赋值法证明不等式

发布时间：2020-03-03 17:58:22 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

赋值法证明不等式的有关问题

1、已知函数f(x)=lnx

（1）、求函数g(x)(x1)f(x)2x2(x1)的最小值；

（2）、当0

222a(ba).a2b

22、已知函数f(x)=xlnx, g(x)= axx(aR)

(1)求函数f(x)的单调区间和极值点；

(2)求使f(x)g(x)恒成立的实数a的取值范围；

(3)求证：不等式ln(e1)nn1(nN)恒成立 ne

3、设函数f(x)axn(1x)b (x0),n为正整数,a,b为常数.曲线yf(x)在(1,f(1)) 处的切线方程为xy1.(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)求函数f(x)的最大值;

(Ⅲ)证明:f(x)1 ne

4、已知函数f(x)=lnx-x+

1（1）、求函数f(x)的最大值；

111ln(1n),n.23n

2x

5、已知函数f(x)=alnx1, x1（2）、求证： 1

（1）、若函数f(x)在单调递增，求实数a的取值范围；

12lnx12x4,x2; x

111111（3）、求证：lnn1(nN,n2) .462n2n1（2）、当a=2时，求证：1

6、已知函数f(x)eax1(a0)

（1）求f(x)得最小值；

（2）若f(x)0对任意的xR恒成立，求a的取值范围； x

e12n1n（3）在（2）的条件下，证明：（其中nN） nnnne1

8、已知函数f(x)=eaxa, xnnnn

（1）、若a0,f(x)0对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。

（2）、设g(x)f(x)a，且A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)是曲线yg(x)上任意两点，xe

若对于任意的a1，直线AB的斜率恒大于常数m，求实数m的取值范围。

(3)、求证：135(2n1)

2、已知函数f(x)(xa)7blnx1,其中a，b是常数，且a0，

（1）若b1时，f(x)在区间上单调递增，求a的取值范围； 2nnnn(2n)n(nN).e

14a

2（2）当b时，讨论f(x)的单调性； 7

（3）设n是正整数，证明ln(1n)(1

5、已知函数f(x)=xlnx-axx(aR)

(1)若函数f(x)在处取得极值，求a的值；

(2)若函数f(x)的图像在直线的图像的下方，求a的取值范围；

(3)求证：ln(234n)n1(nN).

。

解:(Ⅰ)因为f(1)b,由点(1,b)在xy1上,可得1b1,即b0.

因为f(x)anxn1a(n1)xn,所以f(1)a.

又因为切线xy1的斜率为1,所以a1,即a1.故a1,b0.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)xn(1x)xnxn1,f(x)(n1)xn1(

令f(x)0,解得x

在(0,nx).n12n27111111)7(1).22223n23nnn,即f(x)在(0,)上有唯一零点x0.n1n1n)上,f(x)0,故f(x)单调递增;n1

n,)上,f(x)0,f(x)单调递减.n1而在(

nnnnnn

故f(x)在(0,)上的最大值为f(.)()(1)n1n1n1(n1)n1

111t1(t0),则(t)2=2 (t0).tttt

在(0,1)上,(t)0,故(t)单调递减;

而在(1,)上(t)0,(t)单调递增.(Ⅲ)令(t)lnt1+

故(t)在(0,)上的最小值为(1)0.所以(t)0(t1),1即lnt1(t1).t

令t11n11n1n1,得ln,即ln()lne,nnn1n

nn1n1n1所以(.)e,即(n1)n1nen

nn1由(Ⅱ)知,f(x),故所证不等式成立.(n1)n1ne

已知函数f(x)alnxax3.(aR)

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若函数f(x)在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为450，且方程f(x)m至少有一个实根，

求实数m的取值范围；

（3）求证：ln2ln3lnn1(n2,nN).23nn

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