活运用。

例8.等腰△ABC的顶角A＝120°，腰AB＝AC＝10，△ABC的外接圆半径等于（） A.20 B.15 C.10 D.5

解：如图所示，连结OA、OB

A D B C O

∵AB＝AC＝10  ABAC

由垂径定理的推论，得OA垂直平分BC，垂足为D 又∵∠BAC＝120°

∴∠ABC＝∠ACB＝30°

∴∠BAO＝60°

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又∵OA＝OB ∴△AOB是等边三角形

∴半径OA＝OB＝AB＝10 故选C。

点拨：垂径定理及其推论是很重要的性质，主要解题思路是构造特殊的三角形，然后应用定理解题。

例9.点P为半径是5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P的所有弦中，长度为整数的弦一共有（） A.2条

B.3条

C.4条

D.5条

（2002年山东）

解：选C。

点拨：圆是中心对称图形，故与P点对称的点，关于中点对称有一个，关于轴对称有2个。因此，长度为整数弦一共有4条。

例10.如图所示，M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点，AB＝CD。

求证：∠AMN＝∠CNM

A C M N B D O

点悟：由弦AB＝CD，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又M、N分别为AB、CD的中点，如连结OM、ON，则有OM＝ON，OM⊥AB，ON⊥CD，故易得结论。

证明：连结OM、ON ∵O为圆心，M、N分别为弦AB、CD的中点

∴OM⊥AB，ON⊥CD ∵AB＝CD ∴OM＝ON ∴∠OMN＝∠ONM ∵∠AMN＝90°－∠OMN ∠CNM＝90°－∠ONM ∴∠AMN＝∠CNM 点拨：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题。

例11.在⊙O1与⊙O2中，分别有40°的MN和M1N1，那么：

⌒⌒ （1）MN与M1N1相等吗？

（2）∠MO1N与∠M1O2N1相等吗？

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错解：（1）因为MN与M1N1都是40°的弧 ⌒⌒ 所以MN＝M1N1 ⌒⌒ （2）MN与M1N1相等，所以∠M1O1N∠M1O2N1

常见错误：（1）误以为弧的度数相等弧亦相等，两弧相等必须是在同圆或等圆的前提下，看它们是否“重合”；（2）应该知道圆心角是角，它的大小是可以用度数来衡量的，度数相同的角就相等。可见它不受所对的弧相等与否来制约。正解：（1）不一定相等。（2）相等。

（答题时间：30分钟）一.选择题。

1.下列命题中，正确的命题是（）

A.平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦 B.平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧

C.在⊙O中，AB、CD是弦，若ACBD，则AB∥CD D.圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径

2.已知P为⊙O内一点，且OP＝3cm，如果⊙O的半径是4cm，那么过P点的最短弦等于（） A.2cm B.3cm

C.7cm

D.27cm ⌒⌒⌒⌒ 3.弓形弦长24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（） A.10 B.26 C.13 D.5

 4.在直径是10cm的⊙O中，AB为60°，则弦AB的弦心距是（）

1553cm 3cm A.103cm B. C.53cm

D.22 5.AB、CD分别为大小不同圆的弦，共AB＝CD，那么AB、CD的关系是（）  A.ABCD  C.ABCD

B.ABCD

D.不确定

二.填空题。

6.已知AB为⊙O直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，AC＝6cm，则DC＝____________。 7.直角三角形外接圆的圆心在___________，它的半径为___________一半。 8.若一个圆经梯形ABCD四个顶点，则这个梯形是___________梯形。 9.弦AB把⊙O分3：7，则∠AOB＝___________。

10.若⊙O半径是4，P在⊙O内，PO＝2，则过P点的最短的弦所对劣弧是___________度。

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11.⊙O中，弦AB垂直直径CD于点P，半径OA＝4cm，OP＝2cm，则∠AOB＝__________，∠ADC＝__________，BD度数为__________，△ADC周长为__________ cm。

三.解答题。

12.如图，⊙O的两弦AB，CD互相垂直于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径。

C A H B O D

 13.已知：如图，C为⊙O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD＝CO，若AD度数为50°，求BE的度数。

D B O C A E

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[参考答案] 一.选择题。

1.A 2.D 3.B 二.填空题。 6.3cm 7.斜边中点，斜边长 8.等腰 9.108° 10.120°

4.D