“哥德巴赫猜想”讲义
（哥德巴赫猜想上的话，圆法的思想是：对于非零整数，沿着单位圆为路径的环路积分
当且只当整数积分式：
的时候，上面的积分才等于1。因此，如果考虑
其中
，那么这个积分式实际上等于：
上式中
因此，研究哥德巴赫猜想可以归结为研究积分式以质数为变数的三角多项式
和
中
。哈代和利特尔伍德猜测，当变量接
的值会“比较大”，而当
的值会“比较小”。近于分母“比较小”的既约分数时，接近于分母“比较大”的既约分数时，也就是说，积分
的主要部分其实是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近的积分，其它的部分上积分则没那么重要，可以忽略掉了。因此，可以将整个单位圆分成两个部分：一部分是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近包括的一些区间，哈代和利特尔伍德称其为“优弧”（major arc与平面几何中的“优弧”不同），其余的部分则称为“劣弧”（minor arc）。将整个积分 优弧上的积分明 相比起
与劣弧上积分
可以忽略，而
之和，然后证
，这就是圆法
分成的主要思想[4]。哈代和利特尔伍德在1923年的论文中证明了，如果存在正数，使得所有的狄利克雷L函数的全体零点都在半平面上，那么充分大的奇数一定满足够表示成三个素数的和。他们还给出了穷大的时候，
，也就是说能
的渐进式：在趋于无
其中
他们还证明了，在假设广义黎曼猜想成立的情况下，如果用表示以内无法写成两个质数之和的偶数的个数，那么对任意的正数，都有
这说明了，不能写成两个质数之和的偶数占所有偶数的比例是可以忽略的。
维诺格拉多夫在使用圆法的基础上，去掉了哈代和利特尔伍德的成果中对于黎曼猜想的依赖。也就是说，维诺格拉多夫证明了每个充分大的奇数都能表示为三个质数的和，以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个素数之和。维诺格拉多夫的证明使用到了他独创的方法来对以素数为变数的指数和
做出更细致的估计，也就是说更好地划分优弧和劣弧并直接估计出劣弧上的积分可以忽略，而不用到广义黎曼猜想。唯一的不足是维诺格拉多夫并没有给出“足够大”的下限。后来波罗斯特金在1956年给出了一个可计算的下限：也就是说大于
，
的整数都可以写成三个素数的和。1946年，苏联数学家尤里·弗拉基米罗维奇·林尼克沿着哈代和利特尔伍德的道路前进，使用函数论的方法同样证明了维诺格拉多夫的结果。然而，维诺格拉多夫的定理中的下限对于实际应用来说仍然太大了。写出来有6846168位数字，要验证之前的偶数都能写成两个素数的和，计算量仍然太大。1989年陈景润与王元将这个下限减低到1043000.5，2001年廖明哲及王天泽进一步将下限降至e3100≈101346.3，但仍然与实际验证过的范围（4×1014）有很大距离。而如果假设广义黎曼猜想正确的话，让-马克·德苏耶等人在1998年证明了：每个大于等于7的奇数都可以写成三个质数的和（即弱哥德巴赫猜想在广义黎曼猜想正确的假设下的完全证明）。1938年，华罗庚证明了弱哥德巴赫猜想的一个推广：任意给定一个整数k，每个充分大的奇数都可以表示p1+p2+p3k的形式。当k=1的时候，就是弱哥德巴赫猜想。由于维诺格拉多夫估计
时使用的方法本质上是筛法，所以数学家也希望用类似圆法的分析方法取代它。1945年，林尼克发展出估计狄利克雷L函数零点密度的方法，并用其证明了劣弧上的积分可以忽略，从而用纯粹的分析方法证明了弱哥德巴赫猜想。这个证明十分复杂，此后几位数学家各自提出了更简化的证明，1975年沃恩提出了首个不依赖估计L函数零点密度的方法，1977年潘承洞得到了仅利用L函数初等性质的简易证明。2013年5月13日，法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的数论领域的研究员哈洛德·贺欧夫各特，在线发表了论文《论哥德巴赫定理的优弧》（Major arcs for Goldbach\'s theorem）宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。贺欧夫各特生于1977年，秘鲁籍，2003年获得普林斯顿大学博士学位。2010年开始担任法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的研究员。2012年5月，贺欧夫各特发表论文《论哥德巴赫问题的劣弧》（Minor arcs for Goldbach\'s problem）中给出了劣弧积分估计的一个更优上界。在这个更优估计的基础上，贺欧夫各特在2013年的论文中将优弧估计的条件放宽，把维诺格拉多夫定理中的下限降低到了1029左右，贺欧夫各特和同事David Platt用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想，从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。
维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说显然，如果k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。
林尼克1953年的论文并没有具体定出k的可容许数值，此后四十多年间，人们还是不知道一个多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的论证，这个k应该很大。其中有个结果必须提到，即李红泽、王天泽独立地得到k=2000。目前最好的结果k=13是英国数学家希思-布朗(D.R.Heath-Brown)和德国数学家普赫塔(Puchta)合作取得的，这是一个很大的突破。
参考文献 [1]百度百科
二〇一四年四月十日
