怎样证明一个四边形是梯形?
答:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形,梯形的定义明确指出,作为一种特殊四边形的梯形,必须具备两个条件,即“一组对边平行”和“另一组对边不平行”,因此判定一个四边形是否是梯形,也必须以是否满足这两个条件为依据,二者缺一不可.
证明两线平行的方法比较多,难点是如何判定两线不平行.
【例1】已知:如图1在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,A′、B′、C′、D′分别为AO、BO、CO、DO的中点.
求证:四边形A′B′C′D′是梯形.
分析一:由A′、D′分别是AD、DO的中点,易知A′D′∥AD.由B′、C′分别是BO、CO的中点,易知B′C′∥BC.
又AD∥BC,
∴A′D′∥B′C′,
由A′、B′分别是AO、BO的中点,得A′B′∥AB,
由C′、D′分别是CO、DO的中点,得C′D′∥CD,
又AB与CD不平行,
∴A′B′与C′D′也不平行.
综上所述,四边形A′B′C′D是梯形.
分析二:本题还可以通过证明A′D′∥B′C′且A′D′≠B′C′来判定四边形A′B′C′D′是梯形,即
由A′、D′分别为AO、DO的中点,得
由B′,C′分别为BO、CO的中点,得
∵AD∥BC且AD≠BC,
∴A′D′∥B′C′且A′D′≠B′C′,
∴四边形A′B′C′D′是梯形.
证明:略.
从以上分析中不难看出,证明一个四边形是梯形有两种方法,一种方法是证明四边形的一组对边平行而另一组对边不平行;另一种方法是证明四边形的一组对边平行且不相等,如果在证题过程中忽视了“一组对边不平行”的条件,只由“一组对边平行”来判定四边形是梯形显然是错误的.
【例2】 已知:如图2,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,E、F分别为OA、OD的中点.
求证:四边形EBCF是等腰梯形.
证明:∵E、F分别是OA、OD的中点,
∴EF∥AD,
又四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴EF∥BC,
∵E、F分别为OA、OD的中点,
又 AD=BC,
∴ EF≠BC
由 EF∥BC,EF≠BC.得
四边形EBCF是梯形,
∴ EO=FO,
又 ∠1=∠2,BO=OC,
∴ △EBO≌△FCO
∴ EB=FC,
∴ 四边形EBCF是等腰梯形.
分析:如果只证明了EF∥BC就判定四边形EBCF是梯形,不符合梯形的定义,应继续证明另一组对边EB与CF不平行,或继续证明EF≠BC都可以判定四边形EBCF是梯形,即
证明:略.