“哥德巴赫猜想”讲义
（第10讲）
“哥德巴赫猜想”证明（5）
主讲王若仲
第9讲我们讲解到了引理9，这一讲我们开始从孙子—高斯定理讲起。不曾想2000多年前我国孙子发现的原理现在还能派上大用场。
孙子—高斯定理：如果正整数m1，m2，m3，„，mt两两互质，那么同余方程组x≡ai（modmi）（i=1,2,3,„，t）有无穷多解,且这些解关于模M=m1·m2·m3„mt同余，x≡（a1M1´M1+a2M2´M2+a3M3´M3+„+atMt´Mt）（mod M），其中Mi=M/mi，而Mi´是满足Mi´Mi≡1（modmi）的正整数。
证明：因为（mi、mj）=1（i≠j），所以（Mi、mi）=1（i=1,2,3,„，t），从而Mix≡1（modmi）有唯一解，则x≡Mi´（modmi）。又因M=Mimi， Mi´是满足Mi´Mi≡1（modmi）的正整数，设Mi´Miai=himiai+ai，我们令hi=m1·m2·m3„mi-1·mi+1„mt，令a=a1+a2+a3+„+at，则a1M1´M1+a2M2´M2+a3M3´M3+„+atMt´Mt≡a（modm1m2m3„mt），即x≡（a1M1´M1+a2M2´M2+a3M3´M3+„+atMt´Mt）（mod M）是同余式组x≡ai（modmi）（i=1,2,3,„，t）的一个解。再说因为正整数m1，m2，m3，„，mt两两互质，那么同余方程组x≡ai（modmi）（i=1,2,3,„，t）有无穷多解,且任一解均可化为m1·m2·m3„mtu+b的形式，其中u为正整数，b为整数， 0≢b＜m1·m2·m3„mt，而（m1·m2·m3„mtu+b）÷（m1·m2·m3„mt）的余数为b，故同余
方程组x≡a（（i=1,2,3,„，t）的任一解关于模M=m1·m2·m3„imodmi）mt同余。
若x1，x2均适合同余式组x≡ai（modmi）（i=1,2,3,„，t），则x1≡a（modm1m2m3„mt），x2≡a（modm1m2m3„mt），所以x1≡x（2modm1m2m3„mt），又因（mi、mj）=1（i≠j），所以x1≡x2（modm1m2m3„mt），即x1≡x2（modM），故同余式组x≡ai（modmi）（i=1,2,3,„，t）的解唯一，即就是余数唯一。
同余性质定理1：若a≡b（modm），（k，m）=1，k为正整数，则ka≡kb（modkm）。
证明：因为a≡b（modm），我们设a=mu+r，b=mu´+r，r＜m，又因为（k，m）=1，k为正整数，则ka=kmu+kr，kb=kmu´+kr，而kr＜km，故ka≡kb（modkm）。
同余性质定理2：若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）。 证明：因为a≡b（modm），我们设a=mu+r，b=mu´+r，r＜m，又因为b≡c（modm），又设c=mu\"+r，显然a≡c（modm）。
参考文献
[1]戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版
[2]闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版
[4]王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983年2月第1版
二〇一四年四月十七日
