怎样证明根号2是一个无理数

发布时间：2020-03-03 08:37:22 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

怎样证明2是一个无理数

第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的2是一个非常著名的无理数，

代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点.

证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=a.b其中(a,b)=1，且a与b都是正整数.则a22b2.由于完全平方数b2的尾数只能是0、

1、

4、

5、

6、9中的一个，因此2b2的尾数只能是0、

2、8中的一个.因为a22b2，所以a2与2b2的尾数都是0，因此b2的尾数只能是0或5，因此a与b有公因数5，与(a,b)=1矛盾！因此2是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是

2、

3、

7、8的平方根都是无理数.a证法2：奇偶分析法.假设2=.其中(a,b)=1，且a与b都是正整数.则a22b2.可知ab

是偶数，设a=2c,则4c22b2，b22c2，可知b也是偶数，因此a、b都是偶数，这与(a,b)=1矛盾！因此2是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.

证法3：仿上，得到a22b2，易见b>1，否则b=1，则2=a是一个整数,这是不行

aaa.因为b>1，因此b有素因子p，因此p整除或a，总之，p整除2

2a，因此p同时整除a与b，这与(a,b)=1矛盾.的.a22b2改写成b2

证法4：仿上，得到a22b2，等式变形为b2a2b2(ab)(ab)，因为b>1，因此存在素因子p，p整除a+b或a-b之一，则同时整除a+b与a-b，因此p整除a，因此p是a、b的公因数，与(a,b)=1矛盾.证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此ap11p22pmm，bq11q22qnn，其中p1,,pm与q1,,qn都是素数，r1,,rm与s1,sn都是正整数，因此p11p22r2r2rrrpm2rm=2q11q22s2s2qn2sn，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.

aa证法6：假设2=，其中右边是最简分数，即在所有等于的分数中，a是最小的正bb

整数分子，在a22b2的两边减去ab有a2ab2b2ab，a(ab)b(2ba)，即2a2ba，右边的分子2b-a

证法7：连分数法.因为(21)(21)=1，因此21

12112112， 12

11221，将分母中的2用1代替，有21，不断重复这

个过程，得2=11

2

211

2，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是

1分母为正整数的有限连分数，因此2是无理数.

证法8：构图法。以上诸多证法的关键之处在于，证明a22b2没有正整数解。若不然，可以b、a为边构造正方形(b

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