1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 三角形ABC，E、F是AC，AB的中点。EB、FC交于O。 证明：过F作FH平行BE。 ∵AF=BF且FH//BE ∴AH=HE=1/2AE（中位线定理）
又∵ AE=CE ∴HE=1/2CE ∴FO=1/2CO（⊿CEO∽⊿CHF）
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 证明方法：
在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA
1、BOB
1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高H1，H可知OH1=1/3AH 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形） 证明方法：
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 =3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时
上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数， 即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；
空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（z1+z2+z3）/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。
已知A,B,C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若向量OA+向量OB+向量OC=O.求证：O是△ABC的重心
设BC中点为D（后面说的都是向量），所以OB＋OC＝2OD，因为OA＋OB＋OC＝0，所以OA＋2OD＝0，所以OA＝－2OD，即O,A,D三点共线，所以APD所在直线为BC边中线。同理可证另外两条。综上，所以O为三角形重心。（PS，重心是三条中线交点）
7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
8、相同高三角形面积比为底的比，相同底三角形面积比为高的比。 证明方法： ∵D为BC中点， ∴BD=CD, 又∵h△ABD=h△ACD，h△BOD=h△COD， ∴S△ABD=S△ACD，S△BOD=S△COD， 即S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD, ∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE。 同理，∵E为AC中点，
∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD。 ∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD。
又∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF/S△AOE+S△COE, 即S△BOF=S△AOF。 ∴BF=AF，
∴CF为AB边上的中线，
即三角形的三条中线相交于一点。
