四点共面问题探究

发布时间：2020-03-02 04:14:12 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

空间四点共面充要条件的应用与探究河北唐山一中姚洪琪063000

平面上的三点共线与空间的四点共面，是平面向量与空间向量问题中的一类重要题型。在高中数学人教A版选修教材2-1《空间向量与立体几何》一章中，给出了四点共面的一个判定方法，在配套的教参中更明确为充要条件。因此有些老师在教学中就给出了如下的空间P、A、B、C、四点共面的充要条件：对于空间任意一点O，存在实数x、y、z，使得OPxOAyOBzOC且x+y+z=1。这个结论对于解决空间四点共面问题提供了很便捷的方法，例如：

问题1：对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C，有6OPOA2OB3OC，则（）

(A)O、A、B、C 四点共面(B) P、A、B、C 四点共面 (C) O、P、B、C 四点共面(D) O、P、A、B、C五点共面分析：由条件可以得到OP显然答案为（B）

问题2：已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，OMxOA分析：由上面的充要条件很容易得到x1

121316

12OB

3OC，则

16OA

13OB

2OC，而

161312

1，则P、A、B、C 四点共面。

。

问题3：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，P、M、N分别是AA

1、AB、AD上一点，且

AP

3AA1,AM

2AB,AN

4AD，对角线AC1与平面PMN交与点H，求H点分AC1的比。

分析：因为P、M、N、H四点共面，则可设为

AHxAPyAMzAN，且x+y+z=

由已知，AP则AH

323

AA1,AMy2AB

2AB,AN

AD，

AA1

又A、H、C1三点共线，则AHAC1 而AC1AA1ABAD 所以，AH

2x3AA1

y2AB

z4AD

AA1ABAD 因为向量AA1，AB，AD不共面，则有：所以，x

322x3y2z4，

，y2，z4

又因为x+y+z=1，所以，

所以，AH2

15AC1 32+2+4=1，解得215 即：H点分AC1的比为2:13.以上三个问题的解决都用到了课本中提到的四点共面的充要条件，思路新颖，解法简洁，确实为学生们解决空间四点共面问题提供了一条重要的解题思路。但是，学生们在解决2005年全国高考数学试题时，却出现了困惑和迷茫。甚至对该方法提出了质疑。

05年高考题为：⊿ABC的外接圆圆心为O，两条高线的交点为H，若OHm(OAOBOC)，则。

一部分学生认为，该题可以利用课本中给出的充要条件解决，将本题看成H、A、B、C四点共面， O为空间任意一点，则应有m+m+m=1，从而得到m=

13.另外一部分学生认为该题可以采用以下特殊解法，将⊿ABC看成一个等腰直角三角形，则容易得到OHOAOBOC，于是m=1.

究竟哪一个答案是正确的？在查阅05年高考试题答案后知道，正确答案应该为1，而对于老师给出的结论也是深信不疑的，因为在平面向量中就曾经得出过类似的问题：平面内三点A、B、C共线的充要条件是：对于平面内任意一点O，存在实数λ、μ，使得OAOBOC,且λ+μ=1.课本中的结论其实就是平面向量问题的一个推广。那么第一种解法究竟错在哪里？这个充要条件正确吗？

如果和上面的结论做一对比的话，就是对本题中的五点共面有所怀疑，但是教参中并没有强调O点不能与PABC共面。我们再推敲一下教参中对于这个充要条件的证明，OPOAAP，肯定没有问题，根据平面向量基本定理，向量AP一定可以用不共线的向量AB和AC表示（此处注意，A、B、C三点必须不共线，课本中说的是平面ABC，教参中也强调不共线），即：

AP=ABAC=(OBOA)(OCOA）

所以，OPOAAP

OAABAC

OA(OBOA)(OCOA）

（1）OAOBOC

显然其系数和为1.但是，当O点与P、A、B、C共面时，向量AP也可以用不共线的向量OB和OC直接表示，即，APOBOC，则OPOAAPOAOBOC，显然其系数和1不一定等于1.

不妨可以看一个五点共面的特殊例子(如右图)，对于正

方形ABCD，设其中心为O，则OAOBOCOD，其

系数和等于1，但是也可以表示成OA2OBOC2OD， C

其系数和等于3，还可以表示成OA5OBOC5OD，其系数和等于9，等等，显然各种不同的表示形式其系数和是不确定的。

问题的症结找到了，如果O点与P、A、B、C共面时，向量OP可以用OA、OB、OC表示成各种不同的形式OPxOAyOBzOC，表达形式不确定，其系数和当然也不确定。实际上，问题的关键在于与空间向量基本定理相悖，当O点与P、A、B、C共面时，向量OP、OA、OB、OC为共面向量，那么向量OP是不能用OA、OB、OC唯一表示的。同时，即便O点与P、A、B、C不共面时，也必须．．

要求A、B、C、三点不共线，否则，根据空间向量基本定理，由于向量OA、OB、OC是共面向量，那么向量OP是不能用OA、OB、OC表示的。．．所以，有些老师结合教材和教参中的表述给出充要条件的说法严格说是不准确的，充分性没有问题，而必要性则需要加以限制。应该表述成，若空间P、A、B、C四点共面，且A、B、C三点不共线，则对于空间不与PABC共面的任意一点O，存在实数x、y、z，使得OPxOAyOBzOC且x+y+z=1.，反之，若OPxOAyOBzOC且x+y+z=1，则P、A、B、C四点共面。

类似可以得到，平面内P、A、B三点共线，则对于不在直线AB上的点O，有OPOAOB，且1；反之，若OPOAOB，且1，则P、A、B三点共线。在这里注意，当P、

A、B、O四点共线时，虽有OPOAOB，但是、并不唯一，所以不一定有1。

以上所述是否正确，希望得到各位同行的批评指正！