大学物理第3章习题解答

第三章

刚体的定轴转动

3-1掷铁饼运动员手持铁饼转动1.25圈后松手，此刻铁饼的速度值达到v25ms。设转动时铁饼沿半径为R=1.0 m的圆周运动并且均匀加速。求:

(1)铁饼离手时的角速度;

(2)铁饼的角加速度;

(3)铁饼在手中加速的时间(把铁饼视为质点)。

解：（1）铁饼离手时的角速度为

1v/R25/1.025(rad/s)

（2）铁饼的角加速度为

225239.8(rad/s2)

2221.25（3）铁饼在手中加速的时间为

t2221.250.628(s)

25

13-2一汽车发动机的转速在7.0s内由200rmin均匀地增加到300rmin1。

(1)求在这段时间内的初角速度和末角速度以及角加速度;

(2)求这段时间内转过的角度和圈数;

(3)发动机轴上装有一半径为r=0.2m的飞轮，求它的边缘上一点在第7.0s末的切向加速度、法向加速度和总加速度。

解：（1）初角速度为

02200/6020.9(rad/s)

末角速度为

23000/60314(rad/s)

角加速度为

（2）转过的角度为

0t31420.941.9(rad/s2)

7.002t20.931471.17103rad186(圈) 2 24 （3）切向加速度为

atR41.90.28.38(m/s2)

法向加速度为

an2R31420.21.97104(m/s2)

总加速度为

2aat2an8.372(1.97104)21.97104(m/s2)

总加速度与切向的夹角为

an1.97104arctanarctan8959

at8.37

3-3

如图所示，在边长为a的六边形顶点上分别固定有质量都是m的6个小球(小球的直径da)。试求此系统绕下列转轴的转动惯量。 (1)设转轴Ⅰ，Ⅱ在小球所在平面内; (2)设转轴过A并垂直于小球所在平面。

解：（1）对轴I的转动惯量

J12m[(acos60)2(aacos60)2]m(a2acos60)29ma2

对轴II的转动惯量

J24m(asin60)23ma2

（2）对垂轴的转动惯量

J32ma22m(2acos30)2m(2a)212ma2

3-4如图有一根长为l，质量为m的匀质细杆，两端各牢固地连结一个质量为m的小球，整个系统可绕一过O点，并垂直于杆长的水平轴无摩擦地转动，当系统在水平位置时，试求:(1)系统所受的合外力矩;(2)系统对O轴的转动惯量;(3)系统的角加速度。 解：（1）设垂直纸面向里的方向为正，反之为负，则该系统对O点的力矩为

3331113M0mglmglmglmglmgl

4484484（2）系统对O点的总转动惯量等于各部分对O点的转动惯之和，即

J0J1J2J3J4l1ml13m3l3lm()2()()2()()2m()2

43443444372ml48

25 （3）由转动定律

MJ

可得

3mglM036g4 37J037lml248

3-5一转轮以角速度0转动，由于轴承的摩擦力的作用，第一秒末的角速度为0.80，(1)若摩擦力矩恒定，求第二秒末的角速度;(2)若摩擦力矩与角速度成正比，求第二秒末的角速度。

解：（1）摩擦力矩恒定，则转轮作匀角加速度运动，故角加速度为

第二秒末的角速度为

10t(0.8-1)00.20

20t00.2020.60

（2）设摩擦力矩Mr与角速度的比例系数为，据题设可知

Mr,即tJd dt0dJ0dtlnt 0J据题设t1s时，10.80，故可得比例系数

Jln0.8

由此t2s时，转轮的角速度2为

ln22ln0.8 0 20.8200.640

3-6如图所示，飞轮的质量为60kg，直径为0.5m，飞轮的质量可看成全部分布在轮外缘上，转速为100rmin1，假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数0.4，现要求在5s内使其制动，求制动力F(尺寸如习题3一6图所示)。

解： 设飞轮与闸瓦间的压力为N，如图示，则二者间摩擦力frN，此摩擦力形成阻力矩 frR，由转动定律

26

frRJ

其中飞轮的转动惯量JmR，角加速度20t2n，故得 52frmnR5260(1000/60)0.25

5-314(N)见图所示，由制动杆的平衡条件可得

习题3-6图

F(l1l2)N l1=0

NNfr

得制动力

F

frl13140.5314(N)

(l1l2)0.4(0.50.75)3-7如习题3-7图所示，两个圆轮的半径分别为R1和R2，质量分别为M1和M2，二者都可视为均匀圆柱体而且同轴固结在一起，可绕水平中心轴自由转动，今在两轮上各绕以细绳，绳端分别挂上质量为m1和m2的两个物体，求在重力作用下，m2下落时轮的角加速度。 解： 如图所示，由牛顿第二定律 对m1:T1m1gm1a

1对m2:m2gT2m2a2 对整个轮，由转动定律

112T2R2T1R1M1R12M2R2 22又由运动学关系

联立解以上诸式，即可得

1/R12/R2

(m2R2m1R1)g 22(M1/2m1)R1(M2/2m2)R2

习题3-7图

3-8一根均匀米尺，在60cm刻度处被钉到墙上，且可以在竖直平面内自由转动，先用手使

27 米尺保持水平，然后释放。求刚释放时米尺的角加速度和米尺转到竖直位置时的角速度各是多大? 解：设米尺的总量为m，则直尺对悬点的转动惯量为

(a)

(b)

112Im1l12m2l2331212m0.42m0.62 35351.4m150.093mM331221mgmg0.1mg 5525521.4Im 又MI15M0.1mg1510.5(rads2) I1.4mmghc从水平位置摆到竖直位置的过程中机械能守恒（以水平位置为O势能点）

1J2 211.4m2 即

mg0.121.521

3-9如习题3-9图所示，质量为m的物体与绕在定滑轮上的轻绳相连，定滑轮质量M=2m，半径为R，转轴光滑，设t=0时v=0，求：(1)物体的下落速度v与时间t的关系；(2)t=4s时m下落的距离;(3)绳中的张力T。

解： m视为质点，M视为刚体（匀质圆盘）。作受力分析（如图所示）

28 mgTmaRTJaR J12MR2（1）由方程组可解得

ammM/2g12g

物体作匀加速运动

习题3-9图(1) vv10at2gt

（2）物体下落的距离为

xv120t2at1

gt24当t=4时

x14g424g39.2(m) （3）绳中张力由方程组解得

T12mg

解法2：以t=0时物体所处位置为坐标原点O，以向下为x正方向.（1）由机械能守恒：

1J21mV2mgx22J12m2 2RVR习题3-9图(2) V2gx

两边就t求导得

2vdvdtgvdvgdt2vdvtgdt002v1 2gt（2）

29 1dx1gtgt2dt2则dxdx1gtdtv2dtxt1 0dx02gtdt1xgt24v（3）m匀加速运动，由V1gt以及V00知 21g12Tmg

2又由mgTmaa

3-10

唱机的转盘绕着通过盘心的固定竖直轴转动，唱片放上去后将受转盘的摩擦力作用而随转盘转动(习题3-10图)，设唱片可以看成是半径为R的均匀圆盘，质量为m，唱片和转盘之间的滑动摩擦系数为k。转盘原来以角速度匀速转动，唱片刚放上去时它受到的摩擦力矩多大?唱片达到角速度需要多长时间？在这段时间内，转盘保持角速度不变，驱动力矩共做了多少功?唱片获得了多大动能？

解： 如图所示，唱片上一面元面积为dsrddr,质量为dmmrddr/(R),此面元受转盘的摩擦力矩为

2dMrdfrkdmgmgkr2ddr/(R2)

各质元所受力矩方向相同，所以整个唱片受的磨擦力矩为

MdM

Rkmg2dr2dr200R

2kmgR3

唱片在此力矩作用下做匀加速转动，角速度从0增加到需要时间为

ta1M/mR223R 4kg唱机驱动力矩做的功为

习题3-10图

30

AMMt唱片获得的动能为

1mR22 2Ek1111J2mR22mR22 2224

3-1l一个轻质弹簧的劲度系数为k2.0Nm，它一端固定，另一端通过一条细线绕过一个定滑轮和一个质量为m1=80g的物体相连(习题3-11图)。定滑轮可看作均匀圆盘，它的半径r=0.05m，质量m=100g，先用手托住物体m1，使弹簧处于其自然长度，然后松手，求物体m1下降h=0.5m时的速度多大?(忽略滑轮轴上的摩擦，并认为绳在滑轮边缘上不打滑)。 解： 对整个系统用机械能守恒定律

1111m1ghkh2m1v2J20

222以J12mr,v/r代入上式，可解得 22m1ghkh220.089.80.520.52v1.48m/s

m1m/20.080.05

3-12

如图所示丁字形物体由两根相互垂直且均匀的细杆构成，OA=OB=OC=l，OC杆的质量与AB杆的质量均为m，可绕通过O点的垂直于物体所在平面的水平轴无摩擦地转动。开始时用手托住C使丁字形物体静止(OC杆水平)，释放后求:(1)释放瞬间丁字形物体的角加速度;(2)转过90时的角加速度、角动量、转动动能。 解：（1）丁字杆对垂直轴O的转动惯量为 112J0JOCJOABml2m(2l)2ml2

3123对轴O的力矩M01mgl，故由MJ可得释手瞬间丁字杆的角加速度 2M0133gmgl J022ml24l（2）转过90角后，知矩M0,则0。由机械能守恒知

l1mgJ0222此时角动量

mgl J031

LJ0mglJ0ml转动动能为

2gl 3Ek11J02mgl 22

3-13如图所示，一飞轮质量为洲。，半径为R以角速度\"旋转。某一瞬间，有质量为m的小碎片从飞轮边缘飞出，求:(1)剩余部分的转动惯量;(2)剩余部分的角速度。

解： （1）利用填补法，将小碎片填入缺口，此时为均匀圆盘对O轴的转动惯量J0挖去小碎片，相应减少J1mR2，故剩余部分对O的转动惯量为

1m0R2，2J1J0J0（2）碎片飞离前后，其角动量守恒

1m0R2mR2 211m0R2(m0R2mR2)1mR21 221故剩余部分的角速度与原来的角速度相等。

3-14一转台绕竖直固定轴转动。每转一周所需时间为t=10s，转台对轴的转动惯量为J=1200kgm。一质量为m=80kg的人，开始时站在转台的中心，随后沿半径向外跑去，当人离转台中心r=2m时转台的角速度是多大? 解： 由于转台和人系统未受到沿轴方向外力矩，所以系统的角动量守恒，即 2J1(JMr2)2

由此可得转台后来的角速度为

2J120020.496(rad/s) 1JMr21200802210

103-15哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，它的近日点距离为8.7510m，速率是5.46104ms1，远日点的速率是9.08102ms1，求它的远日点的距离。

解： 慧星在有心力场中运动，角动量守恒。设其质量为M，近日点速率为V1，与太阳之距r1;远日点速率为V2，与太阳之距r2，则有

MV1r1MV2r2

32  V15.461041012r2r18.75105.2610(m) 2V29.08103-16宇宙飞船中有三个宇航员绕着船舱内壁按同一方向跑动以产生人造重力。

(1)如果想使人造重力等于他们在地面上时受的自然重力，那么他们跑动的速率应多大？设他们的质心运动的半径为2.5m，人体当质点处理。

(2)如果飞船最初未动，当宇航员按上面速率跑动时，飞船将以多大角速度旋转?设每个宇航员的质量为70kg，飞船体对于其纵轴的转动惯量为3105kgm2。

(3)要便飞船转过30，宇航员需要跑几圈? 解：（1）由于v2/rg vgr9.82.54.95(m/s)

（2）由飞船和宇航员系统角动量守恒可得

3mvRJ0

由此得飞船角速度为

3mvR3704.952.538.6710(rad/s) 5J310（3）飞船转过30用的时间t/(6)，宇航员对飞船的角速度为v/R，在时间t内跑过的圈数为

n(v/R)t/(2)1v(1)12R14.95(1)19(圈)128.671032.5

3-17把太阳当成均匀球体，计算太阳的角动量。太阳的角动量是太阳系总角动量的百分

30之几?(太阳质量为1.9910kg，半径为6.9610m，自转周期为25d，太阳系总角动量

8为3.210Js) 解： 太阳自转周期按25d计算，太阳的自转角动量为 432JSmR25221.991030(6.96108)2 525864001.11042(kgm2/s)

33 此角动量占太阳系总角动量的百分数为

0.1110433.3% 43(0.113.2)10

3-18一质量为m的小球系于轻绳一端。放置在光滑的水平面上，绳子穿过平面中一小孔，开始时小球以速率v1作圆周运动，圆的半径为r1，然后向下慢慢地拉绳使其半径变为r2，求:(1)此时小球的角速度;(2)在拉下过程中拉力所做的功。

解：（1）由于外力沿转动中心O，故外力矩恒为零，质点的角动量守恒，即

mV1r1mV2r2mV1r1mr2故小球作半径r2的圆周运动的角速度为

（2）拉力F做功为

r1V 21r22211mr122AFdsmV2mV1V1 1222r2

3-19如习题3-19图所示，刚体由长为l，质量为m的匀质细杆和一质量为m的小球牢固连结在杆的一端而成，可绕过杆的另一端O点的水平轴转动。先将杆拉至水平然后让其自由转下，若轴处摩擦可以忽略。求:(1)刚体绕O轴的转动惯量;(2)当杆与竖直线成角时，刚体的角速度。 解：（1）

JJ杆J球1242 2mlmlml33（2）在转动过程中无耗散力，系统机械能守恒，设初始时刻重力势能为零，有

01lJ2mg(cos)mg(lcos) 22解得：

3gcos 2l3-20一长l=0.4m的均匀木棒，质量M=1.0kg，可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时棒自然地竖直悬垂(习题3-20图)。今有质量m=8g的子弹以v=200ms的速率从A点射人棒

1 34 中，假定A点与O点的距离为34l，求: (1)棒开始运动时的角速度; (2)棒的最大偏转角。

解：（1）子弹射入木棒中为完全非弹性碰撞，角动量守恒：

mv34lm34l2123Ml

解得

mv34m49Ml8103200348103490.4

8103200490.49(rads1)（2）上摆过程机械能守恒

1J2l32Mg2(1cos)mg4l(1cos) 即

11922M23M16ml234m(1cos)lg

mM，上式可近似为

1213Ml22M2(1cos)lg

cos(1l2解得

3g)0.073

cos0即为第二象限的角度，本题中即棒向上摆可超水平位置（90）。由于cos1(0.073)856

 棒的最大摆角约为

8569452

35

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