等差数列课程教案模板（精选多篇）

推荐第1篇：等差数列教案

等差数列教案

教学目的

1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.

（1）了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列，了解等差中项的概念；

（2）正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项；

（3）能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.

2.通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想.

3.通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.关于等差数列的教学建议

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

①教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用，等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.

②通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外， 出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.（3）教法建议

①本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用．

②等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义．

③等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件．

④由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项 其图像的形状相对应．

可看作项数 的一次型（

）函数，这与

⑤有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式

是数列第 项

与项数 之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是 ，即其末项未必是该数列的第 项，在教学中一定要强调这一点．

⑥等差数列前 项和的公式推导离不开等差数列的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究等差数列的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣．

⑦等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境．

等差数列通项公式的教学设计示例 教学目标

1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；

2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；

3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.教学重点，难点

教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用． 教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法

研探式.教学过程 一.复习提问

前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，其表示法都有哪些？

等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.二.主体设计

通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知

求 ，求 ）.找学生试举一例如：“已知等差数列

中，首项

，公差

.”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上.1.方程思想的运用

（1）已知等差数列 的第______项.

中，首项 ，公差

，则－397是该数列

（2）已知等差数列 中，首项 ， 则公差

（3）已知等差数列 中，公差 ， 则首项

这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量 ，

在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量.2.基本量方法的使用

（1）已知等差数列 中， ，求

的值.

（2）已知等差数列 中， ， 求 .

若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于 的，由 和

和

的二元方程组，所以这些等差数列是确定写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个

和

的二元方程组，以求得

和

，

和

称作基条件（等式）化为关于 本量.

教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于 这是一个 和

和

的二元方程，的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.

如：已知等差数列 中， …

由条件可得 即 ，可知

，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题

（3）已知等差数列

中， 求 ；

； ；；….

类似的还有

（4）已知等差数列 中， 求

的值.

以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出 3.研究等差数列的单调性

，考察 随项数 的变化规律.着重考虑

的符号，由学生叙的情况.此时 是 的一次函数，其单调性取决于

述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.4.研究项的符号

这是为研究等差数列前 项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如

（1）已知数列 始小于0？

的通项公式为

，问数列从第几项开

（2）等差数列 三.小结

从第________项起以后每项均为负数.

1.用方程思想认识等差数列通项公式；

2.用函数思想解决等差数列问题.

推荐第2篇：等差数列教案

等差数列教案

一、教材分析

从教材的编写顺序上来看，等差数列是必修五第二章的第二节的内容，一方面它是数列中最基础的一种类型、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习等比数列及数列的极限等内容作准备.

就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，对其在性质的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．

依据课标 “等差数列”这部分内容授课时间3课时，本节课为第2课时，重在研究等差数列的性质及简单应用，教学中注重性质的形成、推导过程并让学生进一步熟悉等差数列的通项公式。

二． 教学目标

依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：

知识与技能目标：理解等差数列的定义基础上初步掌握等差数列几个特征性质并能运用性质解决一些简单问题．

过程与方法目标：通过性质的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．

情感与态度目标：通过其性质的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．

三．教学的重点和难点

重点：等差数列的通项公式的性质推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过发现性质培养学生的运用数学语言交流表达的能力.

突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→性质发现→简单应用；

（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→转化、方程思想；

（三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.

难点：等差数列的性质的探究，从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.它需要对等差数列的概念充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的。

突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，给予恰大的引导，让学生能在原有的认知水平和所需的知识特点入手。 四．教学方法

利用多媒体辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式

五．教学过程.

1.复习引入

回顾等差数列的定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即anan1d （n2.nN)

（让学生自己列举等差数列的例子，教师给出一特殊等差数列）2.根据给出的数列引导学生发现等差数列的性质：

①有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和等于其首末两项之和

a1ana2an1a3an2

②已知aman 为等差数列的任意两项，公差为d，则d=（公差的计算：d =anan1）

③等差数列中，若mnpq，则amanapaq（让学生推

广：mn 的情况）

④若anbn是等差数列，则ankkananbn也是等差数列，

公差分别为d、kd、d1+d2

3.知识巩固

例1.等差数列an中，已知a2a79,a34，则a6解析一：由等差数列通项公式得：a2a7=a1da16d9

a3a12d4

解得：

aman

mn

101则a6a15d5 a d

3

3解析二：由性质③得a2a7a3a6易得a65

变式：等差数列an中，a58,a22.则a8例2.已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有（）

A、a1a1010 B、a2a1010C、a3a990D、a5151 解析：根据性质1得：a1a101a2a100a49a502a51，由于

a1a2a3a1010，所以a510，又因为，a3a992a510，故正确

答案为C。

课堂练习：等差数列an中， a第六项是多少？ 4.小结

引导学生回顾等差数列定义，从通项公式中发现性质。 5.作业布置：

（1）.书面作业：教材P681.3

（2）请同学们课后思考：除了上述特征性质外，还能不能

发现其他的性质？

六．教学设计说明

1．复习引入.

本着遵循掌握知识，熟能生巧的方针，温故而知新。让学生自己例举等差数列，进一步让学生真正知道什么是等差数列，然后采用图片形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲.

2．性质发现

教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性.3．知识巩固

通过例题说明灵活的应用这些性质和变形公式，可以避繁就简，有思路的功效。对数列性质的灵活应用反应学生的知识结构特征掌握程度，有助于学生形成知识模块，优化知识体系.

2,a5.则数列a4的

n

4．作业布置弹性化．

通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间．

推荐第3篇：等差数列教案

等差数列教案

目的：1.要求学生掌握等差数列的概念

2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。

重点：1.要证明数列{an}为等差数列，只要证明an+1-an等于常数即可（这里n≥1,且n∈N）

2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d (n≥1,且n∈N).3．等到差中项：若a、A、b成等差数列，则A叫做a、b的等差中项，且akaman2**

难点：等差数列“等差”的特点。公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。

等差数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。换句话说，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。

过程：

一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，„„

3，0，3，6，„„

12210310410，，，，„„

an123(n1) 12，9，6，3，„„

特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”

二、得出等差数列的定义： （见P115）

注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。 ．．．．．．．．．．1．名称：AP 首项 (a1) 公差 (d) 2．若d0 则该数列为常数列 3．寻求等差数列的通项公式：

a2a1d

a3a2d(a1d)da12da4a3d(a12d)da13d

由此归纳为 ana1(n1)d 当n1时 a1a1 （成立）

注意: 1 等差数列的通项公式是关于n的一次函数

2 如果通项公式是关于n的一次函数，则该数列成AP 证明：若anAnBA(n1)AB(AB)(n1)A

它是以AB为首项，A为公差的AP。

3 公式中若 d0 则数列递增，d0 则数列递减 4 图象： 一条直线上的一群孤立点

三、例题： 注意在ana1(n1)d中n，an，a1，d四数中已知三个可以

求出另一个。

例1 （P115例一）

例2 （P116例二） 注意：该题用方程组求参数 例3 （P116例三） 此题可以看成应用题

四、关于等差中项： 如果a,A,b成AP 则Aab2

证明：设公差为d，则Aad ba2d

∴ab2aa2d2adA

例4 《教学与测试》P77 例一：在1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成AP，求此数列。

解一：∵1,a,b,c,7成AP ∴b是-1与7 的等差中项

∴ b ∴a1721323 a又是-1与3的等差中项 1

3725 c又是1与7的等差中项 ∴c 解二：设a11 a57 ∴71(51)d d2

∴所求的数列为-1，1，3，5，7

五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法

1．定义法：即证明 anan1d(常数)

2例

5、已知数列an的前n项和Sn3n2n，求证数列an成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。

解：a1S132

1当n2时

anSnSn13n22n[3(n1)22(n1)]6n5

n1时 亦满足

∴ an6n5

首项a11

anan16n5[6(n1)5]6(常数)

∴an成AP且公差为6

2．中项法： 即利用中项公式，若2bac 则a,b,c成AP。

例6

已知

1a1a，，成AP，求证

bc11bca，cab，

abc也成AP。

证明： ∵

∴

2b，

1a1b，

1c1c成AP

化简得：2acb(ac)

bcaabcbccaabac22b(ac)acac222acacac22

=

(ac)ac2(ac)22b(ac)2acb

∴bca，

cab，

abc也成AP

3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n的一次函数这一性质。

2 例7 设数列an其前n项和Snn2n3，问这个数列成AP吗？

解： n1时 a1S1

2n2时 anSnSn12n

3∵a1不满足an2n3

∴ an22n3

n1n2

∴ 数列an不成AP

但从第2项起成AP。

五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法

六、作业： P118习题3．2 1-9

七、练习：

1．已知等差数列{an}，（1）an=2n+3,求a1和d

（2）a5=20,a20=-35,写出数列的通项公式及a100.

2.在数列{an}中，an=3n-1，试用定义证明{an}是等差数列，并求出其公差。

注：不能只计算a2-a

1、a4-a

3、等几项等于常数就下结论为等差数列。、a3-a

2、

3．在1和101中间插入三个数，使它们和这两个数组成等差数列，求插入的三个数。

4．在两个等差数列2，5，8，„与2，7，12，„中，求1到200内相同项的个数。

分析：本题可采用两种方法来解。

（1）用不定方程的求解方法来解。关键要从两个不同的等差数列出发，根据

相同项，建立等式，结合整除性，寻找出相同项的通项。

（2）用等差数列的性质来求解。关键要抓住：两个等差数列的相同项按原来的前后次序仍组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。 5．在数列{an}中, a1=1,an=差数列，并求Sn。

分析：只要证明

1Sn1Sn12Sn22Sn1,(n≥2),其中Sn=a1+a2+„+an.证明数列是等

(n≥2)为一个常数，只需将递推公式中的an转化

为Sn-Sn-1后再变形，便可达到目的。

6．已知数列{an}中，an-an-1=2(n≥2), 且a1=1，则这个数列的第10项为（

）

A

B 19

C 20

D21

7．已知等差数列{an}的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的公式为（

）

A

2n-5

B 2n+1

C 2n-3

D 2n-1

8.已知m、p为常数，设命题甲：a、b、c成等差数列；命题乙：ma+p、mb+p、mc+p 成等差数列，那么甲是乙的（

）

A 充分而不必要条件

B 必要而不充分条件

C 充要条件

D既不必要也不充分条件

推荐第4篇：等差数列教案

等差数列教案(精选多篇)

等差数列

教学内容与教学目标

1．使学生理解等差数列的定义，掌握通项公式及其简单应用，初步领会―迭加‖的方法；

2．通过通项公式的探求，引导学生学习归纳、猜测、证明等合情推理与逻辑推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力；

3．通过证明的教学过程，培养学生实事求是的科学态度和勇于探索的精神．

设计思想

1．根据本节内容，我们选用―探究发现式‖教学法，并按如下顺序逐步展

开：

给等差数列下定义；

等差数列通项公式的探求；

通项公式的初步应用．

2．在讲等差数列概念之前，学生对数列的定义及通项公式已有所理解．在此基础上，通过引导学生对几个具体数列共性的观察研究，让学生自己给等差数列下定义────把命名权交给学生，旨在充分发挥学生的主体作用．

3．―观察───归纳───猜想───证明‖是获得发现的重要途径．因此，在探求等差数列的通项公式时，我们选择了上述途径，一方面可提高学生的合情推理与逻辑推理能力，另一方面，为落实教学目标打下了坚实的基础．

课题引入

通过请学生观察几个具体的数列的特点．例如：

1，4，7，10，?；

3，－1，－5，－9，?；

5，5，5，5，?，

并由学生自行分析得出―从第2项起每一项与它前一项的差都等于同一个常数‖这一共性，随即请学生给这类数列命名‖，师肯定学生的回答，或稍作提炼，并顺水推舟，指出这是我们今天将要研究的内容───等差数列，以此引出课题．

知识讲解

1．关于等差数列的定义

教学模式：由学生观察分析几个具体数列的共性───给这类数列命名───给等差数列下定义───分析两个要点的作用───用符号语言描述定义───指出定义的功能．

采用这一教学模式，主要目的是充分发挥学生的主体作用，教师的主导作用主要体现在必要的点拨上．

等差数列的定义有两个要点．一是―从第2项起‖．这是为了确保每一项与前一项差的存在性；二是―差等于同一个常数‖，这是等差数列的基本特点―差相等‖的具体体现．

2．+关于等差数列的通项公式

教学模式：试验───归纳───猜想───证明───鉴赏．即试着求出a1，a2，a3，a4，并对此进行分析归纳，猜想出通项公式，再加以证明，最后从数形结合的角度揭示公式的内涵．

采用这一教学模式，可帮助学生学习合情推理与逻辑推理的方法，提高学生的发现能力和逻辑思维能力，培养学生思维的科学性和严密性以及勇于探索的精神．

通项公式的证明：

方法1：

在an－an－1=d中，取下标n为2，3，?，n，

得a2－a1=d，a3－a2=d，a4－a3=d，?，an－an－1=d．

把这n－1个式子相加并整理，

得an= a1＋d．

又当n=1时，左边= a1，右边= a1＋d= a1．

公式也适用．故通项公式为an= a1＋d．

方法2

an= an－1＋d

= an－2＋2d

= an－3＋3d

=?

= a1＋d．

．

公式鉴赏：

① 通项公式可表示为an=dn＋c的形式，n的系数即为公差．当d≠0时，an是定义在自然数集上的一次函数，其图象是一次函数y=dx＋c的图象上的一群孤立的点．

② 通项公式中含有a1，d，n，an四个量，其中a1和d是基本量，当a1和d确定后，通项公式便随之确定．从已知和未知的角度看，若已知其中任意三个量的值，即可利用方程的思想求出第四个量的值．

例题分析

考虑到本节课是等差数列的起始课，因此例题应围绕等差数列的定义及

通项公式这两个知识点选配．

例1．求等差数列8，5，2，?的第20项．

通过本题的求解，使学生初步掌握通项公式的应用，运用方程的思想―知三求

一‖ ．

本例在探求出通项公式以后给出．

分析与略解：欲求第20项a20，需知首项a1与公差d．现a1为已知，因此只需*求出d，便可由通项公式求出a20．事实上，

∵ a1=8，d=5－8=－3，n=20，

∴ a20=8＋×= －49．

例2．已知数列－2，1，4，?，3n－5，?，

求证这个数列是等差数列，并求其公差；

求第100项及第2n－1项；

判断100和110是不是该数列中的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由．

通过本例的求解，加深学生对定义及其功能的理解和认识，并能利用方程的思想解决问题．

本例可在讲完定义后给出，也可在获得通项公式以后给出．

分析：对，只需利用定义证明an＋1－an等于常数即可，并且这个常数即为公差；对，从函数的角度看，只需将an=3n－5中的n分别换成100及2 n－1即得a100和a2n－1；对，只需利用方程的思想，由an=100或an=110分别求出n，若求出的n为正整数，则可判定该数是这个数列中的项，并且这个正整数是几，该数就是这个数列中的第几项；若n不是正整数，则该数不是这个数列中的项．

略解：由于an＋1－an=3－5－=3，

故这个数列是等差数列，且公差d=3．

∵ an=3 n－5，

∴ a100 =3×100－5=295，

a2n－1=3－5=6n－8．

设3 n－5=100，解得n=35，

∴ 100是这个数列中的项，并且是第35项；

设3 n－5=110，解得n=115

3?n*，

∴ 110不是这个数列中的项．

小结或总结

本节课我们主要研究了等差数列的定义和它的通项公式．等差数列的定义是判断一个数列是否是等差数列的依据之一，通项公式是通项an与项数n的关系的一种解析表示，它从函数和方程两个角度为我们求解问题提供了有力的工具．通过给等差数列下定义及自行探求通项公式，使我们领略了合情推理与逻辑推理在探索、发现知识方面的重要作用．

习题

1．已知等差数列｛an｝中，a1=5．6，a6=20．36，则a4=．

2．已知数列｛an｝的通项公式是an=－2 n＋3，证明｛an｝是等差数列，并求出公差、首项及第2 n＋5项．

3．在数列｛an｝中，a1=－2，2 an＋1－1=2an，则，a51等于，．

20 21 22

参考答案

23

１．14．6

2．∵ an＋1－an= －2，∴｛an｝是等差数列，且d= －2，a1=1，

a2n＋5= －4 n－7．

3．d．

引申与提高

除了等差数列的定义以外，通项公式也是判断一个数列是否是等差数列的依据之一．我们把通项公式改写成a1= an＋·，并把它与原通项公式比较，易知两者形式是完全一样的．这里可视an为首项，a1为第n项，这个数列由原数列中前n项反序书写而得，即an，an－1，an－2，?，a2，a1．由式知它仍成等差数列，并且公差为－d．由此知，从正、反两个不同的顺序看待―同一个‖等差数列时，各自―等差‖的特点保持不变，但公差互为相反数．

思 考 题

１．已知数列－5，－3，－1，1，?是等差数列，判断2n＋7是否是该数列中的项？若是，是第几项？

略解：∵ d= －3－=2，

∴ an= －5＋×2=2 n－7．

而2n＋7=2－7，

∴ 2n＋7是该数列中的第n＋7项．

２．已知数列－5，－3，－1，1，?是等差数列，判断2n＋7是否是该数列中的项？若是，是第几项？

略解：∵ d= －3－=2，

∴ an= －5＋×2=2 n－7．

而2n＋7=2－7，

∴ 2n＋7是该数列中的第n＋7项．

测 试 题

22．且｛an｝是等差数列，则1．已知数列an?的前4项分别为25，

238是数列an?中的．

第49项

an?1 第48项

第50项 ?3?1an 第51项 2．已知数列｛an｝中，a1=1，则a98=．

3．一个首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围．

参考答案

１．d．

2．1

292．提示：｛1an｝是公差为3的等差数列，求出1an后再求an，进而求出

a98．

?a10?0??24?9d?083．由?，即?，解得＜d≤3.3??24?8d9?0?a9?0

∴d的取值范围是?，3?．

?3??8?

等差数列

本节课讲述的是人教版高一数学§3.2等差数列的内容。

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

2、教学目标

理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；

3、教学重点和难点

①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。

二、学情分析对于高一学生，知识

经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

二、教法分析

本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。

三、教学程序

本节课的教学过程由复习引入新课探究应用举例归纳小结布置作业，五个教学环节构成。

复习引入：

上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：



0，5，10，15，20，25，…;

48，53，58，63，…;

18，15.5，13，10.5，8，5.5…;

10 072，10 144，10 216，10 288，10 366

新课探究

1、由引入自然的给出等差数列的概念：

如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

强调：

① ―从第二项起‖满足条件；

②公差d一定是由后项减前项所得；

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数；

在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式： an+1-an=d

同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。

1.9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=-1

2.0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d=0.01

3.0，0，0，0，0，0，…….;√ d=0

4.1，2，3，2，3，4，……；×

5.1，0，1，0，1，……×

其中第一个数列公差0,第三个数列公差=0

由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0 ，当d=0，an 为常数列。

2、第二个重点部分为等差数列的通项公式

若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d,

则据其定义可得：

a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d

a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d

a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1

+3d

……

猜想: a40 = a1 +39d

进而归纳出等差数列的通项公式：

an=a1+d

此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法：a2 – a1 =d

a3 – a2 =d

a4 – a3 =d

……

an – an-1=d

将这个等式左右两边分别相加,就可以得到an– a1= d即 an= a1+ d

当n=1时，也成立，

所以对一切n∈n＊，上面的公式都成立

因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。

在这里通过该知识点引入迭加法

这一数学思想，逐步达到―注重方法，凸现思想‖ 的教学要求

am 与an有什么关系呢？

am=a1+d①

an=a1+d②

a1=am-d代入②得an=am-d+d 即：an=am+d

应用举例

求等差数列8，5，2,…的第20项;

-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

分析

这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗?

首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+×=-49.

分析

由a1=-5,d=-9-=-4得数列通项公式为an=-5-4.

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项.

已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

例题分析：

由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要根据什么?

只要看差an-an-1是不是一个与n无关的常数.

说得对，请你来求解.

当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an〕

an-an-1=-［p+q］=pn+q-=p为常数,

所以我们说{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p.

这里要重点说明的是：

若p=0，则{an}是公差为0的等差

数列，即为常数列q，q，q，….

若p≠0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.

数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q，称其为第三通项公式.

归纳小结1.等差数列的概念及数学表达式．

强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数

2.等差数列的通项公式 an= a1+ d会知三求一

布置作业

必做题：课本p114习题3.2第2，6 题

五、板书设计

等差数列教案

一、教材分析

从教材的编写顺序上来看，等差数列是必修五第二章的第二节的内容，一

方面它是数列中最基础的一种类型、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习等比数列及数列的极限等内容作准备.

就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，对其在性质的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．

依据课标 ―等差数列‖这部分内容授课时间3课时，本节课为第2课时，重在研究等差数列的性质及简单应用，教学中注重性质的形成、推导过程并让学生进一步熟悉等差数列的通项公式。

二． 教学目标

依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：

知识与技能目标：理解等差数列的定义基础上初步掌握等差数列几个特征

性质并能运用性质解决一些简单问题．

过程与方法目标：通过性质的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．

情感与态度目标：通过其性质的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．

三．教学的重点和难点

重点：等差数列的通项公式的性质推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过发现性质培养学生的运用数学语言交流表达的能力.

突出重点方法：―抓三线、突重点‖，

即知识技能线：问题情境→性质发现→简单应用；过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→转化、方程思想；能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.

难点：等差数列的性质的探究，从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.它需要对等差数列的概念充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的。

突破难点手段：―抓两点，破难点‖,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，给予恰大的引导，让学生能在原有的认知水平和所需的知识特点入手。 四．教学方法

利用多媒体辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式

五．教学过程.

1.复习引入

回顾等差数列的定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an?an?1?d 2.根据给出的数列引导学生发现等差数列的性质：

①有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和等于其首末两项之和

a1?an?a2?an?1?a3?an?2???

②已知aman 为等差数列的任意两项，公差为d，则d=

③等差数列中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq

④若?an??bn?是等差数列，则?an?k??kan??an?bn?也是等差数列，

公差分别为d、kd、d1+d2

3.知识巩固

例1.等差数列?an?中，已知a2?a7?9,a3?4，则a6解析一：由等差数列通项公式得：a2?a7=a1?d?a1?6d?9

a3?a1?2d?4

解得：

am?an

m?n

101则a6?a1?5d?5 a? d?

33

解析二：由性质③得a2?a7?a3?a6易得a6?5

变式：等差数列?an?中，a5?8,a2?2.则a8?例2.已知等差数列?an?满足a1?a2?a3a101?0，则有

a、a1?a101?0 b、a2?a101?0c、a3?a99?0d、a51?51 解析：根据性质1得：a1?a101?a2?a100???a49?a50?2a51，由于

a1?a2?a3???a101?0，所以a51?0，又因为，a3?a99?2a51?0，故正确

答案为c。

课堂练习：等差数列?an?中， a第六项是多少？ 4.小结

引导学生回顾等差数列定义，从通项公式中发现性质。 5.作业布置：

.书面作业：教材p681.3

请同学们课后思考：除了上述特征性质外，还能不能

发现其他的性质？

六．教学设计说明

1．复习引入.

本着遵循掌握知识，熟能生巧的方针，温故而知新。让学生自己例举等差数列，进一步让学生真正知道什么是等差数列，然后采用图片形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲.

2．性质发现

教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性.3．知识巩固

通过例题说明灵活的应用这些性质和变形公式，可以避繁就简，有思路的功效。对数列性质的灵活应用反应学生的知识结构特征掌握程度，有助于学

生形成知识模块，优化知识体系.

?2,a?5.则数列?a?4?的

n

4．作业布置弹性化．

通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间．

等差数列

教学目的：

1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；

2．会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式

教学难点：等差数列的性质

教学过程：

引入：① 5，15，25，35，?和② 3000，2995，2990，2985，?

请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？

共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数；，我们

~ 26 ~

给具有这种特征的数列一个名字——等差数列

二、讲解新课：

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的

差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差

数列②10，8，6，4，2，?； an?10???12?2n 数列③1234;,;,1,?;an?1??1?n 5555555

由上述关系还可得：am?a1?d

即：a1?am?d

则：an?a1?d=am?d?d?am?d

即的第二通项公式an?am?d∴ d=am?an

m?n

如：a5?a4?d?a3?2d?a2?3d?a1?4d

三、例题讲解

例1 ⑴求等差数列8，5，2?的第20项

⑵ -401是不是等差数列-5，-9，

~ 27 ~

-13?的项？如果是，是第几项？

解：⑴由a1?8,d?5?8?2?5??3n=20，得a20?849 ⑵由a1??5,d??9???4得数列通项公式为：an??5?4

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得?401??5?4成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100例2 在等差数列?an?中，已知a5?10，a12?31，求a1,d,a20,an

解法一：∵a5?10，a12?31，则 ?a1?4d?10??a1??2∴an?a1?d?3n?5

??

?d?3?a1?11d?31

a20?a1?19d?55

解法二：∵a12?a5?7d?31?10?7d?d?3

∴a20?a12?8d?55an?a12?d?3n?小结：第二通项公式an?am?d

例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列un中，设数列的第s项和第t项分别为us和ut，计算us?ut

s?t

~ 28 ~

解：通过计算发现us?ut的值恒等于公差

s?t

证明：设等差数列{un}的首项为u1，末项为un，公差为d，?us?u1?d

?

?ut?u1?d⑴-⑵得us?ut?d?

us?ut

?d s?t

小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率

例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各解：设?an?表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列， 由已知条件，可知：a1=33,a12=110，n=12

∴a12?a1?d,即10=33+11d解得：d?7因此，a2?33?7?40,a3?40?7?47,a4?54,a5?61,

~ 29 ~

a6?68,a7?75,a8?82,a9?89,a10?96,a11?103,

答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.

例5 已知数列{an}的通项公式an?pn?q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定?an?是不是等差数列，只要看an?an?1是不是一个与n无关的常解：当n≥2时, ）

an?an?1???pn?q??p为常数

∴{an}是等差数列，首项a1?p?q，公差为

注：①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

②若p≠0, 则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.

③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=p n+q d，并掌握其基本

~ 30 ~

应用.最后，还要注意一重要关系式：an?am?d和an=p n+q 的理解与应用.

?

课题：3.3 等差数列的前n项和

6161,又∵n∈n*∴满足不等式n＜的正整数一共有30个.2

2二、例题讲解例1 .求集合m={m|m=2n－1,n∈n*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.解：由2n－1＜60,得n＜

即 集合m中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1, an30=59,n=30的等差数列.∵sn=2,∴s30

30=2=900.

答案：集合m中一共有30个元素，其和为900.

例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2分析：满足条件的数属于集合，m={m|m=3n+2,m＜100,m∈n*}

解：分析题意可得满足条件的数属于集合，m={m|m=3n+2,m＜100,n∈n*}

~ 31 ~

由3n+2＜100,得n＜322

3,且m∈n*,∴n可取0，1，2，3，…，32.

即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.

把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.

它们可组成一个以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差数列.

由snn=2,得s33

33=2=1650.

答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.例3已知数列?an?,是等差数列，sn是其前n项和，

求证：⑴s6，s12-s6，s18-s12成等差数列；

⑵设sk,s2k?sk,s3k?s2k 成等差数列

证明：设?an?,首项是a1，公差为d

则s6?a1?a2?a3?a4?a5?a6

∵s12?s6?a7?a8?a9?a10?a11?a12

~ 32 ~

36d?s6?36d∵s18?s12?a13?a14?a15?a16?a17?a18

??

??36d??36d∴

?s6,s12?s6,s18?s12是以36d同理可得sk,s2k?sk,s3k?s2k是以kd为公差的等差数列.

三、练习：

1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.

分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.

解：根据题意，得s4=24, s5－s2=27

则设等差数列首项为a1,公差为d, 2

4d?4a??24??12则 ?

?d)?d)?2711?22?

?a1?3解之得：?∴an=3+2=2n+1.d?2?

2．两个数列1, x1, x2, ……,x7, 5和1, y1, y2, ……,y6, 5均成等差数列公

~ 33 ~

差分别是d1, d2, 求x?x2x7d1与1y1?y2y6d2

解：5＝1＋8d1, d1＝d147, 又5＝1＋7d2, d2＝, ∴1＝; d2278

x1+x2+……+x7＝7x4＝7×1?5＝21,2

y1+y2+ ……+y6＝3×＝18,

∴x1?x2x77＝.y1?y2y66

3．在等差数列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求数列{an}的前n项和snsn解法1：∵a4＝a1＋3d, ∴ －15＝a1＋9, a1＝－24,

3n3512512

∴ sn＝－24n＋＝,36226

∴ 当|n－51|最小时，sn最小， 6

即当n＝8或n＝9时，s8＝s9＝－108最小.

解法2：由已知解得a1＝－24, d＝3, an＝－24＋3,

由an≤0得n≤9且a9＝0,

∴当n＝8或n＝9时，s8＝s9＝－108最小.

~ 34 ~

四、小结本节课学习了以下内容：?an?是等差数列，sn是其前n项和，则sk,s2k?sk,s3k?s2k

七、课后记：

~ 35 ~

推荐第5篇：等差数列教案2

等差数列

（二）

目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。 过程：

一、复习：等差数列的定义，通项公式

二、例一 在等差数列an中，d为公差，若m,n,p,qN且mnpq

求证：1 amanapaq 2 apaq(pq)d

证明：1 设首项为a1，则amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)dapaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d

∵ mnpq ∴amanapaq 2 ∵apa1(p1)d

aq(pq)da1(q1)d(pq)da1(p1)d

∴ apaq(pq)d

注意：由此可以证明一个定理：设成AP，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和 ，即：a1ana2an1a3an2

同样：若mn2p 则 aman2ap

例二 在等差数列an中，

1 若a5a a10b 求a15

解：2a10a5a15 即2baa15 ∴ a152ba 2 若a3a8m 求 a5a6

解：a5a6=a3a8m 3 若 a56 a815 求a14

解：a8a5(85)d 即 1563d ∴ d

3从而 a14a5(145)d69333

4 若 a1a2a530 a6a7a1080 求a11a12a1

5 解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ……

∴ 2a6a1a11 2a7a2a12 ……

从而(a11a12a15)+(a1a2a5)2(a6a7a10)

∴a11a12a15=2(a6a7a10)(a1a2a5) =2×8030=130

三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法

1．定义法：即证明 anan1d(常数)

例三 《课课练》第3课 例三

已知数列an的前n项和Sn3n22n，求证数列an成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。

解：a1S1321

当n2时 anSnSn13n22n[3(n1)22(n1)]6n

5n1时 亦满足 ∴ an6n5

首项a11 anan16n5[6(n1)5]6(常数)

∴an成AP且公差为6 2．中项法： 即利用中项公式，若2bac 则a,b,c成AP。

例四 《课课练》第4 课 例一

已知111bccaab，，成AP，求证 ，，也成AP。 abcbca11121

1证明： ∵，，成AP ∴ 化简得：2acb(ac)

abcbac

bcabbcc2a2abb(ac)a2c22aca2c2 acacacac(ac)2(ac)2ac2 = b(ac)acb2bccaab ∴，，也成AP

bca 3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n的一次函数这一性质。

例五 设数列an其前n项和Snn22n3，问这个数列成AP吗？

解： n1时 a1S12 n2时 anSnSn12n3

n12 ∵a1不满足an2n3 ∴ an

2n3n2 ∴ 数列an不成AP 但从第2项起成AP。

四、小结： 略

五、作业： 《教学与测试》 第37课 练习题

《课课练》 第

3、4课中选

推荐第6篇：等差数列求和教案

课题：等比数列前 项和的公式

教学目标

（1）通过教学使学生掌握等比数列前 项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前 项和.

（2）通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质.

（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.教学重点，难点

教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路.教学方法

引导发现法.教学过程

一、新课引入：

（问题见教材第26页）提出问题：1222…229=?

二、新课讲解：

记s1222229，式中有3项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有29项是对应相等的，作差可以相互抵消.即s1222229， ①

2s222229230, ②

②－①得 2ss2301,即s2301; 由此对于一般的等比数列，其前n项和sna1a1qa1q2a1q3a1qn1，如何化简？

等比数列前项n和公式

仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比q，即

sna1a1qa1q2a1q3a1qn1 ③, 两端同乘以q ，得

2sna1qa1q2a1q3a1qn1a1qn

④, ③－④得（提问学生如何处理，适时提醒学生注意 的（1-q）sna1a1qn ⑤，取值）

当q1时，由③可得snna1,（不必导出④，但当时设想不到） 当q1时，由⑤得

a1(1qn)。

sn1q反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.（板书）例题：求和：

s1234n 234n22222设, 其中n为等差数列，为2n等比数列，公比为1，利用错位相减法求和.

2解：

s11111223344nn22222

两端同乘以1，得 2111111 s2233445nn1222222两式相减得

111111ns234nn12222222

于是

， 所以1n11s2n1n(1n)1222ns2n112212

说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.

三、小结：

1.等比数列前n项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；

2.用错位相减法求一些数列的前n项和.

推荐第7篇：等差数列求和教案

一、教学目标：

等差数列求和教案

知识与能力：通理解等差数列的前 项和定义，理解倒序相加的原理，记忆两种等差数列求和公式。

过程和方法：让学生学会自主学习和合作学习，体会特殊到一般的数学方法。 情感态度与价值观：形成严谨的逻辑推理能力，引导对数学的兴趣。

二、教学重点：教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用，已知其中三个量，求另两个值。

教学难点：获得公式推导的思路

三、教学过程 1.新课引入

故事提出问题：泰姬陵是世界七大建筑奇迹之一，位于印度，是国王为他心爱的妃子而建，传说泰姬陵中有一个三角形图案，以相同大小圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案一共有多少颗宝石吗？

（板书）“

2.讲解新课

（板书）等差数列前 项和 公式推导（板书）

问题1“S=1+2+3+4+、、、、+n（倒序相加法）分小组讨论

问题2：

”

，两式左右分别相加，得

，

，

，于是 .于是得到了两个公式： 和

3、知识巩固：（1）；

（2）

4、课堂小结

1.等差数列前 项和公式；

（结果用 表示）

2.倒序相加法和分类讨论法的数学思想

推荐第8篇：等差数列求和教案

等差数列求和

教学目标

1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.

2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想.教学重点，难点

教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路.教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法

讲授法.教学过程 一.新课引入

提出问题（播放媒体资料）：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？（课件设计见课件展示） 二.讲解新课

（板书）等差数列前 项和公式 1.公式推导（板书）

问题（幻灯片）：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，

由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一：运用基本量思想，将各项用 和 表示，得

，有以下等式

，问题是一共有多少个

，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二：

上面的等式其实就是

，

，为回避个数问题，做一个改写

，两

式左右分别相加，得

，

于是有： .这就是倒序相加法.思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得 ，于是

.于是得到了两个公式（投影片）： 和 .2.公式记忆

用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式.

3.公式的应用

公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.

例1.求和：（1） ；

（2） （结果用 表示）

解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.

例2.等差数列 中前多少项的和是9900？

本题实质是反用公式，解一个关于 的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.三.小结

1.推导等差数列前 项和公式的思路；

2.公式的应用中的数学思想.

推荐第9篇：等差数列复习教案

等差数列

高考考点：

1.等差数列的通项公式与前n项和公式及应用；

2.等差数列的性质及应用.

知识梳理:

1.等差数列的定义：

2.等差中项

3.通项公式

4.前n项和公式

5.等差数列的性质（基本的三条）

典型例题：

一.基本问题

例：在等差数列an中

（1）已知a1533，a45153，求a61

（2）已知S848，S12168，求a1和d

（3）已知a163，求S31

变式：（1）（2008陕西）已知an是等差数列，a1a24，a7a828，则该数列的前10项的和等于（ ）

A.64B.100C.110D.120

(2) (2008广东)记等差数列an的前n项和为Sn，若a1

A.16B.24C.36D.48 1，则S6（） S420，2

二.性质的应用

例：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146。，且所有项的和为390，则这个数列有_____项

（2）已知数列an的前m项和是30，前2m项的和是100，则它的前3m项的和是______

（3）设Sn和Tn分别为两个等差数列的前n项和，若对于任意的nN，都有*Sn7n1，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比为________ Tn4n27

变式：（1）已知等差数列an中，a3，a15是方程x6x10的两根，则2

_a7a8a9a10a11_____

（2）已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且An5n63，则Bnn3使得

an为整数的正整数n的个数是________ bn

三.等差数列的判定

例：已知数列an的前n项和为Sn且满足an2Sn1Sn(n2)，a11

（1）求证：1是等差数列 Sn

（2）求an的表达式

变式：数列an中，a1

an1，an1，求其通项公式 2an1

四.综合应用

例：数列an中，a18，a42，且满足an22an1an，nN *

（1）求数列an的通项公式；

（2）当n为何值时，其前n项和Sn最大？求出最大值;

(3)设Sna1a2an，求Sn

变式：（08四川）设等差数列an的前n项和为Sn，若S410，S515，则a4的最大值是_______

课后作业

1.（09年山东）在等差数列an中，a37，a5a26，则a6______

2.若xy，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，y 各自成等差数列，则

A.a2a1（ ） b2b12433B.C.D.3324

3.集合A1,2,3,4,5,6，从集合A中任选3个不同的元素组成等差数列，这样的等差数列共有（）

A.4个B.6个C.10个D.12个

4.(09安徽)已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）

A.21B.20C.19D.18

5.（10浙江）设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150，则d的取值范围是___________

6.已知数列an中，a13,anan112an(n2,nN*)，数列bn满足5

bn1(nN*) an1

（1）.求证：数列bn是等差数列

（2）.求数列an中的最大项和最小项

推荐第10篇：高中数学等差数列教案

等差数列

教学目的：

1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；

2．会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式

教学难点：等差数列的性质

教学过程：

引入：① 5，15，25，35，„和② 3000，2995，2990，2985，„

请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？

共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列

二、讲解新课：

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的

差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{an},若an－an1=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公

2．等差数列的通项公式：ana1(n1)d【或anam(nm)d】 an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：a2a1d即：a2a1d

a3a2d即：a3a2da12d

a4a3d即：a4a3da13d

„„

由此归纳等差数列的通项公式可得：ana1(n1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项a如数列①1，2，3，4，5，6； an1(n1)1n（1≤n≤6）

数列②10，8，6，4，2，„； an10(n1)(2)122n（n≥1） 数列③1234;,;,1,;an1(n1)1n（n≥1） 5555555

由上述关系还可得：ama1(m1)d

即：a1am(m1)d

则：ana1(n1)d=am(m1)d(n1)dam(nm)d

即的第二通项公式anam(nm)d∴ d=aman

mn

如：a5a4da32da23da14d

三、例题讲解

例1 ⑴求等差数列8，5，2„的第20项

⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13„的项？如果是，是第几项？

解：⑴由a18,d58253n=20，得a208(201)(3)49 ⑵由a15,d9(5)4得数列通项公式为：an54(n1)

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得40154(n1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100例2 在等差数列an中，已知a510，a1231，求a1,d,a20,an

解法一：∵a510，a1231，则 a14d10a12∴ana1(n1)d3n5



d3a111d31

a20a119d55

解法二：∵a12a57d31107dd3

∴a20a128d55ana12(n12)d3n小结：第二通项公式anam(nm)d

例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列un中，设数列的第s项和第t项分别为us和ut，计算usut

st

解：通过计算发现usut的值恒等于公差

st

证明：设等差数列{un}的首项为u1，末项为un，公差为d，usu1(s1)d



utu1(t1)d⑴-⑵得usut(st)d

usut

d st

(1) (2)

小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率

例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各解：设an表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列， 由已知条件，可知：a1=33,a12=110，n=12

∴a12a1(121)d,即10=33+11d解得：d7因此，a233740,a340747,a454,a561,

a668,a775,a882,a989,a1096,a11103,

答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.

例5 已知数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看anan1（n≥2）是不是一个与n无关的常解：当n≥2时, （取数列an中的任意相邻两项an1与an（n≥2））

anan1(pnq)[p(n1)q]pnq(pnpq)p为常数

∴{an}是等差数列，首项a1pq，公差为

注：①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

②若p≠0, 则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.

③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=p n+q (p、q是常数3通项公式

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足

3四、练习：

1.（1）求等差数列3，7，11，„„的第4项与第10项.解：根据题意可知：a1=3,d=7－3=4.

∴该数列的通项公式为：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈N*） ∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.（2）求等差数列10，8，6，„„的第20项.解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.

∴该数列的通项公式为：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.

（3）100是不是等差数列2，9，16，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7.

∴此数列通项公式为：an=2+（n－1）×7=7n－5.令7n－5=100,解得：n=15,∴100是这个数列的第15项.

（4）－20是不是等差数列0，－31，－7，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：

由题意可知：a1=0,d=－31∴此数列的通项公式为：an=－7n+7,令－7n+7=－20,解得n=47

2227

因为－7n+7=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.2.在等差数列{an}中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1与d; （2）已知a3=9, a9=3,求a12.

a11.解：（1）由题意得：a13d10,解之得：

d3a16d19（2）解法一：由题意可得：a12d9,解之得a111



d1a18d3

∴该数列的通项公式为：an=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d,∴d=－1 又∵a12=a9+3d,∴a12=3+3×（－1）=0.Ⅳ.课时小结

五、小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an1=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：ana1(n1)d，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：anam(nm)d和an=p n+q (p、q是常数)的理解与应用.



第11篇：人教版等差数列教案

等差数列

本节课讲述的是人教版高一数学（上）§3.2等差数列（第一课时）的内容。

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

2、教学目标

理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；

3、教学重点和难点

①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。

二、学情分析对于高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

二、教法分析

本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。

三、教学程序

本节课的教学过程由

（一）复习引入

（二）新课探究

（三）应用举例

（四）归纳小结

（五）布置作业，五个教学环节构成。

(一)复习引入：

上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子)

(1)0，5，10，15，20，25，…;

(2)48，53，58，63，…;

(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…;

(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366

(二) 新课探究

1、由引入自然的给出等差数列的概念：

如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

强调：

① ―从第二项起‖满足条件；

②公差d一定是由后项减前项所得；

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调―同一个常数‖ ）；

在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式： an+1-an=d(n≥1)

同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。

1.9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=-1

2.0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d=0.01

3.0，0，0，0，0，0，…….;√ d=0

4.1，2，3，2，3，4，……；×

5.1，0，1，0，1，……×

其中第一个数列公差0,第三个数列公差=0

由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0 ，当d=0，an 为常数列。

2、第二个重点部分为等差数列的通项公式

若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d,

则据其定义可得：

a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d

a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d

a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d

……

猜想: a40 = a1 +39d

进而归纳出等差数列的通项公式：

an=a1+(n-1)d

此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法：a2 – a1 =d

a3 – a2 =d

a4 – a3 =d

……

an – an-1=d

将这（n-1）个等式左右两边分别相加,就可以得到an– a1= (n-1) d即 an= a1+(n-1) d （第一通项公式）

当n=1时，（1）也成立，

所以对一切n∈N＊，上面的公式都成立

因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。

在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到―注重方法，凸现思想‖ 的教学要求

am 与an有什么关系呢？

am=a1+(m-1)d①

an=a1+(n-1)d②

a1=am-(m-1)d代入②得an=am-(m-1)d+(n-1)d 即：an=am+(n-m)d(第二通项公式)

（三）应用举例

【例1】 （1）求等差数列8，5，2,…的第20项;

（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

分析（1）

这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗?

首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.

分析（2）

由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1).

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项.

【例2】 已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

例题分析：

由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要根据什么?

只要看差an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数.

说得对，请你来求解.

当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)〕

an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p为常数,

所以我们说{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p.

这里要重点说明的是：

(1)若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，….

(2)若p≠0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.

(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第三通项公式.

（五）归纳小结1.等差数列的概念及数学表达式．

强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数

2.等差数列的通项公式 an= a1+(n-1) d会知三求一

(六)布置作业

必做题：课本P114习题3.2第2，6 题

五、板书设计

第12篇：等差数列教案4

等差数列（1）

教学内容与教学目标

1．使学生理解等差数列的定义，掌握通项公式及其简单应用，初步领会“迭加”的方法；

2．通过通项公式的探求，引导学生学习归纳、猜测、证明等合情推理与逻辑推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力；

3．通过证明的教学过程，培养学生实事求是的科学态度和勇于探索的精神．

设计思想

1．根据本节内容，我们选用“探究发现式”教学法，并按如下顺序逐步展开：

(1) 给等差数列下定义；

(2) 等差数列通项公式的探求；

(3) 通项公式的初步应用．

2．在讲等差数列概念之前，学生对数列的定义及通项公式已有所理解．在此基础上，通过引导学生对几个具体数列共性（差相等）的观察研究，让学生自己给等差数列下定义────把命名权交给学生，旨在充分发挥学生的主体作用．

3．“观察───归纳───猜想───证明”是获得发现的重要途径．因此，在探求等差数列的通项公式时，我们选择了上述途径，一方面可提高学生的合情推理与逻辑推理能力，另一方面，为落实教学目标打下了坚实的基础．

课题引入

通过请学生观察几个具体的数列的特点．例如：

(1) 1，4，7，10，„；

(2) 3，－1，－5，－9，„；

(3) 5，5，5，5，„，

并由学生自行分析（必要时老师可作点拨）得出“从第2项起每一项与它前一项的差都等于同一个常数”这一共性，随即请学生给这类数列命名（学生易将这类数列称作“差相等的数列”或“等差数列）”，师肯定学生的回答，或稍作提炼，并顺水推舟，指出这是我们今天将要研究的内容───等差数列（板书），以此引出课题．

知识讲解

1．关于等差数列的定义

(1) 教学模式：由学生观察分析几个具体数列的共性───给这类数列命名（等差数列）───给等差数列下定义───分析两个要点的作用───用符号语言描述定义───指出定义的功能．

采用这一教学模式，主要目的是充分发挥学生的主体作用，教师的主导作用主要体现在必要的点拨上．

(2) 等差数列的定义有两个要点．一是“从第2项起”．这是为了确保每一项与前一项差的存在性；二是“差等于同一个常数”，这是等差数列的基本特点“差相等”的具体体现．

2．+关于等差数列的通项公式

(1) 教学模式：试验───归纳───猜想───证明───鉴赏．即试着求出a1，a2，a3，a4，并对此进行分析归纳，猜想出通项公式，再加以证明，最后从数形结合的角度揭示公式的内涵．

采用这一教学模式，可帮助学生学习合情推理与逻辑推理的方法，提高学生的发现能力和逻辑思维能力，培养学生思维的科学性和严密性以及勇于探索的精神．

(2) 通项公式的证明：

方法1（利用迭加法）：

在an－an－1=d中，取下标n为2，3，„，n，

得a2－a1=d，a3－a2=d，a4－a3=d，„，an－an－1=d．

把这n－1个式子相加并整理，

得an= a1＋（n－1）d．

又当n=1时，左边= a1，右边= a1＋（1－1）d= a1．

公式也适用．故通项公式为an= a1＋（n－1）d（n=1，2，3，„）．

方法2（利用递推关系）

an= an－1＋d

= an－2＋2d

= an－3＋3d（注意ak的下标与d的系数的关系）

=„

= a1＋（n－1）d．

（n=1时的验证同方法1）．

(3) 公式鉴赏：

① 通项公式可表示为an=dn＋c（其中c= a1－d，nN）的形式，n的系数即为公差．当d≠0时，an是定义在自然数集上的一次函数，其图象是一次函数y=dx＋c（xR）的图象上的一群孤立的点．

② 通项公式中含有a1，d，n，an四个量，其中a1和d是基本量，当a1和d确定后，通项公式便随之确定．从已知和未知的角度看，若已知其中任意三个量的值，即可利用方程的思想求出第四个量的值（即知三求一）．

例题分析

考虑到本节课是等差数列的起始课，因此例题应围绕等差数列的定义及通项公式这两个知识点选配．

例1．求等差数列8，5，2，„的第20项．

通过本题的求解，使学生初步掌握通项公式的应用，运用方程的思想“知三求

一” ．

本例在探求出通项公式以后给出．

分析与略解：欲求第20项a20，需知首项a1与公差d．现a1为已知，因此只需*求出d，便可由通项公式求出a20．事实上，

∵ a1=8，d=5－8=－3，n=20，

∴ a20=8＋（20－1）×（－3）= －49．

例2．已知数列－2，1，4，„，3n－5，„，

(1) 求证这个数列是等差数列，并求其公差；

(2) 求第100项及第2n－1项；

(3) 判断100和110是不是该数列中的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由．

通过本例的求解，加深学生对定义及其功能的理解和认识，并能利用方程的思想解决问题．

本例可在讲完定义后给出，也可在获得通项公式以后给出．

分析：对(1)，只需利用定义证明an＋1－an等于常数即可，并且这个常数即为公差；对(2)，从函数的角度看，只需将an=3n－5中的n分别换成100及2 n－1即得a100和a2n－1；对(3)，只需利用方程的思想，由an=100或an=110分别求出n，若求出的n为正整数，则可判定该数是这个数列中的项，并且这个正整数是几，该数就是这个数列中的第几项；若n不是正整数，则该数不是这个数列中的项．

略解：(1)由于an＋1－an=3（n＋1）－5－（3 n－5）=3（常数），

故这个数列是等差数列，且公差d=3．

(2) ∵ an=3 n－5，

∴ a100 =3×100－5=295，

a2n－1=3（2n－1）－5=6n－8．

(3) 设3 n－5=100，解得n=35，

∴ 100是这个数列中的项，并且是第35项；

设3 n－5=110，解得n=115

3N*，

∴ 110不是这个数列中的项．

小结或总结

本节课我们主要研究了等差数列的定义和它的通项公式．等差数列的定义是判断一个数列是否是等差数列的依据之一，通项公式是通项an与项数n的关系的一种解析表示，它从函数和方程两个角度为我们求解问题提供了有力的工具．通过给等差数列下定义及自行探求通项公式，使我们领略了合情推理与逻辑推理在探索、发现知识方面的重要作用．

习题

1．已知等差数列｛an｝中，a1=5．6，a6=20．36，则a4=．

2．已知数列｛an｝的通项公式是an=－2 n＋3，证明｛an｝是等差数列，并求出公差、首项及第2 n＋5项．

3．在数列｛an｝中，a1=－2，2 an＋1－1=2an，则，a51等于，（）．

(A) 20 (B) 21 (C) 22

参考答案 (D) 2

3１．14．6

2．∵ an＋1－an= －2，∴｛an｝是等差数列，且d= －2，a1=1，

a2n＋5= －4 n－7．

3．D．

引申与提高

除了等差数列的定义以外，通项公式也是判断一个数列是否是等差数列的依据之一．我们把通项公式改写成a1= an＋（n－1）·（－d）（*），并把它与原通项公式比较，易知两者形式是完全一样的．这里可视an为首项，a1为第n项，这个数列由原数列中前n项反序书写而得，即an，an－1，an－2，„，a2，a1．由（*）式知它仍成等差数列，并且公差为－d．由此知，从正、反两个不同的顺序看待“同一个”等差数列时，各自“等差”的特点保持不变，但公差互为相反数．

思 考 题

１．已知数列－5，－3，－1，1，„是等差数列，判断2n＋7（n∈N*）是否是该数列中的项？若是，是第几项？

略解：∵ d= －3－（－5）=2，

∴ an= －5＋（n－1）×2=2 n－7．

而2n＋7=2（n＋7）－7，

∴ 2n＋7是该数列中的第n＋7项．

２．已知数列－5，－3，－1，1，„是等差数列，判断2n＋7（n∈N*）是否是该数列中的项？若是，是第几项？

略解：∵ d= －3－（－5）=2，

∴ an= －5＋（n－1）×2=2 n－7．

而2n＋7=2（n＋7）－7，

∴ 2n＋7是该数列中的第n＋7项．

测 试 题

22．且｛an｝是等差数列，则1．已知数列an的前4项分别为25，

238是数列an中的（）．

(B) 第49项

an1(A) 第48项 (C) 第50项 31an(D) 第51项 2．已知数列｛an｝中，a1=1，则a98=．

3．一个首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围．

参考答案

１．D．

2．1

292．提示：｛1an｝是公差为3的等差数列，求出1an后再求an，进而求出

a98．

a100249d083．由，即，解得＜d≤3.3248d90a90

∴d的取值范围是，3．

38

第13篇：等差数列求和教案

等差数列求和

教学目标

1.掌握等差数列前

项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.

项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前

项和公式 （1）了解等差数列前

推导的过程，记忆公式的两种形式；

（2）用方程思想认识等差数列前 公式与前

项和的公式，利用公式求 ；等差数列通项项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；

（3）会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.

2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.

3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.教学建议 （1）知识结构

本节内容是等差数列前 前

项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题． （2）重点、难点分析

教学重点是等差数列前

项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路．

推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要．等差数列前 变用公式、前 项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想．

高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上． （3）教法建议

①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前 式综合运用.

②前 项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活.

项和公

③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法.

④补充等差数列前

项和的最大值、最小值问题.

项和公式.

⑤用梯形面积公式记忆等差数列前

等差数列的前教学目标

1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式教学设计示例

项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.

2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想.教学重点，难点 教学重点是等差数列的前 教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法

讲授法.

项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路.教学过程 一.新课引入

提出问题：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？

问题就是（板书）“ ”

这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，„，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.

我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？ 二.讲解新课 （板书）等差数列前 1.公式推导（板书） 项和公式

问题（幻灯片）：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，

由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一：运用基本量思想，将各项用 和 表示，得

，有以下等式

，问题是一共有多少个

，似乎与

的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二： 上面的等式其实就是

，

，为回避个数问题，做一个改写

，两

式左右分别相加，得

，

于是有： .这就是倒序相加法.思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得 ，于是

.于是得到了两个公式（投影片）： 和 .2.公式记忆

用梯形面积公式记忆等差数列前 等差数列前 项和的两个公式.

项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着

3.公式的应用

公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一. 例1.求和：（1） ；

（2） （结果用 表示）

解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.

例2.等差数列 中前多少项的和是9900？

本题实质是反用公式，解一个关于 三.小结

1.推导等差数列前

的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.

项和公式的思路；

2.公式的应用中的数学思想.四.板书设计

第14篇：4年级等差数列教案

第1讲 等差数列—计算篇

姓名 日期

什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：

①1，2，3，4，5，6，7，8，9，„ ②1，3，5，7，9，11，13 ③2，4，6，8，10，12，14„ ④3，6，9，12，15，18，21 ⑤100，95，90，85，80，75，70 ⑥20，18，16，14，12，10，8 同学们，我们来总结一下等差数列公式

等差数列求和公式=

项数公式：项数＝

末项=

首项=

【典型例题】

由。 例

1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理① 6，10，14，18，22，„，98； ② 1，2，1，2，3，4，5，6； ③ 1，2，4，8，16，32，64； ④ 9，8，7，6，5，4，3，2； ⑤ 3，3，3，3，3，3，3，3； ⑥ 1，0，1，0，1，0，1，0；

例

2、有一个数列：

4、

7、

10、

13、„、25，这个数列共有多少项？

例

3、已知等差数列2，5，8，11，14，„„，它的公差是多少？它的第15项是什么？

例

4、计算2+4+6+8+„+200的和。

例

5、计算（1+3+5+„+l99l)-（2+4+6+„+1990）

随堂小测

成 绩：

1．找出规律后填出下面数列中括号里的数，并在等差数列的题号前打“√”。

（1）5，11，17，（

） （2）8，14，20，（

），32 （3）9，18，27，36，45，（

）

2．已知等差数列6，11，16，„„，求这个数列的公差是多少？它的第15项是什么？

3.（1）等差数列3，6，9，„„，423是它的第几项？

（2）等差数列2，4，6，„„，500，它一共有几项？

4．1+2+3+4+5+6+„„+50-100

5．9+3+17+21+25+29

6.求等差数列3，11，19，27，35，„„

(1)第18个数是多少？ (2)235是第几个数？

开心作业

成 绩： 家长签名：

1．已知等差数列1，9，17，25，„„，它的公差是多少？它的第25项是多少？

2．2+5+8+11+14+17+20

3．1+2+3+4+5+„„+100

4．15+16+17+„„+33+34

5．求等差数列2，7，12，„„,第20项是什么？ 第2讲 等差数列—应用题篇

姓名 日期

同学们，我们来复习一下等差数列公式

等差数列求和公式=

项数公式：项数＝

末项=

首项= 【典型例题】

例

1、小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。这本书共有多少页？

例

2、有一座挂钟，一点钟敲一下，二点钟敲两下，三点钟敲三下，„„，十二点钟敲十二下，每半点也敲一下，问一昼夜共敲多少下？

例

3、电影院有28排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有100个座位，这个电影院共有多少个座位？

例

4、建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根？

例

5、把自然数按下图的形式排列，它的第一行是1，2，4，7，11，„„，那么第一行的第100个数是几？

1，2，4，7，11„„ 3，5，8，12„„ 6，9，13„„ 10，14„„ 15„„

随堂小测

成 绩：

1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？

2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有多少个？

3、小李读一本短篇小说，她第一天读了20页，每天都比前一天多读2页，最后一天读了42页，一共读了多少天？

4、一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。一共有多少根圆木？

开心作业

成 绩： 家长签名：

1、一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高4厘米。它从离地面10厘米处开始跳，如果把这一处称为小虫第一次落脚点，那么它的第100个落脚点正好是树梢，这棵树高多少厘米？

2、在等差数列13，19，25，31，37„„中，457是第几项？

3、一个九层的书架上最上面一层放了39本书，最下面一层放了15本书，已知相邻两层书相差的本数相等。请问第5层放了多少本书？

4、在124和245之间插入10个数以后，使它成为一个等差数列。这10个数中，最小的是几？最大的是几？

第15篇：§2.2等差数列1教案

简案

§2.2等差数列1

（一）情景设置 —— 教学引入

处理方式：大屏幕显示课本四组数列，通过老师提问，学生讨论，得出这四个数列的共同特征，从而为引出等差数列的概念做铺垫

（1）0 5 10 15 20 … … （2）48 53 58 63 （3）18 15.5 13 10.5 8 5.5 （4）10072 10144 10216 10288 10360 教师提出问题：以上四个数列有什么共同的特征？

（二）新知探究

（1）等差数列的定义

处理方式：老师板书给出等差数列的定义，通过几个问题的设置，同学们经过思考讨

论，更深入的体会等差数列的概念。

a) 多媒体展示定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。 b) 设置问题，形成概念：

问题1：等差数列的概念中的几个关键点是什么？

答：第2项、每一项与它的前一项、同一个常数

问题2：如何用数学语言来描述等差数列的定义？

答：anan1d(n2,nN*)或an1and(n1,nN*)

c) 即时巩固

问题3：请同学们判断一下，以上这几组数列是否为等差数列？

(1)1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10 (2)5，5，5，5，5，5，…

(3)2，0，-2，-4，-6，-8,…（学生共同回答） 答：（1）不是等差数列；（2）等差数列，公差为0；（3）等差数列，公差为

-2

问题4：上述4组数列的公差各是多少？ 答：5，5，-2.5，72 （2）等差数列的通项公式

处理方式： 通过问题的设置，一步步引导学生由具体到特殊，利用等差数列的定义猜想一般情况下等差数列的通项公式。在次过程中使学生体会归纳、猜想在得出新结论中的作用。同时引导学生用多种方式推导等差数列的通项公式，开阔其思维。

问题1：上述4组数列的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ （师生一起探讨）

问题 2：若一个无穷等差数列{an}，首项是a1，公差为d，怎样得到等差数列的通项公式？

a2a1d 即：a2a1d

简案

a3a2d 即：a3a2da12d a4a3d 即：a4a3da13d

… …

至此，让学生自己猜想通项公式是什么。 答：ana1(n1)d

问题3：此处由归纳得出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用数学归纳法的知识，在这里，我们暂且先承认它，我们能否再探索一下其他的推导方法？

答：叠加法：｛an｝是等差数列，所以：

anan1d

an1an2dan2an3d … …

a2a1d

两边分别相加得：

ana1(n1)d（n2,nN）又当n1，符合上式 所以：ana1(n1)d

迭代法：｛an｝是等差数列，则：

anan1d=a1(n1)d

an22dan33d = … …

所以：ana1(n1)d

由以上关系还可得：ama1(m1)d 即：

a1a(m1) dm则

：

ana1(n1)dam(m1)d(n1)d

=am(nm)d 即得等差数列的第二通项公式:

anam(nm)d

简案

（三）例题讲解，规范解题

问题 1 （1）求等差数列8，5，2…的第20项

（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

处理方式：屏幕显示题目。（1）题目较为简单，可以由学生回答。（2）由老师分析板演，过程中要提醒学生注意解题规范。

解：（1）由a18,d58253，n=20，得

a208(201)(3)49

（2）由a15,d9(5)4，得数列通项公式为：

an54(n1)

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得40154(n1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项

问题2 数列｛an｝满足an3n5(nN*)，问数列｛an｝是等差数列吗？ 处理方式：引导学生根据等差数列的定义求解，就是看anan1 (n2)是不是一个与n无关的常数。

解：anan13n3(n1)53

故｛an｝是等差数列

问题3 已知数列｛an｝的通项公式anpnq，其中p、q为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？

处理方式：问题3是问题2的引申，问题2由师生共同完成，故本题可以指定学生回答（老师可以引导），考查学生对问题2的把握程度。 解：取数列｛an｝中任意两项an和an1 (n2)

anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p 它是一个与n无关的常数，所以｛an｝是等差数列。

并且：a1pq dp

（四）归纳提升

处理方式：结合问题3和书本例3下面的探究，让学生从数与形上进一步认识到等差数列的通项公式与一次函数之间的关系。

1.等差数列的图象是均匀分布在一条直线上的一群孤立的点。

2.数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数

简案

①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

②若p≠0, 则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q (p、q是常数)，称其为第3通项公式。

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。

第16篇：高中数学等差数列教案(二)

课题：3.3 等差数列的前n项和

（二）

6161,又∵n∈N*∴满足不等式n＜的正整数一共有30个.2

2二、例题讲解例1 .求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.解：由2n－1＜60,得n＜

即 集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1, an(a1an)30=59,n=30的等差数列.∵Sn=2,∴S30(159)

30=2=900.

答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.

例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}

解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*} 由3n+2＜100,得n＜322

3,且m∈N*,∴n可取0，1，2，3，…，32.

即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.

把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.

它们可组成一个以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差数列.

由Sn(a1an)n=2,得S33(298)

33=2=1650.

答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.例3已知数列an,是等差数列，Sn是其前n项和，

求证：⑴S6，S12-S6，S18-S12成等差数列；

⑵设Sk,S2kSk,S3kS2k （kN）成等差数列

证明：设an,首项是a1，公差为d

则S6a1a2a3a4a5a6

∵S12S6a7a8a9a10a11a12

(a16d)(a26d)(a36d)(a46d)(a56d)(a66d)(a1a2a3a4a5a6)36dS636d∵S18S12a13a14a15a16a17a18

(a76d)(a86d)(a96d)(a106d)(a116d)(a126d)

(a7a8a9a10a11a12)36d(S12S6)36d∴

S6,S12S6,S18S12是以36d同理可得Sk,S2kSk,S3kS2k是以kd为公差的等差数列.

三、练习：

1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.

分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.

解：根据题意，得S4=24, S5－S2=27

则设等差数列首项为a1,公差为d, 2

4(41)d4a2412则 

(5a5(51)d)(2a2(21)d)271122

a13解之得：∴an=3+2（n－1）=2n+1.d2

2．两个数列1, x1, x2, ……,x7, 5和1, y1, y2, ……,y6, 5均成等差数列公差分别是d1, d2, 求xx2x7d1与1y1y2y6d2

解：5＝1＋8d1, d1＝d147, 又5＝1＋7d2, d2＝, ∴1＝; d2278

x1+x2+……+x7＝7x4＝7×15＝21,2

y1+y2+ ……+y6＝3×(1＋5)＝18,

∴x1x2x77＝.y1y2y66

3．在等差数列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求数列{an}的前n项和SnSn解法1：∵a4＝a1＋3d, ∴ －15＝a1＋9, a1＝－24,

3n(n1)3512512

∴ Sn＝－24n＋＝[(n－)－],36226

∴ 当|n－51|最小时，Sn最小， 6

即当n＝8或n＝9时，S8＝S9＝－108最小.

解法2：由已知解得a1＝－24, d＝3, an＝－24＋3(n－1),

由an≤0得n≤9且a9＝0,

∴当n＝8或n＝9时，S8＝S9＝－108最小.

四、小结本节课学习了以下内容：an是等差数列，Sn是其前n项和，则Sk,S2kSk,S3kS2k （kN

五、课后作业：

1．一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.解：由(n－2)·180＝100n＋n(n1)×10， 2

求得n2－17n＋72＝0,n＝8或n＝9,

当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8.

2．已知非常数等差数列{an}的前n项和Sn满足

10Snm23n2(m1)nmn

解：由题设知

2n2(n∈N, m∈R), 求数列{a5n3}的前n项和.Sn＝lg(m32

即 Sn＝[(m1)n2mn(m1)n2mn)＝lgm＋nlg3＋lg2, 52(m1)mlg2]n2＋(lg3＋lg2)n＋lgm2,55

∵ {an}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 (m1)lg2≠0且lgm2＝0, ∴ m＝－1, 5

212 ∴ Sn＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,55

3 则 当n=1时，a1＝lg3lg2 5

21当n≥2时,an＝Sn－Sn1＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2) 55

41＝nlg2lg3lg2 55∴

41nlg2lg3lg2 55

4 d=an1an=lg2 5

41a5n3=(5n3)lg2lg3lg2 55

11=4nlg2lg3lg2 5

31数列{a5n3}是以a8=lg3lg2为首项,5d=4lg2为公差的等差数列，∴数列5∴an＝

{a5n3}的前n项和为

n·(lg331211lg2)＋n(n－1)·(4lg2)＝2n2lg2(lg3lg2)n 255

3．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.

解：设这个数列的首项为a1, 公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等12a166d35432, 解得d＝5.差数列，由已知得6a230d6a130d27

解法2：设偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇，则由已知得

S偶S奇354S32,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d, ∴ d＝5.偶S27奇

4．两个等差数列，它们的前n项和之比为5n3, 2n1

解：a9a1a17b9b1b1717(a1a17)S8.17\'17S173(b1b17)2

5．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110 解：在等差数列中，

S10, S20－S10, S30－S20, ……, S100－S90, S110－S100, 成等差数列，∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，

10S10＋109·D＝S100＝10, 解得D＝－22 2

∴ S110－S100＝S10＋10×D＝－120, ∴ S110＝－110.

6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13

值范围；

(2) 指出S1, S2, S3, ……, S121211S12ad01122a111d02解：(1) ,1312a6d01S1313a1d02

∵ a3＝a1＋2d＝12, 代入得247d024, ∴ －

(2) S13＝13a70, ∴ a6＋a7>0, ∴a6>0,S6最大.

六、板书设计（略）

七、课后记：

第17篇：等差数列复习课教案

等差数列复习课

(一) 三维目标

1． 知识与技能：复习等差数列的定义、通项公式、前n项和公式及相关性质.2． 过程与方法：师生共同回忆复习，通过相关例题与练习加深学生的理解.3． 情感与价值：培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识.(二) 教学重、难点

重点：等差数列相关性质的理解。 难点：等差数列相关性质的应用。 (三) 教学方法

师生共同探讨复习本课时的主要知识点，再通过例题、习题加深学生的应用意识，本节课采用多媒体辅助教学。 (四) 课时安排 1课时

(五) 教具准备 多媒体课件 (六) 教学过程 Ⅰ知识回顾

1、等差数列定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

2、等差数列的通项公式

如果等差数列an首项是a1，公差是d，则等差数列的通项公式是ana1(n1)d。 注意：等差数列的通项公式整理后为annd(a1d)，是关于n的一次函数。

3、等差中项

如果a,A,b成等差数列，那么A叫着a与b的等差中项。 即：Aab，或 2Aab。

24、等差数列的前n项和公式

等差数列an首项是a1，公差是d，则Sn注意：

1) 该公式整理后为snn(a1an)n(n1)d。 =na122d2dn(a1)n，是关于n的二次函数，且常数项为0。 222) 等差数列的前n项和公式推导过程中利用了“倒序相加求和法”。

5、等差数列的判断方法 a) 定义法：

对于数列an，若an1and（常数），则数列an是等差数列。 b) 等差中项法：

对于数列an，若2an1anan2，则数列an是等差数列。

6、等差数列的性质

1．等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项， am是等差数列的第m项，公差为d，则有anam(nm)d。

2．对于等差数列an，若 nmpq 则，anamapaq。

3．若数列an是等差数列， Sn是其前n项的和， kN ，那么Sk， S2kSk ，

*S3kS2k成公差为n2d的等差数列。

II例题解析

例1：等差数列an中，若a2 = 10，a6= 26 ，求a14 解：略

练习1：等差数列an中，已知a1=

1 ，a2+ a5 =4 3an = 33，则n是（

）

A.48

B.49

C.50

D.51 例2：在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求它们的和。 解：略

练习2：等差数列an中, a1a2a324，a18a19a2078，则此数列前20项的和等于（

）

A.160

B.180

C.200

D.220 例3：已知数列an的前n项和snn23，求 an 解：略

练习3：设等差数列an的前n项和公式是sn(5n23n)，求它的通项公式__________ 例4：已知等差数列an , 若a2+ a3 +a10+a11 =36 ，求a5+ a8 解：略

练习4：已知等差数列an中, a2+a8=8,则该数列前9项和等于 （

）

A.18

B.27

C.36

D.4 5 例5：已知数列 an是等差数列, bn= 3an + 4，证明数列bn 是等差数列。 证明：略

2练习5：已知数列an的通项公式anpn3n

(pR)

当p满足什么条件时，数列an是等差数列。 III课堂练习见课件

IV课时小结

本节课主要复习了等差数列的概念、等差数列的通项公式与前n项和公式，以及一些相关的性质。掌握等差数列通项公式和前n项和公式；利用性质：掌握等差数列的重要性质；掌握一些比较有效的技巧。 V布置作业 课外补充 VI板书设计

第18篇：等差数列

数列

（一）

----等差数列

一．等差数列的定义：anan1d(n2)

二．两个重要公式：

（1） 通项公式ana1(n1)d；（推到：叠加法）

（2） 前n项和公式sn

三．等差数列中的转化

1.联系基本量（知三求二）an(a1,d)Sn a1ann(n1)nna1d。（倒序相加） 22

2.等差数列的重要性质

（1）anam(nm)d；

（2）当mnpq时,则有amanapaq（若bac，则称b为a与c的等差中项）；

2（3）sn,s2nsn,s3ns2n成等差数列；

n1s1ansnsn1n2 （4）a1ansnn2

四．例题讲解

题型

一、等差数列的判断或证明 例1 设{an}是等差数列，求证：以bn=

等差数列.变式：数列{an}的前n项和Snn22n(nN*)判断数列{an}是否为等差数列，并证明你的结论。

练习：设{an}是等差数列，证明数列{Aan}（A为常数）为等差数列。

第1页 a1a2an nN*为通项公式的数列{bn}为n1

2思考：已知数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

注意：判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自

anaa(n1为同一常数。(2)通项公式法。 然数,验证nan

12(3)中项公式法:验证2ana(ana)nN都成立。 1n1anann2

2题型

二、差数列的性质运算

例2（1）（2005福建卷）已知等差数列{an}中，a7a916,a41,则a12的值是

（） A．15 B．30 C．31 D．6

4（2）（2007辽宁卷）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（）

A．63B．45C．36D．27

2变式

1、（2009海南卷）等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1am0，

S2m138,则m（）

（A）38（B）20（C）10（D）9

2、（04年全国卷三.理3）设数列{an}是等差数列，且a26，a86，Sn是数列{an}的前n项和，则

（A）S4S5（B）S4S5（C）S6S5（D）S6S5 练习：

1、设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，则aa1a2a380，a112131a（）

A．120 B．105C．90 D．7

52、（2007陕西卷）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S22,S410,则S6等于（）

A．12B．18C．24D．

423、（2010辽宁文数）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S33，S624，则a9

作业：

3159，，，，…的一个通项公式是（） 222

21373A．2nB．2nC．2nD．2n 2222

2、下列四个命题：①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；②数列a，a1，a2，

1、等差数列a3是公差为a1的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成ananb的形式（a、b为常数）；④数列2n1是等差数列．其中正确命题的序号是（）

A．①②B．①③C．②③④D．③④

3、C中，三内角、、C成等差数列，则（）

A．30

、已知aB．60C．90 D．120 ，ba、b的等差中项是（）

B

C

A

D

5、已知等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则ca1，ca2，ca3，…，can（c为常数，且c0）是（）

A．公差为d的等差数列 B．公差为cd的等差数列

C．非等差数列D．以上都不对

6、在等差数列an中，已知a12，a2a313，则a4a5a6等于（）

A．10B．42C．43D．4

57、在等差数列an中，已知a1510，a4590，则a60等于（）

A．130 B．140 C．150 D．160

8、等差数列an中，a1a4a739，a2a5a833，则a3a6 a9的值为（）

A．30 B．27C．24D．

219、在数列an中，若a11，an1an2n1，则an__________________．

10、48，a，b，c，12是等差数列中的连续五项，则a__________，b_________，c___________．

11、（2011全国Ⅱ理）设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k（）

(A) 8(B) 7(C) 6(D)

512、（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列an的前n项和为Sn，若S972,则a2a4a9

13、（2009辽宁卷理）等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S35,则a4

14、（2007湖北理8）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且An7n45a，则使得n为整数的正整数n的个数是（） Bnn3bn

A．2B．3C．4D．5

第19篇：等差数列

等差数列

1等差数列的定义:

2定义式3等差中项

4通项公式

二．等差数列的判定

1.在数列{an}中，an4n1，求证：{an}是等差数列。

5等差数列的性质

6等差数列的前N项求和公式：

一.有关等差数列的计算: {an}是等差数列

1.a158,a6020,求a75;2.a312, d1

, Sn15,求an，n；

3.a11, an512，Sn1022，求d；

2.已知数列{an}满足a14，an4

4an1

记b1

n

a n2

（1） 求证：数列{bn}是等差数列； （2） 求数列{bn}的通项公式；

（3） 求数列{an}的通项公式；

三．等差数列性质的应用

1.已知等差数列{an}中，a1a4a715，

a2a4a645，求通项公式；

第20篇：等差数列

等差数列（1）

定义： anan1d,(n2)

d0,递增数列；d0,常数列；d0,递减数列；

通项：ana1n1damnmd 得出通项的方法： （1）归纳法： （2）累加法：

通项公式2：anpnq；公差为p，首项为p+q 反映在图像上是一条直线上的一些孤立的点。

等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A

ab2

性质：an为等差数列，则an1为an与an2的等差中项；反之，也成立。 △ABC中，A，B，C成等差数列，则B=

1，判断下列数列是否为等差数列：

（1）an3n1；（2）ann



3

。

2，已知等差数列an中，a36,a918，求an。并求a6。 3，已知数列an中，a11,2anan13an1an20，令bn（1）求证：bn是等差数列；（2）求an。 4，已知数列an满足a14,an4

4an1

1an1

n2，令bn



1an2

（1）求证：bn是等差数列；（2）求an。 5，已知函数fx

3xx3

,数列an的通项由xnf

xn1n2，且nN确定

11（1）求证：是等差数列；（2）若x1，求x2013。

2xn

《等差数列课程教案模板.doc》

将本文的Word文档下载到电脑，方便编辑。

推荐度：

点击下载文档