浅谈课堂教学中的问题设计
著名数学教育家波利亚曾说过：“问题是数学的心脏”，足见数学问题在数学中的重要地位.新课程标准中明确指出：“练习是数学学习的有机组成部分，是学好数学的必要条件.”练习之所以成为中学生数学活动的主要形式之一，是因为习题中存在多种功能，当学生一旦进入了解题活动情境中，他就从技能的或思维的、智力的或非智力的各个方面塑造自己.同时通过解题训练也能及时地捕捉到学生对知识的理解程度及教学目标实现与否的信息，为改进教学提供依据.那么如何才能根据教材内容设计好问题，为实现习题的多种功能服务呢？本文就该方面的教学实践谈一些浅见.
一、问题设计应在启迪思维、解决困惑上多挖掘，为顺利理解和掌握知识创造条件
学生对各种知识理解的难易程度是不尽相同的.认知心理学认为：学生在学习中之所以产生一些思维的困惑或理解的偏差，其主要原因是学生现有的认知水平还不能同化和顺应教学的内容.因而形成了思维障碍.造成了知识运用上的脱节现象，而这些又恰恰是课堂教学中应该解决的矛盾.所以教师就要善于寻找矛盾形成的原因，并以此为切入点，选取合适的习惯，设计好有针对性的问题，为学生顺利地理解知识、消除困惑、掌握基本解题技能创造条件.如在利用函数性质解题时，学生往往不注意考虑定义域，不自觉地把函数在局部区域所拥有的性质，误视为整体的性质造成解题的错误.例如 试判断函数f(x)=
4x 的奇偶性.
x6x93有学生计算f(-x)后得出f(-x)≠ f(x)，又f(-x)≠- f(x)，得出f(x)为非奇非偶函数；又有学生认为先判断分母x6x9-3≠0，∴x≠0且 x≠6，定义域关于原点不对称，当然为非奇非偶函数.事实上以上的结论是错误的，对此很多学生感到困惑不解.为了能解开学生的疑团，我让学生在定义域和解析式上再作深入的探讨.他们发现求定义域时没有考虑分子，正确的定义域应为{x∣-2≤x≤2且x≠0}是关于原点对称的，化简得f(x)=数.由于问题设计能围绕学生容易引起疏漏和产生困惑的地方展开，引导学生抓住最本质的现象进行思维，理清了思路，明确了性质的适用范围，为教学目标的达成做好了铺路搭桥的工作.
二、问题设计应在知识发生和发展的关联处深化，在探究意识上提升，为思维向更高层次推进服务
数学课本作为数学知识的载体，具有及强的逻辑性和层次性.教材中每章节的内容都是处于待定的知识结构中，知识之间的内在联系以及表述方式犹如一条链子环环相扣，任何一节的松动就会造成链子的脱节.知识之间的联系也与这相仿，.因而知识之间的关联处是学生有效理解和掌握教材内容并形成数学能力的关键部分，若处理不好，则很容易成为制约学生正确掌握教材内容的“瓶颈”，那么如何才能更好地抓住关联处设计好问题呢？我的体会是应努力探究教材中
4x，所以f(x)为奇函x潜在的思维题材加以诱导联想，探讨知识的发生和发展过程，理顺知识之间的相互联系，从而达到既深化知识，又发展能力的目的.例如 关于x的二次方程x2+2(cosθ+1)x+cos2θ=0(0≤θ
（1）若方程x2+2(cosθ+1)x+cos2θ=0有两个实根α、β，求cosθ 的取值范围；
（2） 用cosθ表示|α-β|，并求|α-β|≤22时，cosθ的取值范围； （3）同时满足（1）、（2）时的θ取值范围.虽然这样做有意将问题“复杂化”，但却符合学生的认知规律，使教学在学 生已有的认知发展水平的基础上展开.如果不分层次地进行讲解，虽然学生也能听懂，但由于学生的思维未能深入到整个解题过程之中，其结果必然是问题的情境稍加变化，一些学生又将“不识庐山真面目”形成新的思维障碍.因此若将问题设计在知识与知识的关联处，是很有利于培养学生分解剖析习题的能力，以次来诱发思维，往往能收到事半功倍的效果.
三、问题设计应有利于学生自主构建知识网络，为夯实双基，改善认知结构导航
前苏联著名心理学家维果斯基把学生的认知水平的发展分为二个阶段：第一发展水平是指“现有发展水平”，既学生接受新知识前的原有认知结构；第二发展水平称为“最近发展区”，是在原有的认知结构的基础上最易被学生同化和顺应的认知结构.问题设计不应停留在第一发展水平，而要定向在“最近发展区”，在那里寻找思维的生长点，利用现有的知识构建网络，为学生架设探索未知的桥梁.这样做才能最有效地诱发思维，以现有的知识去吸纳同化新的知识，用新的经验和要求去修正和顺应原有的认知结构，使学生在自主探究的过程中发展自己的认知水平和培养创新意识.在课堂教学中为了能更有效地发挥问题在构建知识网络中的作用，我往往采取从不同角度、不同的侧面、不同的层次设计变式问题，引导学生去分析寻找结果.当然这样训练的目的并非单纯为了让学生得出相应的结果，而是在训练中实现对知识的梳理，为构建更完善的知识网络创设条件，实现认知水平向更高的台阶迈进.例3 已知正四棱台上、下底面的边长分别为a、b,侧面与底面所成的 二面角是60°，求它的侧面积和体积.将题设改换，变题如下：
（1）将上、下底面的边长换成上、下底面的对角线为a、b， 侧面与底面的夹角是60°；
（2）将上底面边长换成棱台的高为a，下底面边长为b, 侧面与底面的夹角是60°；
（3）上、下底面的边长分别为a、b，,将侧面与底面所成的角换成侧棱与底面所成的角是60°；
（4）将正四棱台换成正三棱台或正六棱台；
（5）如果是任意四棱台应增加哪些条件才能计算出相应的结果.通过这样多侧面地设计问题，学生对如何分解几何体，寻找相应的几何量，确定计算方案就更加得心应手了.当然问题设计必须根据教学目标和学生的认知实际循序渐进，掌握好度，不追求形式，从实际效果出发，形成知识的正迁移.因此问题设计在“最近发展区”的好处在于让学生通过切实可行的思维训练，加深对基本概念的理解和基本技能的培养，为认知结构的升迁导航.
四、问题设计应积极诱发学生发现新问题，提出新见地，形成具有方向性、选择性、创造性的学习行为习惯
应该说我国中学生的数学基础水平是远远地超过世界上较多国家的，可是我们的中学生大多数仅满足于解答现有的问题，对学习中如何提出具有创见性问题的意识是很淡薄的，显然这种状况对学生创新精神的形成是不利的.因此问题设计应留有让学生自主开拓的空间，让他们在解决问题的过程中又能发现新问题，提出新见地.在问题解决的学习活动中调动他们的积极性、培养参与意识、激励“胜任动机”、萌发“成就感”，以逐步形成具有方向性、选择性和创造性的学习行为习惯.在学习圆锥曲线的第二定义时，有学生提出既然可以根据动点到一个定点和一条定直线距离的比的变化得出不同的圆锥曲线，那么能不能将定点和定直线改换成其它的几何元素，从而得出一些新的曲线的轨迹方程呢？这是一个极富有创新意识的设想，但由于学生认知水平的局限，有些问题当前暂无法解决，为此我设计了如下的一组问题：
(1)点M(x,y)到两个定点M1 和 M2 距离的比是一个正数m,求M点的轨
迹方程,并说明轨迹是什么图形(考虑m=1和m≠1两种情况)(新教材《数学》第二册(上)88页第19题).(2)已知一条直线上两点M1(x1,y1) M2(x2,y2),点M(x,y)分有向线段M1M2所成 的比为参数λ,写出参数方程(新教材《数学》第二册(上)88页第21题).(3)已知点M1(x1,y1)和点 M2(x2,y2)之间的距离是2r,动点M(x,y)到一定点M1(x1,y1)的距离等于到定圆(M2(x2,y2)为圆心,半径为r)的最短距离,求动点M的轨迹方程.(4)l是定直线,F是直线l外的一个定点,点F到直线l的距离为p(p>0),点
FN1M在直线l上滑动,动点N在MF的延长线上,且满足条件=,求动点N的
MNMF轨迹方程.xyxy(5)已知椭圆+=1, 直线l:+=1,P是直线l上一点,射线OP交椭2416128圆于点R,又点Q在OP上且满足│OQ│·│OP│=│OR│2.当点P在直线l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线(1995年全国高考理科第26题).当然我们还可以设计更多的问题,编制一定的问题序列,以深化对知识的理解.思维的起点是质疑,而探究是诱发思维的源泉.如果问题设计恰当,学生的思维就愈容易激活,学生的积极性\\参与性就越高.而学生主动意识的强弱则取决于问题内涵与学生自身需求之间的相容性.一般地说在教学目标既定的情况下,能把握知识迁移的方向,巧妙地设计好问题,就越能引发学生的好奇心和创新意识,把课堂教学搞活搞实.问题设计是调动学生主动性,改善课堂教学环境的重要手段,也是课堂教学中如何体现”以人为本”实现数学教学的素质功能的一个方面.诚然课堂教学中的问题设计是一个很大的课题,还有待不断改进和发展.
