“哥德巴赫猜想”讲义
（
数学名家。哥德巴赫首先去莱比锡，拜访了大数学家莱布尼茨。莱布
尼茨（G.W.Leibniz，1646-1716）对于数学的最大贡献是发明了微
积分。哥德巴赫的到来，使莱布尼茨感到很高兴，对于这位朝气蓬勃
的晚辈，莱布尼茨少不了给予指点和教诲。莱布尼茨广博的学识和高
屋建瓴的观点，也使哥德巴赫终身受益。接着哥德巴赫又到伦敦访问
棣莫弗。棣莫弗（De Moivre，1667-1754）是法国人，因躲避宗教迫
害移居英国。棣莫弗最擅长的研究领域是概率论，并对此做出了很大
的贡献。概率论是研究偶然性（或者随机现象）的数学分支，它的起
源与掷骰子赌博的输赢问题有关。哥德巴赫对于理论研究和实际问题
都很有兴趣。后来哥德巴赫去了欧洲其它一些城市，分别见到伯努利
家族的几位成员，其中丹尼尔 • 伯努利和哥德巴赫关系密切。16世
纪末，伯努利家族的祖辈为躲避宗教迫害，从比利时的安特卫普辗转
来到瑞士的巴塞尔，在那里繁衍生息。这个家族以经商为传统，也有
个别人行医，似乎都和数学沾不上边。但在一个世纪之后，却在三代
人中出现了八位数学家，其中几位有相当大的成就。欧洲的旅行，使
哥德巴赫不断开阔眼界，增长了学识，还在学术圈里交了不少朋友，
收获颇丰。
1724年哥德巴赫回到了故乡哥尼斯堡，此时的哥德巴赫已经 34
岁。俄罗斯彼得大帝听取莱布尼茨的建议， 1724年1月颁布谕旨，决定成立圣彼得堡科学院，彼得大帝拟定了科学院章程，其中强调，
科学院的理论研究应对与国家实际利益密切相关的问题做出贡献，章
程中的重要一条是，邀请国外的一些知名学者到科学院工作，以带动
俄罗斯科学的发展。据说莱布尼茨还写信给中国清朝的康熙皇帝，建
议成立北京科学院，可惜未被采纳。1725年哥德巴赫又到俄罗斯。
丹尼尔 • 伯努利也于1725年来到了圣彼得堡科学院，哥德巴赫就有
了共同研究的伙伴，他们时常徜徉在涅瓦河畔，切磋讨论数学问题。
1728年欧拉也到了圣彼得堡。此时的欧拉是一位20岁的青年，他是
约翰 • 伯努利的学生，也是约翰的儿子丹尼尔的好朋友。在数学的
历史上，人们常常将欧拉与阿基米德、牛顿、高斯并列为最伟大的数
学家。由于丹尼尔的关系，哥德巴赫和欧拉很快就熟悉起来了，涅瓦
河畔散步又多了一个伙伴。哥德巴赫比欧拉年长17岁，哥德巴赫欣
赏欧拉的聪明和勤奋，欧拉钦佩哥德巴赫见多识广，他们之间是一种
忘年之交。后来欧拉由于身体原因去了德国柏林，哥德巴赫与远在德
国柏林的欧拉一直保持通信，讨论各种数学问题。1742年6月7日
在莫斯科的哥德巴赫给柏林的欧拉一封信，同年 6月30日欧拉给哥
德巴赫回信。哥德巴赫在信中说：“对于那些虽未切实论证但很可能
是正确的命题，我不认为关注它们是一件没有意义的事情。即使以后
万一证明它们是错误的，也会对于发现新的真理有帮助。正如你已经
证明的那样，费尔马关于 Fm给出一列素数的想法是不正确的，但如
果能够证明 Fm可以用唯一的方式表成两个平方数之和的话，那也是
一个很了不起的结果”。当 m ≥ 1 时， Fm 是形如 4n+1 的正整数。
由上述费尔马的一个命题，如果 Fm 是素数的话，那么 Fm 自然就可
以用唯一的方式表成两个平方数之和。哥德巴赫的意思是，在无法保
证 Fm 是素数的情况下，看看能否证明弱一点的结果“ Fm 可以用唯一
的方式表成两个平方数之和”。欧拉在回信中否定了哥德巴赫的想法。
哥德巴赫在信中又说：“类似地，我也斗胆提出一个猜想：任何由两
个素数所组成的数都是任意多个数之和，这些数的多少随我们的意愿
而定，直到所有的数都是 1 为止。例如：4=1+3=1+1+2=1+1+1+1，
5=2+3=1+1+3=1+1+1+2=1+1+1+1+1，6=1+5=1+2+3=1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1，„。哥德巴赫又在页边的空白处补充道：“重新读过上面的
内容后，我发现，如果猜想对于n成立，而且n+1可以表成两个素数
之和的话，那么，可以严格地证明猜想对于n+1也成立。证明是容易
的。无论如何，看来每个大于2的数都是三个素数之和”。这里哥德
巴赫把1看成了素数。下面欧拉也采用这种看法，欧拉在回信中说：
关于每个可以分成两个素数之和的数又可分拆为任意多个素数之和
这一论断，可由你以前写信告诉我的一个观察（即每个偶数是两个素
数之和）来说明和证实。如果所考虑的数n是偶数的话，那么它是两
个素数之和。又因为n-2也是两个素数之和，所以n是三个素数之和，
同理它也是四个素数之和，如此等等。如果n是奇数的话，因为n-1
是两个素数之和，所以n是三个素数之和，因此它可以分拆为任意多
个素数之和。无论如何，我认为“每个偶数是两个素数之和”是一条
相当真实的定理，虽然我不能证明它。因为这是私人间的通信，所以
其中的说法相当随意，在数学上是不严格的。后人在数学上将它们严
格化，并称之为“哥德巴赫猜想”。
英国数学家华林(E.Waring,1736-1798),在1770年出版的《代
数沉思录》一书中,首次提出了如下形式的哥德巴赫猜想:
1.每个大于2的偶数都是两个素数之和;
2.每个奇数或者是一个素数,或者是三个素数之和。
标准的现代版本是这样的:
1.每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和;
2.每个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。
也可以将它们写成下面的数学公式:
1.N=p1+p2 , 当N(N≥6)是偶数;
2.N=p1+p2+p3,当N(N≥9)是奇数;其中pi（i=1，1，3）均为奇素数。
哥德巴赫猜想的表达形式简洁明了,体现了数学的优美感觉。从乘法来看,素数是构成自然数的基本元素,在哥德巴赫猜想中,将素数放到加法的环境里,实际上是刻画了加法和乘法的某种关系,而这两种运算在数学中是最基本和最常见的。
据说早在哥德巴赫之前,法国哲学家和数学家笛卡儿(R.Descartes,1596-1650)在他的手稿里就有“每个偶数是至多三个素数之和”这样的叙述。虽然欧拉无法预料素数理论的发展,但他深知解决哥德巴赫猜想已经远远超出他的能力之外。
1900年,
从此哥德巴赫猜想不再是孤立的数学难题,而成了近代数学重要的一环。后来的发展证明,希尔伯特的眼光是非常正确的。
参考文献
[1]贾朝华，从哥德巴赫说开去
二〇一四年四月十日
