习题二
(参考答案) 2.1 在谓词逻辑中将下面命题符号化， （1）高斯是数学家，但不是文学家。
P(x):x是数学家. s(x):x是文学家. a:高斯 P(a) s(a) （2）如果小张比小李高，小李比小赵高，则小张比小赵高。
P(x,y):x比y高.
a:小张. b:小李. c:小赵
(p(a,b) p(b,c)) p(a,c) （3）鱼都会在水里游。
P(x)::x是鱼
R(x)x都会在水里游. x (P(x) R(x)) （4）情商比智商更重要。
P(x,y):x比y更重要. a:情商. b:智商 P(a,b) （5）并不是所有的人都爱看电影。
P(x):x是人. G(x):爱看电影.
x(p(x) G(x)) 或
x(p(x) G(x)) （6）有的人爱吃醋，并且没有不爱美的人。
P(x):x是人. G(x):x爱吃醋. R(x):x爱美.x(P(x) G(x)) x (P(x) R(x)) 2.2 利用二元谓词将下面命题符号化。 （1）每列火车都比某些汽车快。
P(x,y):x比y快. M(x):x是火车. G(y):y是汽车 x(M(x) y(G(y) P(x,y)) （2）某些汽车比所有火车慢。
P(x,y):x比y慢. M(x):x是汽车. G(y):y是火车 x(M(x) y(G(y) P(x,y))) 2.3 在谓词逻辑中将下面命题符号化，要求使用全称量词与存在量词两种方法。 （1）有的江西人没去过庐山。 P(x):x是江西人.
M(x):x去过庐山.x(P(x) M(x)) 或
x(P(x) M(x)) （2）没有人不爱自己的祖国。
P(x):x是人. M(x):x爱自己的祖国 x(P(x) M(x)) 或
x(P(x) M(x)) （3）并非每个清华大学的学生都是优等生。
P(x):x是清华大学的学生. M(x):x是优等生 x(P(x) M(x))
或
x(P(x) M(x)) （4）没有不努力的大学生。
M(x):x是大学生
P(x):x是努力的.
x(M(x) P(x)). 或
x(M(x) P(x)) 2.4 指出下列谓词公式中的量词及其辖域，指出各自由变元和约束变元。如果有同名而引起混淆的情况，要求使用换名规则或代替规则改写。
（1）x(P(x) yQ(y))；
x的辖域为P(x) yQ(y).
其中：x是约束出现 y的辖域为Q(y). 其中：y是约束出现
（2）x(F(x) H(x,y)) H(x)；
x的辖域为F(x) H(x,y). 其中：x是约束出现. y是自由出现 而原式中 H(x)中x是自由出现 更改后的为：x(F(x) H(x,y)) H(z) （3）x(P(x)xQ(x,z)yR(x, y))Q(x, y)；
x的辖域为P(x)xQ(x,z)yR(x, y). 其中：z是自由出现.
x ,y是约束出现. x的辖域为Q(x,z).其中：x是约束出现. z是自由出现 y的辖域为R(x, y).其中：y是约束出现. x是自由出现 Q(x, y) 中x、y是自由出现
更改后的为：x(p(x) u Q(u,z) yR(v, y)) Q(s, t) （4）P(x)(yx(P(x)B(x,y))P(x))；
y与x的辖域为 (P(x)B(x,y)). 其中：x、y是约束出现 更改后的为：P(u) (yx(P(x)B(x,y)) P(u) 2.5 设个体域D={1,2,3}，消去下列各公式中的量词。 （1）xP(x) yQ(y)； (P(1) P(2) P(3)) (Q(1) Q(2) Q(3)) （2）xP(x) yQ(y)； (P(1) P(2) P(3)) ( Q(1) Q(2) Q(3)) （3）xy P(x,y)。 (P(1,1) P(1,2) P(1,3)) ( P(2,1) P(2,2) P(2,3)) ( P(3,1) P(3,2) P(3,3)) 2.6 设一元谓词F(x):x3,G(x):x5,R(x);x7，解释I为：个体域D={0,2,6 }，在I下求下列各式的真值。
（1）x(F(x)G(x)); (F(0)G(0)) ( F(2)G(2)) ( F(6)G(6)) F （2）x(R(x)F(x))G(5); ((R(0) F(0)) (R(2) F(2))(R(6) F(6))) G(5) F （3）x(F(x)G(x))。
(F(0)G(0)) (F(2)G(2))(F(6)G(6))T 2.7 取个体域为整数集，给定下列各公式，判定命题的真值。 （1）xy(xy1)
假 （2）x(xyx);
不是命题
（3）xyz(xyz)；
真 （4） xyz (x + y = z)；
真 （5）yx(xy2)；
真 （6）xy(xy2y)。
假 2.8 求下列各式的前束范式： （1）(xP(x)yP(y))； xy(P(x) p(y)) （2）(xP(x)yzQ(y,z))； xyz(p(x) Q(y,z)) （3）(xF(x)yG(y))(F(u)zH(z))； xyz ((F(x) G(y)) (F(u) H(z))) （4）xF(y,x)yG(y)； xy(F(u,x) G(y))
（5）x(F(x,y)yG(x,y))。 xy(F(x,u) G(y))
2.9 构造下列推理的证明：
（1）前提：x(F(x) H(x))， H(y)
结论：x(F(x))
证明：①x[F(x) H(x)]
前提引入
②F(y) H(y)
①UI
③H(y)
前提引入
④F(y)
②③拒取式
⑤x[F(x)]
④UG （2）前提：x(F(x)G(x)H(x))， x(F(x)R(x))
结论：x(F(x)R(x)G(x))
证明：①x(F(x) R(x))
前提引入
②F(c) R(c)
①EI
③F(c)
②化简规则
④x(F(x) G(x) H(x))
前提引入 ⑤F(c) G(c) H(c)
④UI
⑥G(c) H(c)
③⑤假言推理
⑦G(c)
⑥化简规则
⑧F(y) R(y) G(y)
②⑦合取规则
⑨x[F(x) R(x) G(x)]
⑧EG （3）前提：x(F(x)H(x))， x(G(x)H(x)) 结论：G(y)F(y)
证明：①x(F(x)H(x))
前提引入
②x(F(x) H(x))
①置换规则 ③x(H(x) F(x))
②置换规则 ④H(y) F(y)
③UI ⑤x(G(x)H(x))
前提引入 ⑥G(y) H(y)
⑤UI ⑦G(y) F(y)
④⑥假言三段论
（4）前提：x(W(x)B(x))，x(B(x)R(x))，x(R(x)) 结论：x(W(x)) 证明：①xR(x)
前提引入
②R(c)
①EI ③x(B(x)R(x))
前提引入 ④B(c)R(c)
③UI ⑤B(c)
②④析取三段论 ⑥x(W(x)B(x))
前提引入 ⑦W(c)B(c)
⑥UI ⑧ W(c)
⑤⑦拒取式 ⑨x(W(x))
⑧EG 2.10 在谓词逻辑中，构造下面推理的证明。个体域是人的集合。
（1）每个科学工作者都是勤奋的，每个既勤奋又聪明的人在他的事业中都将获得成功，刘涛是科学工作者并且是聪明的，所以刘涛在他的事业中将获得成功。
F(x):x是科学工作者
G(x) :x是勤奋的人
H(x):x是聪明的人
R(x):x在他的事业中都将获得成功
a: 刘涛
前提：x(F(x) G(x)) x((G(x) H(x)) R(x))
F(a) H(a) 结论：R(a) 证明：①x(F(x) G(x))
前提引入
②F(a) G(a)
①UI
③F(a) H(a)
前提引入
④F(a)
③化简规则
⑤G(a)
②④假言推理
⑥H(a)
③化简规则
⑦G(a)H(a)
⑤⑥合取规则
⑧x((G(x) H(x)) R(x))
前提引入
⑨(G(a) H(a)) R(a)
⑧UI
⑩R(a)
⑧⑨假言推理
（2）每个学术会的成员都是工人并且是专家，有些成员是青年人，所以有的成员是青年专家
F(x):x是学术会的成员
G(x):x是工人
H(x):x是专家 R(x):x是青年人
前提：x(F(x) (G(x) H(x)))
x(F(x) R(x)) 结论：x(F(x) H(x) R(x)) 证明：①x(F(x) R(x))
前提引入
②F(c) R(c)
①EI ③F(c)
②化简规则
④x(F(x) (G(x) H(x)))
前提引入
⑤F(c)(G(c) H(c))
④UI
⑥G(c)H(c)
③⑤假言推理
⑦H(c)
⑥化简规则
⑧F(c) R(c) H(c)
②⑦合取规则
⑨x(F(x) H(x) R(x))
⑧EG （3）每一个大学生不是文科生就是理科生；有的大学生是优等生；小张不是文科生但他是优等生。因此，如果小张是大学生，他就是理科生。
P(x):x是大学生
G(x):x是文科生
H(x):x是理科生
R(x):x是优等生
a:是小张
前提：x(P(x) (G(x)H(x)))
结论：P(a) H(a) 证明：①x(P(x) R(x))
②P(a) R(a)
③P(a)
④G(a) R(a)
⑤G(a)
⑥x(P(x)(G(x)H(x)))
⑦P(a) (G(a)H(a))
⑧G(a)H(a)
⑨H(a)
⑩H(a)P(a)
⑾P(a)H(a)
x(P(x) R(x))
G(a) R(a)
前提引入
①EI ②化简规则
前提引入
④化简规则
前提引入
⑥UI
③⑦假言推理
⑤⑧析取三段论
⑨附加规则
⑩置换规则
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