16.4角的平分线 第一课时
桐城市孔城初级中学 王冬
教学目标
1．掌握作已知角的平分线的方法
2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
3.在探讨作角平分线的方法及角平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神．
教学重点 角平分线的性质及其应用． 教学难点 灵活应用两个性质解决问题．
教学过程
一．创设情境，引入新课
拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？
揭示并板书课题：角的平分线
二．新课探究
思考：如何使用尺规作角平分线？作∠AOB的平分线 画法：
1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M,交OB于点N．
2.分别以M，N为圆心，大于1/2MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
3.作射线OC．
师演示后学生动手画角的平分线
把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线，，再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．利用这种方法我们可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．
由此你能得出什么样的结论．
画一画：
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？ 师投影出下面两个图形，让学生评一评，哪一个是对的？
结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．
问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？
[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．
问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．
∴PD=PE．
于是我们得角的平分线的性质： 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）
问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
[生讨论]已知条件符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠POE=∠POD．
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．
∵PD⊥OB，PE⊥OA，垂足为D、E，且PD=PE ∴OP是∠AOB的角平分线
由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
这两个性质有什么联系吗？
分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换． 思考：
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？
2．比例尺为1：20000是什么意思？ 结论：
1．应该是用第二个性质．•这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．
2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表示实际距离200m的意思．作
图如下：
第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP． 第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．
总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明
三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．
三．例题与练习
例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P． 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：
PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．
因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上． 所以PD=PE． 同理PE=PF． 所以PD=PE=PF．
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等． 练习：课本P137练习
1、2题．
强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．
四．课时小结
这节课你有哪些收获？（学生谈后师补充）
强调条件：
1、点在角平分线
2、存在到角两边的距离 结论：距离相等 反之得到性质2
五．课后作业
课本P138习题
1、
2、3题
