教学简案
【课
题】圆的一般方程 【教学目标】
1、知识目标:(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心和半径,掌握方程x2y2DxEyF0表示圆的条件;
(2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程,能用待定系数法求圆的方程。
(3)利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。
2、能力目标:通过对方程x2y2DxEyF0表示圆的条件的探索,培养学生探索、发现及分析解决问题的实际能力。
3、情感目标:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索。
【教学重点】圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F。
【教学难点】对圆的一般方程的认识、掌握和应用。 【教学方法】讲授法,分析法。 【教学用具】多媒体辅助教学 【教学流程】
一、情景创设 问题1:
在平面直角坐标系中,以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程是什么?
1 问题2:
将圆的标准方程展开整理后,能发现哪些特征?(寻找新知识的生长点)
结论:(多媒体显示)
将(xa)2(yb)2r2 展开得x2y22ax2bya2b2r20,我们发现任何圆都能表示为一个具有以下特征的x,y的二次方程:
(1)x2和y2项的系数同为1;
(2)不出现交叉乘积的二次项xy。
问题3:
x2y22x4y60是圆的方程?若是,写出圆心坐标和半径;若不是,则说明理由
二、探索研究
二元二次方程x2y2DxEyF0表示圆的条件是什么?
(创设一种鼓励的宽松的氛围,让学生充分发表自已的观点,教师适当引导。)
二元二次方程x2y2DxEyF0,通过配方后可以化为
D2E2D2E24F (x)(y)
224(1)当D2E24F0时,方程表示以(为半径的圆;
DE1,)为圆心,D2E24F222(2)当D2E24F0时,方程表示一个点(DE,); 22(3)当D2E24F0时,方程没有实数解,因而方程不表示任何图形。 板书:圆的一般方程:x2y2DxEyF0(D2E24F0)
2 指出:(1)圆心(DE1,),半径D2E24F; 222 (2)圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆心和半径,而一般方程突出了方程形式上的特点;
(3)给出圆的一般方程,会写出它的圆心和半径;若给出相关条件,则能求出圆的方程。
三、应用举例
例
1、判断下列方程是否表示圆,如果是,并求出各圆的半径和圆心坐标:
(1)x2y26x0;
(2)2x22y24x8y120;
(3)2x22y24x8y100; (4)x2y26x100;
(5)x22y24x8y10。
(解略)
例
2、求以O(0,0),A(1,1),B(4,2)为顶点的三角形的外接圆方程,并求出它的圆心和半径。
(分析:应用圆的一般方程x2y2DxEyF0,将已知三点的坐标代
入这个方程,得到一个三元一次方程组,解这个三元一次方程组,即可求得
圆的一般方程,对圆的一般方程配方即可求半径长和圆心坐标。同时,将这
种求圆的一般方程的方法称为“待定系数法”。)
四、课内练习
1、判定下列方程中,哪些是圆的方程?如果是,求出它们的圆心和半径:
(1)2x22y24x50;
(2)x2y23x4y120;
3 (3)x22y24x2y50;
(4)x22y24x2y1;
(5)3x24xy(x2y)24
2、求过三点A(2,2),B(5,3),C(3,-1)的圆的方程。
五、课内拓展
若圆x2y2DxEyF0与y轴相切于原点,则D,E,F应满足什么条件?若圆与y轴相切呢?
学生讨论,各抒已见,相互补充,完善结论。
我们还可以继续探究:如当圆与x轴相切;过原点;原点在圆内;等等情况时,系数D、E、F应满足的条件。
八、归纳小结
(教师引导,由学生总结一节课的收获,然后显示幻灯片同时教师总结。)
五、布置作业
(1)课堂作业:《数学指导用书》第25页课外习题1(1)(2)(3)(4)、
2、4。 (2)课外作业:《数学指导用书》第26页课外习题
5、
6、7。