高三数学总复习立体几何复习(1)
一、基本知识回顾
(1)重要的几何位置关系；平行与垂直。主要包括线线、线面、面面三种情况。证明的基本思路：一般情况下，利用判定定理。而构造满足判定定理的条件时一般采用性质定理，即利用性质定理逆推来寻找满足判定定理的条件(关键图形)。一般的思路是：线线←→线面←→面面，即高维的位置关系借助低维的位置关系来证明(判定)，低维位置关系作为高维位置关系的性质。下面列表说明证明的一般方法。(需要说明的是，表中的性质定理并不是该表格所判定的位置关系的性质定理。如表1中的性质定理并不仅限于线线平行的性质。)
①线线平行的判定：
平行公理
性质定理
②线面平行的判定：
判定定理
性质定理
③面面平行的判定；
判定定理
性质定理
线面平行
面面平行
④线线垂直的判定：
判定定理
性质定理
⑤线面垂直的判定：
判定定理
性质定理
⑥面面垂直的判定：
判定定理
总结：从中可以看出，一般情况下，往往借助一些“性质定理”来构造满足“判定定理”的条件。
(2)还会考查到的位置关系：异面直线的判定。
判定方法：定义(排除法与反证法)、判定定理。
二、基本例题
例1 已知：
分析：利用线面平行的性质与平行公理。注意严格的公理化体系的推理演绎。
说明：过l分别作平面
∴l∥m同理l∥n
∴m∥n
又
又
例2.已知：AB是异面直线a、b的公垂线段，P是AB的中点，平面AB垂直，设M是a上任意一点，N是b上任意一点。
经过点P且与
求证：线段MN与平面的交点Q是线段MN的中点。
分析：利用线线平行、线面平行的性质。
证明：连结BM，设
，连结PR，QR
在平面ABM中，AB⊥PR，AB⊥AM
∴AM∥PR，
同理可证
∵BNÌ平面BMN且平面
且R为BM中点
∴BN∥RQ
△BMN中，由R为BM中点可知Q为MN中点。
例3.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点。
(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD
分析：利用性质定理来构造满足判定定理的条件。
(1)法一：取PD中点E，连结NE，AE
∴△PCD中NE，又AM，∴AMNE
∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE
∴MN∥平面PAD
法二：连结CM并延长与DA延长线交于F，连结PF
∴M为CF中点，∴MN∥PF，∴MN∥平面PAD
法三：取CD中点G，连结NG，MG
∴NG∥PD，MG∥AD，∴平面AD∥平面MNG
∴MN∥平面PAD
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD
由(1)知CD⊥AE(或PF)，∴CD⊥MN
[或CD⊥平面MNG，∴CD⊥MN]
例4.已知：正三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1上一点，平面AMC1⊥平面A1ACC1，N是A1C1的中点，P是A1A的中点，求证：平面AMC1∥平面B1NP
证明：在平面AMC1中作MD⊥AC1
∴MD⊥平面ACC1A1
由正三棱柱的性质，B1N⊥平面ACC1A1
∴MD∥B1N
又△A1AC1中，DN∥AC1且AC1∩MD=D，DN∩B1N=N
∴平面AMC1∥B1NP
例5 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD。过A且垂直于PC的平面分别交PB、PC、PD于E、F、G。求证：AE⊥PB，AG⊥PD
分析：利用线面垂直的性质。
证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC
由已知BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE ∵PC⊥平面AGFE，∴PC⊥AE
∴AE⊥平面PBC
∴AE⊥PB，同理AG⊥PD
例6.已知：三棱锥A-BCD，AO1⊥平面BCD，O1为垂足，且O1是△BCD的垂心。求证：D在平面ABC上的射影是△ABC的垂心。
分析：利用线面垂直的性质。
证明：连结DO1，AO1设D在平面ABC内的射影为O2，
连结DO2，AO2，
∵AO1⊥平面BCD，∴DO1为AD在平面BCD内射影
同理AO2为AD在平面ABC内射影
∵O1为BCD的垂心 ∴DO1⊥BC ∴BC⊥AD ∴BC⊥AO2同理AB⊥CO
2∴O2为△ABC的垂心
例7已知：正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥BC1，求证：A1C⊥AB1
分析：三垂线定理的逆定理的应用(线面垂直的性质)
证明：取AB、A1B1中点DD1，连结A1D，CD，C1D1
由正三棱柱的性质C1D1⊥平面ABB1A1，CD⊥平面ABB1A1，
∴A1D、BD1分别为A1C与BC1在平面ABB1A1内的射影
∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥BD1。
在矩形ABB1A1中A1D∥BD1，∴AB1⊥A1D ∴AB1⊥A1C
例8 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点。
求证：平面MND⊥平面PCD。
证明：取PD中点E，连结NE、AE 由例3，MN∥AE，CD⊥MN，CD⊥平面PAD ∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥AD ∴等腰Rt△PAD中AE⊥PD Rt△PCD中NE∥CD，∴NE⊥PD ∴PD⊥平面MNEA，∴PD⊥MN ∴MN⊥平面PCD ∴平面MND⊥平面PCD
