航空公司的费用及利润问题

一：题目：航空公司的费用及利润问题的模型

二：问题描述和分析：一架客机飞行一次的总费用主要为燃料费，飞行员、机上工作人员、地勤人员等的工资，收入就来自乘客所付的机票。航空公司当然希望飞机能够满座。那么订票策略至关重要。由于不同的订票策略会对航空公司最终的利润有较大影响，所以根据题目所给的背景分析，我们首先建立了模型假设，而后根据不同的问题分别确立模型的数学的函数表达式及其计算过程，并对模型的数学的函数表达式的可行性进行了检验，确认其具备计算的可能，最后给出数学的函数表达式及其计算结果的分析与建议。当然由于我们小组对航空公司的其他服务项目的收费不清楚且无法得知航空公司运行的相关数据，所以无法做出绝对的定量结论，以下论述为符合一般情况下的结论。在函数表达式的计算过程中，我们调用了matlab函数库中的binopdf函数对问题进行计算求解，得到了比较理想的结果。

当前金融危机冲击了航空公司，乘客数在减少。但航空公司为了保住赢利，决定扩大业务员队伍，这些业务员专跑各类企业、各种事业单位去预订飞机票，拉人坐飞机。一架客机飞行一次的总费用主要为燃料费，飞行员、机上工作人员、地勤人员等的工资，收入就来自乘客所付的机票。航空公司当然希望飞机能够满座。那么订票策略至关重要。试就下列三个问题建立数学模型：问题1：在乘客非满座的情况下，建立航空公司的利润模型，并回答什么时候将赔钱。问题2：在预订的飞机票数刚好等于座位数时就停止订票，假定持全价机票的旅客允许迟到，可以改签机票坐下一趟航班，而持打折机票的旅客不能改签，只能作废。建立航空公司的利润模型。问题3：在预订的飞机票数超过座位数时继续订票，简称超订，可能有一部分旅客由于满员而不能乘坐飞机，这时航空公司就要付出一定的赔偿费。建立航空公司的利润模型。试就飞机容量为200座，旅客未到的可能性为0.05，有百分之六十的乘客率航空公司就不赔钱，且超订的赔偿费是票价的20%时，计算什么时候航空公司期望利润最大？ 三：建立数学模型

（1）航班的飞行成本n与乘客数无关，某航空公司的利润Q只与成本及收入相关，与其他因素无关，飞机的最大容量为N.(2)在某一次飞行中，记t取消登机的人数，该事件发生的概率为Pt.(3)此问题中不考虑因机舱的分类不同而导致的票价不同的现象，票价规定为平均值s，预定乘客登机概率为p.(4)某一次航班的订票总张数为x,由于航班超定被拒绝登机的乘客的补偿费为每人d元.(5) Ns=n,其中为登机率。

3.1在乘客非满座的情况下，建立航空公司的利润模型，并回答什么时候将

赔钱。

(1) Pt=C(1p)ptxtxt

P=1 tP=x（1-p）

ttxxt0t0 Q=txN1[(xt)sn]P tx

=xs P-xsP+stP-stP+nP-nP ttxxNt0xNt0xxNt0xttttt0t0t0xN

=xs+(st+n-xs) P-sx(1-p)-n

tt0xN

= xs+(st+n-xs) P-xs+pxs-n

tt0xN

=pxs+(st+n-xs) P-n

tt0Q1=[px+(t+N-x) nNxNpxtx]-1=+(+1) PtNNt0xNxNt0P-1

txNt013.1.1计算模型：=[px+(t+N-x) NnQpxtx]-1=+(+1) PtNNt0P-1

t四：程序编写：

在此基础上采用matlab工具箱中的函数，在最后对求解结果进行分析验证

（a） 计算过程：（注释：=0.6; N=200;P=0.95） （b）

>>b=0;

>>for t=0:x-200

E=binopdf(t,x,0.05);

F=(t-x)/120+1；

G=E*F;

b=b+G;

end

>>Q=0.95*x/120+b-1 n五：程序调试：

Q计算结果： x-115: n:

0

-0.0896

-0.0817

-0.0738

-0.0658

-0.0579

-0.0500

-0.0421

-0.0342

-0.0262

-0.0183

-0.0104

-0.0025

0.0054

0.0133

0.0212

15 16 17 18

0.0292 0.0371 0.0450 0.0529 0.0608 作图的坐标表示：

>> x=[115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135]; >>y=[-0.0896 -0.0817 -0.0738 -0.0658 -0.0579 -0.0500 -0.0421 -0.0342 -0.0262 -0.0183 -0.0104 -0.0025 0.0054 0.0133 0.0212 0.0292 0.0371 0.0450 0.0529 0.0608 0.0688]; plot(x-115,y),xlabel(\'x-115\'),ylabel(\'得到图像：

QQ\'),grid on,title(\'售票数x与的关系图像1\') nn

图（1-1）

3.2在预订的飞机票数刚好等于座位数时就停止订票，假定持全价机票的旅客允许迟到，可以改签机票坐下一趟航班，而持打折机票的旅客不能改签，只能作废。建立航空公司的利润模型。

(2)持全票c人，未登机为 g人；持打折票 [折率k(0

Q=(cg)sPd0c(g)+

(xc)ksPe0xc(e)

=cs-sc(1-p)+(x-c)ks

=csp+(x-c)ks Qs=[cp+(x-c)k] nn1[pc+(x-c)k] N

=3.2.1计算模型：Qs=[cp+(x-c)k] nn

=1[pc+(x-c)k] N四：编写程序：在此基础上采用matlab工具箱中的函数，在最后对求解结果进行分析验证

（a）计算过程：(注释：C1与C2为持全票人数的范围，通过不同的范围取值来模拟变化情况；令k1=(x-c)/c, 通过k1不同的范围取值来模拟变化情况;k为打折率，暂定为0.85)

>>for c=C1:C2

A=0.95*c+k1*c*k

end 五：程序调试：

0.0688问题二的计算过程：>> for c=50:100 A=0.95*c+1*c*0.85 end A = 90 A = 91.8000 A = 93.6000 A = 95.4000 A = 97.2000 A = 99.0000 A = 100.8000 A = 102.6000 A = 104.4000 A = 106.2000

A = 108.0000 A = 109.8000 A = 111.6000 A = 113.4000 A = 115.2000 A = 117.0000 A = 118.8000 A = 120.6000 A = 122.4000 A = 124.2000

A = 126.0000 A = 127.8000 A = 129.6000 A = 131.4000 A = 133.2000 A = 135.0000 A = 136.8000 A = 138.6000 A = 140.4000 A = 142.2000 A = 1440.0000 A = 145.8000 A = 147.6000 A = 149.4000 A = 151.2000 A = 153.0000 A = 154.8000 >> for c=50:100 A=0.95*c+0.8*c*0.85 end A = 81.5000 A = 83.1300 A = 84.7600 A = 86.3900 A = 88.0200 A = 89.6500 A = 91.2800 A = 92.9100 A = 94.5400 A = 96.1700 A = 97.8000 A = 99.4300 A = 101.0600 A = 102.6900 A = 104.3200 A = 105.9500 A = 107.5800 >> for c=50:100 A=0.95*c+0.6*c*0.85 end A = 73.0000 A = 74.4600 A = 75.9200 A = 77.3800 A = 78.8400 A = 80.3000 A = 81.7600 A = 83.2200 A = 84.6800 A = 86.1400 A = 87.6000 A = 89.0600 A = 90.5200 A = 91.9800 A = 93.4400 A = 94.9000 A = 96.3600 >> for c=50:100 A=0.95*c+0.4*c*0.85 End

A = 156.6000 A = 158.4000 A = 160.2000 A = 162.0000 A = 163.8000 A = 165.6000 A = 167.4000

A = 109.2100 A = 110.8400 A = 112.4700 A = 114.1000 A = 115.7300 A = 117.3600 A = 118.9900 A = 120.6200 A = 122.2500 A = 123.8800 A = 125.5100 A = 127.1400 A = 128.7700 A = 130.4000 A = 132.0300 A = 133.6600 A = 135.2900 A = 97.8200 A = 99.2800 A = 100.7400 A = 102.2000 A = 103.6600 A = 105.1200 A 106.5800 A = 108.0400 A = 109.5000 A = 110.9600 A = 112.4200 A = 113.8800 A = 115.3400 A = 116.8000 A = 118.2600 A = 119.7200 A = 121.1800 A = 169.2000 A = 171.0000 A = 172.8000 A = 174.6000 A = 176.4000

A = 178.2000 A = 180.0000

A = 136.9200 A = 138.5500 A = 140.1800 A = 141.8100 A = 143.4400 A = 145.0700 A = 146.7000 A = 148.3300 A = 149.9600 A = 151.5900 A = 153.2200 A = 154.8500 A = 156.4800 A = 158.1100 A = 159.7400 A = 161.3700 A = 163

A = 122.6400 A = 124.1000 A = 125.5600 A = 127.0200 A = 128.4800 A = 129.9400 A = 131.4000 A = 132.8600 A = 134.3200 A = 135.7800 A = 137.2400 A = 138.7000 A = 140.1600 A = 141.6200 A = 143.0800 A = 144.5400 A = 146.0000 A = 64.5000 A = 65.7900 A = 67.0800 A = 68.3700 A = 69.6600 A = 70.9500 A = 72.2400 A = 73.5300 A = 74.8200 A = 76.1100 A = 77.4000 A = 78.6900 A = 79.9800 A = 81.2700 A = 82.5600 A = 83.8500 A = 85.1400 >> for c=101:150 A=0.95*c+1/3*c*0.85 end A = 124.5667 A = 125.8000 A = 127.0333 A = 128.2667 A = 129.5000 A = 130.7333 A = 131.9667 A = 133.2000 A = 134.4333 A = 135.6667 A = 136.9000 A = 138.1333 A = 139.3667 A = 140.6000 A = 141.8333 A = 143.0667 A = 144.3000 >> for c=50:100 A=0.95*c+1/4*c*0.85 end A = 58.1250 A = 59.2875 A = 60.4500 A = 61.6125 A = 62.7750 A = 63.9375 A = 65.1000 A = 66.2625 A = 67.4250 A = 68.5875

A = 86.4300 A = 87.7200 A = 89.0100 A = 90.3000 A = 91.5900 A = 92.8800 A = 94.1700 A = 95.4600 A = 96.7500 A = 98.0400 A = 99.3300 A = 100.6200 A = 101.9100 A = 103.2000 A = 104.4900 A = 105.7800 A = 107.0700

A = 145.5333 A = 146.7667 A = 148.0000 A = 149.2333 A = 150.4667 A = 151.7000 A = 152.9333 A = 154.1667 A = 155.4000 A = 156.6333 A = 157.8667 A = 159.1000 A = 160.3333 A = 161.5667 A = 162.8000 A = 164.0333 A = 165.2667

A = 69.7500 A = 70.9125 A = 72.0750 A = 73.2375 A = 74.4000 A = 75.5625 A = 76.7250 A = 77.8875 A = 79.0500 A = 80.2125 A = 108.3600 A = 109.6500 A = 110.9400 A = 112.2300 A = 113.5200 A = 114.8100 A = 116.1000 A = 117.3900 A = 118.6800 A = 119.9700 A = 121.2600 A = 122.5500 A = 123.8400 A = 125.1300 A 126.4200 A = 127.7100 A = 129.0000

A = 166.5000 A = 167.7333 A = 168.9667 A = 170.2000 A = 171.4333 A = 172.6667 A = 173.9000 A = 175.1333 A = 176.3667 A = 177.6000 A = 178.8333 A = 180.0667 A = 181.3000 A = 182.5333 A = 183.7667 A = 185.0000

A = 81.3750 A = 82.5375 A = 83.7000 A = 84.8625 A = 86.0250 A = 87.1875 A = 88.3500 A = 89.5125 A = 90.6750 A = 91.8375 A = 93.0000 A = 101.1375 A = 109.2750 A = 94.1625 A = 102.3000 A = 110.4375 A = 95.3250 A = 103.4625 A = 111.6000 A = 96.4875 A = 104.6250 A = 112.7625 A = 97.6500 A = 105.7875 A = 113.9250 A = 98.8125 A = 106.9500 A = 115.0875 A = 99.9750 A = 108.1125 A = 116.2500 >> for c=50:100 A=0.95*c+1/5*c*0.85 end A = 56.0000 A = 75.0400 A = 94.0800 A = 57.1200 A = 76.1600 A = 95.2000 A = 58.2400 A = 77.2800 A = 96.3200 A = 59.3600 A = 78.4000 A = 97.4400 A = 60.4800 A = 79.5200 A = 98.5600 A = 61.6000 A = 80.6400 A = 99.6800 A = 62.7200 A = 81.7600 A = 100.8000 A = 63.8400 A = 82.8800 A = 101.9200 A = 64.9600 A = 84.0000 A = 103.0400 A = 66.0800 A = 85.1200 A = 104.1600 A = 67.2000 A = 86.2400 A = 105.2800 A = 68.3200 A = 87.3600 A = 106.4000 A = 69.4400 A = 88.4800 A = 107.5200 A = 70.5600 A = 89.6000 A = 108.6400 A = 71.6800 A = 90.7200 A = 109.7600 A = 72.8000 A = 91.8400 A =110.8800 A = 73.9200 A = 92.9600 A =112.0000 3.3在预订的飞机票数超过座位数时继续订票，简称超订，可能有一部分旅客由于满员而不能乘坐飞机，这时航空公司就要付出一定的赔偿费。建立航空公司的利润模型。

(x-t)s-n

x-tN QtNs-n-(x-t-N)d

x-t>N

某次飞行的实际平均利润 {P=1 tP=x（1-p） ttxxt0t0Q=PQ ttt0bxN

1=PtQtt0txNPtQt

P[(xt)sn]

txxxN1

=Pt[Nsn(xtN)d]t0txNxN1

=P[NsnxdtdNd]P[xstsn] ttt0txNx

=(xs-n) Pt-stPt+P[(Nxt)s(xtN)d]

tt0xxxN1t0t0记tPt=t，表示未登机人数的期望值，

t0xxN1t0

Q=xs-n-st-(s+d) (xtn)P

txN1t0=(x-t)s-n-(s+d) (xtN)P

t

一、我们可以通过代入特殊值来验证此模型的合理性：

Pt=0 ， P0=1 ， t1 显然，此时的t=0 ，则Q=Ns-n

(1) 由前利润模型得 Q=Ns-n-(x-t-n)d

=Ns-n-(x-N)d

x仅当x=N时，利润最大化

Qma=Ns-n

这与（1）式所得结果相同 

二、订票者实际登机的人数服从二项分布，因此x个订票者中有a个登机的概率为

t

Pt=CxPxt(1p)t

xN1t0

t=x(1-p) , Q=xsp-n- (s+d)

设=n(xNt)P

tNs , =ds

,记

QxN11

n =[px(1)Pt(xNt)]-1

(2) Nt0

而此时，式中N=200 ,P=1-0.05=0.95 ,d=2000s 四：编写程序：

在此基础上采用matlab工具箱中的函数，在最后对求解结果进行分析验证

（a）计算过程：>>a=0;

>>for t=0:x-201

A=binopdf(t,x,0.05);

B=x-t-200;

z=A*B;

a=a+z;

end

>>五：程序调试： Q=(0.95*x-1.2*a)/120-1 nQx-200: n: 0

0.5833 1

0.5912 2

0.59923

0.6149 5

0.6226 6

0.6300 7

0.6369 8

0.6431 9

0.6483 10

0.6524 11

0.6554 12

0.6573 13

0.6582 14

0.6584 15

0.6579 16

0.6571 17

0.6559 18

0.6546 19

0.6531 20

0.6562 21

0.6501 22

0.6485 23

0.6469 24

0.6453 25

0.6437 27

0.6406 28

0.6390 29

0.6374 30 0.6358

作图的坐标表示：

>> x=[200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230]; >>y=[0.5833 0.5912 0.5992 0.6071 0.6149 0.6226 0.6300 0.6369 0.6431 0.6483 0.6524 0.6554 0.6573 0.6582 0.6584 0.6579 0.6571 0.6559 0.6546 0.6531 0.6516 0.6501 0.6485 0.6469 0.6453 0.6437 0.6422 0.6406 0.6390 0.6374 0.6358]; plot(x-200,y),xlabel(\'x-200\'),ylabel(\'Q/n\'),grid on,title(\'售票数x-200与Q/n的关系图像3\') 得到图像：

（图1-3）

六：关于航空公司的费用及利润问题模型的总结

1.函数的设计根据“利润总额=营业利润+营业外收入-营业外支出“的原则提出，但在计算过程中忽略了部分对结果影响较小的因素，即简化了运算过程的复杂性，但由于缺乏具体的相关数据，如飞行员与乘务员的工资制定标准与乘客数的关系，油价的变化与时间的关系，航空公司是否参与其他的金融投资等等因素，最终运算的结果可以作为一种参考

2.利用matlab工具箱对模型进一步求解，得到了比较理想的结果。Matlab提供了丰富的函数库，可以为我们提供很多的方便，同时精确度高，可以借鉴。通过matlab提供的函数进行求解，并对结果进行评价，是一种很好的建模方法。

3.在建模活动中，可以通过很多方法相结合的方式对对象进行建模，但由于现在的能力有限并未学得其他的方法，总体说来，最好是可以通过不同模型的结果比对，这样更为科学，可以得出更为理想的结果。 七：参考文献：

[1] 谢云荪, 张志让等.数学实验.科学出版社,1998.[2] 陈恩水,王峰.数学建模与实验.北京: 科学出版社,2007.

利润问题

收入、费用和利润

利润和所得税费用试题

财务会计教案：第十一章收入、费用及利润!

二次函数利润问题

航空公司标志及缩写

第十一章 收入、费用和利润练习题

第十一章收入,费用和利润练习题

留美费用问题

医疗费用问题

《航空公司的费用及利润问题.doc》

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