等差数列
(二)
目的:通过例题的讲解,要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义,并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。 过程:
一、复习:等差数列的定义,通项公式
二、例一 在等差数列an中,d为公差,若m,n,p,qN且mnpq
求证:1 amanapaq 2 apaq(pq)d
证明:1 设首项为a1,则amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)dapaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d
∵ mnpq ∴amanapaq 2 ∵apa1(p1)d
aq(pq)da1(q1)d(pq)da1(p1)d
∴ apaq(pq)d
注意:由此可以证明一个定理:设成AP,则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和 ,即:a1ana2an1a3an2
同样:若mn2p 则 aman2ap
例二 在等差数列an中,
1 若a5a a10b 求a15
解:2a10a5a15 即2baa15 ∴ a152ba 2 若a3a8m 求 a5a6
解:a5a6=a3a8m 3 若 a56 a815 求a14
解:a8a5(85)d 即 1563d ∴ d
3从而 a14a5(145)d69333
4 若 a1a2a530 a6a7a1080 求a11a12a1
5 解:∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ……
∴ 2a6a1a11 2a7a2a12 ……
从而(a11a12a15)+(a1a2a5)2(a6a7a10)
∴a11a12a15=2(a6a7a10)(a1a2a5) =2×8030=130
三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法
1.定义法:即证明 anan1d(常数)
例三 《课课练》第3课 例三
已知数列an的前n项和Sn3n22n,求证数列an成等差数列,并求其首项、公差、通项公式。
解:a1S1321
当n2时 anSnSn13n22n[3(n1)22(n1)]6n
5n1时 亦满足 ∴ an6n5
首项a11 anan16n5[6(n1)5]6(常数)
∴an成AP且公差为6 2.中项法: 即利用中项公式,若2bac 则a,b,c成AP。
例四 《课课练》第4 课 例一
已知111bccaab,,成AP,求证 ,,也成AP。 abcbca11121
1证明: ∵,,成AP ∴ 化简得:2acb(ac)
abcbac
bcabbcc2a2abb(ac)a2c22aca2c2 acacacac(ac)2(ac)2ac2 = b(ac)acb2bccaab ∴,,也成AP
bca 3.通项公式法:利用等差数列得通项公式是关于n的一次函数这一性质。
例五 设数列an其前n项和Snn22n3,问这个数列成AP吗?
解: n1时 a1S12 n2时 anSnSn12n3
n12 ∵a1不满足an2n3 ∴ an
2n3n2 ∴ 数列an不成AP 但从第2项起成AP。
四、小结: 略
五、作业: 《教学与测试》 第37课 练习题
《课课练》 第
3、4课中选