“哥德巴赫猜想”讲义
（第14讲） “哥德巴赫猜想”证明（9）
主讲王若仲
第13讲我们讲解了核心部分的定理3，这一讲我们讲核心部分的定理4。
定理4：对于任何一个比较大的偶数2m，设奇素数p1，p2，p3，„，pt均为不大于√2m的全体奇素数（pi´＜pj´ ，i´＜j´，i´、j´=1，2，3，„，t），t∈N，且偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，„，pt；那么集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，„，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，„，mjpj }∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，„，ms ps }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，„，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，„，mupu}∩„∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，„，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，„，mwpw}中正整数的总个数与集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}∩„∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps） }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，„，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，„，mupu}∩„∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，„，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，„，mwpw}中正整数的总个数相等。其中其中pi，pj，„，
mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mjpj为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，„，mrpr为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，msps为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mepe为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mupu为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，„，mvpv为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mwpw为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数。
证明：对于集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}，我们令2m-mipi=hi，因为mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，显然hi＜pi，则2m-（mi-1）pi=2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（mi-2）pi=2m-mip i+2pi=2pi+hi，„，（2m-2pi）= 2m-[mi-（mi-2）]pi=（mi-2）pi+2m-mipi=（mi-2）pi+hi，（2m-pi）=2m-[mi-（mi-1）]p1 =（mi-1）pi+2m-mipi =（mi-1）pi+hi；那么集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}={hi，（pi+hi），（2pi+hi），„，[（mi-2）pi+hi]，[（mi-1）pi+hi]}；我们令2m-mjpj=hj；„；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。同理可得：{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}={hj，（pj+hj），（2pj+hj），„，[（mj-2）pj+hj]，[（mj-1）pj+hj]}，„，{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}={hr，（pr+hr），（2pr+hr），„，[（mr-2）pr+hr]，[（mr-1）pr+hr]}，{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}={hs，
因为前面令2m-mipi=hi，2m-mjpj=hj；„；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。那么有2m≡hi（modpi），2m≡hj（modpj），„，2m≡hr（modpr），2m≡hs（modps）；所以集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}对应同余方程xi≡h（；集合{（2m-pj），imodpi）（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}对应同余方程xj≡hj（modpj）；„；集合{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}对应同余方程xr≡hr（modpr）；集合{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}对应同余方程xs≡hs（modps）。
由孙子—高斯定理可知，同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），„，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）有无穷多解,且这些解关于模M=pipj„prps同余，因为（pepu„pvpw，pipj„prps）=1，由同余性质定理1可知，同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），„，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的任一解与pepu„pvpw的乘积关于模M´=pipj„prpspepu„pvpw同余，又因为偶数2m是同余方程xi≡hi（modpi）的解，偶数2m也是同余方程xj≡hj（modpj）的解，„，偶数2m也是同余方程xr≡hr（modpr）的解，偶数2m也是同余方程xs≡hs（modps）的解；那么偶数2m也是同余方程组xi≡h（，xj≡h（，„，imodpi）jmodpj）xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的一个解。在偶数2m范围内，同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），„，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的所有解对应集合{ h´，（pipj„prps+h´），（2pipj„prps+h´），
´]}，其中vpipj„prps„pt为不大于偶数2m的最大正整数。显然集合{ h´，（pipj„prps +h´），（2 pipj„prps +h´），（3 pipj„prps +h´），„，[（v-2）pipj„prps+h´]，[（v -1）pipj„prps+h´]} 对应同余方程w≡h´（mod pipj„prps）。
我们设集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}∩„∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps） }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，„，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，„，mupu}∩„∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，„，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，„，mwpw}中的任一奇数均对应同余方程y≡a（modpipj„prpspepu„pvpw）的一个解，则a为小于pipj„prpspepu„pvpw的正整数，因为同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），„，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的任一解与pepu„pvpw的乘积关于模M´=pipj„prpspepu„pvpw 同余，由同余性质定理1可知，a=pepu„pvpwh´，我们再设同余方程z≡h´（mod pipj„prpspepu„pvpw），那么在偶数2m范围内，同余方程z≡h´（mod pipj„prpspepu„pvpw）的所有解对应的集合为{ h´，（pipj„prpspepu„pvpw +h´），（2 pipj„prpspepu„pvpw +h´），（3 pipj„prpspepu„pvpw +h´），„，[（u-2）pipj„prpspepu„pvpw +h´]，[（u-1）pipj„prpspepu„pvpw +h´]}，其中u pipj„prpspepu„pvpw为不大于偶数2m的最大正整数；显然pepu„pvpwh´＜
pipj„prpspepu„pvpw，所以在偶数2m范围内，同余方程y≡a（modpipj„prpspepu„pvpw）的所有解对应的集合为{ a，（pipj„prpspepu„pvpw +a），（2pipj„prpspepu„pvpw +a），（3pipj„prpspepu„pvpw +a），„，[（u-2）pipj„prpspepu„pvpw +a]，[（u-1）pipj„prpspepu„pvpw+a]}，显然（u-1）pipj„prpspepu„pvpw+pepu„pvpwh´＜2m。所以a对应pipj„prpspepu„pvpwu，（pipj„prpspepu„pvpw+a）对应pipj„prpspepu„pvp（，（2pipj„wu-1）prpspepu„pvpw+a）对应p1p2p3„pt（u-2），（3p1p2p3„pt+a）对应p1p2p3„p（，„，[（u-1）pipj„prpspepu„pvpw+a]对应pipj„prpspepu„pvpw。tu-3）
所以集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，„，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，„，mjpj }∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，„，ms ps }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，„，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，„，mupu}∩„∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，„，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，„，mwpw}中正整数的总个数与集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}∩„∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps） }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，„，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，„，mupu}∩„∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，„，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，„，mwpw}中正整数的总个数相等。故定理4成立。
参考文献
[1]戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版
[2]闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版
[4]王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983年2月第1版
二〇一四年四月十九日
